DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA mãn điều KIỆN

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện với mặt phẳng và đường thẳng khác.. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt d , có liên hệ v

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện với mặt phẳng và đường thẳng khác

Phương pháp

- B 1 : Gọi tọa độ giao điểm của đường thẳng d cần tìm với d d 1, 2

- B 2 : Dựa vào kết quả véc tơ uuurAB

cùng phương với véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

 P

- B 3 : Viết phương trình đường thẳng qua A B,

Từ đó ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Gọi A a(2 1, , 2a  a 1) và B b( 2, 2 ,b b 1) lần lượt là giao điểm của đường thẳng d cầntìm với d d Ta có 1, 2 uuurAB  (b 2a 1, 2b a b  , 2 )a nên để d( )P thì

b a  b a   b a

Giải ra được ( ; ) (0;1)a b  nên uuurAB(2; 2; 1) và A(1;0; 1), (3; 2; 2) B  Từ đó viết được

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua A , cắt d và song song với mặt

phẳng  P

 Viết phương trình mặt phẳng  Q đi qua A và song song với mặt phẳng  P

 Viết phương trình mặt phẳng  R đi qua A và chứa d

 Đường thẳng cần tìm là giao điểm của  P và  Q

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt d , có liên hệ với mặt

phẳng  P

 Tìm một điểm thuộc đường thẳng

 Tìm vec-tơ chỉ phương của đường thẳng

 Nêu kết luận về phương trình đường thẳng

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng nằm trong  P

, vuông góc với d tại giao

điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng  P

DẠNG TOÁN 45: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỚI MẶT PHẲNG VÀ

ĐƯỜNG THẲNG KHÁC

 Tìm giao điểm I của d và mặt phẳng  P

Giả sử đường thẳng d cắt các đường thẳng d ,1 d lần lượt tại và B2 A

x y z

Ta cĩ  n ur r,   1; 3; 1.

Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng 2  R đồng thời cắt và vuơng gĩc với

đường thẳng  1

Do đó  đi qua 2 I 0;0;1 và nhận  n ur r,

làm một VTCP

Vậy phương trình của  là 2

31

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng  P tại M2; 1;3 .

Gọi auurd  1; 1;1 và nr 2; 1; 2   lần lượt là vectơ chỉ phương của d và vectơpháp tuyến của mặt phẳng  P Khi đó một vectơ chỉ phương của đườngthẳng cần tìm là ar ��a nuur rd, ��3; 4;1

.Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

Lời giải

Mặt cầu có tâm I3;2;5

, bán kính R 6Khoảng cách giữa hai giao điểm là

Suy ra  nhận ur  1; 1;0 làm véc-tơ chỉ phương

Câu 7. Trong không gian Oxyz, viết đường thẳng đi qua điểm M1; 2; 2, song song

với mặt phẳng  P x y z:    3 0 đồng thời cắt đường thẳng

Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng  là giao tuyến của

hai mặt phẳng  P z:  1 0 và  Q x y z:    3 0 Gọi d là đường thẳng nằmtrong mặt phẳng  P , cắt đường thẳng x11 y12 z13 và vuông góc với

đường thẳng  Phương trình của đường thẳng d là

A

31

y t z

y t z

Đặt nrP 0;0;1 và nrQ 1;1;1 lần lượt là véctơ pháp tuyến của  P

và  Q

Do     P �Q nên  có một véctơ chỉ phương ur ��n nr rP, Q��  1;1;0.

Đường thẳng d nằm trong  P và d   nên d có một véctơ chỉ phương là

,

P d

z y x

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

x t y

Lấy tọa độ điểm M0;2; 1  thay vào các phương án.

0 1

2 2

t t t

x t y

� qua điểm M0;2; 1  cắt d và song song với  P .

phẳng  P x y z:    3 0 và điểmA1;2; 1  Đường thẳng   đi qua A, cắt

 d và song song với mặt phẳng  P có phương trình.

A.

1

2 21

Gọi B   d � �B3 ;3 3 ;2 t t t Do A� d nên uuurAB t 2;3 1;2 1t t  là một

vectơ chỉ phương của   Mặt phẳng  P có một vectơ pháp tuyến

1;1; 1

nr  .

    // P � uuuAB nr r. 0�t 2 3t 1 2t 1 0�t 1

Ta được uuurAB  1; 2; 1.

Do A� P nên đường thẳng đi qua A nhận uuurAB  1; 2; 1làm một vectơ chỉ

phương thoả bài toán

Vậy phương trình đường thẳng   :

1

2 21

2 1 1



 

x y z d

và song song với mặt phẳng  P x y z:    2 0

A.

123

Lời giải Chọn C

P

P d d

n

n u u

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng

d :  1 2

phẳng (P) : x y2    2 5 0z và điểm A( ; ;11 2 ) Phương trình chính tắc của

đường thẳng ∆ đi qua A, song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với d là

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P là: nr P 1; 2;1

Vectơ pháp tuyến của  P là nr3; 2; 1 .

Vectơ chỉ phương của d là ur2; 2; 1.

Khi đó uuuurAM   1; 2; 1 là một véctơ chỉ phương của 

Chọn B

Tọa độ giao điểm B của d và  P

là nghiệm của hệ phương trình

x y z

� Suy ra B1;0;1 Ta có  đi qua B

Gọi Hlà hình chiếu của A lên .

Gọi d A ,  AH �AB, nên d A , đạt giá trị lớn nhất là AB, khi đó đường thẳng  qua B và có một véc tơ chỉ phương là ur��n ABuur uuurP, ��  1; 2;1

vào bốn phương án, chỉ phương án B thỏa mãn

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y z   10 0

A MN 4 33. B MN 2 26,5. C MN 4 16,5. D MN 2 33.

Lời giải Chọn C

Câu 20. Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M1;2;2 , song song

với mặt phẳng  P x y z:    2 0 đồng thời cắt đường thẳng d:1x  y11 z11

có phương trình là

A

132

Lời giải Chọn D

Gọi đường thẳng cần tìm là  Gọi I   �d � � I d �I t ;1 ; 1  t t.

phẳng  :x y z   3 0 đồng thời đi qua điểm M1;2;0

.Gọi A2 2 ;2 t t;3 �t d là giao điểm của  và d

�uuur Vậy uuurd 1;1 2  .

Suy ra phương trình của đường thẳng  là

1

2 2

Gọi M là giao điểm của  và d Suy ra tọa độ 2 M có dạng

1 ;1 2 ; 1 

M  t t  t Ta thấy A d� do đó 2 uuuurAM     t; 1 2 ; 4t   �t 0r là vevtơ chỉphương của .

Vevtơ chỉ phương của d là 1 uur1 2; 1;1 .

Vì  vuông góc với d nên 1 uuuur urAM u 1 0 �     2 1 2t t 4 t 0�  3t 3 0 �t 1.

Do đó uuuurAM 1; 3; 5   nên phương trình đường thẳng  là x11 y32 z53

 là:

A

2 4

3 31

Gọi u

r

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d cần dựng Gọi n ur ur, 1

lầnlượt là vectơ pháp tuyến của ( )P , vectơ chỉ phương của đường thẳng , ta

có nr1;2; 2 và uur1 1;1; 1 

Vì d � P nên ta có u nr r và đồng thời d vuông góc với  nên có u ur ur1.

Do mỗi đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ này cùngphương nên ta có thể chọn ur � ��n nur uur1; 2�  

cho d cắt, đồng thời vuông góc với D là

A

2 4

3 31

Ta có 1+ +t 2 2( + -t) 2t- 6= � =0 t 1

Giao điểm của D và ( )P là M(2;3; 1- )

Đường thẳng d nằm trong ( )P sao cho d cắt, đồng thời vuông góc với D

nên đi qua điểm M và giá vectơ a và r b vuông góc với d r

Vectơ chỉ phương của d : =� �; = -( 4;3; 1- )

Câu 25. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;3  Đường

thẳng  đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , song song với mặt

phẳng Oxy và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là

A

13984024913598

Gọi I x y z 0; ;0 0

là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có

Đường thẳng d đi qua A nên d B d ;  �BA, do đó khoảng cách từ B đến d

lớn nhất khi AB d �uruuurAB , với ur là vectơ chỉ phương của d

Lại có d song song với  P nên urnuuur P .

và mặt phẳng  P x y:    5z 3 0 Đường thẳng đi qua điểm A cắt đường

thẳng d tại điểm có tọa độ nguyên đồng thời tạo với mặt phẳng  P

mộtgóc  thỏa

122cos

123

 

có phương trình là

 

nên ta có

1sin

và mặt phẳng  P :2x y z   1 0 Viết phương trình đường thẳng qua giao

điểm của đường thẳng d với  P , nằm trên mặt phẳng  P và vuông góc vớiđường thẳng d.

 Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng

thuộc mặt phẳng chứa d và d� đồng thời cách đều hai đường thẳng đó

d đi qua A2;1; 4 và có véc tơ chỉ phương uur1  1; 2; 2 .

d� đi qua B4; 1;0  có véc tơ chỉ phương uuur2  1; 2; 2.

C.

 

1: 2 2 ,

Nhận thấy A1; 2; 1  là giao điểm của  và 1  2

 1 

1.1 2.2 70cos ;

chính là véc tơ chỉ phương của d

Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A2;3;3, phương trình

đường trung tuyến kẻ từ B là

x  y  z

  , phương trình đường phân

giác trong của góc C là

x  y  z

  Đường thẳng AB có một véc-tơchỉ phương là

A. ur3 2;1; 1  . B. ur2  1; 1;0. C. ur4 0;1; 1 . D. ur11; 2;1.

Lời giải

x y z t

ur   là một véc-tơ chỉ của phương đường thẳng AB.

Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

Dựa vào bảng biến thiên ta có max f t   f  0 5 suy ra �;d  bé nhất khi

M , vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bénhất

A ur2; 2; 1 . B ur1;7; 1 . C ur1;0;2 . D ur3; 4; 4 .

Lời giải Chọn C

khi K �H Đường thẳng AH đi qua A1, 2, 3  và có vectơ chỉ phương

đường phân giác trong góc A là:

Phương trình tham số của đường phân giác trong góc A:

Ta xác định điểm D

Gọi K là giao điểm MD với  d Ta có K t ;6 4 ;6 3 t  t; MKuuuurt;1 4 ;3 3 t  t.

Ta có MKuuuur ru d

với urd   1; 4; 3 nên t4 1 4  t 3 3 3 t0 �t 12.

D D D

x y z

Lời giải Chọn D

Đường thẳng d đi qua điểm 1 M13; 1; 1   và có một véctơ chỉ phương là

Do uuurAB  2;3; 1  không cùng phương với uur1 1; 2;1 nên đường thẳng ABcắt hai đường thẳng d và 1 d 2

Câu 36. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng   : 2x y 2z 2 0, đường thẳng

� � Gọi  là đường thẳng nằm trong mặtphẳng   , song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3 Đườngthẳng  cắt mặt phẳng Oxy tại điểm B Độ dài đoạn thẳng  AB bằng.

Cách 1:

� �� ��

.Gọi d�   �Oxy, suy ra d� thỏa hệ

3 5

CH BC

�

r uuurr

O lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B , C trên các cạnh BC , AC , AB.

Đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trìnhlà

Ta có tứ giác BOKC là tứ giác nội tiếp đường tròn (vì có hai góc vuông K , O cùng nhìn BC dưới một góc vuông) suy ra OKB OCB� �  1

Ta có tứ giác KDHC là tứ giác nội tiếp đường tròn (vì có hai góc vuông K, H cùng nhìn DC dưới một góc vuông) suy ra �DKH OCB�  2

Từ  1 và  2 suy ra DKH OKB� � Do đó BK là đường phân giác trong củagóc OKH và AC là đường phân giác ngoài của góc �� OKH

Tương tự ta chứng minh được OC là đường phân giác trong của góc �KOH và

AB là đường phân giác ngoài của góc KOH �

Ta có OK  ; 4 OH  ; 3 KH  5

Gọi I , J lần lượt là chân đường phân giác ngoài của góc OKH và �� KOH

Ta có I  AC�HO ta có

45

Khi đó A IK OJ � , giải hệ ta tìm được A 4; 1;1.

Ta có IAuur4;7;5 và IJuur24;12;0, ta tính ��IA IJuur uur, � �  60;120; 120  60 1; 2; 2  

.Khi đó đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC có véc tơ

chỉ phương ur 1; 2; 2 nên có phương trình x14 y21 z21.

Nhận xét:

 Mấu chốt của bài toán trên là chứng minh trực tâm D của tam giác ABC

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHK Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa

vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC với I là tâm đường trònnội tiếp, ta có a IA b IB c IC.uur .uur .uur r0, với a BC , b CA , c AB ” Sau khi tìm được

D, ta tìm được A với chú ý rằng A DH� và OA DA .

 Ta cũng có thể tìm ngay tọa độ điểm A bằng cách chứng minh A là tâmđường tròn bàng tiếp góc H của tam giác OHK Khi đó, ta tìm tọa độ điểm

D dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC với J là tâm

đường tròn bàng tiếp góc A, ta có a JA b JB c JC.uur .uur .uuur r0, với a BC , b CA ,

và hai điểm A1; 2; 1 , B3; 1; 5   Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và

cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là lớn nhất Phương trình đường thẳng d là

Do đó d B d ;  nhỏ nhất khi f t  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 27 tại

23

t Suy ra

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ur3uurAI 1;6; 5 .

Vậy phương trình đường thẳng

Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;3 ,) (B 0;1;2) Đường thẳng đi

qua điểm M1; 2; 2  , song song với mặt phẳng  P x y z:    3 0 đồng thờicắt đường thẳng AB có phương trình là

A

123

Đường thẳng d đi qua 2 điểm A B, có phương trình:

Đường thẳng   đi qua M1;1;2

, song song với mặt phẳng  P

đồng thờicắt đường thẳng  d có phương trình là

Viêt được mặt phẳng trung trực của AB:x2y z  1 0� P x: 2y z  1 0.

Phương trình tham số của

.Đường thẳng  nằm trong (ABC) cắt và

vuông góc với d có phương trình

Chọn C

Viết được phương trình mặt phẳng (A B C):2x- 3y+ -z 7=0.

Phương trình tham số của

2(2 3 ) 3( 1 ) 2 t       t t 7 0�t 1�M(5;0; 3)

VTCP của  ur ��u nuur uuurd; ( )P ��   ( 2; 5; 11) 1.(2;5;11)

 nằm trong ( )P cắt và vuông góc với d suy ra đi qua M có VTCP

Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 2; 1  và mặt phẳng  α có phương

trình x y     Đường thẳng d đi qua tâm của đường tròn3z 3 0

( )2 ( )2 2

x- + -y + =z , và vuông góc với mặt phẳng ( )Q x: +3y+ - =2z 1 0.Đường thẳng  đi qua điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng  α cóphương trình là

Viết được phương trình đường thẳng : 2

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

d đối xứng với d qua mặt phẳng Oxy Đường thẳng  đi qua điểm A, cắt'

d và song song với mặt phẳng  α cắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm G có tọa

Ta có

3' : 3 3

làm vec tơ chỉ phương

Vì  // α nên uuur uurAB n α 0 Suy ra

Ta có một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P là nr 1;1; 1  .