DẠNG 38 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

 Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia..  Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng α thì vect

DẠNG TOÁN 38: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

A B I

A B I

A B I

A B C G

A B C G

A B C G

x x x x

y y y

G y

z z z z

r không cùng phương và

, do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

 Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia

 Nếu đường thẳng ∆

vuông góc với mặt phẳng ( )α

thì vectơ chỉ phương

uuur∆ của đường thẳng ∆

chính là vectơ pháp tuyến nα

uur của mặt phẳng ( )α

, tức uuur uur∆ =nα

Với điều kiện A B C: : ≠ A B C′ ′ ′: :

Điều kiện trên chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau Gọi d

là đường thẳng giao tuyến của chúng Đường thẳng d

gồm những điểm M x y z( ; ; )

vừa thuộc ( ) α

vừa thuộc ( ) α′

, nên tọa độ của M là nghiệm của hệ

00

 Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Ox là ri=(1;0;0)

 Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oy là rj=(0;1;0)

 Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Oz là kr=(0;0;1)

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 PTĐT qua 1 điểm, dễ tìm VTCP (không dùng t.c.h)

 PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 mp)

 PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 đt)

 PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho đt+mp)

 PTĐT qua 1 điểm, cắt d1 , có liên hệ với d2

 PTĐT qua 1 điểm, cắt d , có liên hệ với mp ( )P

 PTĐT qua 1 điểm, cắt d1 lẫn d2

 PTĐT qua 1 điểm, vừa cắt – vừa vuông góc với d

 PTĐT qua 1 điểm, vuông góc với d, thỏa ĐK khoảng cách

 PTĐT qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

 PTĐT cắt 2 đường thẳng d d1, 2, thỏa ĐK khác.

 PTĐT nằm trong ( )P

, vừa cắt vừa vuông góc với d

 PTĐT là hình chiếu của đường thẳng d trong ( )P

 PTĐT thỏa ĐK đối xứng

 PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

BÀI TẬP MẪU

Câu 38 : (ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Trong không gian Oxyz, đường thẳng

đi qua hai điểm A(1; 2 ; 1 ;− ) (B 2 ; 1;1− )

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm cho trước

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Tìm tọa độ véc tơ chỉ phương AB

uuur

B2: Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Phương trình trung tuyến AM

của tam giác ABC là

qua hai điểm A

x y

x

y t z

x t y z

x y

y t z

Véctơ chỉ phương của đường thẳng AB

là uuur AB = − (2; 3;4)

.Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A

A.

2

10 ;4

C.

1

5 ;2

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3; 1 , 1;2;4− ) (B )

C.

23

( 1; 1;5)

AB= − −

uuur

.Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng AB

đi qua điểm A(2;3; 1− )

vànhận BAuuur=(1;1; 5− )

 Xét phương án C

23

là phương trình tham số của đường thẳng AB

vì đường thẳng này đi qua A(2;3; 1− )

và nhận uuurAB= − −( 1; 1;5)

làm vectơ chỉ phương

 Xét phương án D

12

Câu 8. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD MNPQ. tâm I

, biết( 0;1;2), (1;0;1), ( 2;0;1)

và song song với OB có phương trình là

A.

1 2

2 33

Chọn OBuuur= −( 2;3;1)

là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm

Phương trình đường thẳng qua A(1;2; 3− )

và song song với OB là

1 2

2 33

làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là :

( 1;0; 2)

AB= −

uuur

là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng AB

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;2 ;) (B 2; 1;3− )

Viếtphương trình đường thẳng AB

Vec tơ chỉ phương của đường thẳng AB là uuurAB= −(1; 2;1)⇒

Phương trình đường thẳng AB là

x− = y− = z−

−

Câu 13. Trong không gian Oxyz

, viết phương trình chính tắc của đường thẳng D điqua hai điểm A(1;2; 5 , 2;3; 7- ) (B - )

Chọn A

Ta có D đi qua A(1;2; 5- )

và có vec tơ chỉ phương là AB=uuur (1;1; 2- )

nên cóphương trình chính tắc là:

Ta có uuurBA=(1:1; 5)−

Các đường thẳng còn lại đều có véc-tơ chỉ phương (1;1; 5− )

và đi qua điểm(2;3; 1)

hoặc đi qua điểm B(1; 2;4)

Câu 16. Phương trình tham số của đường thẳng ( )d

đi qua hai điểm A(1;2; 3− )

và(3; 1;1)

ïï = íï

-ï =- +ïïî

íï

ï =- +ïïî

-ïï = +íï

ï = ïïî

íï

ï =- +ïïî

Lời giải Chọn B

Ta có: A(2;4; 1- )

, AB=uuur (3; 4;8- )

.Điểm M thuộc tia AB khi và chỉ khi AMuuuur=t AB t.uuur( ³ 0)

íï

ï =- +ïïî

Đường thẳng ∆

đi qua điểm B và vuông góc mp P( )

cóphương trình là

Vậy phương trình đường thẳng ∆

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho ba điểm A(1;3;2 , 1;2;1 ,) (B ) (C 1;1;3)

.Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆

đi qua trọng tâm G của tamgiác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC)

A.

1 3: 2 22

A. Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm A B C, , là đường thẳng

Khi đó AB AC. =0

uuu r uuur

suy ra tam giác ABC vuông tại A

, suy ra tập hợp các điểmcách đều ba điểm A B C, , là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC)

tại

33; ;2

của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của BC ⇒I(0;2;0)

.Đường thẳng d cần tìm đi qua I(0;2;0)

và nhận vectơ

1 , 2

có phương trìnhlà

Chọn C

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )P

nên có vectơ chỉ phương(1; 1; 2)

ur= −

.Đường thẳng d đi qua A(1;2; 1− )

và song song với OB có phương trình là

A

1 2

2 33

Chọn OBuuur= −( 2;3;1)

là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm

Phương trình đường thẳng qua A(1; 2; 3− )

và song song với OB là

1 2

2 33

, viết phương trình dạng chính tắc của đường thẳng

Ta có đường thẳng d đi qua điểm

Câu 10. Trong không gian

Oxyz

, cho các điểm A(1;2;0 , 2;0;2 ,) (B ) (C 2; 1;3 ,- ) (D 1;1;3)

.Đường thẳng đi qua C và vuông góc với mặt phẳng(ABD)

có phương trìnhlà

A

2 4

2 32

ì = ïï

ïï = íï

ï = ïïî

2 4

1 33

ì = +ïï

ïï =- +íï

ï = ïïî

-

C

2 4

4 32

ì =- +ïï

ïï =- +íï

ï = +ïïî

2 4

1 33

ì = +ïï

ïï =- +íï

ï = +ïïî

Lời giải Chọn D

+ Đường thẳng cần tìm đi qua C(2; 1;3- )

ì = +ïï

ïï =- +íï

ï = +ïïî

.

Câu 11. Trong không gianOxyz,

cho đường thẳng

31

Viết phương trình mặt phẳng ( )a

chứa d và vuông gócvới ( )P

chứa d và vuông góc với ( )P

là( ) ( )

2 x- 1 +2 y- 3 + = Ûz 0 2x+2y z+ - 8 0.=Chọn đáp án C

Câu 12. Cho đường thẳng

song songvới ( )P

Đường thẳng ∆

đi qua điểm M(1;1; 2− )

song song với ( )P

và vuông góc với

d

có VTCP

( ) , (2;5; 3)

ur =u nuur uuur= −

.Phương trình chính tắc của ∆

Câu 13. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 3; 4− )

có một VTPT nur′ =(3; 5; 1− − )

.Đường thẳng ∆

có một VTCP

1 , 1; 1; 2 5

ar= n nr ur′ = −

.Đường thẳng ∆

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 4;0− )

,B(3;0;0)

Viết phươngtrình đường trung trực ( )∆

là trung điểm của AB

nằm trong mặt phẳng ( )R đồng thời cắt vàvuông góc với

đường thẳng ∆1

có phương trình là

A

31

Phương trình tham số của đường thẳng ∆1

là

21

Mặt phẳng ( )R có VTPT nr =(1;1; 2);−

Đường thẳng ∆1

có VTCP ur =(2;1; 1)−

.Khi đó [ , ]n u =(1; 3; 1)− −

r r

.Đường thẳng ∆2

nằm trong mặt phẳng ( )R đồng thời cắt và vuông góc với

Như vậy đường thẳng OH có một véctơchỉ phương là

Phương trình tham số của

cắt d d, ′ lần lượt tại các điểm A B, thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB

Ta có ∆ ∩ =d A(1 ;2 ; ,+t −t t) ∆ ∩ =d′ B t(2 ;1′ +t′;2+t′)

.(2 1; ' 1; 2)

AB= t′− −t t t+ − t′− +t

uuur

.1

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1 3: 1 41

và có vectơ chỉ phương ur= −( 2;1;2)

Đường phângiác của góc tù tạo bởi d và ∆

có phương trình là

A

1 27 : 1 1 1

Ta có A(1;1;1) = ∩ ∆d

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương uuur1 =(3; 4;0)

.Đường thẳng ∆

có vectơ chỉ phương uuur2 = −( 2;1;2)

A −

, B(1; 1;3− )

Trong các đường thẳng đi qua A và song song với ( )P

,đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất cóphương trình là

Đường thẳng trong đáp án C, D không đi qua A, nên ta loại C, D

Do đó, đường thẳng trong đáp án B không song song với ( )P

1

M∈d ⇒M(1 2 ; 1+ t − + −t t; ) ⇒uuuurAM = − +( 1 2 ; 2t − + −t t; )

.1

Viết phương trình chính tắc của đườngthẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng ( )P

sao cho khoảng cách từ Bđến d nhỏ nhất

Gọi mặt phẳng ( )Q

là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng ( )P

.Khi đó phương trình của mặt phẳng ( )Q

Câu 6. Cho hai điểm A(3; 3;1)

A

7 32

là mặt phẳng trung trực của AB và d=( ) ( )α ∩ P

Khi đó d chính làđường thẳng thuộc mặt phẳng ( )P

và cách đều hai điểm A B,

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 0), B( 1; 0; 1)− và

điểm M thay đổi trên đường thẳng

sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm A B ,

cóphương trình là

A

7 3 2

Mọi điểm trên d cách đều hai điểm A B ,

nên d nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn AB

nên d là giao tuyến của hai mặt phẳng:

Lời giải

Chọn A

Trong 4 đường thẳng đã cho sẽ có 2 đường thẳng đồng phẳng Nhận thấy không có 2 đường thẳng nào song song với nhau nên ta phải tìm cặp đường thẳng cắt nhau tạo nên một mặt phẳng chứa chúng Về lý thuyết phải thử tối đa 6 phép thử để tìm ra 2 đường thẳng cắt nhau

Ta tìm ra được hai đường thẳng cắt nhau là d2∩ =d4 (4;2; 1− )

Ta sẽ lập phương trình mặt phẳng ( ) α

chứa hai đường thẳng này

Cặp VTCP của mặt phẳng là: ur2 = −( 1;1;2 ,) ur4 =(3;0; 2− )

.Suy ra VTPT nr( )α =[u ur r2, 4]= −( 2;4; 3− )

.Khi đó phương trình mặt phẳng là: ( ) α : 2− +x 4y− − =3z 3 0

cắt cả 4 đường thẳng nên phải đi quaAB

Đường thẳng ∆

có phương trình tham số là

1

1 32

Lấy điểm B(0;1; 3− ∈) d

.Phương trình mặt phẳng ( )P

đi qua điểm B và vuông góc với đường thẳng

và C là điểm đối xứng với B qua H Khi đó AC đối xứng với

Phương trình đường thẳng ∆ song

song với hai mặt phẳng ( ) ( )P ; Q

và cắt D D1; 2 là

A

23712271167

C

23712271167

Gọi H K; là giao điểm của D và 1 2

Vì song song với hai mặt phẳng ( ) ( )P ; Q

nằm trong mặt phẳng (α

), cắt cả hai đườngthẳng 1

) nên M N, ∈( )α

Tìm tọa độ điểm M

Lời giải Chọn D

Do M thuộc a, N thuộc bnên gọi M t t( ; ; 2− t)

và N(− −1 2 ', ', 1t t − −t')

Suy ra( 1 2 ' ; ' ; 1 ' 2 )

thì MNuuuur= −( 1;0; 1− )

(loại do không có đáp án thỏa mãn)

Với

47

t = thì

Tập hợp trungđiểm của đoạn thẳng AB là đường thẳng

A B I

A B I

A B I

1 1 323

22

I

I

I

a a

x

y

a a

1 2524

524

Gọi d′

là hình chiếu vuông góc của d lên ( )P

Phươngtrình tham số của d′

là

A

6225

61 2

x y

Mặt phẳng ( )P

có một VTPT là nuurP =(3;5; 1− )

Đường thẳng d có PTTS:

12 4

9 31

Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( )P

.Đường thẳng BH đi qua B(12;9;1)

và có vectơ chỉ phương uuuur uurBH =n P =(3;5; 1− )

có PTTS là

12 3

9 51

Gọi 2 giao điểm của đường thẳng ∆

và d d1, 2 là(2 ;1 ; 2 ) (, 1 2 ;1 ;3)

A B

Đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Ta có tứ giác BOKC là tứ giác nội tiếp đường tròn (vì có hai điểm K , O cùngnhìn BC dưới một góc vuông) Suy ra

· · ( )1

OKB OCB=

Ta có tứ giác K DHC là tứ giác nội tiếp đường tròn (vì có hai điểm K , Hcùng nhìn DC dưới một góc vuông) Suy ra

, giải hệ tìm được A(− −4; 1;1)

Khi đó IAuur =(4;7;5)

và IJuur =(24;12;0)

Ta tính IA IJuur uur,  = − ( 60;120; 120− ) = −60 1; 2;2( − )

.Khi đó đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Câu 2 Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu ( ) ( )S1 , S2

Hai mặt cầu (S1),(S2) có tâm lần lượt là là gốc toạ độ O, điểm I(0;0;1) và bánkính lần lượt là

1 5; 2 2

R = R =

.Gọi A là tiếp điểm của d và (S2), ta có IA = R2 = 2

Vì d cắt ( )S1

theo một đoạn thẳng có độ dài bằng 8 nên

2 2

Câu 3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(−3;3; 3− )

thuộc mặt phẳng ( )α : 2x−2y z+ + =15 0

và mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

S x− + y− + −z =

Đường thẳng ∆

Ta có: Mặt cầu ( )S

có tâm I(2;3;5)

, bán kính R=10

.( )

.Gọi ∆1

là đường thẳng qua I và vuông góc với ( )α ⇒ ∆1

x y z

và có VTCP MHuuuur=(1;4;6)

0

44

a

f a

a a

đến ( )P

nhỏ nhất khi và chỉ khi ( )d

đi qua H là hình chiếu của M(−1;3;4)

xuống (xOy) ⇒H(−1;3;0)Vậy ( )d

là đường thẳng đi qua M , nhận vectơ ur =(a b c; ; )

làm vectơ chỉ phương

và song song với mặt phẳng ( )P : 2x y z+ + =0

sao cho khoảng cách từ N đến

và Q(2;2;2) ⇒uuurPQ=(1;1;1)

Nên

1: 11

Câu 7 Trong không gianOxyz, cho điểm A(0;1;9)

và mặt cầu( ) ( ) (2 ) (2 )2

Lấy hai điểm M N, trên ( )C

sao cho MN =2 5

Khi tứ diện OAMN có thể tích lớn nhất thì đường thẳng MN đi qua điểm nào trong số các điểm dưới đây?

A (5;5;0)

1

; 4;05

.Gọi H là tâm đường tròn ( )C ⇒H(3; 4;0 ,) IH ⊥(Oxy)

Phương trình đường thẳng

214528

50

b

c =

32

b

c = −

112

H A

Vì đường thẳng d đi qua A

, song song với mặt phẳng ( )P

nên d ⊂( )Q

.Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của B

lên đường thẳng d và mặt phẳng ( )Q

.Khi đó d B d( ,( ) ) =BH BK≥

Suy ra d B d( , )min =BK ⇔ H ≡K

.Gọi ∆

là đường thẳng đi qua B

11 21; ;

112

M

⇒

và C(4;3;1)

.Gọi ( )P

là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d2

d ⇒ ∈N ( )BC

và N∈( )P

Gọi I là trung điểm của AN⇒ = ∩I d2 ( )P ⇒ =I (2; 4;2)⇒N(2;5;1)

A

AB B

B B

ta có IAuur(−1;1; 2 ,− ) (IBuur − −1; 2;1)⇒ uur uurIA IB. = − < ⇒3 0 ·AIB

là góc tùTheo yêu cầu bài toán ta viết phương trình của đường phân giác của góc

·AIB

với B(0; 2;4− )

(không cần xét trường hợp kia)

Gọi M

là trung điểm của AB

suy ra

1 50; ;