CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ

Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Dựa vào các định lý trên để tìm cực trị của hàm số y = fx Qui tắc I.. Tìm cực trị của các hàm số sau:.. Tỡm điều kiện để hàm số cú cực trị.. Tỡm a để

Trang 1

BÀI TẬP:

Dạng 1 Tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Dựa vào các định lý trên để tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Qui tắc I

B1: Tìm tập xác định

B2: Tính f’(x) Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc

f’(x) không xác định

B3 Lập bảng biến thiên

B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị

Qui tắc II

B1: Tìm tập xác định

B2: Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu

là xi là các nghiệm của nó

B3: Tính f ”(xi) B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị ( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi)

* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm số 3 2

2 3 36 10

y x  x  x Qui tắc I

TXĐ: R

2

' 6 6 36

' 0 6 6 36 0

2

3

x





  



+

71

+ + 0 - 0

2

-

y

y'

x

Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71

x= 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54

Qui tắc II TXĐ: R

2 2

' 6 6 36 ' 0 6 6 36 0

2

3

x x





  

 y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và

yct = - 54 y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và

ycđ =71

Bài1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

y = 10 + 15x + 6x b y = x 8 432

y = x 3 24 7 d y = x - 5x + 4

e y = -5x + 3x - 4x + 5

3

f y = - x - 5x Bài 2 Tìm cực trị của các hàm số sau:

2

y = b y = c y =

y = x - 3 + e y = f y =

x a

x d

x

 

 

Bài 3 Tìm cực trị các hàm số

2

3

y = x 4 - x b y = c y =

y = e y = f y = x 3 - x

a

d

x



 Bài 4 Tìm cực trị các hàm số:

y = x - sin2x + 2 b y = 3 - 2cosx - cos2x c y = sinx + cosx

1

d y = sin2x e y = cosx + os2x f

2

a

c y = 2sinx + cos2x víi x [0; ] 

Trang 2

Dạng 2 Xỏc lập hàm số khi biết cực trị

Để tỡm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a

B1: Tớnh y’ = f’(x) B2: Giải phương trỡnh f’(a) = 0 tỡm được m B3: Thử lại giỏ trị a cú thoả món điều kiện đó nờu khụng ( vỡ hàm số đạt cực trị tại a thỡ f’(a) = 0 khụng kể CĐ hay CT)

LG

2

y  x  mxm

Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thỡ y’(2) = 0 2

3.(2) 6 2m m 1 0 m 1

Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 cú : 2 0

2

x





      

 tại x = 2 hàm số đạt giỏ trị cực tiểu

Vậy m = 1 là giỏ trị cần tỡm

BÀI TẬP

Bài 1 Xỏc định m để hàm số 3 2

3 5 2 đạt cực đại tại x = 2

ymx  x  x

Bài 2 Tỡm m để hàm số 3 2 2

( ) 5 có cực trị tại x = 1 Khi đó hàm số có CĐ hay CT 3

yx  mx  m x

Bài 3 Tỡm m để hàm số

2

1 đạt cực đại tại x = 2

y

 



 Bài 4 Tỡm m để hàm số 3 2 2

2 2 đạt cực tiểu tại x = 1

yx  mx m x Bài 5 Tỡm cỏc hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2

( ) ax

f x x  bxc đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2

Bài 6 Tỡm cỏc số thực q, p sao cho hàm số ( )

1

q

f x xp

x

 

 đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2

Hướng dẫn: '( ) 1 2, x -1

( 1)

q

f x

x

 + Nếu q 0 thì f'(x) > 0 với x -1 Do đó hàm số luôn đồng biến Hàm số không có cực trị

+ Nếu q > 0 thỡ:

2

1

2 1

f x

  

  

 Lập bảng biến thiờn để xem hàm đạt cực tại tại giỏ trị x nào

Dạng 3 Tỡm điều kiện để hàm số cú cực trị.

Bài toỏn: ‘Tỡm m để hàm số cú cực trị và cực trị thoả món một tớnh chất nào đú

Phương phỏp

B1: Tỡm m để hàm số cú cực trị

B2: Vận dụng cỏc kiến thức khỏc Chỳ ý:

 Hàm số 3 2

y bx cxd a cú cực trị khi và chỉ khi phương trỡnh y’ = 0 cú hai nghiệm phõn biệt

 Cực trị của hàm phõn thức ( )

( )

p x y

Q x

 Giả sử x0 là điểm cực trị của y, thỡ giỏ trị của y(x0) cú thể được tớnh

( ) hoặc y(x )

y x

Vớ dụ 1: Xỏc định m để cỏc hàm số sau cú cực đại và cực tiểu

2

y = ( 6) 1 y =

x

 Hướng dẫn

Trang 3

a TXĐ: R

2

y x  mxm

Để hàm số cú cực trị thỡ phương trỡnh: 2

2 6 0 có 2 nghiệm phân biệt

x  mxm 

2

m





        



b TXĐ: \2

2

'

àm số có cực đại, cực tiểu khi ' 0 ó hai nghiệm phân biệt khác -2 4 4 4 0

0

y

m

năm 2002)



2

1

y

x chứng minh rằng : với m bất kỳ, đồ thị hàm số luụn cú điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cỏch giữa hai điểm đú bằng 20 (Đại Học khối B năm 2005)

BÀI TẬP

Bài 1 Tỡm m để hàm số 3 2

3 2 Với giá trị nào của m thì hàm số có CĐ, CT?

yx  mx 

Bài 2 Tỡm m để hàm sụ

y



 luụn cú cực đại và cực tiểu

Bài 3 Cho hàm số 3 2

2 ã 12 13

y x   x Tỡm a để hàm số cú cực đại, cực tiểu và cỏc điểm cực tiểu của đồ thị cỏch đều trục tung

Bài 4 Hàm số 3 2

3

m

y x  m x  mx Tỡm m để hàm số cú cực đại cực tiểu

Bài 5 Cho hàm

2

1

y

x





 Tỡm m để hàm số cú cực trị

Bài 6 Cho hàm số

2

2 4 2

y

x



 Xỏc định m để hàm số cú cực đại và cực tiểu

Dạng 4 Tỡm tham số để cỏc cực trị thoả món tớnh chất cho trước.

Phương phỏp

+ Tỡm điều kiện để hàm số cú cực trị

+ Vận dụng cỏc kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả món tớnh chất

Vớ dụ :

1.Cho hàm số y= ( 0)

2





d a e dx

c bx ax

.CMR:Phương trỡnh đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số là

d

b

ax

y2 

2.Cho hàm số y=

) (

x v

x u

.CMR:Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thỡ giỏ trị cực trị tại x0 là y0=

) (

0 , 0 ,

x v

x u

(Cú thể dựng để tớnh giỏ trị cực trị của hàm phõn thức)

3.Tỡm m để hàm số

m x

m m x m x

y



 2 (2 3) 2 4

cú hai cực trị và hai giỏ trị cực trị trỏi dấu.(ĐHTC-1999)

4.Cho hàm số

1

2 4 )

1

2













x

m m x m x

y Tỡm m để hàm số cú cực trị.Tỡm m để tớch cỏc giỏ trị cực trị nhỏ nhất.(ĐHQGHN-1999)

Trang 4

5 Cho hàm số

1

2 2

2





x

mx x

y Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng x+y+2=0

6.Cho hàm số

m x

mx x y





Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu,khi đó viết phuơng trình đường thẳng

đi qua cực đại ,cực tiểu của đồ thị hàm số

(ĐHCS-2000)

7.Cho hàm số

1

2 3 ) 1 (

2









x

m x m x

y Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và cực tiểu cùng dấu.(CĐSPTPHCM-2001)

8 Cho hàm số

1

2









x

m mx x

y CMR:Với mọi m hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị

là không đổi.(ĐHTL-1998)

9 Cho hàm số

1

8

2











x

m mx x

y Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng 9x-7y-1=0.(ĐHAN-1999)

10.Cho hàm số y=x3-3(m+1)x2+2(m2+7m+2)x-2m(m+2)

Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại ,cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu đó (HVKTMM-1999)

11.Cho hàm số y=x3+3mx2+3(1-m2)x+m3-m2.Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cuả đồ thị hàm số.(ĐH-2002-Khối A)

2

1 2

x

y   Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x(ĐH Huế 2001)

13 Cho hàm số

2

y

x



 (1).Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm

cực trị của đồ thị hàm số (1) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.(ĐH khối A -2007)

14 Cho hàm số y = - x3 +3x2 +3(m2 - 1)x – 3m2 – 1 (1) Tìm m để hàm số (1) có cực đại ,cực tiểu và các điểm

cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ (ĐH khối B năm 2007)

(sin cos ) sin 2

y x  m m x  m x Gọi x1, x2 là hoành độ 2 điểm cực trị Tìm m để

x x x x

BÀI TẬP TỰ GIẢI