Bài tập toán chuyên đề

Tìm nghiệm của phương trình Volterra t 0 yt uyudu t sin t− = ∫ 6.3.Ứng dụng phép biến đổi Laplace,tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân sau: 1.

BÀI TẬP TOÁN CHUYÊN ĐỀ

………

I.số phức và các phép toán

1.1,Tính các giá trị các căn số sau:

1. A=31 i 3+

2. B=41 i−

3. D= − + 3 1 i

1.2, Chứng minh rằng:

1 z 1 z 1 z arg z− ≤ − +

2 nếu Rez > 0 , Rea > 0 thì a z

a z

− + < 1

3 Nếu z1 = z2 =1 và z≠ ± thì 1 1 2

1 2

1 z z

+

∈

4 Chứng minh rằng nếu Rez 0≥ thì 1 z 1 z

2

+ + ≥

5 Tìm Re(arctan e )iϕ với ϕ nhọn

1.3, Tìm các không điểm và xác định cấp của chúng

1. f z( )=(z +1 tanz2 )3

2. f z( )=z sinz2

3. ( )

8

z

f z

z sinz

=

−

4.

3 z

z

f (z)

1 z e

= + − 1.4, Tìm tập hợp các điểm z thỏa mãn

Re

z< 2

0 arg

z i 2

< <

+

3. 1 1 1 1

<  +  <

1.5, Tìm tập hợp các điểm z thỏa mãn:

1. ω =const

2 argω =const

3. Re ln( ω =) const(chỉ giải trong trường hợp ω = +z z2 − ) 1

Trong đó

a ω = +z z2 − 1

b ω =e1/z

1.6, Tính giá trị của các hàm sơ cấp sau

a) ω =ii

b) ω = −( 1) 2

c) ω =i1/i

d) ω =(1 i)− 3 i−

e) ω =ln i

f)

2i

1 i 2

+

ω =  

g) So sánh a ; a2 α ( ) ( )α 2& a2 αtrong đó a;α ∈

h) Với giá trị nào của z∈ thì cosz;sin z∈

1.7, Tính giá trị của modun của hàm ω =sin z tại z= π +iln(2+ 5)

1.8, giải phương trình

a) cosz 3=

b) sin z 5=

1.9, Tính tổng của các chuỗi sau

1 z 1 z −

−

∑

n

n 2

z (1 z )(1 z − )

∑

1.10, Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi hàm số sau

a)

n n

n 0

(1 i)

z

≥

+

∑

n 0

(2z)

≥

∑

c)

n

n

n 1

z

n

≥

∑

d)

2

n n

n 1

1

n

≥

+

∑

e)

2n 1 2n 1

n 0

(2z) +

+

≥

∑

f)

2

n

n 0

z

n!

≥

∑

1.11, chứng minh đẳng thức

4 z

∂

II, Tích phân hàm biến phức:

1.

C

dz I

z

=∫ trong đó

a) C={z 1 / Im z 0 ; 1 1= ≥ } =

b) C={z 1 / Im z 0 ; 1 1= ≤ } =

c) C={z 1 ; 1 1= } = với điểm đầu của đường tích phân là điểm z 1= d) C={z 1 ;= } − = với điểm đầu z 11 i =

2.

C

I=∫ln zdz trong đó

a) C={z 1 ;ln1 0= } = với điểm đầu z 1=

b) C {z 1 ;ln i}

2

π

= = = với điểm đầu z i=

3.

C

I=∫(1 i 2z)dz+ − theo các đường nối điểm z1=0 với z2 = + 1 i

a) Theo đường thẳng b) Theo parabol y x= 2

4.

z 1 1

dz

I

1 z 2

− =

=

−

∫

C

zdz

I

=

+

∫ trong đó C là đường a) z 1 2 − = ; z = 4

b) z 2i 2− =

c) z 2i 2+ =

6 I = 3 2

C

z 2z 1

dz (z 1)

−

∫ trong đó C là đường z = 2

C

(z 1)

z 2z 3 2i 3

−

=

∫ trong đó C là biên của đường z 1 3− =

C

zdz I

=

+

∫ với C trong các trường hợp sau:

1 z 1 R+ = , R<2

2 z = , R< 1 R

III, Chuỗi TayLor và Laurent

3.0 Khai triển TayLor tại z 0= và xác định bán kính hội tụ R của chuỗi tìm được

a)

z

e

f (z)

1 z

=

− (

n

n 0

1

n!

−

≥

b) f (z)= z i+ trong đó i 1 i

2 +

=

Trả lời

n n

n 2

 

c)f (z)=3z trong đó 31 1 i 3

2

= − +

3.1.Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Laurent trong các miền đã chỉ ra:

W

(z 1)(z 2)

+

=

− + trong miền z < ; 11 < z < ; 23 < z < ∞

2.

2 2

z 2z 5

W

(z 5)(z 2)

= + − trong lân cận của z = 2 ; 1< z < 2

3. sin z

W

1 z

=

− trong lân cận điểm z 1; z= = ∞

3.2.Tìm phần chính trong khai triển Laurent tại điểm z 0 của các hàm số sau:

W

sin z

−

= với z0= 0

2.

z z

W

+

=

− với z0 = 0 ; 2 i± π

IV, Thặng dư và ứng dụng

1)Một số công thức bổ sung

a Res f (z);z[ = ∞ = −] C−1

C

1 Res f (z);z f (z)dz

2 i −

= ∞ =

π ∫

k

Res f (z);z a= +Res f (z);z= ∞ =0

∑

Nếu f (z) giải tích trong miền giới hạn bởi C trừ một số hữu hạn điểm bất thường a k

cô lập (kể cả điểm z = ∞ )

2)Tính thặng dư của các hàm số tại các điểm bất thường a cô lập (kể cả điểm k

z = ∞ nếu nó không phải là điểm giới hạn của các cực điểm)

1

10 7

z

f (z)

(1 z)

=

+ tại điểm z = ∞ gợi ý Res f (z);[ ∞ = −] Res f (z); 1[ − ]

2 f (z) cot z= 2 gợi ý Res f (z);k[ π = −] ( 1) ; kk ∈ 

3 f (z) sin z.sin1

z

= gợi ý Res f (z);z 0[ = ]=Res f (z);z[ = ∞ =] 0

4.

1 z z

n 0

1 Res f (z);0 Res f (z);

n!(n 1)!

∞

=

+

∑

5. sin 2z3

W

(z 1)

=

+

6.

2n n

z W

(z 1)

=

+

W

z(1 z )

=

−

W

sin z

=

W sin

z 1

=

+

3)Tìm và phân loại các điểm bất thường,tìm thặng dư tại đó của các hàm:

1.

3 6

sin z W

z

=

W

(z 1)(z 2)

+

=

3.

2 2

z 2z 5 W

(z 5)(z 2)

=

W

z 5z 6

−

=

W

(z 2)(z 3)

=

W

sin 2z

4)Dùng thặng dư tính các tích phân sau:

2 z

z 1

2

z

=

= ∫

z 1

z sin z

z

=

−

= ∫

3.

2

z 1 1

+ =

4.

2

z 2

I (z 2)e + dz

=

= ∫ +

5. 2x cos xdx

I

x 2x 10

+∞

−∞

=

∫

6. 2x sin xdx

I

x 2x 10

+∞

−∞

=

∫

7. 2x sin xdx

I

+∞

−∞

=

∫

8. 2sin xdx

I

(x 4)(x 1)

+∞

−∞

=

∫

5.1 Tìm các biến đổi z của các dãy sau

1.

n

khi n 0

−

   

   

=    



<



2.

n n

3 khi n 2

  

≥ −

  

=   



< −



n n

3

  

≥ −

  

=   



< −



4.

n n

3

  

  

=   



<



5.

2 n

x



= 

<



6.

2 n n

khi n 0

≥



= 



<



7.

n

x



= 

<



8.

n

n

3

=   



<



5.2.Tìm biến đổi z ngược của các hàm số sau:

z 5z 4

(z 1) (z 3)

(z 1) (z 3)

4z 2 3z 1

(4z 3)

−

6.

2 2

(z 1) (z 2)

+

7. z 12

(z 2) (z 1)

+

VI, phép biến đổi Laplace

6.1.Tìm ảnh của các hàm gốc sau

1. f t( ) (= t 1 e+ ) 2t

2 f (t) sin t=

3. f t( )=te−2t cos2t

4. f t( ) (= 2t 1 cos2t.sint + )

5 f t( ) (= 2t 1 e cos2t + ) 2t

6.

f (t) 2 t khi 1 t 2

< <





= − < <



7.

2

t 1 khi 1 t 2

f (t)

 + < <



= 

>



8. f (t) e= λ −α(t )sin(t− α η − α ) (t )

9.

2

3t khi 0 t 4

f (t) 2t 3 khi 4 t 6





10.

t

0

x(t)=∫(u − +u e )du−

11.

t

2u 0

x(t)=∫cos(t u)e du−

6.2 Tìm các hàm gốc của các hàm ảnh sau:

F(p)

+

=

F(p)

(p 1) (p 2)

=

3. 3 1 3

F(p)

p (p 1)

=

−

4.

2

2

5p 15p 11 F(p)

(p 1)(p 2)

=

5.

p 3 2

e F(p)

p(p 1)

−

=

+

F(p)

p 8p 16

+

=

F(p)

2p 8p 19

+

=

F(p)

(p 3)(p 2p 2)

−

=

9.

3p 2 2

e F(p)

p

−

=

F(p)

(p p 1)

= + +

11 Tìm nghiệm của phương trình Volterra

t

0

y(t u)y(u)du t sin t− =

∫

6.3.Ứng dụng phép biến đổi Laplace,tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân sau:

1. x′′+3x′+2x e= −t +e2t với x(0) 2;x (0)= ′ = − 3

2.

t 2

4x′′−4x′+ =x e với x(0) 1;x (0) 0= ′ =

3. x′′+2x′+3x t cos t= với x(0)= −1 / 4;x (0) 0′ =

4. x′′−4x′+4x (t 1)e= − −2t với x(0) 2;x (0) 0= ′ =

5. x′′+2x′=6t2 với x(0) 0;x (0)= ′ = −3 / 2

6. x′′−7x′= −(14t 15)+ với x(0) 1;x (0) 2= ′ =

2

x′′ 2x′ 3x 3 7t 3t với x(0) 1 x (0)

8. x′′+3x′+2x 2t= 2 + với1 x(0) 4;x (0)= ′ = − 3

9. y′′+(1 t)y+ ′+ty 0= với y(0) 1; y (0)= ′ = − 1

10.

t

0

y (t) y(t) sin t′′ + = +∫sin(t u)y(u)du− với y(0) 0; y (0)= ′ = − 1 6.4 Ứng dụng phép biến đổi Laplace,tính

1.

0

dt t

+∞ − − −

∫

o

(t 2)e cos tdt

+∞

−

+

∫

3.

t

0

e sin 3t

t

+∞ −

= ∫

4.

0

cos6t cos 4t

t

+∞

−

= ∫

5

6.

t t

0 0

e sin u

u

+∞ −

gợi ý:đổi thứ tự lấy tích phân

t

−

VII,Phép biến đổi Fourier:

7.1.Tìm biến đổi Fourier của các dãy số và hàm số sau:

1.

n

khi n 0

−

   

   

=    



<



2.

n

n

3

khi n 2

  

≥ −

  

=   



< −



n n

3

  

≥ −

  

=   



< −



4.

n n n

khi n 0

 

 

=  



<



5.

x



= 

<



6.

n

n

1

  

≥

  

=   



<



7.

n n

n

khi n 0



<



8.

[ ]

1 2t 1 khi 0 t 1

f (t)

0 khi t 0,1



=

∉



2 t khi 1 t 2

x t

− ≤ <







= 

− − − ≤ < −





x t

t 1 khi 0,5 t 1





<



= 





11 Tìm hàm f (t) chẵn thỏa mãn

0

f (u)cos udu

+∞

− α ≤ α <



α >



12 Từ biến đổi Fourier của với x 0≥ Tính 2

0

x sin mx

+∞

+

∫

13 Tìm hàm f (t) lẻ thỏa mãn đẳng thức sau

0

1 khi 0 t 1

f (u)sin(ut)du 2 khi 1 t 2

0 khi t 2





∫

14 Tìm biến đổi Fourier theo cosin và sin của

f (x) 1 khi 0 x 1

0 khi x 1

≤ <



= 

≥

