DẠNG 48 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG tỉ số DIỆN TÍCH

DẠNG TOÁN 48: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH I... CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Câu hỏi lý thuyết về ứng dụng hình học của tích phân..  Xây dựng công thức

DẠNG TOÁN 48: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ( TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH )

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính diện tích hình phẳng

 Dạng 1 : Biết cận tích phân

Cho miền D giới hạn bởi đồ thị hai hàm y f (x), y g(x)= =

và hai đường thẳng

x a, x b,(a b)= = <

Khi đó diện tích miền D là:

b a

S=∫ f (x) g(x) dx−

• TH 1: Nếu f (x) g(x) 0− =

vô nghiệm trên ( ) a;b

thì

b a

S= ∫ f (x) g(x) dx−

• TH 2: Nếu f (x) g(x) 0− =

có nghiệm a x< 1<x2 < < xn <b

thì:

S= ∫ f (x) g(x) dx− + ∫ f (x) g(x) dx − + + ∫ f (x) g(x) dx−

• Chú ý: Nếu g(x) 0=

(trục Ox) thì

b a

S=∫f (x) dx

 Dạng 2: Chưa biết cận tích phân

Cho miền D giới hạn bởi đồ thị hai hàm y f (x), y g(x)= =

+ Giải phương trình f (x) g(x) 0− =

tìm nghiệm x1<x2 < < xn

+ Tình

x

−

Chú ý: Nếu biết một cận thì ta tìm cận còn lại.

 Dạng 3: Miền cần tính giới hạn bởi 3 đồ thị

+ Tìm giao điểm từng cặp đồ thị

+ Vẽ đồ thị xác định miền

+ Chia miền D để tính diện tích từng phần rồi cộng lại

DIỆN TÍCH CÁC HÌNH ĐẶC BIỆT:

Cho elip có phương trình

1

, khi đó diện tích elip là: S= πab

Diện tích parabol có chiều cao h và bán kính đáy r là:

4

S r.h 3

=

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Câu hỏi lý thuyết về ứng dụng hình học của tích phân

 Xây dựng công thức tính diện tích theo hình vẽ

 Diện tích hình phẳng y=f(x), Ox

 Diện tích hình phẳng y=f(x), y=g(x)

 Diện tích hình phẳng y=f(x), y=g(x), y=h(x)

 Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị

 …

BÀI TẬP MẪU

Cho hàm số bậc ba y= f x( )

có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên Biết hàm số f x( )

đạt cực trị tại hai điểm x x1, 2 thỏa mãn x2 = +x1 2

và ( ) ( )1 2 0

f x + f x =

Gọi S1 và S2 là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên Tỉ số

1 2

S S

bằng

A

3

4

5 8

3 8

3 5

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Từ đồ thị hàm số suy ra phương trình hàm số

( )

y= f x =ax +bx + +cx d

B2: Dựa vào giả thiết tìm mối liên hệ giữa các hệ số của hàm số:

( )

y= f x =ax +bx + +cx d

( ) 2

f x′ ax bx c

x = +x

( )1 ( )2 0 ( ) 3 ( 1) ( 2) 3 ( 1) ( 1 2)

f x′ = f x′ = ⇒ f x′ = a x x− x x− = a x x− x x− −

Suy ra C

1

1 3

1 3

x x

x x

 = + −



 = + +



B3: Từ đó tính diện tích mỗi phần theo công thức

Suy ra tỉ số diện tích

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Cách 1

Gọi f x( ) =ax3+bx2+ +cx d

, với a>0 ⇒ f x′( ) =3ax2+2bx c+

Theo giả thiết ta có

( )1 ( )2 0 ( ) 3 ( 1) ( 2) 3 ( 1) ( 1 2)

f x′ = f x′ = ⇒ f x′ = a x x− x x− = a x x− x x− −

f x′ a x x a x x

Ta có f x( ) ( )1 + f x2 = ⇒0 f x( ) (1 + f x1+ =2) 0 ⇒ +C 8a−12a C+ = ⇒ =0 C 2a

Do đó

f x =a x x− − a x x− + a a x x=  − − x x− + 

1

1 3

1 3

x x

x x

 = + −



 = + +



Suy ra

1

1

1

x

x

+

1

1 4

3 1

5 2

x

x

+

Mặt khác ta có

3 2

4

a

Vậy

1 2

3 5

S

S =

Cách 2

Rõ ràng kết quả bài toán không đổi nếu ta tịnh tiến đồ thị sang trái cho điểm uốn trùng gốc tọa độ O Gọi f x( ) =ax3+bx2+ +cx d

là hàm số khi đó thì

dễ thấy f x( )

lẻ nên có ngayb= =d 0 và ( ) 3

f x =ax +cx

có hai điểm cực trị tương ứng là −1,1

cũng là nghiệm của

2

3ax + =c 0

Từ đó dễ dàng có ( ) ( 3 3 ,) 0

f x =k x − x k>

Xét diện tích hình chữ nhật S1+S2 = −( ) ( )1 f − =1 2k

Ngoài ra,

0 3 2

1

5

3 d

4

−

Vì thế

1

5 3 2

4 4

S = k− =

và

1 2

3 5

S

S =

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 1: Cho hàm số bậc ba y= f x( )

có đồ thị như hình vẽ và đồ thị cắt trục hoành tại các điểm x= −2,x=0,x=1

Gọi phần nằm phía trên trục hoành có diện tích

1

S

và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích 2

S

Tính tỉ số

1 2

S S

A

11 12

S=

73 12

S =

32 5

S=

25 19

S=

Lời giải:

Chọn C

Ta có phương trình hàm số có dạng: y a x= ( +2) (x x− =1) a x( 3+ −x2 2 ,x) (a>0)

0

1

2

8

2 d

3

a

−

1

2

0

5

2 d

12

a

S =∫a x + −x x x=

Vậy

1 2

8 32 3

5 5 12

a S a

S = =

Câu 2: Cho hàm số bậc ba y= f x( )

có đồ thị như hình vẽ, biết f x( )

đạt cực tiểu tại điểm x=1

và thỏa mãn f x( )+1

và f x( )−1

lần lượt chia hết cho ( )2

1

x−

và ( )2

1

x+

Gọi 1 2

,

S S

lần lượt là diện tích như trong hình bên Tính

2 1

S S

A

4

3

B. I =2

4 5

1 2

Lời giải Chọn A

Đặt f x( ) =ax3+bx2+ +cx d

theo giả thiết có

2 2







Do đó

( )

( )

( )

( )

1

2

0

a

c

d

+ =

 =





Với x= ⇒1 f ( )1 = −1

Ta có:

0

x

x

=



= − = ⇔  = ±



1

S

là diện tích giới hạn bởi đồ thị

3

y= x − x

,y= −1

, x=0,x=1

1

3

1

0

1

⇒ =∫ − + = ( )1

2

S

là diện tích giới hạn bởi đồ thị

2

y= x − x

, y=0,x=1,x= 3

3

3 2

1

Từ ( ) ( )1 , 2 21

1 3 4 :

2 8 3

S S

   

⇒ = ÷  ÷=

   

Câu 3: Cho hàm số bậc hai y= f x( )

có đồ thị như hình vẽ và đồ thị cắt trục hoành tại các điểm x=1,x=3

, giá trị cực trị của hàm số bằng −1

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai trục toạ độ và đồ thị hàm số y= f x( )

và S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số y= f x( )

Tính

tỉ số

1 2

S S

A

1 2

2

S

S =

1 2

3

S

S =

1 2

1

S

S =

1 2

1 2

S

S =

Lời giải:

Chọn C

Ta có đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x=1,x=3

nên

phương trình hàm số có dạng: y a x= ( −1) (x− =3) a x( 2−4x2+3 ,) (a>0)

Giá trị cực trị của hàm số bằng −1

mà y′=a x(2 − ⇒ = ⇒ =4) y′ 0 x 2 Suy ra ( )2

y = − ⇒ =a

1 2 1

0 3 2 2

1

4

4 3 d

3 4

4 3 d

3

∫

∫

Vậy

1 2

4

3 1 4 3

S

S = =

Câu 4: Cho hàm số bậc ba y= f x( )

có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên Biết hàm số f x( )

đạt cực trị tại hai điểm 1 2

,

x x

thỏa mãn 2 1

4

x = +x

và ( ) ( )1 2 0

f x + f x =

Gọi 1

S

và 2

S

là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên Tỉ số

1 2

S S

bằng

A

3 4

5 8

3 8

3 5

Lời giải Chọn D

Rõ ràng kết quả bài toán này có cùng kết quả với bài toán: Biết hàm số f x( ) đạt cực trị tại hai điểm x x1, 2 thỏa mãn x2 = +x1 4

và f x( ) ( )1 + f x2 =0

, trong đó ( )

f x

có điểm uốn trùng với gốc tọa độ

Gọi ( ) 3 2

f x =ax +bx + +cx d

là hàm số khi đó thì dễ thấy f x( )

lẻ nên có ngay

0

và f x( ) =ax3+cx

có hai điểm cực trị tương ứng là −2, 2

cũng là nghiệm của

2

3ax + =c 0

Từ đó dễ dàng có f x( ) =k x( 3−12 ,x k) >0

Xét diện tích hình chữ nhật S1+S2 = −( ) ( )2 f − =2 32k

Ngoài ra,

0 3 2

2

12 d 20

−

.Vì thế S1 =32k−20k =12k

Vậy

1 2

3 5

S

S =

Câu 5: Cho hàm số bậc bốn y f x= ( )

có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên (đối xứng qua đường thẳng x=3

) Biết hàm số f x( )

đạt cực trị tại ba điểm x1,3,x2 thỏa mãn x2 = +x1 2

và f x( )1 = f x( )2 =0

Gọi S1 và S2 là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên Tỉ số

1 2

S S

bằng

A

3 4

5 8

3 8

3 5

Lời giải Chọn A

Dễ kết quả bài toán này, có cùng kết quả với bài toán: Biết hàm số f x( )

có cùng điều kiện nhưng đạt cực trị tại ba điểm x1,0,x2

Đồ thị hàm số có dạng f x( ) =ax4 +bx2 +c

là hàm số khi đó thì dễ thấy f x( ) chẵn nên f x( ) =ax4 +bx2 +c

có ba điểm cực trị tương ứng là −1,0,1

cũng là nghiệm của

3

4ax +2bx=0

Từ đó dễ dàng có f x( ) =a x( 4−2x2+1 ,) a>0

Xét diện tích hình chữ nhật S1+S2 = −( ) ( )1 f 0 =a

Ngoài ra,

0

2 1

8

2 1 d

15

a

−

Vì thế

1

8 7

15 15

S = −a =

và

1 2

7 8

S

S =

Câu 6: Cho hàm số bậc bốn y= f x( )

có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên Biết hàm số f x( )

đạt cực trị tại ba điểm x x x1, ,2 3 thỏa mãn x1+ =1 x2 = −x3 2

Gọi 1

S

và 2

S

là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên Tỉ số

1

2

S

S

bằng

A

1

12

1 11

1 10

1 13

Lời giải Chọn A

Gọi f x( ) =ax4+bx3+cx2 + +dx e

là hàm số có đồ thị đã cho và ( ) 4 3 2

f x =ax +bx +cx + +dx e

có ba điểm cực trị tương ứng là −1, 0, 2

nên ( ) ( 1) ( 2) ( 3 2 2 ,) ( 0)

f x′ =ax x+ x− =a x − −x x a<

Từ đó dễ dàng có

4 3

f x = a x − −x x dx a=  − −x +C

∫

Mà

4 3

f = ⇒ = ⇒C f x =a − −x 

2 1

1

d

−

2 0

12 d

S = a − −x  x= −

Vì thế

1 2

1 12

S

S =

Câu 7: Cho hàm số bậc ba y= f x( )

và hàm số bậc hai y=g x( )

có đồ thị hàm số là hai đường cong như hình vẽ bên Biết hàm số f x( )

đạt cực trị tại hai điểm

1

x

, x2 thỏa mãn x1+x2 =1

và f x( )1 + f x( )2 =0

Gọi S1 và S2 là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên Tỉ số

1 2

S S

thuộc khoảng nào sau đây?

A

3 1;

2

 

 

3 7

;

2 4

7

; 2 4

5 2;

2

 

 

Lời giải:

Chọn C

Tỉ số không thay đổi với các hàm số thỏa mãn

Chọn x1 = −1

x = ⇒ f x′ =a x+ x− =a x − − ⇒x g x =k x − −x

( ) ( 1) ( 2 d) 3 2 2

3 2

∫

Chọn

( ) 2 3 2

3

a= ⇒ f x = x − −x x C+

Mặt khác:

f − + f = − + C= ⇒ =C ⇒ f x = x − −x x+

Mà tọa độ

13 0;

6

là giao điểm của hai hàm số

2

⇔ − = ⇔ = −

( ) 13( 2 )

2 12

Gọi

1;0 2

I 

là giao điểm của f x( )

với trục

1 2

Ox x < <x 

1 39

2 16

g 

⇒  ÷=

 

2

2 1

1 2

2 d

S =  + x − −x  x=

∫

1 2

2

0

S = − x − − −x  x − −x x+  x=

∫

1 2

351 1,96 179

S S

Câu 8: Cho hàm số bậc bốn y= f x( )

có đồ thị là đường cong ( )C

như hình vẽ bên

Biết hàm số f x( )

có ba cực trị lập thành cấp số cộng có công sai

3 2

d =

thảo mãn x1+x3 = −1

và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 Gọi 1

S

, 2

S

và 3

S

là diện tích của các hình phẳng được gạch trong hình bên Tính tỉ số

1

S

S +S

Lời giải:

Chọn D

y ax= +bx +cx +d x e a+ > ⇒ f x′ = ax + bx + cx d+

Từ giả thiết ta có

2 2

1

1 3

2 2

x x

x x

d

 = −



= −

 + = −



Do vậy ta thấy đồ thị hàm số có ba cực trị là

( )1;0 , 1; , 2;0( )

2 y

−  −

và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên ta có hệ

( ) ( )

( ) ( )

1

1 1 1

1

1

1

2 0

4

1 0

1

e

a

a b c d

a b c d f

d

=



 ′ − = ⇔ − + − + = ⇔ =



′

Do đó

( ) 1 4 1 3 3 2

1

f x = x + x − x − +x

Diện tích hình phẳng

( )

2

0

8 d 5

S +S =∫ f x x=

và S1+S2+S3 =2.4 8=

Vậy:

1

8 8

5 4 8 5

S

−

+

Câu 9: Cho parabol ( )P y x: = 2

và đường thẳng ( )d y ax b: = +

có đồ thị như hình vẽ bên Biết parabol ( )P

và đường thẳng ( )d

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

có hoành độ x1, x2thỏa mãn x2 = +x1 3

và f x( )1 + f x( )2 =5

Gọi S1, S2 là diện tích hình phẳng được gạch trong hình Tỉ số S1+S2

bằng

A 3 B.

8 3

5 3

7 3

Lời giải:

Chọn A

( )d y ax b: = +

có đồ thị như hình vẽ ⇒ a<0

(3)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của ( )P

và ( )d

:

x −ax b− =

, với

1 2



 = = −



x = + ⇒ − = ⇒x x x x −x = ⇒S − P= ⇒a + b=

Mặt khác do f x( )1 + f x( )2 = ⇒5 ax1+ +b ax2+ = ⇒b 5 a x( 1+x2)+2b=5

( )

Giải hệ ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3

và từ hình dạng đồ thị nên a<0

ta được nghiệm a= −1,b=2

Do đó

−

1 2

1 8

3

3 3

S S

Câu 10: Cho hàm số bậc bốn y= f x( )

có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên Biết hàm số f x( )

đạt cực trị tại ba điểm x x x1, ,2 3 thỏa mãn x3− =x1 4

và ( )2 4

f x = −

, nhận đồ thị đường thẳng x x= 2

làm trục đối xứng Gọi S1 và S2

là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên Tỉ số

1 2

S S

bằng

A

7 6

6 7

9 7

8 7

Lời giải Chọn D

Dễ kết quả bài toán này, có cùng kết quả với bài toán: Biết hàm số f x( )

có cùng điều kiện nhưng đạt cực trị tại ba điểm x1,0,x x3( 2 =0)

Dễ thấy dạng hàm số f x( ) =ax4+bx2+c a( <0)

Biết f x( )2 = f ( )0 = − ⇒ = −4 c 4

, vậy ( ) 4 2

4

f x =ax +bx −

Lại có x3− =x1 4

⇒ x1= −2,x2 =0,x3 =2

Mà f x′( ) =4ax3+2bx⇒ f′( )2 =32a+4b= ⇒ = −0 b 8a

Vậy f x( ) =ax4−8ax2−4

Theo hình vẽ ta có

( ) ( )

2

Lại có f( )2 = −16a−4

nên độ dài các đoạn AB=4,BC= −16a

Suy ra :

ABC

Vì thế

1

2

512 8

448 7

S

S = =