DẠNG 12 PHƯƠNG TRÌNH mũ

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán giải phương trình mũ.. B3: Tìm nghiệm của phương trình.. Vậy nghiệm của phương trình là x3.. DẠNG TOÁN 12: PHƯƠNG TRÌNH MŨ... Vậy phương trình đã cho có một

Trang 1

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Các công thức thường dùng để giải phương trình mũ

  a m n a a m n.

  m n m

n

a





.

 �� a m��n a m n.

  a b n a b n n.



n

� �

� �





� � � �

� � � �

� � � �.

Phương trình mũ cơ bản:

 

f x

a

a b� f x  b

và a f x( ) a g x( ) � f x( )g x( )

Bất phương trình mũ cơ bản:

Với a thì 1 a f x( ) a g x( ) � f x  g x  .

Với 0  thì a 1 a f x( )a g x( )� f x  g x  .

BÀI TẬP MẪU (ĐỀ THAM KHẢO-BDG 2020-2021) Nghiệm của phương trình 52x4 25 là

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán giải phương trình mũ

2 HƯỚNG GIẢI

B1: Đưa về cùng cơ số

B2: Áp dụng công thức a f x( ) a g x( ) � f x( )g x( ).

B3: Tìm nghiệm của phương trình

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Ta có: 52x4 25�2x 4 2� x3 Vậy nghiệm của phương trình là x3.

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Phương trình 3x1 có nghiệm là9

A x1. B x2. C x 2. D x 1.

Chọn A

Ta có: 3x19�3x132 � x 1 2�x1.

DẠNG TOÁN 12: PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Trang 2

Câu 2. Tập nghiệm của phương trình

2

16

x  x 

là

A  0;1 B � C  2; 4 D 2;2 .

Ta có

0 16

x

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là T  0;1 .

Câu 4. Nghiệm của phương trình 22x3  là2x

Chọn C

Ta có 22x3 2x �2x 3 x� x3 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm 3

x

Câu 5. Nghiệm của phương trình 22x2  là2x

A x 2. B x2. C x 4. D x4.

Chọn B

2 2

2 x 2x �2x 2 x� x2.Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 2

Câu 6. Số nghiệm của phương trình 2x2 x 3 1

 là:

Điều kiện xác định: x ��.

Ta có: 2x2 x 3 1�2x2   x 3 0

1 3 2

x x



�

�  

Vậy phương trình có 2 nghiệm

Câu 7. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 32x 3x4.

A S � ; 4. B D 0; 4 . C S   � 4; . D S 4;�.

Lời giải Chọn D

Ta có 32x 3x4 � 2x x 4� x4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 4;�.

Câu 8. Nghiệm của phương trình 3x13100 là

A 11 B 9 C 101 D 99

Ta có: 3x13100 � x 1 100� x99.

Câu 9 Tập nghiệm của bất phương trình

1 4 2

x

� �

� �

� � là

Trang 3

A  �2; . B  �; 2. C �;2 . D 2;� .

Lời giải Chọn B

Điều kiện xác định: x��.

1

4 2

x

� �

� �

2 1

2 2

x

� �

� �

2

� � � �

� � � �

� � � � � x 2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S    �; 2 

Câu 10 Số nghiệm thực của phương trình 9x2 4x 3 là1

Ta có :

3

x

�phương trình có hai nghiệm thực

Câu 11. Phương trình 5x2 2 1x  có bao nhiêu nghiệm?1

Ta có 5x2 2 1x 1� x2  2x 1 0� x1 Nên phương trình có 1 nghiệm

 Mức độ 2

Câu 1. Tập nghiệm S của phương trình 3x22x 27.

A. S  1;3 . B. S   3;1 . C. S    3; 1 . D. S   1;3 .

Ta có:

3

x x

x

Vậy tập nghiệm S của phương trình 3x22x 27 là S  1;3 .

Câu 2. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 22x2 5x 4 4

A.

5 2



5

2

1

2

x x

x

�

 

� Vậy tổng hai nghiệm bằng

5 2



Câu 3 Cho phương trình 4x22x2x2 2x 3  Khi đặt 3 0 t2x2  2x, ta được phương trình

nào dưới đây?

A t2   8t 3 0 B 2t2  3 0 C t2   2t 3 0 D 4t 3 0.

Lời giải

Trang 4

Chọn A

Phương trình 4x22x2x2 2x 3  3 0  2 2 2

2x x 2 2x x 3 0

�

Khi đó, đặt t 2x22x, ta được phương trình t2   8t 3 0

Câu 4 Tìm tập nghiệm S của phương trình

1 2

4x 5.2x 2 0

A S   1;1. B S  1 . C S  1 . D S   1;1.

Ta có

1 2

4x 5.2x 2 0

   � 2.22x5.2x  � 2 0

1

2 2 1

2

x

� 

�

�  

1 1

x x



�

�  

� Vậy tập nghiệm của phương trình S   1;1.

Câu 5 Nghiệm của phương trình 2x2x1  3x 3x1

là

A 34

3 log

3 log 4



x

2 log 3



x

Lời giải Chọn C

Ta có: 2x2x1  3x 3x1 �3.2x4.3x

� �

� � ��

x

3 2

3 log 4



� x

Câu 6 Phương trình 9x3.3x  có hai nghiệm 2 0 x , 1 x 2 x1x2 Giá trị của biểu

thức A2x13x2 bằng

Đặt t 3x t0, khi đó phương trình trở thành t2   3t 2 0 t 12  tm

t



�

� �� Với t  ta có 3 11 x � x0

Với t ta có 2 3x 2� xlog 23

Suy ra phương trình có hai nghiệm là x1 và 0 x2 log 23

Vậy A2x13x2 2.0 3log 2 3 3log 23 .

Câu 7 Biết x và 1 x là hai nghiệm của phương trình 16 3.4 2 02 x x  Tích P4 4x1 x2

bằng

A 3. B 2 C

1

Trang 5

Ta có: 16x3.4x 2 0

x x

� �



�

0 1 2

x x



�

� 

� � P4 40 12  2

Câu 8 Tập nghiệm của bất phương trình

2 1

3 3

x





� � 

� �

A 2;� . B  1; 2 C 1;2  D 2;� .

Điều kiện: x�2

Ta có:

2 1

3 3

x





� � 

� �

2

� � � �� x 2 x

2 2

x



�

� �

 

2 0

x x

��

� 

�

�   

0 1 2

x x x



�

�  �

�

� �

Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình 2x27 4 là

A ( 3;3) . B. (0;3) C.(� ;3) D (3; � )

Ta có : 2x2-7<4�2x2 - 7<22 �x2- 7 2< �x2 <9 � �-x ( 3;3 )

Câu 10. Cho bất phương trình 4x5.2x1 � có tập nghiệm là đoạn 16 0  a b; Tính

 2 2

log a b .

Bất phương trình 4x5.2x1 �16 0 ��4x 10.2x�16 0� 2 2x 8ۣ�ۣ 1 x 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  1;3

Suy ra a1;b nên 3 loga2b2log 1 2321.

 Mức độ 3

Câu 1. Gọi x x là 1, 2 2 nghiệm của phương trình 5x12x21 Tính Px11 x21.

A. 0 B 2log 5 22  C 2 log 5 12  D.log 252 .

Ta có: 5x12x21�log 22 x21 log 52 x1 2  

2

1 1 log 5

�

x1  x 1 log 52  0

1

1 log 5

x x



�

� �  � Hai nghiệm của phương trình 5x1 2x21là x11,x2   1 log 52 .

 1 1  2 1 1 1  1 log 5 12  2log 5 log 252 2

Trang 6

Câu 2 Từ phương trình 3 2 2  x2 2 1 x 3

đặt t 2 1 x

ta thu được phương trình nào sau đây?

A t3   3t 2 0 B 2t33t2  1 0 C 2t3   3 1 0t D 2t2   3 1 0t

Nhận xét:  2 1   2 1  1

và  2

2 1  3 2 2

Đặt t 2 1 x

, t0 Suy ra    2

3 2 2 x  2 1 x  2 2

2 1 x t



Phương trình đã cho được viết lại:

3 2 2

1

2t 3 2t 3t 1 0

Câu 3 Kí hiệu x , 1 x là hai nghiệm thực của phương trình 2 4x2 x2x2  x1 Giá trị 3

của x1x2 bằng

Ta có 4x2x2x2 x 13  2 2 2  

2xx 2.2xx 3 0 *

�

Đặt

2

2x x, 0

t  t Khi đó phương trình  * trở thành:

2 2 3 0

t   t

1 3

t t



�

� � � Đối chiếu với điều kiện t0

ta được t  1 Với t  , ta có 1 2x2x 1� x2 x 0

0 1

x x



�

� �� Vậy x1x2 1.

Câu 4 Phương trình 2  3 x 2  3x m

có nghiệm khi:

A m� � ;5 B m�1;  � C m� � ;5 D m�2;  �

Đặt 2  3x t

, t  0 phương trình trở thành t 1t m

Vì t 0 nên ta có

Cos 1 2

i

m t

t

  �

nên m� 2 thì phương trình có nghiệm

Câu 5 Giá trị của tham số m để phương trình 4xm.2x12m có hai nghiệm 0 x x1, 2

thỏa mãn x1  là:x2 3

A m 3 B m 1 C m4. D m 2

Trang 7

Có 4x2 2m x2m0  1 Đặt t2x t0.

Khi đó  1 trở thành t22 m t2m0  2 .

Để  1 có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1  thì x2 3  2 có hai nghiệm t t1, 2  0

thỏa mãn

1 2 8

t t 

2

1 2

t t m

Câu 6 Có bao giá trị nguyên dương của m để phương trình 4x m 2x 2 m   5 0 có

hai nghiệm trái dấu?

Đặt t   2x 0.

Do phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 0 x2� 2x1   20 2x2

0  1

Suy ra phương trình trở thành t2  mt 2 m   5 0 có hai nghiệm 0  t1 1 t2

Suy ra

0

1 0

 

�

    � �  

�   

�

P S

2 8 20 0

4 2

� 

�    

�

m

m m

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

25x- 3.5x+ - = có hai nghiệm phân biệt?m 1 0

Đặt t=5x (t>0) Phương trình đã cho trở thành: t2- 3t m+ - =1 0 1( ).

Phương trình đã cho có hai nghiêm phân biệt

( )1

� có hai nghiệm dương phân biệt

0 0 0

b a c a

�

�D >

�

� -� >

�

� >

�

13

1 4

m

�

� - > � <

�

13 1

2;3 4

m

m m

�

�< <

�

� �

�

Câu 8 Phương trình 34x4 81m1 vô nghiệm khi và chỉ khi

A m� 1 B m 1 C m 1 D m� 1

Lời giải

Trang 8

Chọn B

Ta có 34x4 81m1 �81x 1 81m 1 � x   1 m 1

Phương trình vô nghiệm �m  1 0 �m 1

Câu 9 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x m 2x1 2 m   3 0 có hai

nghiệm x , 1 x thoả mãn 2 x1  ?x2 4

A m 8 B

13 2

5 2

Đặt t  2xt  0, phương trình có dạng: t2 2 mt  2 m   3 0 (*).

Để phương trình có hai nghiệm x , 1 x thì phương trình (*) có hai nghiệm 2 dương phân biệt t , 1 t 2

Khi đó:

1 3

m m

 

��

�

Ta có: t t1 2 2m3� 2 2x1 x2  2 m  3 � 2x x1 2  2 m  3 �m132

Vậy

13 2

Câu 10 Bất phương trình 2.5x25.2x2 �133 10x có tập nghiệm là S  a b; thì biểu

thức A 1000b 4a 1 có giá trị bằng

A 3992 B 4008 C 1004 D 2017

Ta có: 2.5x25.2x2 �133 10x � 50.5x 20.2x� 133 10x

� � ��

Đặt

5 2

x

 � ��

� �, t 0, ta được bất phương trình: 50t2133 20 0t �

25 t 2

ۣ

�

ۣ

Với

25� �t 2

, ta có:

x

� �

��

x



4 x 2



� � � Tập nghiệm của bất phương trình là S   4; 2 �a 4, b2.

1000 4 1

A b a

�  1000.2 4     4 12017.

Câu 11 Tập nghiệm của bất phương trình 2  

3x   x 9 5x 1 là khoảng a b;  với ,

a b là phân số tối giản Tính ba

Trang 9

A 6 B 3 C. 8 D 4.

3x   x 9 5x 1  1

Có 5x1  0 x

Xét x2  9 0, VT  1    30 0 1 (loại).

Xét x2  � 9 0  

x

x x





�

  �� VT  1 1 (loại).

2

9 0

x





�

  �� VT  1 1 luôn đúng.

Có x2   9 0 � �x  3;3

� Tập nghiệm của bất phương trình là:  3;3 �b a  6

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình m.4x(m1).2x2   m 1 0

nghiệm đúng với mọi  ��x .

A m�  1 B m 1 C m� 1 D m 1

Ta có:

x

x x

Đặt t2 ;x t 0

4 1

t



 

2 2 2

4 1

 

 

, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (0;  � )

Từ đó ta có 0  f t    1 , t� ( 0 ;  � )

Để (1) nghiệm đúng với mọi x thuộc tập � khi m� 1

 Mức độ 4

Câu 1 Tìm số giá trị nguyên của tham số m�2021;2021 để phương trình

10 1 x m 10 1 x 2.3x 

có đúng hai nghiệm phân biệt?

Lời giải

Chọn D

Trang 10

Đặt

, 0

t

2 1

(1) t m 6 t 6t m 0

t

(2)

Để (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm lớn hơn 1

2 (2)�m  t 6t Xét hàm số f t( )   trên khoảng (1; )t2 6t � , ta có:

f t�   t f t�  �t

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m 5 hoặc m là giá trị thỏa mãn yêu9 cầu bài toán

Do m�2021;2021 nên m  2020; 2019; 2018; ;1;2;3;4;9   .

Suy ra có 2026 giá trị m nguyên cần tìm.

Câu 2. Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình

4x 4x  m1 2 x2 x  16 8m có nghiệm trên  0;1 ?

4x 4x  m1 2 x2 x  16 8m� 4 4 x4x 4m1 2  x2x 16 8m

Đặt t u x   2x2x, x� 0;1

  2 2 x 2 x 0

u x� Ln     �x  0;1 Suy ra u 0 � �t u 1

hay

3 0;

2

��

2 4x 4 x 2.2 2x x 4x 4 x 2 2

t         t

Phương trình trở thành: 4t224t m   1 16 8m

 

t  t m   m

� �t2t m  1 2m 2 0�m t    2 t2 t 2

 2  2  1

3

2 1

t m

�

 

 

�

Để phương trình đã cho có nghiệm trên  0;1 thì phương trình t m 1 phải có

3 0;

2

Trang 11

Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2sin2x3cos2x m.3sin2x có nghiệm?

Ta có: 2sin2x 3cos2x m.3sin2x � 2sin2x31 sin 2x m.3sin2x.

Đặt t  sin2x, t� 0;1 Phương trình đã cho trở thành:

3

t

t  t m t � � ��   t m

3 3

t t

f t � ��  

� � , với t� 0;1 Ta có   2 2 1 2

.ln 2.3 ln 3

t

� �

  2 2 2 1 2  2

ln 4.3 ln 3 0

t

 

f t�

� liên tục và đồng biến trên  0;1 nên    1 2ln2 0

3 9

f t� �f�    �t  0;1 .

 

f t

� liên tục và nghịch biến trên  0;1 nên f  1 �f t  �f  0  �t  0;1

Suy ra 1� � m 4

Câu 4 Các giá trị của m để phương trình   2   2

5 1 x m 5 1 x 2x 

có đúng bốn nghiệm phân biệt là khoảng  a b; , ,a b ��; ,ab là các phân số tối giản Giá trị b a là

A

1

49

1

3

4

5 1 x m 5 1 x 2x  1

m

�  � �  �

� ��

Vì

5 1 5 1

nên đặt

2

5 1 2

x

 ��

� ��0t � và 1

2

x t

�  �

Ta có phương trình

1 1 4

t m t

4m  4t t

Ứng với một nghiệm t� 0;1 của phương trình  2 ta có 2 nghiệm x phân

biệt của phương trình  1 .

Do đó, phương trình  1 có 4 nghiệm phân biệt � phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  0;1 � Đường thẳng y 4m cắt phần đồ thị

của hàm số f t    4t2 t với t� 0;1 tại 2 điểm phân biệt.

Bảng biến thiên của hàm f t    4t2 t với t� 0;1

Trang 12

Từ bảng biến thiên suy ra

1

0 4

16

m

64

m

 

�

Vậy a ;0 b 641 1

64

b a 

�

Câu 5 Cho phương trình emcosxsinxe2 1 sin  x  2 sinx m cosx với m là tham số thực.

Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm Khi đó S

có dạng � �;a b;� Tính T 10a20b.

A T 10 3. B T 0. C T  1 D T 3 10.

Ta có emcosxsinxe2 1 sin  x  2 sinx m cosx

2 1 sin cos sin

em x xmcosxsinxe  x 2 1 sin x

�

Xét hàm số f t   et t t��, f t�    e 1 0t � f t  đồng biến trên �.

Suy ra emcosxsinxmcosxsinxe2 1 sin  x 2 1 sin  x �mcosxsinx2 1 sin  x

cos sin 2

 ; 3 3; 

S   � � 

Vậy T 10a20b 10 3.

Câu 6 Cho bất phương trình m.3x1(3m2)(4 7)x (4 7)x 0, với m là tham số.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm

đúng với mọi x� � ;0 .

A

2 2 3 3

1 3x (3 2).(4 7)x (4 7)x 0

Đặt

3

x

t �� ��

Khi x0thì 0 t 1

BPT trở thành

3m m t 0,

t



    �t  0;1 .

2 2

1

t m t

 



�

  �t  0;1 .

Trang 13

Xét

2 2

1

t

f t

t

 



  �t  0;1 .

2 '

2

t

t t

f t

�  

  

Vậy ycbt

3 3

m  m 

Câu 7 Phương trình 2x  2 3m 3x x36x29x m 2x 2 2x 11 có 3 nghiệm phân biệt

khi và chỉ khi m�( ; )a b ; ,a b�� Đặt T b  thì:2 a2

A T 36. B T 48. C T 64. D T 72.

Ta có 2x 2 3m3x x36x29x m 2x2 2x11 3 3  3 3 2

2 m x x 2   8 m 3x2 2 x

�

2 m x m 3x2 x 2 x

Xét hàm f t   2t t3 trên �.

có f t�  2 ln 2 3t  t2   ��0, t nên hàm số liên tục và đồng biến trên �.

m x x �m  8 9x 6x2x3. Xét hàm số f x    x3 6x29x8 trên �.

có f x�   3x212x9;   0 3

1

x

f x

x



�

�  � �� . Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có, phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi

4 m 8. Suy ra: T b 2 a2 48.

Trang 14

Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để phương trình

ex ex

m m  có nghiệm thực?

A 9 B 8 C 10 D 7

Điều kiện:

x x

m

�

Đặt t me , x t�0 ta suy ra:

 2

2

e

x

m t

�

�  

ex   t t ex

� �ext ex  t 1 0

 

x x

t t

�  

� �

  

Phương trình  2 vô nghiệm vì ex   t 1 0

Phương trình  1 tương đương với ex t

ex  mex

ex e 3x

�

Phương trình m mex e *x  có nghiệm thực khi phương trình  3 có

nghiệm thực

Xét hàm số    2

ex ex

f x   với x��, ta có:

   2

2 ex ex 0

Bảng biến thiên của hàm số    2

ex ex

Dựa vào bẳng biến thiên suy ra phương trình  3

có nghiệm khi

1 4

Kết hợp với giả thiết m là số nguyên nhỏ hơn 10 ta suy ra

0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9

Vậy có 10 giá trị thỏa mãn

Câu 9 Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình sau có nghiệm?

eme m2 x 1x 1x 1x

Điều kiện : x�1;1.

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,25 MB