Các dạng toán lập phương trình mặt phẳng trong không gian

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Bài 1.. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt p

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Bài 1 Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( 4;1;3) và đường thẳng

:

 Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và vuông

góc với đường thẳng d

Giải:

Đường thẳng d có VTCP là u d  ( 2;1;3)

Vì ( )P d nên ( )P nhận u d  ( 2;1;3)làm VTPT

Vậy PT mặt phẳng ( )P là: 2( x 4) 1(y 1) 3(z 3) 0

   2x y 3z180

Bài 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

( ) :P x   y z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (P)

Giải:

Gọi mặt phẳng ( ) là mặt phẳng cần tìm Trục Ox chứa điểm O và vectơ

(1;0;0), ( )

i P có vtpt n( )P (1;1;1) ( ) chứa trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (P) nên nó qua điểm O và có n( )  n( )P ,i(0;1; 1)

Vậy, phương trình ( ) : y z 0

Bài 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (2;3;1)A và đường

thẳng

2

1 2

  



  



   



Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường

thẳng d

Giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M( 2;1; 1)  và có vtcp u(1;2; 2),  MA(4;2;2)

( )P đi qua A và chứa d nhận nu MA, (8; 10; 6)  làm vtpt Vậy phương trình của ( )P là: 4x5y3z100

CÁC DẠNG TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG

KHÔNG GIAN

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Bài 4 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

: 1 1

 Viết phương tình mp (P) chứa , vuông góc với mặt phẳng Oxy

Giải:

Đường thẳng  có vectơ chỉ phương u(1;2; 1) đi qua M(1; 1;0) , mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến k (0;0;1)

Suy ra (P) có vectơ pháp tuyến nu k, (2; 1;0) và đi qua M

Vậy (P) có phương trình là: 2(x 1) (y 1) 0 hay 2x  y 3 0

Bài 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( ) :P x y 2z 4 0 và mặt cầu( ) :S x2 y2z22x6y4z11 Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Giải:

Mặt cầu (S) có tâm I 1;3; 2 và bán kính R  5

Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: x y 2z D 0, D4.

Mặt phẳng (Q) tiếp xúc mặt cầu (S) khi và chỉ khi

6 5 6

D

d I Q R

D D

D

   

  

 



Vậy có hai mặt phẳng (Q) thỏa mãn đầu bài là:

(Q) :x y 2z 6 5 60; (Q ) :x y 2z 6 5 6 0

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Bài 6 Trong không gian cho tam giác ABC có A(1;-1;3) B(-2;3;3);C(1;7;-3)

lập phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm chân đường phân giác trong kẻ từ A trên cạnh BC

Giải:

Có: ( 3;4;0) , ( 24; 18; 24)

(0;8; 6)

AB

AB AC AC



 

Do AB AC là hai véc tơ không cùng phương có giá nằm trong (ABC) nên , ,

AB AC

  là một véc tơ pháp tuyến của (ABC).Chọn véc tơ pháp tuyến của (ABC) là n(4;3;4) Suy ra (ABC) có phương trình:

4(x 1) 3(y 1) 4(z  3) 0 4x3y4z13

Bài 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;3) và đường

x  y  z

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua K(1;0;0), song song với đường thẳng d, đồng thời cách điểm M một khoảng bằng 3

Giải:

(P) đi qua K(1;0;0)nên phương trình (P) dạng:

A x(  1) ByCz0 (A2B2C2 0)

2 3 0 (1)

( )

( 2;4; 1) ( ), ( )

u n



        

3

( 3 ) 3( ) (3)

d M P

 

 

Từ (1) suy ra C 2A3B, thay vào (3) ta được:

A B





Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Với AB , ta có CB, không thỏa mãn (2)

Với 5A17B, ta có 17 , 19

A B C   B Chọn B5 ta có A17, C 19, thỏa mãn (2)

Vậy phương trình của ( ) :17P x5y19z17 0

Bài 8 Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm

( ;0; )

A  , vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2P x2y  z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu ( ) : (S x1)2(y1)2 (z 2)21

Giải:

Giả sử phương trình ( ) có dạng:

0

ax by cz d





Khi đó ta viết lại phương trình mặt phẳng ( )

như sau: 2ax  ( 2a c y) 2cz  a c 0

Do ( ) tiếp xúc với mặt cầu tâm (1;1; 2)I  bán kính R1 nên

7

d I

a c

         

   







  



Với ac, chọn a c 1 Ta có phương trình ( ) : 2 x y 2z0

Với 11

7

a  c, ta chọn c 7 thì a11 Ta có phương trình ( ) :

2x29y14z180

Bài 9 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :d x    1 y 2 z 3 và điểm (2;5;4)

A Lập phương trình mặt phẳng ( )P chứa d sao cho khoảng cách từ A

đến mặt phẳng ( )P bằng 2

Giải:

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Phương trình mặt phẳng ( )P có dạng : axbycz d 0

Đường thẳng d đi qua M(1;2;3) có vtcp u d (1;1;1)

( )

n u

Suy ra phương trình của ( )P có dạng :axby- (ab z) 2a b 0

Ta có:

0 2

d A P

a b

    

  







  

Với a0, chọn 1 1 ( ) : 1 0

1

c

d

 



Với b a, chọn

1

1

b

d

 





 



Vậy phương trình của ( ) :P x  y 1 0 hoặc y  z 1 0

Bài 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

1

( ) :P x2y3z 4 0 và (P2) : 3x2y  z 5 0 Viết phương trình mặt

phẳng ( )P đi qua điểm M(1;2; 1) , vuông góc với hai mặt phẳng ( )P1 và (P2)

Giải:

1

( )P có vtpt là n1(1;2;3); (P2) có vtpt là n2 (3;2; 1)

( )P có vtpt là nn n1, 2 ( 8;10; 4)  2 ,a a(4, 5,2)

Phương trình của ( ) : 4(P x 1) 5(y 2) 2(z 1) 0

Hay phương trình của ( ) : 4P x5y2z 8 0

Để theo dõi các tài liệu khác, truy cập fanpage : Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Để học online, truy cập kênh Youtube: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán