DẠNG 04 cực TRỊ của hàm số

Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm , chẳng hạn với hàm y x , đạt cực trị tại x0 nhưng không có đạo hàm tại đó.. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG T

Trang 1

2 Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

Định lí 1 (Điều kiện cần ) Nếu hàm số f x  đạt cực trị tại điểm x0 và hàm số f

có đạo hàm tại điểm x0, thì f x' 0 0

Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm , chẳng hạn với hàm y x , đạt cực trị tại x0 nhưng không có đạo hàm tại đó

Định lí 2 (Điều kiện đủ ) Ta có

+) Nếu f x'    �0, x a x; 0

và f x'    �0, x x b0;  thì hàm số f x đạt cực tiểu tạiđiểm x0

+) Nếu f x'    �0, x a x; 0và f x'    �0, x x b0;  thì hàm số f x 

đạt cực đại tạiđiểm x0

Tức là, nếu đạo hàm của hàm số y f x  đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M x y 0; CT

Nếu đạo hàm của hàm số y f x  đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0

DẠNG TOÁN 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Trang 2

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại là M x y 0; C�

Nên hàm số đạt cực tiểu tại x0.

Định lí 3 Hàm số y f x  có đạo hàm cấp một trên  a b; chứa x0 mà f x' 0 0 và

Từ đây, ta có phương pháp cực trị của hàm số

 Tính đạo hàm y , tìm những điểm tại đó ' y'0 hoặc y không xác định '

 Xét dấu y dựa vào định lí 2 để kết luận điểm cực đại, điểm cực tiểu.'

3 Bài toán cực trị với hàm đa thức bậc ba

Hàm số bậc ba có đạo hàm là một tam thức bậc hai nên

 Hàm số có cực trị � có cực đại � có cực tiểu � có cả cực đại và cực tiểu �

có hai cực trị �phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt �   0

 Hàm số không có cực trị � phương trình y'0 vô nghiệm hoặc có nghiệmkép �  �0.

Chú ý: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết được phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị như sau:

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: y ax 3bx2 cx d cho y�3ax2 2bx c được

thương là q x 

và phần dư là r x  mx n

, ta được:

   .�

Trang 3

Bước 2: Chứng minh đường thẳng  d

4 Bài toán cực trị với hàm bậc 4 trùng phương

Cho hàm bậc 4 trùng phương y ax 4bx2 c a�0 có y�4ax32bx2 2x ax 2b

2

00

.2

 Hàm số có ba cực trị � có cả cực đại và cực tiểu � phương trình y' 0 có ba

nghiệm phân biệt � 2b 0

a

 Hàm số có một cực trị �phương trình y' 0 có một nghiệm duy nhất �

02

ABC cân tại A

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Lý thuyết về cực trị của hàm số

 Tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức

 Tìm cực trị khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số

 Bài toán cực trị chứa tham số

 Cực trị của hàm chứa dấu GTTĐ

 Cực trị của hàm hợp

 …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực đại của hàm số đã cho là:

Trang 4

A x 3. B. x1. C x2. D. x  2

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm điểm cực trị khi biết bảng biến thiên của hàm số

Câu 1 Cho hàm số y f x  liên tục trên � và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trang 5

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là 1; 1  và điểm cực đại là 1;3.

Câu 3 Cho hàm số y f x  xác định trên � và có bảng xét dấu của đạo hàm như

sau

Khi đó số điểm cực trị của hàm số y f x  là

Lời giải Chọn A

Do hàm số xác định trên � và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại x ;1 2

x ; x nên hàm số 3 y f x  có ba điểm cực trị.

Câu 4 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình bên.

Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y f x  là

A 1; 4  B x0 C  1; 4 D 0; 3 

Lời giải Chọn D

Câu 5 Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình bên Hàm số có bao nhiêu điểm cực

tiểu trên khoảng  a b;

Câu 6 Cho hàm số y f x  có đạo hàm là     2 

f x� x x x Hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị?

Ta có f x� 

đổi dấu khi x qua các điểm 0 ; 1

Trang 6

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Cực tiểu của hàm số bằng 12 B Cực tiểu của hàm số bằng 2

C Cực đại của hàm số bằng 12 D Cực đại của hàm số bằng 2

TXĐ: D �\ 0  .

2

162

Vậy cực tiểu của hàm số bằng 12

Câu 8 Gọi x là điểm cực đại, 1 x là điểm cực tiểu của hàm số 2 y x   Tính3 3x 2

1 2 2

x x



�

� �  � .Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, điểm cực đại là x1  và điểm cực đại là 1 x2  nên1





 . D y x 2.

Lời giải Chọn C

Hàm số

2 32

x y x





Tập xác định: D   �; 2 �  2; �.

Trang 7

Các hàm số khác dễ dàng chứng minh được y�có nghiệm và đổi dấu qua

các nghiệm Riêng hàm số cuối y� không xác định tại 2 nhưng hàm số xác

định trên � và y� đổi dấu qua 2 do đó có hàm số có điểm cực trị x  2

Câu 10 Hàm số y f x  có đạo hàm f x�   x 1 x2  x2019, x �� Hàm

số y f x  có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?

A 1009 B 2019 C 2020 D. 1010

Ta có:

12

1 2 2019 0

2019

x x

Trang 8

Do f x� 

đổi dấu khi x qua 1, 3, 4 nên hàm số y f x  có 3 điểm cực trị.

Câu 3 Cho hàm số y f x  xác định trên � và có đồ thị hàm số y f x�  là đường

cong ở

hình bên Hỏi hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực trị ?

Dựa vào đồ thị y f x�  ta thấy phương trình f x�  0 có 4 nghiệm nhưng giá trị f x�  chỉ đổi dấu 3 lần

Vậy hàm số y f x  có 3 điểm cực trị.

Câu 4 Cho hàm số y f x  liên tục trên �, đồ thị của đạo hàm f x� 

như hình vẽsau:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. f đạt cực tiểu tại x 0 B. f đạt cực tiểu tại x  2

C. f đạt cực đại tại x  2 D. Cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại

Trang 9

Vậy hàm số đạt cực đại tại x  2

Câu 5 Biết rằng đồ thị hàm số y x 3 3x2 có dạng như hình vẽ:

Nên ta lấy phần đối xứng của đồ thị hàm số y x 3 3x2 khi x  3

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị

Câu 6 Cho hàm số y f x  có đồ thị hình bên Hàm số y f x  có bao nhiêu điểm

cực trị?

Lời giải

Trang 10

Chọn A

Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy

Lấy đối xứng phần đồ thị nằm trên phải trục Oy qua Oy ta được đồ thị hàm

Suy ra đường thẳng AB có phương trình 8x y  4 0.

Thay N1;12 vào phương trình AB ta có 8.1 12 4 0.   Vậy N thuộc AB

Câu 8 Số điểm cực trị của hàm số y x  2x2 là1

Trang 11

A m 1 B m  7 C m 5 D m  1

� phương trình   có 2 nghiệm phân biệt x�0 �m0.

 Mức độ 3

Câu 1 Cho hàm số y f x  liên tục trên �có đạo hàm f x�  liên tục trên �và có

bảng xét dấu như hình vẽ bên

Trang 12

Hỏi hàm số y f x 22 xcó tất cả bao nhiêu điểm cực trị

111

21

x x

suy ra hàm số đã cho có 9 điểm cực trị

Câu 2 Cho hàm số y f x  là một hàm đa thức có bảng xét dấu f x� 

như sau

Số điểm cực trị của hàm số g x   f x 2 x

Ta có    2   2 

Số điểm cực trị của hàm số f x 

bằng hailần số điểm cực trị dương của hàm số f x 

2

1 51

Trang 13

Hàm số h x   f x 2x có 2 điểm cực trị dương, vậy hàm số

2 2

đổi dấu 5 lần

Hay phương trình  1 và phương trình  2 phải có hai nghiệm phân biệt khác

5

 

' 1 ' 2

00

5 0

h p

m m

Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn.

Câu 4 Cho hàm số y f x  xác định trên tập số thực � và có đạo hàm

Trang 14

A 6 B. 4 C 5 D. 7

Trường hợp 1: m0 � y 1 nên hàm số không có cực trị

Trang 15

Do ��m nên có 2019 giá trị nguyên của tham số m thỏa đề

Câu 7 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x�  x x2 1 x22mx5 Có tất cả bao nhiêu

giá trị nguyên của m để hàm số có đúng một điểm cực trị?

Hàm số f x  có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi tam thức

  2 2 5

g x  x mx vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó một

nghiệm là x 1, hoặc g x  có nghiệm kép x  Tức là1

00

g

g g

m

m b

Câu 8 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx32x2m3 x m

có hai điểm cực trị và điểm M9; 5  nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm

cực trị của đồ thị

A m  10 B m 10 C m 2 D m 3

Ta có y�3x24x m 3, để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y�0

có hai nghiệm phân biệt � � 0 13 *

nên phương trình đường thẳng đi

qua hai điểm cực trị là

19

Trang 16

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình   có 2 nghiệm phân biệt khác 0 � m 0�m0.

Vậy tọa độ 3 điểm lần lượt là:A 0;1 ;B m;1m2 ;C m;1m2

Vậy với m 1 thì hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Câu 10 Cho hàm số y x 42mx22m2m4 có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) có ba điểm

cực trị A, B, C thỏa mãn ABCD là hình thoi với D0; 3  Số m thuộc khoảngnào sau đây?

A

9

; 25

��

11;

Gọi I trung điểm của BC �I0;m43m2

Vì A D Oy, � , B và C đối xứng nhau qua Oy nên tứ giác ABCD là hình thoi � I

là trung điểm của AD

2

0 2

Trang 17

A. 9 B. 7 C. 6 D. 8

Ta có: ( ) 5cos 5sin 1 5cos 5sin 1

x

x x

Trang 18

( 1;0)0

Trang 19

có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi PT  2

có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ phân biệt

Xét hàm số t x   f x2  4f x 

Ta có Bảng biến thiên của t x 

:

Trang 21

   

y f x g x m có đúng 5 điểm cực trị?

h x  f x g x  

.Bảng biến thiên của hàm số y h x   là:

Trang 22

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y k x    f x g x  là:

Ta có y x 8m2x5m24x41 �y�8x7 5m2x44m2 4x3

.0

g x  x  m x m 

có g x�  32x35m2 .

Ta thấy g x�  0 có một nghiệm nên g x  0 có tối đa hai nghiệm

+ TH1: Nếu g x  0 có nghiệm x 0 �m2 hoặc m 2

Với m thì 2 x là nghiệm bội 4 của 0 g x  Khi đó x là nghiệm bội 70của y� và y� đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x nên 0 x là0điểm cực tiểu của hàm số Vậy m thỏa ycbt.2

Trang 23

Dựa vào BBT x không là điểm cực tiểu của hàm số Vậy 0 m  không2thỏa ycbt.

Vậy cả hai trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.

Câu 6 Cho hàm sốy f x  liên tục và xác định trên �và có đồ thị như hình vẽ Số

giá trị nguyên của tham số m để hàm số    2  

có đúng 3điểm cực trị

Trang 24

có đúng 1 nghiệm đơn

2 2 35 0 không có nghiệm phân biệt

Suy ra cĩ 6 giá trị m nguyên thỏa mãn.

Câu 7 Cho hàm số f x  cĩ đạo hàm trên � thỏa mãn f x h   f x h   �h2

với mọi x��, h0 Đặt

29 100 sin 1

m

g x ��x f x� �� ��x f x� ��  m  m  x

với tham số m Gọi

S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m27 sao cho g x  đạt cực tiểu tại x0 Tổng bình phương các phần tử của S là

A 100 B 50 C 108 D 58

dương khi qua x0 nên thỏa mãn yêu cầu.

+ Nếu m 5 thì g x�  2019x201834x33 x332019x198534 đổi dấu từ âm sang

dương khi qua x0 nên thỏa mãn yêu cầu.

+ Nếu m2 thì g x�  2019x201827x26x262019x199227 khơng đổi dấu khi

qua x0 nên loại.

+ Nếu m 2 thì g x�  2019x201831x30 x302019x198831 khơng đổi dấu khi

qua x0 nên loại.

*) Nếu g x��   0 thì g x  đạt cực tiểu tại x0 �g�� 0 0

2 m 29m 100 0

�

Trang 25

Câu 8 Cho hàm số f x  x22m x m  5 m3m21. Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m thuộc đoạn 20; 20 để hàm số đã cho có đúng một điểm

cực trị

Nhận xét: 2x2m0� x m (thỏa mãn x m� 5) Do đó x m là một điểmcực trị của hàm số

Do đó:  * �  2 vô nghiệm và y' không đổi dấu khi đi qua x m 5

Vậy có 23số nguyên m thỏa mãn

Câu 9 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên � và f  0 0; f 4 4 Biết

hàm y f x�  có đồ thị như hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị của hàm số

Đặt h x   f x 2 2x Ta có h x�  2 x f x� 2 2

Từ đồ thị ta thấy f x� 2 �0,x

Do đó h x�    0, x 0.Với x0, ta có    2 1

0

x

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	1,86 MB