DẠNG 27 PHƯƠNG TRÌNH mặt PHẲNG

 Tìm Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết phương trình măt phẳng..  Tìm Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết các yếu tố liên quan của phương trình măt phẳng..  Tìm điểm của mặ

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng :

 Định nghĩa:

 n 0

 

, giá của n   n

là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  

 Chú ý :

 k n k . 0 là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

 a b , không cùng phương, và an b, n na b, 

2 Phương trình mặt phẳng

 Phương trình mặt phẳng đi qua M x y z0 0; ;0 0,vtpt n:A B C; ;  có phương trình tổng quát :

A x x B y y C z z   Ax By Cz D   

 Phương trình mặt phẳng đoạn chắn cắt 3 trục toạ độ tại 3 điểm phân biệt :

 ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; 

a b c 

 M x y z0 0; ;0 0   P ax by cz d:     0 ax0 by0cz0d  0

 Mặt phẳng : Ax By Cz D   0 có véc tơ pháp tuyến : nA B C; ; 

 Mặt phẳng : Ax By Cz D   0 vuông góc với

:x x y y z z P d ; ;

     

 Mặt phẳng : Ax By Cz D   0 song song với mặt phẳng :

A x B y C z D

          

   

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Lý thuyết về mặt phẳng và phương trình mặt phẳng

 Nhận dạng phương trình mặt phẳng

 Tìm Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết phương trình măt phẳng

 Tìm Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết các yếu tố liên quan của

phương trình măt phẳng

 Tìm điểm của mặt phẳng khi biết phương trình măt phẳng

Tìm giao điểm đường thẳng và mặt phẳng

Tìm điều kiện để một điểm thuộc mặt phẳng, một véc tơ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2020-2021) Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm M1; 2;1 ?

A  P1 :x y z  0 B.  P2 :x y z   1 0

C  P3 :x 2y z 0

D.  P4 :x2y z   1 0

Câu 1 Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán kiểm tra một điểm có thuộc mặt phẳng

không

2 HƯỚNG GIẢI:

DẠNG TOÁN 27: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.

B1: Thay toạ độ các điểm cần kiểm tra vào phương trình mặt phẳng, kiểm tra tính đúng–sai của mệnh đề

B2: Kết quả vừa kiểm tra suy ra kết luận quân hệ thuộc giữa điểm và mặt

phẳng

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Thay toạ độ điểm M1; 2;1  vào các phương trình mặt phẳng ở các đáp án

Nhận thấy chỉ có đáp án A thoả mãn

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P :1 2 3 1

x y z

Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng P ?

A A  4;2;3 B B1;2;3 C C0; 2;5 D D  2;1;1

Lời giải Chọn A

Thay toạ độ điểm ở các đáp án vào phương trình mặt thẳng, nhận thấy đáp

án thoả mãn là đáp án A  4;2;3

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P :2x y 1 0 Điểm

nào sau đây

thuộc mặt phẳng P ?

A A  0;1;2 B B1;1;0 C C0;2;1 D D1;0;1

Lời giải Chọn B

Thay toạ độ điểm ở các đáp án vào phương trình mặt thẳng, đáp án thoả mãn là B1;1;0

Câu 3 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : z 2x  3 0

Một vectơ pháp tuyến của  P

là:

A n    2;0;1 B w   1; 2;0 C u  0;1; 2  D v   1; 2;3

Lời giải Chọn A

z x  là phương trình mặt phẳng ở dạng: ax by cz d   0 Nên véc tơ pháp tuyến na b c; ;  n  2;0;1

Câu 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua 3

điểm A2;0;0 , B0;3;0 , C0;0;5?

A.3 2 5 1

x y z

x y z

x y z

D 5 3 2 1

x y z

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng có phương trình dạng: 1

x y z

a b c   , nên có phương trình: 1

2 3 5

x y z

Câu 5 Trong không gian Oxyz, điểm N  1;1;1

thuộc mặt phẳng nào dưới đây?

A.2x1  y12z1 0 B. 2x1  y12z1 0

C 2x1  y12z1  0 D 2x1  y1  z1 1

Lời giải:

Chọn C

Thay toạ độ điểmN  1;1;1

vào các phương trình mặt phẳng ở các đáp án, đáp án thoả mãn là C

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây có véc tơ

pháp tuyến n   1; 2;3?

A.2x4y 6z  1 0 B.  x 2y 3z  2 0 C x 2z  3 0

D x 2y  3 0

Lời giải Chọn B

Mặt phẳng có phương trình  x 2y 3z  , nên có 2 0 n    1; 2; 3   1; 2;3 

Câu 7 Trong không gian Oxyz, điểm N  1; 2;4 thuộc mặt phẳng nào dưới đây?

A.1 2 4 1

x y z

x y z

x y z

x y z

Lời giải:

Chọn A

Thay toạ độ điểm N  1; 2; 4 vào các phương án, đáp án thoả mãn là

1

x y z

Câu 8 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng 2 3 1 1

x y z

 đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?

A.A1;0;0

B. B0;3;0

C C3;0;0

D D0;0;1

Lời giải:

Chọn B

Mặt phẳng đã cho đi qua các điểm: 2;0;0 , 0;3;0 , 0;0; 1      nên đi qua

0;3;0

Câu 9 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng 2 3 1 1

x y z

 có véc tơ pháp tuyến?

A.

1 1

; ; 1

2 3

n   



1 1; ;1 3

n   



C n  3;2; 1  D n  3;2;3

Lời giải:

Chọn A

Mặt phẳng

1 1



Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng   :x  song song3 0

với mặt phẳng nào sau đây?

A.   x 3 0 B. y   3 0 C z   3 0 D x y z    3 0

Lời giải

Chọn A

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song: ' ' ' '

a b c d nên chọn A

 Mức độ 2

Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phẳng chứa

hai đường thẳng

:

 và

:

là

A. 6x2y z  1 0 B. 6x 2y2z 2 0

C 6x8y z  5 0 D 6x 8y z 11 0

Lời giải Chọn D

Gọi  P là mặt phẳng cần tìm

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là n P u u d, d 6; 8;1 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Chọn điểm A1;1;3d A P

 P : 6x 1 8y 1 1 z 3 0

        6x 8y z 11 0

Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A2;1;1 , 3;0; 1 ,  B   C2;0;3 Mặt phẳng

  đi qua hai điểm A B, và song song với đường thẳng OC có phương trình

là:

C. 4x2y z 11 0 D. 3x y  2z 5 0

Lời giải

Chọn B

Ta có AB1; 1; 2 ,    OC2;0;3

 P ,  3; 7;2  : 3 2 7 1 2 1 0

                            

Hay  P : 3x7y 2z11 0

Câu 3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng   :x y  2z  vuông1 0

góc với đường thẳng nào dưới đây?

A.

x y z

B.

x y z

 C

x y z

x y z

Lời giải Chọn B

d

n ku k

,   :x y  2z1 0  n 1;1; 2 



Ta có

 

1; 2;1

u

không cùng phương n  1;1; 2 

nên loại phương án

x y z



 

nên chọn phương án

x y z



 

1; 2;1

u





không cùng phương n  1;1; 2 

nên loại phương

án

x y z

 

2;1;1

u

không cùng phương n 1;1; 2 



nên loại phương án

x y z

Câu 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng   :x 2z  vuông góc3 0

với đường thẳng nào dưới đây?

A.

1 2 3

x t y

z t

 









 

2 2

x t y

z t











 

1 2 3

x t

z t

 





 



 

1

2 2 3

x t

z t

 





 



 

Lời giải Chọn B

d

n ku k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,   :x 2z  có véc tơ pháp tuyến: 3 0 n 1;0; 2 

Trong các đáp án chỉ có

2 2

x t y

z t











 

 có véc tơ chỉ phương u  1;0; 2  cùng phương với n 1;0; 2 

nên chọn B

Câu 5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , Tìm giá trị của m để mặt phẳng:

x m y m   đi qua A2; 1;3  ?

A.m  0 B. m  2 C m  1 D m  2

Lời giải Chọn A

Thay toạ độ A2; 1;3  vào phương trình mặt phẳng ta được:

2 m1 1  m  1 0 m 0

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng

1 2 3

x t

z t

 





 



 

mặt phẳng nào dưới đây?

A.x y   3 0 B. x z   3 0 C x y z   3 0 D x y 3z  3 0

Lời giải Chọn D

Áp dụng n  ku k d 0

nên chọn D

Câu 7 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng nào sau đây đi qun hai

điểm A1;2;1 , B2;5; 1  ?

A.x y 2z 1 0 B 2x y z   1 0 C x 3y2z 3 0 D x2z 3 0

Lời giải Chọn A

Thay toạ độ hai điểm A1;2;1 , B2;5; 1  vào cacs phương trình mặt phẳng, nhận thấy chỉ có đáp án A thoả mãn

Câu 8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, khoảng cách từ điểm nào dưới đây

đến mặt phẳng   :x 2y 2z 3 0 một khoảng bằng 1

A.1;3;0 B 4;1;1 C 1; 1;1  D 2; 1;0 

Lời giải.

Chọn B

Áp dụng công thức tính khoảng cách :     0 0 0

d M

a b c

Thay toạ độ các điểm ở các đáp án , nhận thấy chỉ có đáp án B thoả mãn khoảng cách bằng 1

Câu 9 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng x y  2z  cắt trục1 0

hoành tại điểm nào dưới đây?

A.0; 1;0  B 1;0;0 C 0;1; 1  D

1 0;0;

2



Lời giải.

Chọn B

Giao điểm có dạng A a ;0;0, do đó chọn B

Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng x y  3z  có giao1 0

điểm với đường thẳng

x y z

 tại điểm nào dưới đây?

A 2;0;1 B 2;1;1 C 3; 2;0  D 2;3;0

Lời giải:

Chọn C

Lần lượt thay toạ độ các điểm ở các đáp án vào phương trình đường thẳng

và mặt phẳng đã cho, nhận thấy chỉ có đáp án C thoả mãn

 Mức độ 3

Câu 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Mặt phẳng x2y z 1 0 đi qua

1; 1; 

A  m Khi đó toạ độ của véc tơ m AO là

A.2;2; 4  B. 2; 2; 4  C 1;1; 2  D 1; 1;2 

Lời giải:

Chọn A

Thay điểm A1; 1; m vào phương trình mặt phẳng ta được m  2

m AO AO OA

      

Câu 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , Giá trị của m thoả mãn mặt phẳng

x y m z  có véc tơ pháp tuyến n  2; 4; 1  Khi đó véc tơ nào sau

đây có độ dài bằng m ?

A.a  2;1;1 B b    1;1;3. C c  4;0;1 . D d  6;0;1

Lời giải Chọn A

Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến: n1; 2;m 2

Để n  2; 4; 1  là 1 véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó , ta có:

1 2 2

6

m

m



Ta có a  6



Câu 3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Giá trị của

a m b



với

a

b là phân số tối giản a b, 

  để mặt phẳng: x  m 2z 3m đi qua 0 A1;1;2 Khi đó

a b bằng

Lời giải Chọn A

Thay toạ độ A1;1;2 vào phương trình mặt phẳng ta được:

5

a

b

              

Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng  P :x y z  1 0

và  Q : x 2y z  2 0 Viết phương trình mặt phẳng   đi qua đi qua điểm

1; 2;3

M và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng  P và  Q

A x z  2 0 B x 2y z 0 C x y  1 0 D 2x y z   3 0

Lời giải Chọn A

 P

có vectơ pháp tuyến n  1 1;1;1

,  Q

có vectơ pháp tuyến n   2 1; 2;1

Đặt u n n1, 2

 



3;0; 3

  đi qua điểm M1;2;3 nhận u  3;0; 3 

là vectơ pháp tuyến    : 3x 3z 6 0 x z   2 0

Câu 5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , Tìm giá trị của m để mặt phẳng:

x m y z m    vuông góc với đường thẳng:

 ?

A.m  1 B. m  2 C m  1 D m  3

Lời giải:

Chọn A

YCBT tương đương:

1

m

m

 

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , Tìm giá trị của m để mặt phẳng:

x m y m  vuông góc với đường thẳng:

1 2 4 0

z

 





 



 

A.

3 2

m 

2 3

m 

C m  1 D m  3

Lời giải:

Chọn A

YCBT tương đương: n  ku k d  0

1; 1;0 2; 1;0 1 1 2 2 1 3

m

m k      m   m

Câu 7 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , Tìm giá trị nguyên dương của m để

mặt phẳng: m1xm21 y 2m1 0 vuông góc với trục Ox ?

A.m  1 B. m  1 C m  2 D m  3

Lời giải:

Chọn A

YCBT tương đương: n  ku Ox

1

0

k

 





 



Câu 8 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , Tìm giá trị nguyên dương của m để

mặt phẳng: m 3xm2 4m y m2 3z 2m1 0

vuông góc với trục Oy ?

A.m  1 B. m  1 C m  2 D m  3

Lời giải:

Chọn D

YCBT tương đương: n    ku Oy

m 3;m2 4 ;m m2 9 k0;1;0 k 0

2 2

3 0 4

3

9 0 0

m

m m k

m m

k









 

Câu 9 Cho hai đường thẳng chéo nhau 1

 và

2

2 2

d y

z t

 









 

phẳng song song và cách đều d và 1 d có phương trình là2

A. x5y 2z12 0 B x5y2z12 0

C x 5y2z 12 0 D. x5y2z12 0

Lời giải Chọn B

1

d có VTCP u   1 1; 1;2

d có VTCP 2 u   2  2;0;1

Gọi   là mặt phẳng cần tìm, có VTPT nu u1, 2   1; 5; 2  

  

  :x 5y 2z m 0

Lấy điểm M12;1;0d1

, M22;3;0d2

Vì   cách đều d và 1 d nên 2 d d 1,   d d 2,    d M 1,   d M 2,  

m m

12

m

Vậy,   :x5y2z 12 0

Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , Tìm giá trị của m để mặt phẳng:

2 1 2 0

mx m y z   đi qua giao điểm của đường thẳng

1 :

1 2

x t

d y t

 









  

phẳng Oxz ?

A.m  1 B. m  1 C m  2 D m  0

Lời giải:

Chọn A

Ta có dOxzA1;0;1

Thay toạ độ điểmA1;0;1 vào phương trình mặt phẳng ta được m  1

 Mức độ 4

Câu 1 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A0;1;2 , B1;1;1 , C2; 2;3  và mặt

phẳng  P x y z:     Gọi 3 0 M a b c ; ;  là điểm thuộc mặt phẳng  P thỏa mãn MA MB MC 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

đạt giá trị nhỏ nhất Giá trị của a2b3c bằng

Lời giải Chọn C

Ta có trọng tâm của tam giác ABC là G1;0; 2 Khi đó:

MA MB MC   MG  MG

Vậy MA MB MC    min  MGmin  M

là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng  P

Gọi d là đường thẳng qua G và vuông góc với  P , ta có phương trình

đường thẳng d là:

1

2

x t

y t

 









  

Giá trị t ứng với tọa độ điểm M là nghiệm của phương trình:

1t    t  2t  3 0 3t    6 0 t 2

Vậy M  1;2;0

Khi đó: a2b3c 1 2.2 3.0 3 

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;0;2 ;  B0; 1; 2  và mặt

phẳng  P x: 2y 2z12 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc  P sao cho MA MB nhỏ nhất?

6 18 25

; ;

11 11 11

C

7 7 31

; ;

6 6 4

2 11 18

M   

Lời giải Chọn D

Thay tọa độ A1;0;2 ;  B0; 1; 2  vào phương

trình mặt phẳng  P , ta được P A P B     0

 hai điểm ,A B cùng phía với đối với mặt

phẳng  P

Gọi A là điểm đối xứng của A qua  P Ta

có

MA MB MA MB A B     Nên min MA MB   A B khi và chỉ khi M là

giao điểm của A B với  P

Phương trình

1

2 2

 





  

  

 (AAđi qua A1;0;2 và có véctơ chỉ phương

 P 1;2; 1

n  

)

Gọi H là giao điểm của AA trên  P , suy ra tọa độ của H là H0; 2;4 , suy

ra A   1; 4;6, nên phương trình

2 4

x t







   

  

Vì M là giao điểm của A B với  P nên ta tính được tọa độ M  25; 11 185 5; .



 

Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

 P x: 3my z  2 0 và  Q m: x y z  1 0 và Tìm m để giao tuyến hai mặt

phẳng  P và  Q vuông góc với mặt phẳng  R x y:   2z 5 0 

A m 1 B m 0 C m 1 D m 2

Lời giải Chọn C

Các mặt phẳng      P , Q , R có vectơ pháp tuyến lần lượt là

1;3 ; 1 ,  ; 1;1 , 1; 1; 2

n  m   n  m   n   

,

khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng  P

và  Q

có vectơ chỉ phương là

, 3 1; m 1; 1 3m

P Q



 

   

Để giao tuyến hai mặt phẳng  P

và  Q

vuông góc với mặt phẳng  R

thì , R

u n 

cùng phương, suy ra :

2

1

m

Câu 4 Trong không gian Oxyz , cho A1;1;0, B3; 1;4  và mặt phẳng

  :x y z    Tìm tọa độ điểm 1 0 M  sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất

A.M1;3; 1  B.

; ;

M   

; ;

M   

Lời giải

Å

H

Å

M

Å

A'

Å

A Å

P