DẠNG 37 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH mặt cầu có tâm và đi QUA điểm CHO TRƯỚC

 PTMC biết tâm thuộc mặt phẳng, thỏa mãn điều kiện cho trước..  Điểm thuộc mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước.. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán lập phương trình mặt cầu khi biết tâm của

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Phương trình mặt cầu :

a Phương trình mặt cầu dạng chính tắc :

Cho mặt cầu có tâm I a b c ; ; , bán kính R

Khi đó phương trình chính tắc của mặt cầu là       

:

b Phương trình mặt cầu dạng khai triển :

Phương trình mặt cầu dạng khai triển là  S x: 2y2z2 2ax 2by 2cz d 0

Khi đó mặt cầu có tâm I a b c ; ; , bán kính R a2b2c2 d a 2b2c2  d 0

2 Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu :

Cho điểm A và mặt cầu S O R Ta có : ; 

 Điểm A thuộc mặt cầu OA R .

 Điểm A nằm trong mặt cầu  OA R .

 Điểm A nằm ngoài mặt cầu  OA R .

3 Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu :

4 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu :

Cho đường thẳng  và mặt cầu S O R ;  Ta có :

DẠNG TOÁN 37: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CÓ TÂM VÀ ĐI QUA ĐIỂM CHO TRƯỚC

 Đường thẳng  ko cắt mặt cầu S O R ;   d O ;   R.

 Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S O R ;   d O ;   R

 Đường thẳng  cắt mặt cầu S O R ;  tại hai điểm phân biệt A B,

 PTMC biết 2 đầu mút của đường kính

 PTMC ngoại tiếp tứ diện

 PTMC qua nhiều điểm, thỏa mãn điều kiện cho trước

 PTMC biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng

 PTMC biết tâm thuộc d, thỏa mãn điều kiện cho trước

 PTMC biết tâm thuộc mặt phẳng, thỏa mãn điều kiện cho trước

 PTMC biết tâm, thỏa mãn các điều kiện khác

 Toán Max-Min liên quan đến mặt cầu

 Điểm thuộc mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước

 Toán thực tế, liên môn liên quan đến mặt cầu

BÀI TẬP MẪU

tọa độ O0;0;0và đi qua điểm M0;0; 2 có phương trình là

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán lập phương trình mặt cầu khi biết tâm của nó.

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định bán kính R

của mặt cầu

B2: Lập phương trình mặt cầu có tâm là O0;0;0 và bán kính R

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn C

Ta có mặt cầu  S có tâm là O0;0;0 và đi qua M0;0; 2 có bán kính là: R IM 2.Vậy    

 Mức độ 1

tâm I của mặt cầu là

 Vậy mặt cầu có tâm I1; 2;3 

dài đường

kính của mặt cầu ( )S bằng

Lời giải Chọn A

Lời giải Chọn B

Lời giải Chọn A

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy chỉ có tọa độ điểm M thỏa mãn

Trong các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu  S ?

A M1;1;1 B N0;1;0 C P1;0;1 D Q1;1;0

Lời giải Chọn C

 Mặt cầu  S có tâm I0;1;0, bán kính R  2

 Khoảng cách từ các điểm đã cho tới tâm mặt cầu:

2

MI   ; R NI  0 R, PI  3R, QI  1 R Do đó điểm P nằm ngoài mặt cầu

tâm I a b c và bán kính  ; ;  r Khi đó, giá trị của biểu thức L a b c r    bằng

Câu 11 Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt

Phương trình mặt cầu tâm I1;0; 2 , bán kính r 4 có dạng

Tâm I1; 3;2 

Bán kính R IA  16 4 4   24

Vậy phương trình mặt cầu  S : x12 y32z 22 24

trình mặt cầu?

A x2y2z22x4y 4z 21 0 B 2x22y22z24x4y 8z11 0

C x2y2z2 1 D x2y2z22x2y 4z11 0

Lời giải Chọn D

Phương trình x2y2z22ax2by2cz d  là phương trình mặt cầu 0

trên mặt phẳng tọa độ Oxy?

Ta có:R IA  2 1 22 0 2   3 12 3

Phương trình mặt cầu  S có tâm I1;0; 1  và đi qua điểm A2; 2; 3  là:

x12y2z12 9

 Mức độ 2

Câu 1 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu , ( ) :S x2+y2+z2- 2x+4y- 4z m- =0 có

bán kính

R =5. Giá trị của tham số m bằng

-Lời giải Chọn B

Lời giải:

Chọn D

 Mặt cầu  S có tâm

31; ;1 32

 Tọa độ trung điểm của AB là I1; 2;0

1; 2;03

I R

 Ta có d I Ox ,   2232  13R

 Mặt cầu ( ) :S

1; 2;313

I R

 Ta có mặt cầu (S) tâm I1;2; 1  tiếp xúc với mặt phẳng  P nên

 

 2  22

S x  y  z  Có bao nhiêu giá trị thực

của tham số m để mặt phẳng  P tiếp xúc với mặt cầu  S

 Đường tròn lớn có chu vi bằng 8 nên bán kính của  S là 82 4

Câu 11 Phương trình mặt cầu  S

Mặt cầu  S đường kính ABcó tâm I là trung điểm đoạn AB  I(1; 2;0)

Bán kính R IA  3

Phương trình mặt cầu  S có đường kính AB với A2;1;1, B0;3; 1  là:

x12y 22z2 3

phương trình mặt cầu tâm I1; 2; 4  và thể tích của khối cầu tương ứngbằng 36?

 Phương trìnhcủa  S là:

Câu 15 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1); (2; 1;0)B  Phương trình mặt

Gọi H là hình chiếu của I trên trục hoành  H(1;0;0)

Gọi Hlà hình chiếu của Itrên trục tung  H(0; 1;0)

Gọi H là hình chiếu của I trên Oyz  H(0;2;3)

Bán kính R IH 1

Phương trình mặt cầu  S có tâm I1; 1;3  và tiếp xúc với mặt phẳng Oyzlà

x12y 22z 32 1

Câu 19. Phương trình mặt cầu  S

đi qua A1;1;3

, có tâm I Oy và bán kính bằng 10 là:

Bán kính  ;   1 2 2 72 6

1 2 1

R d I P     

 Phương trình mặt cầu  S là:      

x  y  z 

 Mức độ 3

phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  1;2;3

B sao cho tam giác IAB vuông tại I

 Đường thẳng d đi qua M2;0;1 và có một véc tơ chỉ phương là u  3;6; 2

Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d ta có

Vậy phương trình mặt cầu  S là        

O A

B

C

K H z

Vậy

 M1;0;0 và M là trung điểm của AB.

=ïï = íï

-ï = +

Viết phương trình mặt cầu ( )S

có tâm I thuộc d , I có hoành độ dương, biết

16

tâm I  1;2;3 cắt mặt phẳng   : 2x y 2z 8 0 theo một hình tròn giaotuyến có chu vi bằng bằng 8 có diện tích bằng

A 80 B 50 C 100 D 25

Lời giải Chọn A

 Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8 nên bán kính của nó là r 4

 Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là

Theo công thức R2 r2d2 20.

 Diện tích của mặt cầu  S

là S4R2 80

kính R 3 và tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại điểm M1;2;0

Giả sử mặt cầu  S có tâm I a b c ; ; ,

Do mặt cầu  

S tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại điểm M1; 2;0 nên M là

hình chiếu củaI a b c ; ;  lên mp Oxy suy ra I2;1;c

Vì I Î (Oxy) nên gọi I x y( ; ;0) Ta có:

IA IB

IA IC

ìï =ïí

ï =ïî

C

( 1) ( 1) ( 1) 3( 3) ( 3) ( 3) 1

 Gỉa sử I a b c ; ;  là tâm mặt cầu ( )S tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và

đi qua điểm M(2;1;1).

Vì mặt cầu ( )S tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ và đi qua điểm M(2;1;1)

có các thành phần tọa độ đều dương nên a b c r  

tuyến là một đường tròn  C Biết diện tích lớn nhất của  C bằng 3 Phương trình của  S là

 Nhận xét : Mặt phẳng ( )P cắt  S theo giao tuyến là một đường tròn  C

và diện tích của  C lớn nhất khi ( )P qua tâm I của ( ).S

 Ta có: SR2 3  R 3

Khi đó

Tâm: 1; 2;0( ) :

Bán kí : nh 3

I S

C x12y 22z 42 3 D x12y 22z 42  3.

Lời giải Chọn C

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OABC là:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: u  1;2;1

Gọi H1t t; 2 ;2td là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d

Mặt cầu  S tiếp xúc với đường thẳng d nên có bán kính R IH  2

Phương trình mặt cầu  S là: x 22y2z12 2

Câu 18. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu  S

có tâm I0; 2;1  vàmặt phẳng  P x: 2y 2z  Biết mặt phẳng 3 0  P cắt mặt cầu  S theogiao tuyến là một đường tròn có diện tích là 2 Phương trình mặt cầu  S

và đi qua điểm M0;3;9 Biết điểm I có hoành độ là số nguyên

và cách đều hai mặt phẳng x 2y2z 2 0, 3x   Phương trình của 2 0  S

Vì tâm I thuộc đường thẳng

Biết rằng mặt cầu  S có bán kính bằng 2 2 và

H

R r

R r, lần lượt là bán kínhmặt cầu và bán kính đường tròn giao tuyến Theo bài ta có

IH d I Oxz  R  r   

13

2

51

t t

Đường thẳng d đi qua M2;0;1

Gọi I R, lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu S Ta có: I d

Gọi H là hình chiếu của I1;7;5 trên d H3;5;3  IH d I d ; 2 3

2

80202

Vectơ chỉ phương của d và 1 d lần lượt là 2 u 1 2;1;3

, u 2 1;2;3

.Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d và 1 d với 2 A d 1, B d 2

a b

.Vậy phương trình mặt cầu    

cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A, B , C sao cho H là trực tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng  

A x2y2z2 81 B x2y2z2  1

C x2y2z2  9 D x2y2z2 25

Lời giải Chọn C

Vậy mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng   là  S x: 2y2z2  9

A.

112

r 

72

r 

32

r 

52

r 

Lời giải

5 114

I I

r R      

  S : x 22y 32z 52  và tam giác ABC với 9 A(5;0;0), (0;3;0), (4;5;0)B C Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu ( )S sao cho khối tứ diên MABC có thể tích lớn

Đường thẳng JI :

235

x y

 Mặt cầu  S có tâm 1 I0; 2;2 , bán kính R  1 5

 S có tâm 2 J0;1; 2 ,  bán kính R  2 3

 Do R2 R1  2 IJ  5 R2R1 nên 2 mặt cầu cắt nhau.8

Khi đó các tiếp tuyến chung của hai mặt cầu nằm trên hình nón có đỉnh M

trục IJ

Theo định lý Ta-let ta có

2 1

3

5

R MJ

đường sinh của hình nón  H cắt mặt cầu tại M N, sao cho AM 3AN Viết phương trình

mặt cầu đồng tâm với mặt cầu  S và tiếp xúc với các đường sinh củahình nón  H

 Gọi hình chiếu vuông góc của I trên MN là K

Dễ thấy

13

 Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu  S và tiếp xúc với các đường

sinh của hình nón  H chính là mặt cầu tâm I1; 2;3 có bán kính

2133

IK 

.Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:      

 S :x2y2z2 2y 2z 1 0.  Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặtphẳng  P đến một điểm thuộc mặt cầu S là

 Mặt cầu  S có tâm I0;1;1 và bán kính R  3.

 Gọi H là hình chiếu của I trên  P và A là giao điểm của IH với  S .

Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng  P đến một điểm

thuộc mặtcầu  S là đoạn ,  ,   3 3

2

AH AH d I P  R

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A2;1; 2

và mặt cầu

 S x: 2y2z2 2y 2z 7 0 Mặt phẳng  P đi qua A và cắt  S

theo thiếtdiện là đường tròn  C

có diện tích nhỏ nhất Bán kính đường tròn  C

là

Lời giải Chọn D

là mặt phẳng đi qua hai điểm A0;0; 4 , B2;0;0 và cắt  S theo giao tuyến

là đường tròn  C sao cho khối nón đỉnh là tâm của  S và đáy là là đườngtròn  C có thể tích lớn nhất Biết rằng   :ax by z c   0, khi đó a b c 

bằng

Lời giải Chọn A

 Mặt cầu  S có tâm I1; 2;3  và bán kính R 3 3

Vì   :ax by z c   0 đi qua hai điểm A0;0; 4 , B2;0;0 nên c 4 và a 2.Suy ra   : 2x by z   4 0

 Đặt IH x, với 0x3 3 ta có r R2 x2  27 x 2

Thể tích khối nón là

2

1π3

b b





 3 2b529b25  b2.Vậy a b c  4

trình là x2y2z2 2x 2y 6z  Cho ba điểm 7 0 A, M , B nằm trên mặtcầu  S sao cho Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng?

AB

.Dấu " " xảy ra

2 22

AB

MA MB

và AB 4

 Do đó diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng 4

Điểm M trong không gian thỏa mãn

23

MA

MB  Khi đó độ dài OM lớn nhấtbằng

 Như vậy, điểm M thuộc mặt cầu  S tâm I  6;6; 6  và bán kính

62

R 

 Vì IA 2R và IB 82 R nên hai điểm A, B nằm ngoài mặt cầu  S

Gọi K là trung điểm đoạn thẳng AB thì K1; 2; 1  

Suy ra MK nhỏ nhất bằng IK R , xảy ra khi I , M , K thẳng hàng và M

nằm giữa hai điểm I , K Như vậy M là giao điểm của đoạn thẳng IK và mặt cầu  S

a b c

là điểm trên  S sao cho biểu thức 3MA  2MB MC 

đạt giátrị nhỏ nhất Tính P x M y M

A. P 0 B. P 6 C. P  14 D P 3 14

Lời giải:

Chọn B

 Gọi J là điểm thỏa mãn 3JA2JB JC   0

Phương trình đường thẳng

 

1 2: 2 4 ,

t t

 Vậy 3MA  2MB MC  min  2MJ min

 Do MN cùng hướng với u  (0;1;1) suy ra MN 0; ;k k k, 0

do MN 4 2 suy

ra MN  0; 4; 4

.Gọi A T MN ( )A

, suy ra A (4;6;8) Khi đó AMNA là hình bình hành nên

AM A N

 Ta có AM BN A N BN  A B , dấu bằng xảy ra khi A N B, , thẳng hàng

 N là giao điểm của mặt cầu với đường thẳng A B  (Điểm N luôn tồn tại).

( 3; 2; 6)

A B    

suy ra A B  ( 3) 2 ( 2)2  ( 6)2  Vậy 7 AM BN min A B 7

B  

  ,

1; 4;0

C , D4;4;0 Gọi Mlà điểm thay đổi trên  S1 , N là điểm thay đổi trên

 S2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thứcQ MA 2ND4MN4BC là

S x  y z  nên  S2 có tâm I0;4;0 và bán kính R 2 2Vậy các điểm A4;0;0 , B 14;0;0

  , C1;4;0, D4; 4;0, O0;0;0và I0;4;0cùng thuộc Oxy

 Nhận thấy OB OA OM  2 suy ra OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

tam giác MAB

 

Q MA  ND MN BC MB NC MN   BC BC BC BC

Dấu bằng xảy ra khi bốn điểm , , ,B M N C thẳng hàng Vậy MinQ 2 265.

nhất Tính tổng a b c 

A

145

a b c  

B a b c  0 C

125

a b c  

D a b c  12

Lời giải Chọn A

Vì 3GA22GB2GC2 có giá trị là một số thực không đổi nên T đạt giá trị nhỏ

nhất khi MG nhỏ nhất Kho đó M là một trong hai giao điểm của đường

thẳng IG và mặt cầu  S

Phương trình đường thẳng

1: 1 3

5 5

2 91; ;

5 5

M M

a b c  

vị độ dài) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoàivới cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB và CD

Mặt cầu  I tiếp xúc ngoài với 4 mặt cầu tâm A B C D, , , nên

Tương tự chứng minh được M Q

suy ra MN    P  Q và MN là đường vuông góc chung của AB và CD (2).

x 

và đường thẳng  có vectơ chỉ phương u  1; 2;2

Gọi C , D lần lượt là hìnhchiếu của A và B lên  Mặt cầu đi qua hai điểm C , D có diện tích nhỏnhất là

Lời giải Chọn D

Từ A dựng đường thẳng d song song với  Gọi E là hình chiếu vuông góccủa B trên d nên CD AE và AE không đổi

Gọi R là bán kính mặt cầu đi qua hai điểm C , D 2 2 2

Với C là điểm nằm trên trục Oz , gọi H là trực tâm của tam giác ABC Khi C

di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định Bán kính củađường tròn đó bằng

 , suy ra mặt phẳng OCE cố định vuông góc với  AB và tam

giác ABC cân tại C Khi đó HOCE

Gọi K là trực tâm tam giác OAB , do A, B và K cùng nằm trong mặt phẳng

a b

Lời giải

Chọn A

Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;3

có phương trình.dạng 2x by cz d   0 Giá trị của b c d bằng

,  S2,  S3.

Lời giải Chọn B

11

33

Do đó trường hợp này có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán

Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán

2 Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với 2 mặt cầu    S1 , S2đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm C D,

Lời giải Chọn B

B I

A

Ta có

3 32

.Gọi   :a x  2b y 1c z  2  0

Kiểm tra thấy C 

nên loại trường hợp này

2) b c ;

12



Kiểm tra thấy C D,  

nên nhận trường hợp này

Vậy   :x2y2z 8 0

 P : 2mxm21 ym21z10 0

Biết rằng khi m thay đổi, tồn tại hai mặt

cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  P

và cùng đi qua A Tìm tổng bánkính của hai mặt cầu đó

Lời giải Chọn D

Gọi I a b c r ; ; ,

lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu  S

tiếp xúc với mặt phẳng  P

và đi qua A Do mặt cầu  S

2 10 0

b c r a

b r a c

4 11 5 r 2   5 5 r  r 12 2r40 0