sáng kiến kinh nghiệm giải bài tập toán

Nhiều em học sinh đã rấtkhổ tâm khi không giải đợc những bài toán mà thầy cô cho về nhà, nhất lànhững bài toán trong các kì thi, kiểm tra vì thời gian có hạn.Tự kiểm điểmthấy những em đó

Sáng kiến kinh nghiệm dạy học

“Giải bài tập toán”

A Đặt vấn đề

Q

ua quá trình học toán, rồi dạy toán tôi đã cảm nhận ở học sinh và học sinhcủa mình nhiều khi rất vất vả trong việc giải toán Nhiều em học sinh đã rấtkhổ tâm khi không giải đợc những bài toán mà thầy cô cho về nhà, nhất lànhững bài toán trong các kì thi, kiểm tra vì thời gian có hạn.Tự kiểm điểmthấy những em đó đã cố gắng học toán và nắm chắc kiến thức và cũng đã

“xoay” đủ mọi cách nhng cuối cùng vẫ bế tắc không tìm ra lời giải Khi đợcxem lời giải của sách giáo khoa hoặc thầy cô giáo thì các em cảm thấy rấttiếc vì bài toán không phải là khó.Về nguyên tắc thì các kiến thức cần vậndụng đều là kiến thức cơ bản đôi khi bài toán rất đơn giản ngoài sức tởng t-ợng của các em Nguyên nhân của sự bế tắc đó là ngời giải toán cha có kinhnghiệm phân tích suy nghĩ tìm lời giải bài toán Nh vậy thuộc lý thuyết hoàntoàn cha đủ mà phải vận dụng các kiến thức đó nh thế nào để có hiệu quả.Vìvậy ngời “ giải toán” cần nắm đợc phơng pháp chung tìm lời giải bài toán.Biết vận dụng linh hoạt phơng pháp đó Rồi mỗi bài toán lại có cách giảiriêng muôn hình muôn vẻ Thời gian học thì hạn chế nên ngời học toán cầnphải biết rèn luyện phơng pháp suy nghĩ đúng đắn và biết đúc rút ra kinhnghiệm Sau đây tôi xin nêu một vài kinh nghiệm dạy học: “ Giải bài tập toán ”.

Thật ra kinh nghiệm giải toán vô cùng phong phú song trong phạm vi nhỏhẹp tôi chỉ xin nêu ra một số khía cạnh:

 Cách học, ghi nhớ, vận dụng kiến thức cơ bản

 Có phơng pháp tìm lời giải bài toán

 Rèn luyện óc phân tích bài toán

 Biết nắm đặc thù bài toán

Những vấn đề này nêu ra thật hiển nhiên, song vận dụng vào từng bàithì không phải là dễ

Tôi có dùng ví dụ minh hoạ và thực nghiệm giảng dạy Chắc rằngkhông tránh khỏi khiếm khuyết rất mong đợc sự góp ý của đồng nghiệp.

Tôi xin chân thành cảm ơn !

A Nội dung cụ thể

I , Cách học, ghi nhớ, vận dụng kiến cơ bản nh thế nào Theo tôi vấn đề này cũng rất quan trọng làm bớc đệm làm nền cho việc

giải toán Bởi vì nếu “ ngời học toán” không nắm đợc lý thuyết cơ bản,

không biết vận dụng kiến thức đó nh thế nào thì “ngời thầy”có thể “oay” các

phơng pháp khác nhau mà “ rò”vẫn không hiểu bài Do đó yêu cầu rất cần

thiết đối với “ngời học toán”là “ nắm chắc kiến thức cơ bản” Vấn đề đặt ra

là “ dạy” và “ học” nh thế nào? Theo tôi:

1, * Khi dạy định nghĩa, khái niệm, định lý … áp dụng tốt ph ơng pháp

bộ môn Chẳng hạn khi dạy khái niệm toán học thì l u ý các b ới hình thành khái niệm:

B ớc 1: Hình thành biểu tợng về khái niệm

B ớc 2: Khám phá dấu hiệu bản chất của khái niệm

B ớc 3: Khái quát hoá: Phát biểu định nghĩa, khái niệm

B ớc 1: Hình thành biểu tợng < khái niệm phải chứng minh >

B ớc 2: Khái niệm đợc chứng minh đợc giới thiệu rõ ràng có hệ thống dớidạng giả thiết, kết luận

B ớc 3: Dùng phân tích đi lên để tìm đờng lối chứng minh

B ớc 4: Sử dụng các phơng pháp chứng minh và quy tắc suy luận để chứngminh

* Khi dạy học giải bài tập toán (4 b ớc)

B ớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

B ớc 2: Xây dựng chơng trình giải toán

B ớc 3: Thực hiện chơng trình

B ớc 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải gồm:

Nếu nh giáo viên áp dụng tốt các phơng pháp này một cách sáng tạo vàphù hợp với từng đối tợng học sinh thì sẽ thu đợc hiệu quả cao.

2, Để khắc sâu định nghĩa khái niệm, định lý, ta cần l u ý:

- Đơn giản hoá khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh hiểubản chất

- Hớng dẫn học sinh cách nhớ qua từng khái niệm, từng bài ( nhớdạng tổng quát phát biểu thành lời )

- Dùng minh hoạ hình ảnh, liên hệ thực tế sinh động

Tôi xin nêu một vài ví dụ dạy Đại số lớp 8 phần hằng đẳng thức I

B

ớc 1: Giáo viên (GV) khẳng định cho học sinh (HS) sự tồn tại của hằng

đẳng thức (HĐT)

HS ghi nhớ dạng tổng quát: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

Từ dạng tổng quát đó cho học sinh phát biểu thành lời: “ Bình ph ơng của biểu thức thứ nhất cộng hai lần tích của biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ

? Đâu là biểu thức 1 (A); đâu là biểu thức 2 (B)

B

ớc 2: Cho HS làm bài tập để phát triển t duy theo chiều thuận

Bài 1: Điền đúng (Đ) sai (S)

1, ( a+b+1)2 = ? a2 + b2 +2ab + 2a + 2b tại sao?

2, ( a + b+ c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab + 2bc + 2acB

ớc 3: Giúp HS hoàn thiện t duy theo chiều ngợc lại

Bài 1: Viết tiếp các hằng đẳng thức (hoàn thiện)

4 1

Rồi các bài tập vận dụng khác: gpt, chứng minh ….

Đối với môn hình khi dạy mỗi định nghĩa, khái niệm ngoài việc cho HS

nắm vững dấu hiệu bản chất cách vẽ hình ta cần khai thác mở rộng gắn các

khác niệm đó với các bài tập liên quan, cung cấp cho HS phơng pháp làm các

dạng bài tập đó lấy ví dụ bài tập cụ thể minh hoạ cho phơng pháp ( có thể bài

tập sách giáo khoa, sách bài tập, ôn tập kiểm tra …)

VDụ 1: Khi dạy bài: … Đờng tròn … ngoài việc cho HS nắm vững định nghĩa

đờng tròn, các cách xác định đờng tròn….ta gắn luôn bài tập thứ nhất

Dạng 1: Phơng pháp chứng minh điểm thuộc đờng tròn ? Có những phơng

pháp nào? ( HS sẽ nêu 3 phơng pháp GV bổ xung )

khoảng không đổi ( Dựa vào định nghĩa đờng tròn )

Phơng pháp 2: Điểm cách tâm của đờng tròn 1 khoảng đúng bằng bán kính

( d = R)

Phơng pháp 3: Điểm nhìn 1 đoạn thẳng dới một góc vuông ( quỹ tích )

Phơng pháp 4: Tứ giác chứa 4 điểm nội tiếp đờng tròn ( chơng 2 ) mới áp

dụng

Phần minh hoạ bài tập Bài tập SGK:

Ngoài ra có thể bổ xung 1 số bài tập khác nh sau:

Kl 4 điểm B, I, K, C ε 1 đtròn

- C/m nh thế nào?

∆ MBI cân tại M ?

∆ CMR cân tại M ?

Việc chứng minh là dễ dàng

Câu a:? Xác định dạng toán:

? Chọn phơng pháp chứng minh: Tại sao chọn phơng pháp

đó (giả thiết cho đờng cao góc vuông )

Hay khi dạy bài … tiếp tuyến của đờng tròn… ngoài việc giúp

HS nắm vững định gnhĩa, tính chất tiếp tuyến ta gắn dạng bài tập:

Dạng 2: “ Chứng minh một đờng thẳng a là tiếp tuyến của một đờng

tròn (O;R) ”

Gọi HS nêu các phơng pháp chứng minh: GV phân tích phơng

pháp này cơ sở từ định nghĩa, từ tính chất, hay từ vị trí tơng đối

Phơng pháp 1: Đờng thẳng a và đờng tròn (O;R) có một điểm chung

nhất

2

BC

2 1

∆ ABC nhọn BE AC; CF AB

BE CF tại HGt

Kl 1, AH BC

2, 4 điểm B, F, E, C ε đtròn

Các phơng pháp này GV thờng xuyên kiểm tra Sau đó nên có

các bài tập củng cố minh hoạ cho các dạng GV phân tích tìm đờng

lối, giải mẫu, HS áp dụng GV lại sửa sai.

(OH MN) Rồi ta c/m (OH = OA)

tức là c/m: d = R

GV nhấn mạnh: Các em cần biết lựa chọn phơng pháp c/m phù

hợp cho mỗi bài toán ( tuỳ theo giả thiết của bài )

ở đây tôi chỉ muốn nhấn mạnh việc áp dụng lý thuyết vào giải

toán nh thế nào chứ không trình bày cách giải Với phơng châm dạy

[AB] ; OA = OB

Ax, By AB; M Ax; N BySao cho MON = 900; IM = INGt

Kl

a, AB là tiếp tuyến của (I;IO)

b, MO là tia p/giác của AMN

c, MN là t2 của đtròn đkính AB

d, M,N thay đổi tích AM.BN k0

đổi

nh vậy các định nghĩa, khái niệm, định lí gắn với các dạng toán, vàtrong mỗi dạng lại củng cố đến các định nghĩa, định lí liên quan.Nếu rèn HS liên tục trong các giờ học, các em học tập sẽ tiến bộhơn Nhất là môn hình học mà đa số HS thờng sợ học hơn, kĩ năngkém hơn.

II Có ph ơng pháp tìm lời giải

Theo tôi đây là một khâu quan trọng của việc giải toán nh tôitrình bày ở phần I Khâu này có 4 bớc:

B

ớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

HS cần phải đặt ra câu hỏi : “Bài toán cho cái gì ? ” , “Cần cái

Nếu HS cứ đọc đề bài một cách tràn lan, không có điểm nhấn về các

đơn vị kiến thức thì dễ dẫn việc lựa chọn lời giải sai

Qua thực tế giảng dạy, dự giờ tôi đã gặp rất nhiều trờng hợp xinlấy một số ví dụ nh sau: Khi dạy đại số lớp 9 phần … giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình … là bài toán rất khó

với HS đặc biệt HS trung bình, yếu GV cần hớng dẫn cho các emcách tìm hiểu, tóm tắt bài toán nhằm nêu bật các biểu thức toán học

mà trên cơ sở đó HS có thể lập đợc phơng trình, hệ phơng trình

Ví dụ 1: Bài 2 (Tr 68) Đại số 9

Đề bài: “Hai số hơn kém nhau là 12 đv, nếu chia số nhỏ cho 7, chia

Ví dụ 2: Tiết 35 - Đại số 9 …giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình…

Đề bài: “Hai ô tô khởi hành từ 2 đỉnh A và B cách nhau 150 km, đi ngợc chiều và gặp nhau sau 2 giờ Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết

rằng nếu vận tốc của mỗi ô tôA tăng thêm 15 km sẽ bằng 2 lần vận

GV cho HS đọc kĩ, tìm hiểu bài toán, phân tích bài toán

? Bài toán cho gì

- SAB = 150 km SAC + SBC = 150 km

- tA = tB = 2 giờ 150 gặp

GV: Biết vận tốc của ô tô (A) là x, thời gian của ô tô A đi là 2 giờ ?

? Quãng đờng ô tô đi là 2x (km)

? Tơng tự quãng đờng ô tô B đi là 2y (km)

Đối với môn … Hình học … việc phân tích đề bài (đọc, vẽ, ghi

giả thiết, kết luận) ta cũng không thể coi nhẹ, không nên bỏ bớc đó.Bởi vì tôi đã gặp rất nhiều trờng hợp: HS khi giải bài hình câu a, b

dễ làm nhanh song đến câu c là bế tắc khi cô giáo hỏi: … Bài toán còn cho gì nữa? … Cho cái này thì suy ra cái gì khi đó các em mới

đi tìm phát hiện ra Nêú bớc phân tích đề tốt giúp cho các em có

định hớng vẽ hình và chọn phơng pháp giải

Ví dụ 2: Bài 12 T4 – H2 8

Đề bài: “ Cho hình vuông ABCD Trên các tia AB, BC, CD, DA lấy

GV: Cho HS đọc đề bài và có định hớng cho HS

? Nêu cách vẽ hình vuông ( GV vẽ )

? Lấy các điểm A’, B’, C’, D’ nh thế nào ( có 2 cách )

- Điểm thuộc cạnh hình vuông

- Điểm nằm ngoài cạnh hình vuông (thuộc phần kéo dài)

Bài toán cho các đoạn bằng nhau ta nghĩ đến điều gì? (c/mcác tam giác bằng nhau suy ra các đoạn thẳng = nhau, góc =nhau )

Nêu p2 c/m tứ giác là hình vuông ? Chọn phơng pháp nào?

- Hình thoi có một góc vuông Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau

Có 1 góc vuôngKhi trình bày c/m chỉ xét 1 hình vẽ a ( ở hình vẽ b tơng tự )

Ví dụ 4: Bài 2 – TR 19 – Hình học 9

H/S đọc, nêu cách vẽ hình (hoặc gọi HS vẽ)? Ghi gt, klCâu 1: ? Xác định dạng toán: C/m 2 đờng thẳng song song ? Nêu các phơng pháp chứng minh 2 đờng thẳng songsong

? Em chọn phơng pháp nào? Tại sao? Định lí Talét đảo(Nếu HS yếu GV phân tích kĩ từng phơng pháp không sử dụng đ-

Nửa (O; ) Ax AB tại A

By AB tại B

M ε ; OM CD tại M; BC x AD tại N

Gt

Kl 1, MN AC2, CD.MN = CM.DB

ợc: cặp góc so le trong = nhau, đvị, 2đt cùng song song, cùngvuông góc với đờng thẳng thứ 3)

? áp dụng phơng pháp đó để chứng minh MN AC ta cầnc/m gì?

Lập sơ đồ phân tíchCâu 2: ? Xác định toán: c/minh đẳng thức tính ? Phơng pháp chung: c/m 2∆ ∼ ; 2 tỉ số = nhau ( tỉ lệthức )

Tóm lại : Một bài toán có thể có nhiều hớng suy nghĩ khác nhau.

Song việc xác định đúng phơng pháp giúp HS có lời giải hay,ngắn gọn đúng yêu cầu và tốn ít công sức

B

ớc 2: Xây dựng chơng trình giải

Sau khi tìm hiểu kĩ bài toán cần phải biết huy động kiếnthức cần thiết phục vụ cho việc giải toán Ta có thể dùng …phơng pháp suy diễn… hoặc …phơng pháp phân tích đi lên… để xây

dựng chơng trình lựa chọn phơng pháp phù hợp cho từng bài

Ví dụ 3: Bài 13 Tr 37 – Hình học 8 (vừa nêu bớc 1) Khi HS xác định phơng pháp hình thoi có một góc vuông

GV cùng HS lập sơ đồ phân tích đi lên với hệ thống câu hỏi?Muốn chứng minh A’B’C’D’ là hình vuông ta cần chứng minhgì?

? C/m A’B’C’D’ là hình thoi ta cần chứng minh gì

? Sơ đồ nh sau (ghi từ dới lên)Xét ∆A’BB’; ∆B’CC’; ∆C’DD’; ∆D’AA’

CóAA’ = BB’ = CC’ = DD’ (gt) Theo chứng minh trên

B = C = D = A = 1v (gt)A’B = B’C = C’D = D’A ∆ C’DD’ = ∆ D’AA’

∆A’BB’ = ∆ B’CC’ = ∆ C’DD’ = ∆ D’AA’ D’3 = A’1; A’1 + D’1 = 1v

A’B’ = B’C’ = C’D’ = D’A’ D’1 + D3 = 1v

A’B’C’D’ là hình thoi A’D’C’ = 1v (D’2= 1 v)

B ớc 3: Thực hiện chơng trình giải (Trình bày lời giải)

Từ chơng trình vừa xây dựng GV phải hớng dẫn cho các emcách trình bày lời giải Trình bày vấn đề nào trớc, sau, dẫn dắt

nh thế nào, lập luận ra sao Giáo viên làm mẫu một số ý, bài vớilời giải chuẩn mực ngắn gọn đủ ý, lập luận chặt chẽ, chính xác Nếu là bài hình sơ đồ đánh số thứ tự từ trên xuống dới gọi

HS tự trình bày GV bổ xung, sửa chữa, rèn lập luận chứng minh,hoặc gọi HS lên bảng trình bày, cô giáo tổ chức sửa sai ( gọi HSnhận xét sửa bài cho bạn, cho bài tơng tự để HS luyện củng cố kĩnăng, kiểm tra ngắn, kiểm tra giấy nháp )

Có nhiều em HS tìm ra lời giải rất nhanh Nhng kĩ năng trìnhbày hạn chế do vậy thi cử, kiểm tra điểm sẽ không cao Còn có

HS trung bình, yếu thì khâu này càng khó chẳng biết bắt đầu từ

đâu Do vậy tôi rất chú ý đến việc trình bày lời giải Cần dạy chocác em từng kĩ năng nhỏ nhặt nhất vẽ hình vào vị trí nào ? To haynhỏ ( tuỳ theo bài toán ) Ví dụ nếu bài toán cho đtròn nội tiếptam giác mà vẽ đờng tròn quá to thì tam giác ngoại tiếp khó vẽ

ND =

NA

ND MC

phù hợp sẽ mất cân đối, nên vẽ hình bằng bút chì (ban đầu ) nếucần điều chỉnh dễ làm Rồi những từ ngữ dẫn dắt trong hình học.Nối hình vẽ, kẻ thêm đờng, …

Vì vậy, do đó, mặt khác dùng nh thế nào cho hợp lí Tôi ờng hay nhắc nhở HS rằng: “Các em trình bày bài cho một ng ời khác đọc (nghe) nên nói (viết) nh thế nào cho hấp dẫn nhất, nhìn vào bài của mình ngời chấm đã có cảm tình rồi”

Đối với môn đại số dạng …giải bài toán bằng cách lập

ph-ơng trình, hệ phph-ơng trình… Ta có thể hớng dẫn các em:

- Nếu chọn cách gọi trực tiếp: Bài toán hỏi gì em gọi cái gì đó là

ẩn ( thêm đơn vị, điều kiện ) bắt đầu là từ …gọi… …… … x

(đv)? (đk ) ?

- Nếu chọn ẩn gián tiếp: Lựa chọn ẩn nào và làm nh thế nào ?

Các em chú ý đến các từ ngữ, mối liên quan Ví dụ2

Thay từ …Gọi… ở phần đầu bằng từ …Vậy…

Thay các chữ x, y bởi các giá trị vừa tìm đợc ta có câu trả lời

B

ớc 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải gồm các công việc sau:

2, Khai thác các cách giải

3, Đặc biệt hoá nội dung bài toán

Ví dụ 4: “Cho tứ giác ABCDcó M, N là trung điểmcủa các cạnh AB, CD Chứng minh rằng MN ≤ ”

? Phân tích tìm lời giải

? Kiểm tra các bớc giải

? Từ điều cần chứng minh biến đổi một chút ta đợc gì: MN ≤

? Chứng minh MN ≤ tổng của 2 đoạn thẳng ta nghĩ đến cáchchứng minh nào ?

- So sánh1 cạnh của tam giác với 2 cạnh kia

BC

AD+

? ∆ đó nh thế nào: Tạo ra 1 ∆ có 1 cạnh là MN

và 2 cạnh kia bằng một nửa canh AD, BC

? Cạnh có độ dài bằng nửa AD, BC

là đờng nào (đờng trung bình của ∆ ACD, ABC)

? Hãy tạo ra đờng trung bình của ∆ Lấy I là trung

điểm của AC nối MI, NI

? Trình bày lời giải nh thế nào (GV hớng dẫn) HS tự trình bày Khi HS trình bày xong cách giải, GV khích lệ các em tìm cách khaithác bài toán này để tạo ra bài toán mới

Nối DE ta có ∆BNC = ∆ END (c.g.c) Suy ra: BC = DE (1)

Xét ∆ADE có AE ≤ AD + DE (2)

Mà AE = 2MN (3) (t/c đờng trung bình)

Từ (1), (2), (3) suy ra MN ≤ AD + BC MN ≤ Hoặc trong quá trình GV có thể thay đổi đề bài bằng cácmệnh đề tơng đơng mà cách giải không thay đổi Ví dụ ở Đại số

loại bài tập …Tìm tập xác định… có thể thay là … Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa ….

Hoặc dạng …giải phơng trình… có thể thay là … tìm x ….

2

BC

AD+

Ví dụ 2: Bài 7 – Tr 36 – Hình học lớp 8

? Khai thác cách c/ minh - hbh + 1 đ/c là p/giác 1 góc (c1)

1 tứ giác là hình thoi - hbh + 2 cạnh kề = nhau (c2)

- hbh có 2 đ/c vuông góc (c3)

- tứ giác có 4 cạnh = nhau (c4)

? So sánh cách nào ngắn nhất,, hay nhất ()c1

? Khai thác thêm bài toán: c/ minh

1, ED BC

2, ED AM

3, Tứ giác ADME có là hình vuông không?

4, Nếu có cần thêm điều kiện gì? Hoặc ∆ABC cần có điều kiện

để tứ giác ADME là hình vuông? Ta thay đổi điều kiện bài toán

nh thế nào?

- Cho ∆ABC vuông cân tại A

Ví dụ 3: Khi dạy toán phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8 (HS

đã quen) Sang lớp 9 ta có thể liên hệ dẫn dắt chuyển dạng bài tập

để HS vận dụng nhanh, dễ hiểu

với x ] 0Hoặc

Trong một số bài toán sử dụng phơng pháp đặc biệt hoá là vô cùng quan

1(

++

xy

2

)1(

2(

6

5y x y2 x y x y