CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁPÁN CHI TIẾT 21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải 21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳn

CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP

ÁN CHI TIẾT

21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải

21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải (Phần 2)Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với mặt phẳng

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và điểm

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song

Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau

Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 mặt phẳng

Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng P song song và cách mặt phẳng Q một khoảng k

Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q và cách điểm M một khoảng k

Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu

Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc

50 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt phẳng chọn lọc có đáp án chi tiết (phần 1)

50 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình mặt phẳng chọn lọc có đáp án chi tiết (phần 2)

Chủ đề: Phương trình mặt phẳng

21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng trong đề thi Đại học có lời giải

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận

vecto n→ làm vecto pháp tuyến

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

A(0; 1; -1) và có vecto pháp tuyến n→(2;3;4)

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 1;2; 7) và B(3; 0; -3), gọi M là trung điểm của AB Viết

phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vecto pháp tuyến n→(2;-3;1)

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết A( 2; 1; 3) và B( - 2; 3; -1) và C( 0; 2; 1), gọi G

là trọng tâm của tam giác ABC Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm G vàvecto pháp tuyến n→(2;1;1)

A 2x+ y+ z- 3= 0 B 2x+ y- z+ 3=0

C 2x+ z- 3= 0 D 2x+ y- z- 6= 0

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n→(A;B;C)

Do mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là) là n→(A;B;C)

Phương trình mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là):

A(x- xo) + B (y – yo) + C( z- zo) = 0

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M

(-1; 2; 0) và song song với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 10 = 0

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(0; -2;1) và B( 2; 0; 3) Gọi M là trung điểm của AB.

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng Q: 2x + 5y+z - 10 =0

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (5; 1; 3), B(1; 2; 6), C(5; 0; 4),

D( -1; 2; -3) Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng(ABC)

A x+ y – z - 4= 0 B x+ y +z+ 2= 0 C.x - y+ z+ 6= 0 D Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có nên

n→ cùng phương với [AB→, AC→]

Chọn n→(1;1;1) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có vecto

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (-2;1;3), B(1; 2; 4), C(2; -1;3),

D(0; 0; -1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng(ABC)

A x+ 2y+ z- 2= 0 B x- 2y- 5z- 5= 0 C x+ 2y- 5z- 9= 0 D Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Gọi n→ là một VTPT của mặt phẳng (ABC) ta có nên n→ cùngphương với

Chọn n→(1;2;-5) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

Do mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (P) có

* Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng

1 Tìm tọa độ các vecto AB→, AC→

2 Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [AB→, AC→]

3 Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B, hoặc C)

4 Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến n→ = [AB→, AC→]

Chú ý: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) códạng là:

x/a + y/b + z/c = 1 với a.b.c ≠ 0

Trong đó A ∈ Ox; B ∈ Oy; C∈ Oz Khi đó (P) được gọi là phương trình mặtphẳng theo đoạn chắn

* Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và nhận hai vecto u→, v→ làm

vecto chỉ phương

1: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P): n→ = [u→, v→]

2 Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M và nhận vecto n làm VTPT

Ta có: AB→(0;3;1); AC→ => [AB→, AC→]= ( - 9; -1; 3)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có nên

n→ cùng phương với [AB→, AC→]

Chọn n→( 9;1; -3) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là

9.( x – 1)+1.(y + 2) - 3( z - 0) = 0 hay 9x + y – 3z – 7 = 0

Chọn B

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(5;

4; 3) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC Viếtphương trình mặt phẳng (P)

A x+ y+ z - 12 = 0 B x- y- z + 2= 0

C x- y+ z – 4= 0 D x+ y- z – 6= 0

Hướng dẫn giải:

Do mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB =

OC nên

A (a; 0; 0); B(0; a; 0); C(0; 0; a) ; ( a > 0)

Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: x/a + y/a + z/a = 1

Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (5; 4; 3) nên ta có:

5/a + 4/a + 3/a = 1 => 12/a = 1 => a = 12

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là: x/12 + y/12 + z/12 = 1 hay x+ y + z – 12 =0

Chọn A

Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2),

C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đườngthẳng CD có phương trình là:

A x+ 4y+ z- 27= 0 B 10x+ 9y+ 5z- 74= 0

C 10x- 5y- 9z+ 22= 0 D Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB→(-4;5-1); CD→(-1;0;-2) => [AB→, CD→] = (10; 9; 5)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên

ta có: nên n→ cùng phương với [AB→, CD→]

Chọn n→ = (10;9;5)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→ và đi qua điểm A(5; 1; 3)là:

10 (x – 5) + 9 ( y- 1) + 5 ( z – 3) = 0 hay 10x + 9y + 5z – 74 = 0

Chọn B

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M( 2; -1; 2)và nhận hai

vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) làm vecto chỉ phương?

A 3x+ 6y- 5z+ 1= 0 B – 3x- 6y + 5z- 10= 0

C 3x+ 5y- 6x+ 8= 0 D 3x- 6y+ 5z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:

Ta có hai vecto u→(1;2;3) và v→(-2;1;0) là vecto chỉ phương của mặt phẳng (P)

nên một vecto pháp tuyến của mp (P) là: n→ = [u→,v→] = (- 3; - 6; 5)

Mặt phẳng (P) nhận n→ làm vecto pháp tuyến và đi qua điểm M( 2; -1; 2 ) nên

phương trình mặt phẳng ( P) là:

-3( x- 2) – 6 ( y+ 1) + 5( z-2)= 0 hay – 3x- 6y+ 5z - 10= 0

Chọn B

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A( 2; -3; 4); B(2; 1; -3) và mặt

phẳng (P) nhận vecto u→( 2; 0; 1) làm vecto chỉ phương ?

Dạng 4 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

1 Phương pháp giải

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (xo; yo; zo) và có vecto pháp

tuyến n→(A:B:C) là:

A(x – xo) + B( y – yo) + C(z- zo ) = 0

+ Cho trước hai điểm A và B Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB :

• Gọi I là trung điểm của AB Suy ra tọa độ điểm I ( áp dụng công thức trung điểmcủa đoạn thẳng)

• Mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I và nhận AB→ làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình mặt phẳng trung trực của AB

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai điểm A( 2; 1; 0) và B(-4 ; -3; 2) Viết phương trình mặt phẳng

trung trực của AB?

A 3x + 2y - z+ 6= 0 B 6x- 4y + 4z+ 3= 0

C 3x – 2y – 2z+ 4= 0 D 6x + 4y + 4z+ 1= 0

Hướng dẫn giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB

=> Mặt phẳng ( P) nhận AB→ ( 6; 4; 2) làm vecto pháp tuyến Chọn n→ ( 3; 2;

-1)

+ Gọi I là trung điểm của AB; tọa độ điểm I là:

=> I( -1; - 1; 1)

+ Mặt phẳng ( P) qua I (- 1; -1; 1) và vecto pháp tuyến có phương trình là:

3( x+ 1)+ 2( y+ 1) – 1( z – 1) = 0 hay 3x + 2y – z + 6 = 0

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 0; 2; -3) và B( 4; -4; 1) Gọi M là trung điểm của

AB.Viết phương trình mặt phẳng trung trực của OM?

=> M( 2; -1; -1)

+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của OM

=> Mặt phẳng ( P) nhận OM→(2;-1;-1) làm vecto pháp tuyến

+ Gọi I là trung điểm của OM; tọa độ điểm I là:

+ Mặt phẳng ( P) qua I và vecto pháp tuyến OM→(2;-1;-1) có phương trình là:

2.(x-1) - 1.(y+1/2) - 1.(z+1/2) = 0 hay 2x – y – z – 3= 0

Chọn C

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz; cho hai điểm A và B Gọi I là trung điểm

của AB Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB biết tọa độ điểm A( 1; 2;0) và I( -2; 1; 1)

A x + y- z+ 1= 0 B 3x+ y- z+ 6= 0

C 3x- y+ z- 1= 0 D Tất cả sai

Hướng dẫn giải:

+ Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB

=> Mặt phẳng ( P) đi qua I và vuông góc AI

=> Mặt phẳng ( P) đi qua I ( -2; 1; 1) và nhận vecto IA→ ( 3; 1; -1) làm vecto

pháp tuyến

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x y+ 2z

-4= 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn?

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng qua G(1; -2;

-1) và cắt các trục Ox; Oy; Oz lần lượt tại các điểm A; B; C (khác gốc O) sao cho

G là trọng tâm của tam giác ABC Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình:

A 2x - y+ 2z + 3 = 0 B 2x – y - 2z – 6 =0

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm

H(2; 1;1) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốc toạ độ O) saocho H là trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng (P) có phương trình là:

có:

Điểm H(2; 1; 1) là trực tâm tam giác ABC nên

Thay a; b; c vào (1), ta được: (P): x/3 + y/6 + z/6 = 1

hay (P): 2x+ y + z - 6 = 0

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm

M(1; 1; 1) và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A; B; C (khác gốctoạ độ O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất Mặt phẳng (P) có phươngtrình là:

A x – y - z- 3 = 0 B x+ y+ z+ 3= 0

C x+ y+ z - 3 = 0 D x+ y – z+ 3 = 0

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C( 0; 0; c) với a; b;c > 0 Khi đóphương trình mặt phẳng (P) có dạng:

Điểm M(1;1;1) thuộc (P) nên ta có: 1/a + 1/b + 1/c = 1

Thể tích khối tứ diện OABC: VO.ABC = 1/6.OA.OB.OC = 1/6 a.b.c

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương 1/a; 1/b; 1/c :

Do 1/a + 1/b + 1/c = 1 nên suy ra abc ≥ 27 => 1/6 ≥ abc ≥ 9/2

=> VOABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9/2 khi 1/a = 1/b = 1/c = 1/3

+ Đường thẳng d: nhận vecto u→(a; b; c) làm vecto chỉphương.

Đường thẳng : nhận vecto u→(a; b; c) làm vectochỉ phương

+ Để viết phương trình mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d

ta làm như sau:

Tìm vecto chỉ phương của d là ud →

Vì d ⊥ (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là) nên (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là) có vecto pháp tuyến là nα →= u d →

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháp

tuyến nα →

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm O

và vuông góc với đường thẳng d:

A 2x – z = 0 B –y+ 2z= 0 C x- y+ 2z= 0 D x + z = 0

Hướng dẫn giải:

+Đường thẳng d có vecto chỉ phương ud →(2;0;-1)

+Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) nên (P) có một vecto pháp tuyếnlà:

n P → →= ud →(2; 0; -1)

+ Khi đó phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vecto pháp tuyến nP → là:

2(x – 0) + 0 (y -0) – 1 (z – 0) = 0 hay 2x – z = 0

Chọn A

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (-2; 3; -3), B(2; 1; -1)

và C(0; 2; 0) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳngBC

A 2x+ y – z - 3= 0 B x+ 2y - 2z + 2 = 0

C -2x + y + z - 4 = 0 D x + y + z + 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng BC có vecto chỉ phương u→ = BC→ = (-2; 1;1).

Do mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng BC nên mặt phẳng (P) có vecto

pháp tuyến là n→ = BC→ = (-2; 1; 1)

Phương trình mặt phẳng cần tìm là:

-2( x+ 2) + 1 ( y – 3) + 1( z+ 3) = 0 hay -2 x + y+ z – 4= 0

Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A (1; 2; 3) và B( 3;

0; -1) Gọi I là trung điểm của AB Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua I và

A 5x+ 27 y - 5z + 12 = 0 B 2x+ y+ 3z + 8 = 0

C 2x+ y+ 3z - 8=0 D 5x+ 27y – 5 z – 7= 0

Hướng dẫn giải:

+ I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I là:

=> I (2; 1; 1)

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: u→ (2; 1; 3)

+ Do mặt phẳng ( P ) vuông góc với đường thẳng (d) nên mp (P) có VTPT

là n→(2;1;3)

=> Phương trình mặt phẳng ( P) : 2( x-2) + 1( y- 1) + 3( z - 1) =0

Hay 2x+ y+ 3z – 8 = 0

Chọn C

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC với A (1;0; -1);

B(2; 1; -1) Và C( 3; 2; -1) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Viết phươngtrình mặt phẳng ( P) đi qua G và vuông góc với đường thẳng

• Tìm vecto pháp tuyến của (β) là) là nβ →

• Tìm vecto chỉ phương của Δ là uΔ →

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là là nα →

• Lấy một điểm M trên Δ

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có VTPT nα) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là→

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+ 2y - z+ 10

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa đường

thẳng và vuông góc với mặt phẳng α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là : 2x – y + 3z –98= 0 có phương trình là

A 2x+ 3y+ 8z- 10= 0 B 5x+ 8y – 6z- 1= 0

C 5x+ 8y+ 3z- 1= 0 D.5x - 8y- 6z – 5 = 0

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương là u∆ → (2;2; 1) và đi qua điểm A( 1; 1;

-3)

+ Mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là) có vecto pháp tuyến là: nα → ( 2; -1; 3)

+ Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và vuông góc với mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là) nên (P) cómột vecto pháp tuyến là n→=[u∆→ ,nα) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là→ ] = (5; -8; -6) và đi qua A(0; -1; 2)

Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:

5( x+ 1) – 8( y - 1) – 6( z + 3) = 0 hay 5x - 8y - 6z - 5 = 0

Chọn D

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 1), B( 2;

-1; 2) và mặt phẳng : 2x – y + 2z + 50= 0 Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A; B vàvuông góc với mặt phẳng α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là có phương trình là

A x – 3y – 5z + 5 = 0 B 3x - 4y – 5z = 0

C 3x - 4y – 5z – 2= 0 D 3x+ 4y – 5z = 0

Hướng dẫn giải:

Ta có đường thẳng AB nhận AB→ (-1 ; -2 ; 1) làm vecto chỉ phương

Mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là) có vecto pháp tuyến nα → (2 ; -1 ; 2)

+ Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm AB nên chứa đường thẳng AB và vuông góc vớimặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là) nên (P) có một VTPT là n→ = [AB→ , nα) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là→ ] = (-3; 4; 5) và đi quaA(3; 1; 1)

+ Phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là:

-3( x- 3) + 4( y-1) + 5( z- 1) = 0 hay -3x + 4y + 5z= 0

Vậy phương trình mp (P): - 3x + 4y+ 5z = 0 ⇔ 3x- 4y- 5z= 0

Chọn B

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M (x) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ'; (Δ; Δ' chéo nhau).

1 Phương pháp giải

Tìm vecto chỉ phương của ∆; ∆’ là u1 → ; u 2 →

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là) là nα → = [u 1 →, u 2 →]

Lấy 1 điểm M trên đường thẳng ∆

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháptuyến

Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u1→(0;-2;1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N (1; 0;1) có vecto chỉ phương u2→(1;2;2)

Ta có: [u1→,u2→] = ( - 6; 1; 2)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có: nên → cùngphương với [u1→,u2→] Chọn n→ ( -6; 1; 2)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 1; 1) và nhận VTPT n→ (-6; 1; 2) có phươngtrình là:

- 6(x -1) + 1( y- 1) + 2( z - 1)= 0 hay – 6x + y + 2z + 3= 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là – 6x + y + 2z + 3= 0

Chọn B

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường

thẳng Mặt phẳng α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là chứa

∆1 và song song với đường thẳng ∆2 có phương trình là

Gọi n → là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có nên

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 5; 4) và có vecto chỉ phương u1→ (2; 0; -1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (3; 6;0) có vecto chỉ phương u2→ (1; 1; -1)

Ta có: [u1→, u2→] = (1; 3; 2)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có nên n→ cùngphương với [u1→, u2→] Chọn n→(1;3;2)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 5; 4) và nhận vecto pháp tuyến n→(1;3;2) cóphương trình là:

1( x -1) + 3( y -5) + 2( z- 4) = 0 hay x+ 3y + 2z – 24= 0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x+ 3y + 2z – 24= 0

Chọn B

Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2),

C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đườngthẳng CD có phương trình là:

A 10x+ 9y + 5z - 74= 0 B 10x – 9y – 5z+ 2= 0

C 10x - 9y + 5z + 56= 0 D Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB→ (- 4; 5; -1); CD→( -1; 0; 2) =>[AB→, CD→] = ( 10; 9; 5)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên

ta có nên n→ cùng phương với [AB→, CD→] Chọn n→ (10; 9; 5)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) có VTPT n→ (10; 9; 5) và đi qua điểm A(5; 1; 3)là:

10 (x – 5) + 9( y- 1)+ 5( z- 3) =0 hay 10x + 9y + 5z – 74 =0

Thay tọa độ C, D vào phương trình thấy không thỏa mãn

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là 10x +9y + 5z – 74= 0

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u→, MN→]

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháptuyến

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (4; -3; 1) và đường thẳng

d: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A vàđường thẳng d

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháptuyến là

n→ = [u→; AN→] = ( - 10; -6; 13) = - (10; 6; -13)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

10(x – 4) + 6 ( y+ 3) – 13( z- 1) = 0 hay 10x + 6y – 13z – 9 = 0

Chọn C

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm A(0; 0; 2) và

chứa trục hoành có phương trình là:

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; mặt phẳng (P) đi qua A( 1; 2; 3)

và chứa đường thẳng d: Phương trình mặt phẳng (P) có dạng 5x+ay+ bz+ c= 0 Tính a+ b+ c?

A - 1 B 3 C 2 D 5

1 Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→; u2→

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u1→; u2→]

• Lấy 1 điểm M trên d

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháptuyến

Đường thẳng d1 đi qua điểm M(-2; -1; 1) và có vecto chỉ phương u1 → (2; 1; 1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N(-1; 0; 1) và có vecto chỉ phương u2 → (1; -1; 2)

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; -1; 12) và có vecto chỉ phương u1 → (1; -1; -3)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương u2 → (-1; 2; 0)

Ta có: [u1 →, u 1 →]= ( 6; 3; 1); MN→ ( 0; 3; -9)

Do MN→ [u1 →, u 1 →] = 0 nên đường thẳng d và d’ cắt nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ cắt nhau nên (P) có một vecto pháptuyến là

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường

bz+c= 0 Tính a+ b+ c? Gọi mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 Tính khoảng cách từđiểm I( 2; 1; 3) đến mặt phẳng (P)?

có dạng 6x+ ay+ bz+c= 0 Tính a+ b+ c?

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M(0; -2; 3) và có vecto chỉ phương u1 → (2; 1; 3)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N(2; -3; 3) và có vecto chỉ phương u2 → (2; -1; 0)

Chọn D.

Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song d và d’

1 Phương pháp giải

• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1→;u2→ lấy M thuộc d; N thuộc d’

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u1→; MN→]

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháptuyến

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; -1;12) và có vecto chỉ phương u1 →(1; -1; -3)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (1; 2;3) và có vecto chỉ phương u2 →(1; -1; -3)

Ta có: [u1 →,u 2 →] = (0; 0; 0); MN→(0;3; -9)

Do [u1 →,u 1 →] = (0; 0; 0) nên đường thẳng d và d’ song song với nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d’ song song nên (P) có một vecto pháptuyến là

n→ = [u 1 →,MN→] = (18, 9, 3) = 3( 6; 3; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến (6; 3; 1) và đi qua điểm N (1; 2;3) là:

Trục Oz đi qua điểm O (0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u1 →(0; 0; 1).

Đường thẳng d đi qua điểm N (3; -1;5) và có vecto chỉ phương u2 →( 0; 0; 2)

Ta có: [u1 →, u 1 →] = (0; 0; 0); ON→ = (3; -1; 5)

Do [u1 →, u 2 →] = (0; 0; 0) nên đường thẳng Oz và d song song.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Oz và d song song nên (P) có một vecto pháptuyến là

n→ = [u 1 →, ON→] = (1; 3; 0)

Phương trình mặt phẳng (P) có VTPT n→ (1; 3; 0) và đi qua điểm O (0; 0; 0) là:

x+ 3y = 0

Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; viết phương trình mặt phẳng (P)

đi qua A( -1; 2; 1); B( 0; 4; - 2) và chứa đường thẳng d:

Suy ra: đường thẳng d và AB song song với nhau

Mặt phẳng (P) chứa A(1; 2; 1), nhận vecto n→ = [AM→; u→] = ( 7; 1; 3) =

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua điểm M( 0;1;2) và có vecto chỉ phương u1 →(2; -3; 1)

Đường thẳng d2 đi qua điểm N( 1;2; 0) và có vecto chỉ phương u2 →(2; -3; 1)

Ta có: [u1 →; u 2 →] =(0; 0; 0); MN→ (1; 1; -2)

Do [u1 →; u 2 →] = (0; 0; 0) nên đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và d2 song song với nhau nên (P) có VTPT là

• Tìm vecto chỉ phương của d và d’ là u1 →; u 2 →

• Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→ = [u1 →, u 2 →]

• Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vecto pháptuyến

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường

thẳng Mặt phẳng (α) // (P) nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là) điqua A( 2; 1; 2) và đồng thời song song với cả hai đường thẳng d1; d2 có phươngtrình là

A x+ 5y+ 2z – 10= 0 B x- 2y+ z – 2= 0

C x - 5y+ 2z – 1= 0 D 2x- y + 2z – 7 = 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 đi qua M (1; 0; -2) và có vecto chỉ phương u1 →( 3; 1;1)

Đường thẳng d’ đi qua N (0; -1; 2) và có vecto chỉ phương u2 →(-1; 1; 3)

Ta có: [u1 →, u 2 →] = (2; -10; 4)

Gọi n→ là VTPT của mặt phẳng (P) Ta có (P) song song với d1 và

d2 nên nên n→ cùng phương với [u1→, u2→]

Chọn n→( 1; -5; 2) ta được phương trình mặt phẳng (P) là:

1.( x – 2) – 5 ( y – 1) + 2(z- 2) =0 hay x- 5y + 2z – 1 = 0

Chọn C

Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi

qua điểm B(1; -3; 2) và song song với trục Ox, Oy

Gọi n→ là VTPT của mặt phẳng (P) Ta có (P) song song với Ox và Oy

nên nên n→ cùng phương với [u1→, u2→]

Chọn n→(0; 0; 1) ta được phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x- 1) + 0( y+ 3) + 1( z- 2) = 0 hay z - 2 = 0

Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi

qua điểm M (0; -3; 4) và song song với đường thẳng d: và trụcOz

Gọi n→ là VTPT của mặt phẳng (P) Ta có (P) song song với Oz và d

nên nên n→ cùng phương với [u1→, u2→]