DẠNG 46 TÌM cực TRỊ HÀM hợp

 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.. Giá trị cực đại giá trị cực tiểu còn gọi là cực đại cực tiểu và được gọi chung là cực trị của hàm số... Các nghiệm này khá

K  x  h x h và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{ }x , với 0 h  0

 Nếu f x  trên khoảng '  0 (x0 h x; )0 và '( ) 0f x  trên ( ;x x0 0h) thì x là một điểm0

 Nếu hàm sốyf x( ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x thì 0 x được gọi là điểm cực đại0

(điểm cực tiểu) của hàm số; f x được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)( )0

của hàm số, kí hiệu là f CÑ(f CT), còn điểm M x f x( ; ( ))0 0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá

trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

DẠNG TOÁN 46: TÌM CỰ TRỊ HÀM HỢP

BÀI TẬP MẪU (ĐỀ THAM KHẢO TN 2021) Cho hàm số f x 

là hàm số bậc bốn thoả mãn f  0 0 Hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g x   f x 3  3x

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn A

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 3

Câu 1 Cho f x  là hàm số bậc bốn thỏa mãn f  0 0 Hàm số f x'  có bảng biến

thiên như sau:

Hàm số g x  f x 3 6x

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn D

mà 2

20

x





nên phương trình  *không có nghiệm và h x '  0

Với x 0, f x' là hàm sô nghịch biến, còn 2

2

x



là hàm số đồng biến nên phương trình  * có nhiều nhất 1 nghiệm Ta có h' 0   và h   ' nên phương trình  * có nghiệm duy nhất x c 0

Từ đó ta có BBT của h x 

Do ta có h 0 f(0) 6.0 0  nên h c   0

Từ đó suy ra hàm số g x  h x 

có 3 cực trị

Câu 2 Cho f x  là hàm số bậc bốn thỏa mãn f  0 0 Hàm số f x'  có bảng biến

thiên như sau:

Tìm m nguyên để hàm số g x   f x 3 3m x m2  1

có nhiều điểm cực trịnhất có thể Thì giá trị m nhỏ nhất thỏa mãn thuộc khoảng nào dưới đây?

A. 2;0 B. 1;1 C.

31;

 

Lời giải Chọn D

6

ta tìm được

11,

3

a C

, từ đó  

1' 0 03

Với x 0, f x '  0 nên kéo theo f x ' 3 0

mà

2 2

20

m x





nên phương trình  *không có nghiệm và h x '  0

Với x 0, f x' là hàm số nghịch biến, còn

2 2

2lim '

A.

f x , bảng biến thiên của hàm '( ) f x như sau:

Số điểm cực trị của hàm số f(4x24 )x là

Lời giải Chọn A

Ta có

2

8 4 0(4 4 ) ' (8 4) '(4 4 ) ' 0

2 2

3 2

4

12

Do đó (1) vô nghiệm, các phương trình (2), (3), (4) mỗi phương trình cho

hai nghiệm Các nghiệm này khác nhau và khác

12



Tóm lại ' 0y  có

7 nghiệm phân biệt Nên hàm số có 7 cực trị

Câu 4 Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y=f x( ).

Nhận xét:

- Hàm sốyf x( )  có số điểm cực trị bằng số cực trị của hàm yf x( )

và số giao điểm của đồ thị hàm yf x( ) với đường thẳng y ( không

tính giao điểm là các điểm cực trị)

- Số điểm cực trị của hàm yf x( ) bằng số điểm cực trị của hàm

Từ đồ thị ta suy ra:

2021 2

x x

Câu 6 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x' 4x32x và f  0 1 Số điểm cực tiểu

của hàm sốg x  f3x2 2x 3

là

Lời giải Chọn C

Câu 7 Cho hàm số yf x  liên tục trên  và đồ thị hàm số yf x  cho bởi hình

vẽ bên Đặt    

22

Ta có: g x  f x  x

Từ đồ thị hàm số yf x  và đồ thị hàm số y x ta thấy:

f x  x với    x  ;1  2; và  f x  x với 0  x 1;2

Ta có bảng biến thiên của g x 

Vậy đồ thị hàm số y g x   có hai điểm cực trị

Câu 8 Cho hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ Hỏi hàm

số yf f x    có bao nhiêu điểm cực trị ?

A 6. B 7. C 8. D. 9.

Lời giải Chọn D

0

f f x y

điểm phân biệt lần lượt tính từ trái qua phải có hoành độ là x và 1 x ; 6 x2

Đồ thị của hàm số y f x  2 có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu B 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu

C 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu D. 1 cực đại, 1 cực tiểu

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đạt tại x 1, đạt cực tiểu tại

Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm sốy f x  2:

Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

Câu 10 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x'  x2  x x  2 4x3 ,   x

00

Do  2 có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn; các phương trình    1 , 3

không có nghiệm chung và m 3 m.

Hàm số g x  có 3 điểm cực trị  g x'  0 có ba nghiệm bội lẻ

Câu 1. Cho hàm số f x  và có yf x  là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường

cong trong hình bên Số điểm cực đại của hàm số    3

là

Lời giải Chọn C

Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm t1  a 0 và t2  b 0.

Câu 2. Cho hàm số yf x  có đồ thị hàm số yf x như hình vẽ dưới đây

Hàm số g x   x  x21

có bao nhiêu điểm cực đại

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị của yf x  , suy ra bảng biến thiên của yf x  như sau

Đặt ux  x21

Ta có bảng ghép trục sau:

g x f x  x f x  x

Số điểm cực trị của hàm số f x 

bằng hailần số điểm cực trị dương của hàm số f x cộng thêm 1. 

Hàm số g x( )= f x( )3 - x3- x

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn A

Do f x là hàm bậc bốn và từ đồ thị của   f x 

, ta có: f x 

bậc ba có 2điểm cực trị là 1;1 nên f x a x 21

Bảng biến thiên của f x 

Dựa vào bảng biến thiên ta có

3 1

03

x x

2 2

3 13

x y x





nghịch biến nên phương trình  1 có không quá 1

nghiệm Mặt khác, hàm số  3 2

2

3 13

3 1lim

Bảng biến thiên của h x : 

Từ đó ta có h x( )0 <0 nên phương trình h x( )=0 có hai nghiệm thực phânbiệt

Ta vẽ đồ thị hai hàm số yf t'  và y t 1 trên cùng một hệ trục tọa độ

Câu 6. Cho hàm số yf x  là hàm số bậc bốn thỏa mãn f  0  Hàm số 0 yf x' 

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g x  f x 2  x2

có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số tf x'  ta có phương trình f x '  1

códuy nhất một nghiệm và nghiệm đó dương Gọi x là nghiệm của phương 0

Lập bảng biến thiên của h x  ta có

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số g x  h x  có 5 điểm cực trị

Câu 7. Cho f x là hàm số bậc bốn thỏa mãn   f  0  ln 21 Hàm số f x 

có bảngbiến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, ta tìm được  

Từ đồ thị ta thấy phương trình f t  u t    , với t t0 t   0 1

Từ đó, phương trình (*)  x2  t0 x t0

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g x  h x  có 5 điểm cực trị

Câu 8. Cho hàm số yf x( ) có đồ thị f x( ) như hình vẽ sau

Biết f  0 0 Hỏi hàm số   1  3

23

g x  f x  x

có bao nhiêu điểm cực trị

Lời giải Chọn B

Lúc này ta có hình vẽ 2 đồ thị như sau

Suy ra pt  2 có 1 nghiệm t t 0   0 pt  1 có nghiệm x3t0 x0 0

Bảng biến thiên của h x g x ,  h x  như sau

Để hàm số yg x  có đúng 1 điểm cực trị

 khi hàm số yf x  không có điểm cực trị nào thuộc khoảng 0;

Trường hợp 1: Phương trình  1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Từ (*) và (**) suy ra m  5 Vì mlà số nguyên âm nên: m   2; 1 

Câu 10. Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x   x1 2 x3 x22mx5

 khi hàm số yf x  không có điểm cực trị nào thuộc khoảng 0;

Trường hợp 1: Phương trình  1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

Từ (*) và (**) suy ra m  5 Vì mlà số nguyên âm nên: m   2; 1 

Câu 11 Cho hàm số bậc bốn yf x , có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g x f x 33x2

là

Lời giải Chọn B

Đặt tx33x2, ta có t 3x26x

00

Phương trình 3x26x0 có 2 nghiệm phân biệt là 0 và 2

Từ đồ thị của hàm số yf x  mà đề đã cho

Phương trình  3

có 1 nghiệm

Các nghiệm này đều khác 0 và 2

Vậy g x   có 7 nghiệm đơn phân biệt, tương ứng với 7 điểm cực trị 0 g x 

Câu 12 Cho hàm số bậc bốn yf x , có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g x f x 3 3x2

là

Lời giải Chọn C

Đặt tx3 3x2, ta có t 3x2 6x

00

2

x t

Phương trình 3x2 6x0 có 2 nghiệm phân biệt là 0 và 2

Từ đồ thị của hàm số yf x  mà đề đã cho,

Dựa vào bảng biến thiên của t x 

vẽ ở trên ta xác định được:

Phương trình  1 có 2 nghiệm là 0 và 3 Trong đó 0 là nghiệm kép

Phương trình  2 có 3 nghiệm phân biệt

Phương trình  3

có 1 nghiệm

Các nghiệm này đều khác nhau

Vậy g x   có 6 nghiệm đơn phân biệt và 1 nghiệm bội ba là 0, tương ứng 0với 7 điểm cực trị g x 

Câu 13 Cho hàm số bậc bốn yf x , có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số g x 8f x 3 3x3  2x612x416x318x2 48x1

là

Lời giải Chọn A

Đặt tx3 3x3 Phương trình  1 trở thành:

 

11

12

5

t t

Như vậy g x   có 3 nghiệm đơn phân biệt và 2 nghiệm bội ba.0

Câu 14 Cho hai hàm số bậc bốn yf x  và y g x   có các đồ thị như hình dưới

đây (hai đồ thị chỉ có đúng 3 điểm chung)

Số điểm cực trị của hàm số h x f2 x g x2  2f x g x    là

Lời giải Chọn A

x x x   ; x  , và 3 f x  g x  đổi dấu khi đi qua các nghiệm này Do

đó các nghiệm trên là nghiệm bội lẻ của  1 Mà f x và   g x đều là đa 

thức bậc 4 nên bậc của phương trình  1 nhỏ hơn hoặc bằng 4 Từ đó suy

ra phương trình  1 là phương trình bậc 3

Do phương trình  1 là phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt nênphương trình  2 phải có 2 nghiệm phân biệt không trùng các nghiệm củaphương trình  1

Suy ra h x   có 5 nghiệm phân biệt và 0 h x 

đổi dấu khi đi qua cácnghiệm đấy, nên hàm h x có 5 điểm cực trị. 

Câu 15 Cho hai hàm số yf x  liên tục trên  Biết rằng đồ thị của hàm số

 

'

yf x được cho bởi hình vẽ bên Vậy khi đó hàm số    

22

x

g x f x 

cóbao nhiêu điểm cực đại?

A 3 B 2 C 0 D 1.

Lời giải Chọn D

Nhận thấy hàm g x  cũng liên tục trên  và có đạo hàm g x  f x  x

Từ đồ thị đã cho vẽ đường thẳng y x (như hình vẽ bên), suy ra:

Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số g x  có 1 điểm cực đại

Câu 16 Cho hai hàm số yf x  liên tục trên  Biết rằng đồ thị của hàm số

A 3 B 2 C 1 D 4

Lời giải Chọn C

Ta có: g x  3f x 3x215

g x   f x  x    f x   x

Đồ thị hàm số f x 

cắt đường y 5 x2 tại 2 điểm A0;5 và B2;1 Trong

đó x  là nghiệm kép và 0 x  là nghiệm đơn của phương trình 2 f x   5 x2.Vậy hàm số có 1 điểm cực trị

Câu 17 Cho hai hàm số yf x  liên tục trên  Biết rằng đồ thị của hàm số

 

'

yf x được cho bởi hình vẽ bên Vậy khi đó hàm số g x f x 2 3

có sốđiểm cực trị là

Lời giải Chọn B

3 1

x x

x x x

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số g x  có 3 điểm cực trị

Câu 18 Cho hai hàm số yf x  liên tục trên  Bảng biến thiên của hàm số

1

11

11

11

x

x x x

x x x

x

x x x

11

Dựa vào bảng biến thiên này, ta thấy các phương trình        1 ; 2 ; 3 ; 4

đều cóhai nghiệm phân biệt Vậy hàm g x  có 8 điểm cực trị

Câu 19 Cho hai hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ Đồ thị

hàm số y f x  có số điểm cực trị là

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị vẽ được, ta thấy hàm số y f x  có 5 điểm cực trị

Câu 20 Cho hai hàm số yf x  liên tục trên  có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số yf x 

có số điểm cực trị là

Lời giải Chọn A

Ta có:

   

 

00

Suy ra đồ thị hàm số yf x 

có 3 điểm cực trị