Hướng dẫn giải bài tập theo chuyên đề hàm số mũ, hàm số logarit Hướng dẫn giải bài tập theo chuyên đề hàm số mũ, hàm số logarit Hướng dẫn giải bài tập theo chuyên đề hàm số mũ, hàm số logarit Hướng dẫn giải bài tập theo chuyên đề hàm số mũ, hàm số logarit Hướng dẫn giải bài tập theo chuyên đề hàm số mũ, hàm số logarit
Trang 1Trang 1
BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN
I LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1
1
3
: 2
( đáp số : D=1 )
b
2
B
Giải
a/
1 1
2
1
2
2
3 13 1
b/
2
9
Bài 2 Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1 -1
1
ax 4
Giải
4
A
1 -1
2
ax
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ Bài 1 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau
2
1 1
2 2
1 2 a b :
Trang 2Giải
2 2
2
2 2
2
2
Bài 2 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau :
3 a 3b a3 b3 3 ab
1 1
3 3 : 2 3 a 3 b
Giải
b/
: 2
2
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a
3
2
1 1
3 2
4 4
b
2 2 2
4 4 4 2
a B
a a
a
Giải
a/
2
3
2
2 4
4
a a
B
a a
Bài 4 Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
2
Trang 3b
5 3
3
5 2
10 5
2 27
3 32 2 3
2 3
y
y
Với y = 1,2
Giải
1
3,92 x 3,92 4 x 0, 08 2 4 x 0,16
5 3
1
3 3
1 1 5
2
1 1 5
5 2
2 27
2 3
y y
y
y
2 2 3y 3 y 3.2 y 2 3 y y
2
1, 44
Bài 5 Rút gọn biểu thức sau :
a
2
3 3
3
8
1 2
a
ĐS: A=0
b
6
B
Giải
2 3
3
3
8 8
a
0 8
b/
2
B
2
2 2
3 3
2
b a
Trang 4Bài 6 Rút gọn biểu thức sau
a
1
A= 3 5 : 2 : 16 : 5 2 3
( đáp số : A= 15/2 )
1 2
4
B
Giải
a/
1
2
3 5 2 5 2 3 3 5 15 A= 3 5 : 2 : 16 : 5 2 3
b/
4
3
B
Bài 7 Rút gọn biểu thức sau :
a
1 1
1
1 1
2 2
4 4
:
b
1 1
2 2
Giải
a/
1
a
b/
Bài 8 a Rút gọn các biểu thức sau :
1
2
ax
C
(đáp số C=1)
Trang 5b Chứng minh : 3
Giải
2
1 1 1
2 2 2
ax
x a
2
1 1
2 2
2
1 1
2 2
1
2 3 4 2 2 3 2 4 2 2 2 3 2 4 2 3 4 2 2 3 4 2 3 2 4 2
2a b a a b b a b a b a b 2a b a b a b a b 2 a b a b
Bài 9
a Không dùng bảng số và máy tính hãy tính : 3 847 3 847
( đáp số : =3 )
b Chứng minh rằng : 8 8 4 4
8 8
1
Giải
3
3 125
27
3 2 3 2 3 2 1 VT
Bài 10 Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
5 3
c 4 2 3
0
Giải
Trang 61 1
3 1 3
b/
1
1 1
11 16
a
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ Bài 1 Đơn giản các biểu thức :
a
2 1
2 1
a
a
2 4 4
:
3
:
Giải
a 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
a
1 1 2
2 4
a
c/ 3
2 1,3 3
2
a
Bài 2 Đơn giản các biểu thức :
a
2 2 2 3
2
1
2 3 2 3 3 3 3
4 3 3
1
3
1
c
2 5 3 7 2 7
(đáp số :
a b ) d 1
2
4
(đáp số : a b
Giải
a/
2
3
1
a
c/
Trang 7DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số , sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha
Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy thừa dạng bất đẳng thức
Bài 1 Hãy so sánh các cặp số sau :
d 4 5
4 4
Giải
30 20 Ta có
3
15 3 15 3 5
5 7 Ta có :
3 12
4 12
17 28 Ta có :
6 3 6
3
6 2
d/ 4 5
13 23 Ta có :
20 5 20 4
5 4
20 4
e/
Vì
4 4 ; 7 54 4
Bài 2 Hãy so sánh các cặp số sau :
a 1,7 0,8
1,7 0,8
d
5
2
5
1
7
2,5
12 1 2
2
0, 7 0, 7
Giải
2 2 ; vi:1, 7 0,8 2 2 b/
2
do
c/
2
do
Trang 8d/
0
5 0
7
do
;
2,5 6,25
f/
5 5 4 1
6 36 36 3
0 0, 7 1
do
Bài 3 Chứng minh : 20 30
2 3 2
Giải
Ta có :
20 20
20 30 30
30
Bài 4 Tìm GTLN của các hàm số sau
a y3 x x b sin 2
0,5 x
y
Giải
a/ 3 x x
y
Do vậy : y3 x x 314 43GTLNy43
b/ sin 2
0,5 x
Bài 5 Tìm GTNN của các hàm số sau “
a y 2x 2x b 1 3
2x 2 x
5 x 5c x
x x
ye
Giải
2 2
GTNNy
b/
1 3
1 3
c/
sin os sin os
sin os
1
VẼ ĐỒ THỊ
Trang 9Bài 1 Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
a
1
1
yx y x
( Học sinh tự vẽ đồ thị )
Bài 2 Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :
2 2
2
y
Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
Giải
Giả sử :
1 2
1 2
1 2
Vậy hàm số luôn đồng biến trên R
Bài 3 Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
a
3
x
x
y e
x
1 3
x x
Giải
a/
3
x
Do 1
x
y
Là một hàm số đồng biến b/ 2
x
y
e
Do 0 2 1 2
x
y
Là một hàm số nghịch biến
x
x
d/
3
3
x
x x
x
là một hàm số đồng biến ( 3 2 3 )
BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau :
2
1 log
5
x y
x
2
5
1 log log
3
x y
x
3 log
1
x y
x
2 0,3 3
2 log log
5
x y
x
2
1
1
x
x
2
1
6
1 log
x y
x
Giải
Trang 10a/ 1
2
1 log
5
x y
x
Điều kiện :
1 2
1
0 0
1 1
x
x
x
x x
Vậy D=1;
b/
2
5
1 log log
3
x y
x
Điều kiện :
2 3
2
1
3
3
x
x
3; 2 2;7
x
Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2 Tính giá trị của các biểu thức sau :
a
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 2
4 2
4
1 log 3 3log 5
1 log 5 2
16 4
1
log 9 log 6 log 4
2
72 49 5
log 5 1 lg2 log 36
Giải
1
2 3log 2
1 log 4 3 log 4 3
4
4
1 log 3 3log 5 2 1 log 5
log 3 6log 5
16 4 4 2 16.25 3.2 592
1
log 9 log 6 log 4 log 9 2log 6 2log 4
36 16
II SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
2 log 6 log 400 3log 45
2
c log 236 1log 31
2
Trang 11a/ 3 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
2 log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
6
log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
4
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
Bài 2 Hãy tính
a log2 2sin log2 os
c log tan 4 log cot 410 10 d D log4 1log 216 2 log 10 4 log 34 4 4
3
x
Giải
a/ log2 2sin log2 os log2 2sin os log2 sin log2 1 1
c/ C=log tan 4 log cot 410 10 log tan 4.cot 4 log1 0
d/
log log 216 2 log 10 4 log 3 log 6 log 10 log 3 log
Bài 3 Hãy tính :
2011!
b Chứng minh :
log log log
1 log
a
bx
x
2
1
loga loga loga k 2 loga
k k
Giải
a/
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011
A
log 2011!x
Nếu x=2011! Thì A=log2011!2011!1
b/ Chứng minh : ax
log log log
1 log
a
bx
x
log
log ax 1 log
x
2
1
loga loga loga k 2 loga
k k
Trang 12VT= 2 1
log log log 1 2 3 log
2 log
k
a
x
Bài 4 Tính :
loga
loga
5 3 3 2
log
a
a a
log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan 89
e A log 2.log 3.log 4 log 14.log 153 4 5 15 16
Giải
a/
1 1 3
2 5 10
b/
1
1 1
2
3
c/
3 2 1
2 4
a a
a a
a
log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan 89 log tan1 tan 89 tan 2 tan 87 tan 45 0
tan 89 cot1 tan1 tan 89 tan1 cot1 1; Tương tự suy ra kết quả
e/ log 2.log 3.log 4 log 14.log 153 4 5 15 16 log 15.log 14 log 4.log 3.log 216 15 5 4 3 log 216 1
4
Bài 5 Chứng minh rằng :
a.Nếu : 2 2 2
a b c a b c c b , thì :
logc b a logc b a 2logc b a.logc b a
b Nếu 0<N1thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
, , 1
a b c
c Nếu : logx a, logy b, logz ctạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
2 log log
log log
b
d Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn : 2 2
7
a b ab Chứng minh : ln ln ln
Giải
2 loga loga
logc b a logc b a c b a c b a c b a c b a
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : 2
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
Trang 131 1 1 1
2 log log log
( đpcm )
c/ Nếu : logx a, logy b, logz ctạo thành cấp số cộng thì logx a logz c 2logy b
2 log log
log
b
y
3
a b
Lấy lê be 2 vế ta có :
ln ln
III SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Bài 1 Tính
a.A log 166 Biết : log 2712 x
b B log12530 Biết : log 3 a;log 2 b c C log 1353 Biết: log 52 a;log 32 b
d D log 356 Biết : log 527 a;log 78 b;log 32 c e Tính : log 3249 Biết : log 142 a
Giải
a/ A log 166 Từ : 3
(*)
Do đó :
4
6
log 2 4 log 2 log 16
log 6 1 log 2
Thay từ (*) vào ta có : A=
2 3 2 12 4
2
log 3
C
d/ Ta có : log 527 1log 53 log 53 3 ; log 78 1log 72 log 72 3
6
log 3.log 5 log 7
log 35
b a
D
e/ Ta có : log 142 a 1 log 72 a log 72 a 1
Vậy :
5 2
log 32
log 7 2 log 7 2 a 1
Bài 2 Rút gọn các biểu thức
a Aloga blogb a2 log a blogab blogb a1
b 2 log log 2 1 2 4
1
2
c C loga p logp a 2 log a p logap p loga p
Giải
2
log
a
a
b
b
Trang 142 2 2
a
b
b
a
2 2 2
1 3log x log x 8 log x 9 log x 3log x 1
log 1 log
log 1 log
Bài 3 Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính loga x , biết loga b 3;loga c 2:
a 3 2
4 3 3
x c
2 4 2 4 3
x
Giải
2
c
c/ Ta có :
2 4 2 4 3
Bài 4 Chứng minh
2
b Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
loga b loga c
loga ;logb ;logc
b c a luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Giải
2
b/ Chứng minh : 2 2
loga b loga c
* Thật vậy :
Trang 15* loga b.logb c.logc a 1 loga b.logb a loga a 1
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
loga logb logc loga logb logc 1
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn
hơn 1
IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn một số b nào đó Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b Từ đó suy ra kết quả
Ví dụ 1: so sánh hai số : log 43 log41
3
Ta có :
log 4 log 3 1;log log 4 1 log 4 log
Ví dụ 2 So sánh : log 1,1 6 log 0,99 6
3 7 Ta có :
log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
3 3 1; 7 7 1 3 7
Bài 1 Không dùng bảng số và máy tính Hãy so sánh :
a log0,4 2log0,20,34 b 5 3
log log
1 log log 3 2
2 3 d log 23 log 32
e log 32 log 113 f
2 1 2
2log 5 log 9
5 log 3 log 11
h
9
8
log 2 log
9
1 log 2 log 5 2
3
1
18 6
Giải
a/ log0,4 2log0,20,34 Ta có : 0,4 0,4 0,2 0,4
2 1 log 2 log 1 0
log 0,3 log 2 0,3 1 log 0,3 log 1 0
4 5 Ta có :
log log
1 log
log 3 2
2 3 Ta có :
5
5
log 3 log 1 0
1
2
1 log 3 log
2
d/ log 23 log 32 Ta có : 3 3 3 3 2 3
log 1 log 2 log 3 0 log 2 1
log 3 log 2 log 2 log 3 log 4 1 log 3 2
e/ log 32 log 113 Ta có : 2 3 2
1 log 3 2
log 11 log 3 log 11 log 9 2
Trang 16f/
2 1
2
2log 5 log 9
Ta có :
2 1
2 2
25 2log 5 log 9 log
9
2
2 log 5 log 9 log 25 log 9 log 2 2
2
g/ 2 4
5
log 3 log
11
9 11 5
log 3 log 2log 3 log
5 11
5 5
5 log 3 log 11
81.11 891 90
h/
9
8
log 2 log
9
Ta có :
3 3
9
2log 2 log
8
k/
1
log 2 log 5
2
3
1
18 6
Ta có :
6
1
2 log 2 log 5 log 10 log
3
Bài 2 Hãy so sánh :
a log 102 log 305 b log 53 log 47 c 3 1
2 lne 8 ln
e
Giải
a/ log 102 log 305 Ta có : 2 2 2 5
log 10 log 8 3
log 10 log 30 log 30 log 36 3
b/ log 53 log 47 Ta có : 3 3 3 7
log 5 log 3 1
log 5 log 4 log 4 log 7 1
2 lne 8 ln
e
Ta có :
3
3
2 ln 2.3 6
1
8 ln 2 ln 1
8 ln 8 1 9
e
e e
e
Bài 3 Hãy chứng minh :
2
1
2
b log 7 5 log 4 5
4 7 c log 7 log 33 7 2
d log 5 2 log 3 2
3 5 e 1 log 3 log19 log 2
2 f log5 7 log 5 log 7
Giải
2
1
2
2
Trang 17Nhưng : 3 3 3
b/ log 7 5 log 4 5
4 7 Ta có : 5
log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
4 7 7 7 Vậy 2 số này bằng nhau c/ log 7 log 33 7 2 Ta có : 3 3 7 3
3
1 log 7 0 log 7 log 3 log 7 2
log 7
d/ log 5 2 log 3 2
3 5 Ta có : 2
log 5 log 3 log 5.log 3
e/ 1 log 3 log19 log 2
1 log 3 log 10 log 3 log 3 10 log 900 2
log19 log 2 log log
361 1 log 900 log log 3 log19 log 2
f/ log5 7 log 5 log 7
Ta có : 5 7 5 7 log5 7 log 5 7 log 5 log 7
Bài 4 Hãy so sánh :
a log36 log35
log elog d
Giải
a/Ta có :
log log
6 5
log log
5 6
3 1
log 9log 17 Ta có : 1 1
1
log 9 log 17 3
9 17
log elog Ta có : 1 1
1
log log
e
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I ĐẠO HÀM : Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau :
s inx-cosx x
y
x
Giải
Trang 18a/ 2 2 2
s inx-cosx x ' cosx+sinx x 2 s inx-cosx x 3sin osx x
4 '
2
2
1
x
x
Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau :
2
ln
d log2 4
4
x
y
x
2 3
9 log
5
x y
x
1 log 2
x y
x
Giải
2 1
1 ln 2
x
3
d/
2
1
ln10
II GIỚI HẠN Bài 1 Tìm các giới hạn sau :
0
ln 3 1 ln 2 1
lim
x
x
0
ln 3 1 lim
sin 2
x
x x
0
ln 4 1 lim
x
x x
d
5 3 3
0
lim
2
x
x
x
e
0
1 lim
1 1
x x
e x
3
0
ln 1 lim
2
x
x x
Giải
Trang 19b/
ln 3 1 3
sin 2
2 2
x x
x x
x x
4
5
3
x x
e
e
1 1
x x x
Bài 2 Tìm các giới hạn sau
0
ln 2 1
lim
tan
x
x
x
b
0
lim 5
x
x
c
3 0
1 lim
x x
e x
d
1
lim x
sin 3 lim
x
x x
0
1 os5 lim
x
x
Giải
ln 2 1 2
tan tan
x x
x
x
5
2
c/
3
d/
1
1
1
x
e
x
e/
sin 3 sin 3
3
2
2 2
5 2sin
2
4 5
25 2
x
Bài 3 Tìm các giới hạn sau :
0
osx os3
lim
sin
x
x
b
2
1 lim t anx os
x c x
lim 2 sin
x
4
2 2 cos lim
sin
4
x
x x
Giải
2sin 2 sin
b/
2
1
lim t anx
os
x c x
cos 2
c
t
Trang 202sin
2 tan
2sin os
t
t t
c
0 2
tan
2
t x
t
t
lim 2 sin
x
Đặt :
d/
4
2 2 cos
lim
sin
4
x
x x
2 2 cos
2 1 ost+sint
4
sin
4
c x
t x
t
Vậy :
4
2 2 cos
2 sin
4
t o x
x