Về nhóm galois các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh của trường các số p adic

MỞ ĐẦU Lý thuyết trường là một trong những vấn đề quan trọng của toán học hiện đại, nó đặt nền móng cho việc nghiên cứu mở rộng các cấu trúc đại số.. Chẳng hạn, khi xét các đa thức trên

MỞ ĐẦU

Lý thuyết trường là một trong những vấn đề quan trọng của toán học hiện đại, nó đặt nền móng cho việc nghiên cứu mở rộng các cấu trúc đại số Ngoài ra, các hiểu biết về lý thuyết trường sẽ góp phần làm cho chúng ta hiểu sâu sắc hơn về toán học phổ thông Đặc biệt là chương trình toán PTTH, góp phần tích cực vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi Chẳng hạn, khi xét các đa

thức trên trường số hữu tỷ Q ta nhận thấy có những đa thức, ví dụ x2

-2, x2-3,

…, không có nghiệm trên Q, người ta đã tìm ra những trường mới, mà trên đó

các đa thức trên có nghiệm – Vì vậy, mà chúng tôi cho rằng, việc tìm hiểu thêm về lí thuyết mở rộng trường sẽ là một vấn đề phong phú, có nhiều thú vị

Nếu ta xét một mở rộng trường trên trường các số p – adic Rp thì ta thu

được kết quả :

[K: Rp] = n thì n = e.f, trong đó K là một mở rộng hữu hạn bậc n trên

trường các số p – adic Rp , e là chỉ số phân nhánh của trường K và f là bậc

quán tính của trường K Khi đó nếu e = 1 thì trường K được gọi là mở rộng không phân nhánh, nếu e = n thì trường K được gọi là mở rộng hoàn toàn

phân nhánh

Khi nghiên cứu các mở rộng hữu hạn của một trường, bài toán nghiên cứu các nhóm GaLois – Nhóm tạo thành từ các tự đẳng cấu của trường đó, có một ý nghĩa rất quan trọng và khá phức tạp Với ý đồ tìm hiểu thêm về cách vận dụng các kiến thức về lý thuyết trường, lý thuyết nhóm, lý thuyết môđun,

… , vào giải quyết một bài toán cụ thể, chúng tôi chọn đề tài:

“ Về Nhóm GaLois của các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh của trường các số p – adic “

Đây một trong những bài toán của lý thuyết mở rộng trường Trong phạm vi khả năng của mình, chúng tôi muốn góp phần làm sáng tỏ hơn về cấu

trúc nhóm GaLois của các mở rộng chuẩn và mở rộng phân nhánh của trường các số p – adic

Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu và kết luận, danh mục một số tài liệu tham khảo

Chương 1 : Các khái niệm cơ sở

Chương 2: Nhóm GaLois của các mở rộng chuẩn và mở rộng phân

nhánh của trường các số p – adic

Luận văn được hoàn thành tại trường đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Quý Dy Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy PGS.TS Nguyễn Quý

Dy, người đã dành nhiều thời gian và công sức tận tình giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo thuộc tổ Đại số khoa Toán, khoa Sau đại học của trường Đại học Vinh, đã giúp đỡ, động viên tác giả rất nhiều trong thời gian học tập, cũng như thời gian làm luận văn Trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận được nhiều

sự động viên, góp ý trao đổi đặc biệt là thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang đã có nhiều ý kiến có giá trị giúp tác giả hoàn thành luận văn, tác giả rất biết ơn và ghi nhận về những sự giúp đỡ quý báu đó

Xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong BGH trường THPT Tĩnh Gia 2, cùng bạn bè, đồng nghiệp lớp cao học 10 Đại số đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và trong quá trình làm luận văn

Vinh, tháng 11 năm 2004

TÁC GIẢ

CHƯƠNG1 : CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ

1.1 Đặc số của trường:

Giả sử T là một trường, với phần tử đơn vị được ký hiệu là1 Nếu n.1 

0, với mọi số tự nhiên n  0, thì ta nói trường T có đặc số 0 (Hoặc đặc số )

Trong trường hợp ngược lại ta gọi số nguyên dương bé nhất n sao cho n.1 = 0

là đặc số của trường T

Chúng ta đã có kết quả : Mỗi trường T tuỳ ý hoặc có đặc số 0, hoặc có đặc số là số nguyên tố

Ví dụ: - Các trường Q, R, C đều có đặc số 0

Zp- trường các lớp thặng dư theo mô đun nguyên tố p là trường có đặc số p

1.1.1 Định nghĩa Ta gọi trường T là trường nguyên tố (trường đơn ) nếu

nó không có một trường con thực sự nào cả

1.1.3 Định lý Cho K là một trường và P là trường con nguyên tố của

K Nếu K có đặc số 0 thì P đẳng cấu với trường Q các số hữu tỷ Nếu K có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với trường Z p các số nguyên tố môđun p

Chứng minh Đơn vị của trường K, thuộc trường P Xét đồng cấu vành

s  0 bé nhất thuộc Kerh, sao cho h(s) = s.1k = 0, nên s chính là đặc số của

trường K  hoặc s = 0 hoặc s = p (p nguyên tố ) vậy:

Nếu K có đặc số s = 0 ta có Kerh = 0 và đẳng cấu với miền nguyên h: Z  ImhP Do đó trường các thương Q của Z đẳng cấu với trường các

thương FD của miền nguyên D = Imh  P nhưng vì FD là một trường con của

K, chứa trong trường con nguyên tố P K nên FD = P

Vậy trong trường hợp này Q  P

Nếu K có đặc số s = p (số nguyên tố ) thì

Kerh = pZ và theo định lý cơ bản về đồng cấu vành cho đẳng cấu vành :

P h pZ

Z Kerh

Z   Im 

Nhưng vì

p

Z pZ Z

p

 là một trường, nên Imh cũng là một trường chứa

trong trường con nguyên tố P K do đó h P

p

Z Im 

Định lý 1 cũng cho ta thấy rằng trường Q các số hữu tỷ và mỗi trường Zp

(p nguyên tố) đều là các trường nguyên tố

Hệ quả Mỗi trường chỉ có một và chỉ một trường con nguyên tố

1.2 Mở rộng trường:

Giả sử T là một trường con của U, khi đó ta nói U là một mở rộng của

trường T Chẳng hạn mọi trường có thể xem là một mở rộng của trường con

nguyên tố của nó

Giả sử U là một mở rộng đã cho của trường T và S là một tập con tuỳ ý

của U Họ trường con của U chứa T và S là khác rỗng, vì U thuộc họ đó, giao

của họ này là một trường con của U chứa S và T Hiển nhiên đó là trường con

bé nhất chứa T và S, ta ký hiệu T(S) và gọi nó là mở rộng thu được từ T bằng

1.2.1 Định nghĩa Cho T là một trường và U là một mở rộng của T

.phần tử  U được gọi là đại số trên T nếu  là nghiệm của một đa thức

0  f  T[x] Một phần tử U không đại số trên T gọi là siêu việt trên T

Ví dụ: T = Q - trường số hữu tỷ, ta dễ dàng kiểm chứng được rằng các

2

3 2

1 , 5 ,

2 3 i  , là đại số trên Q

Có những số thực như: =3,1415… hay e = 2,71828… , chúng không phải là nghiệm của bất kỳ đa thức 0  f  Q[x] nào, đó là những số siêu việt

Một mở rộng đơn T() của trường T được gọi là mở rộng đại số hay siêu việt tuỳ theo phần tử sinh  U là đại số hay siêu việt trên T

Một mở rộng đơn đại số K(u) của một trường K sinh bởi một nghiệm u của một đa thức bất khả quy bậc n của K[x], ( K(u) là mở rộng đơn của phần tử

Từ đó ta có : K(u) là một không gian véc tơ n chiều trên K

1.2.2 Định nghĩa Một mở rộng F của trường K được gọi là mở rộng

bậc hữu hạn của K nếu K – không gian véc tơ F là hữu hạn chiều Khi đó n =

dimKF Số chiều của không gian véc tơ F trên K, được gọi là bậc của mở rộng

F của K và được ký hiệu n = [F: K]

Ví dụ: Trường C các số phức gồm tất cả các biểu thức dạng:

x = a + b.i, a, b R nên C là một không gian véc tơ 2 – chiều trên R

và do đó là mở rộng bậc 2 trên R, [C: R] = 2

Hệ quả Mọi mở rộng đơn đại số đều có bậc hữu hạn

1.2.3 Định lý Cho F là một mở rộng bậc hữu hạn trên trường K Khi

đó mỗi phần tử F là đại số và thoả mãn một đa thức bất khả quy bậc không vượt quá bậc [F: K] của một mở rộng

Chứng minh Do F là không gian véc tơ n – chiều trên K nên mọi hệ

n+1 véc tơ 1, u, u 2 ,…,u n

với u  F là phụ thuộc tuyến tính, từ đó suy ra sự

tồn tại của các phần tử a i K, i = 0, 1, …, n không đồng thời bằng 0 sao cho

a 0 + a 1 u + …+ a n u n = 0

Điều này chứng tỏ u là nghiệm của đa thức

f(x) = a 0 + a 1 x + …+ a n x n  K[x]

Như vậy u là phần tử đại số Bây giờ nếu q(x) là đa thức bất khả quy trên

K, nhận u làm nghiệm thì theo [13] q(x) chia hết f(x) do đó bậc của q(x) là không vượt quá bậc của f(x)

deg q  deg f  n = [F:K]

Hệ quả Mọi phần tử của mở rộng đơn đại số trên trường K, đều là đại

số

trên K

1.2.4 Định nghĩa Mở rộng F của trường K được gọi là mở rộng đại số

tạp của F nếu có một dãy tăng các trường con của F

K = L0 L1 …  Lk = F (k >1 )

Sao cho với mỗi chỉ số i, trường Li là mở rộng đại số đơn của trường Li-1,

số k được gọi là độ dài của mở rộng F

Ví dụ: [Q(i)]( 2) là mở rộng đại số tạp của trường Q có độ dài 2

1.2.5 Định lý Cho dãy mở rộng các trường K  E  F Nếu tập hợp các phần tử u1,u2, ,u m là một cơ sở cho mở rộng F của E và tập hợp các phần tử v1,v2, ,v n là một cơ sở cho mở rộng E của K thì m.n tích u i v j là một cơ sở cho mở rộng F của K

Chứng minh Giả sử x là phần tử tuỳ ý thuộc F, khi đó

x = a 1 u 1 + a 2 u 2 + …+ a m u m , a i F

a i = b i1 v 1 + b i2 v 2 +….+ b in v n , b ịj  K

từ đó :

j i j ij i

m

i

n

i j

Điều này chứng tỏ {u i v j / i = 1, 2, … , m, j = 1, 2, ….,n } là hệ sinh của không gian véc tơ F trên K

Bây giờ ta sẽ chứng minh hệ {u i v j } là độc lập tuyến tính Giả sử có đẳng thức

j

j i

j

ij v

b với  i = 1, 2, …, n

Từ đây ta có b ij = 0  j = 1, 2, …, n

Do hệ {v j} độc lập tuyến tính  điều phải chứng minh

Hệ quả 1 Nếu F là mở rộng hữu hạn của trường K và E là mở rộng hữu

hạn của trường F thì E là mở rộng hữu hạn của trường K và bậc của E trên K là:

[E: K] = [E: F].[F: K] (E  F  K)

Hệ quả 2 Nếu F là một mở rộng hữu hạn của K có bậc [F: K] = n thì

mọi phần tử u  F có bậc trên K là ước số của n Hơn nữa , một phần tử

u  F sinh trên K toàn thể mở rộng F nếu và chỉ nếu (bậc của U trên K ) [U: K] = n = [F: K]

Hệ quả 3 Nếu F = K (u 1 , …….,u r ) là một trường sinh bởi trường K và

r phần tử u 1 , …., u r sao cho mỗi u i là đại số trên trường K (u 1 , …,u i-1 ) sinh bởi K và i-1 phần tử trước u i thì F là mở rộng hữu hạn của trường K , và mọi phần tử của F là đại số trên K

1.2.6 Định nghĩa Một mở rộng đại số F của trường K là mở rộng

chuẩn tắc trên K nếu mọi đa thức bất khả quy p(x) K[x] có một nghiệm trong F thì có tất cả nghiệm trong F (ta nói p(x) phân rã hoàn toàn trong F )

Hai phần tử đại số trên K được gọi là liên hợp (trên K) nếu các đa thức tối tiểu của chúng trùng nhau

Như vậy, mở rộng F của K là chuẩn tắc nếu mọi phần tử liên hợp với phần tử của F thì cũng thuộc F

1.2.7 Định lý Một mở rộng có bậc hữu hạn trên trường K là chuẩn tắc

trên K nếu và chỉ nếu nó là trường nghiệm của một đa thức nào đó trên K

Ví dụ: E = Q( 2) là trường nghiệm của x2

– 2 nên E là mở rộng chuẩn

tắc trên Q

F = E(4

2) là trường nghiệm của x2

- 2, nên F là chuẩn tắc trên E

nhưng F không chuẩn tắc trên Q vì F chỉ gồm các số thực trong khi đó đa

thức bất khả quy x4

- 2 ngoài nghiệm  = 4

2  F còn có những nghiệm phức

Hệ quả Mọi mở rộng có bậc hữu hạn, chuẩn tắc và tách được đều là

trường nghiệm của một đa thức tách được

Lưu ý rằng: Nếu K là trường có đặc số 0 thì mọi mở rộng chuẩn tắc F

của đều là mở rộng tách được

1.2.8 Định lý Cho L/K là một mở rộng đại số trong K (Bao đóng đại

số của K ) Những điều kiện sau là tương đương:

i/ L/K là một mở rộng chuẩn

ii/ Tồn tại một hệ D  K[x] sao cho L = K(s), với s là tập nghiệm của các đa thức của D

iii/ Mọi K đồng cấu từ L vào K đều là một tự đẳng cấu của L/K

1.2.9 Định lý Cho K  Z  L Nếu L là mở rộng chuẩn trên K thì L là

(a b  a  b

) ( ).

( )

.

(a b  a  b

Tập hợp tất cả các tự đảng cấu của một trường F, lập thành một nhóm với phép toán hợp thành ánh xạ, gọi là nhóm các tự đẳng cấu của trường F

Đơn vị của nhóm này là ánh xạ đồng nhất id

Nhận xét: Mọi phần tử của trường con nguyên tố P, P  F giữ nguyên đối với mọi tự đẳng cấu của F

Giả sử K là trường con của F, các tự đẳng cấu  của trường F được gọi

là tự đẳng cấu trên K hay, K - tự đẳng cấu nếu nó giữ nguyên mọi phần tử trên

K, tức là:

(c) = c ,  c  K

Tập hợp các tự đẳng cấu trên K là một nhóm con của nhóm các tự đẳng cấu của trường F

1.3.1 Định nghĩa Nhóm tự đẳng cấu của trường F trên trường con K là

nhóm các tự đẳng cấu của F giữ nguyên mọi phần tử của K

1.3.2 Bổ đề Cho F là một mở rộng đại số trên K,  là một tự đẳng cấu của F trên K, khi đó với mỗi c  F ảnh (c) liên hợp với c

1.3.3 Định nghĩa Cho F là một mở rộng chuẩn tắc của trường K, tập

hợp mọi tự đẳng cấu của F giữ nguyên mọi phần tử của K lập thành một

nhóm, gọi là nhóm GaLois của F trên K và ký hiệu bởi G(F/K)

G(F/K) =  :F F/  (a) a, aK

Ví dụ: Xét mở rộng F = Q ( 2) của K = Q Số thực 2 là ngiệm

của đa thức p (x) = x2

- 2 bất khả quy trên Q, đa thức này có 2 nghiệm 2 và

- 2 do đó F = Q ( 2) là trường nghiệm của đa thức x 2

–2 trên Q theo

định lý (1.2.7) F là chuẩn tắc trên Q

Nếu  là tự đẳng cấu thuộc nhóm GaLois G = G(F/Q) thì  biến 2

thành 2 hoặc - 2, như vậy nhóm GaLois G có 2 phần tử :

G = {idF , } trong đó

2 2

:

b a b

a

F F

1.3.4 Định lý Nếu F là trường nghiệm của một đa thức tách được

f(x) K[x] thì cấp của nhóm GaLois G = G(F/K) bằng bậc của mở rộng [F: K]

1.3.5 Định nghĩa Mở rộng hữu hạn F của trường K được gọi là mở

rộng GaLois nếu nó là chuẩn tắc và tách được

1.3.6 Định lý Cho F là mở rộng bậc hữu hạn trên K với nhóm GaLois

G, khi đó các điều kiện sau tương đương:

i/ F là mở rộng GaLois trên K

ii/ K = F G ( nghĩa là tập các phần tử của F bất biến dưới mọi tự đẳng cấu của nhóm GaLois G đúng bằng K )

iii/ Cấp của nhóm GaLois G đúng bằng bậc của mở rộng [ F: K]

Ta đã biết có sự tương ứng giữa nhóm con và trường con:

1.3.7 Định lý Nếu K là một trường, f  K[x] là một đa thức tách được trên

K và G là nhóm GaLois đối với trường nghiệm N của f trên K, thì tồn tại song ánh

H  F từ các nhóm con H của G đến các trường con F của N chứa K Khi cho nhóm con H, trường con tương ứng F = F(H) gồm tất cả các phần tử của N được giữ bất biến bởi mọi tự đẳng cấu thuộc H Khi cho trường con F, nhóm con tương ứng H = H(F) gồm tất cả các tự đẳng cấu trong G giữ cố định mỗi phần tử của

F và H(F) là nhóm GaLois của N trên F có cấp là bậc [N:F]

1.3.8 Định lý Một trường trung gian F, K  F  N là một trường chuẩn tắc trên K nếu và chỉ nếu nhóm tương ứng H(F) là nhóm con chuẩn tắc cuả nhóm GaLois G của N Nếu F là chuẩn tắc thì nhóm GaLois của F trên K đẳng cấu với nhóm thương G/H(F)

1.3.9 Mệnh đề G(L/K) là một nhóm hữu hạn và G(L/K)= [L:K]

1.3.10 Định nghĩa Một nhóm G được gọi là giải được nếu tồn tại một

dây chuyền giảm những nhóm con

G = G0  G1  G2  …… Gs = 1

Sao cho Gi là ước chuẩn của Gi-1 và các nhóm thương Gi-1/Gi với i = 1, 2, 3,…., s là Aben

1.3.11 Định lý Mỗi nhóm con của nhóm giải được là giải được

1.3.12 Định lý ảnh đồng cấu của một nhóm giải được là giải được 1.3.13 định lý Mỗi nhóm có cấp là luỹ thừa của một số nguyên tố đều

là giải được

1.3.14.Định nghĩa Nhóm G được gọi là p – nhóm nếu cấp của G bằng

luỹ thừa của p, với p nguyên tố

1.4 Mở rộng xiclic:

1.4.1 Định nghĩa Một mở rộng hữu hạn L/K được gọi là mở rộng

xiclic nếu nó là mở rộng GaLois và nhóm GaLois G(L/K) của nó là nhóm xiclic

1.4.2 Định nghĩa Cho K là một trường vàK là bao đóng của K, Các

nghiệm của đa thức x n

–1 trong K được gọi là các căn đơn vị bậc n

Gọi En là tập hợp các căn đơn vị bậc n trong K Ta thấy En là một nhóm xiclic với phép nhân Các phần tử sinh của nhóm En được gọi là các căn

nguyên thuỷ bậc n của đơn vị Nếu  là một căn nguyên thuỷ bậc n của đơn

vị thì các căn nguyên thuỷ bậc n khác là m

với (m, n) = 1

1.4.3.Định lý Cho L là một mở rộng hữu hạn bậc n trên K Nếu K

chứa tất cả các căn đơn vị bậc n thì các điều kiện sau là tương đương :

i/ L = K() với  n K ,  là nghiệm của đa thức x n –1

ii/ L/K là một mở rộng GaLois với G(L/K) là một nhóm xiclic

1.5 Trường định chuẩn:

1.5.1 Định nghĩa Trường K cùng với ánh xạ: K  R được gọi là

trường định chuẩn (mêtric) , nếu các điều kiện sau được thoả mãn :

i/ (a)  0 ,  (a) = 0  a = 0

ii/ (a+b)  (a) + (b)

iii/  (a.b) = (a).(b)

với mọi a, b K

* Khi đó  được gọi là chuẩn ( mêtric) của trường K

* Nếu thay bất đẳng thức (ii) bởi bất đẳng thức mạnh hơn là

iv/ (a+b)  max ( (a),  (b)) thì trường định chuẩn (K, ) được gọi

là trường định chuẩn không Acsimet và khi đó  được gọi là chuẩn (mêtric)

1.5.2 Định nghĩa Giả sử K là một trường định chuẩn

* Dãy {a n }, n  N , các phần tử của trường K được gọi là cơ bản đối với

chuẩn , nếu với  > 0 bé tuỳ ý cho trước, tồn tại n 0  N :  (a n - a m ) <  với

mọi m, n > n 0

* Dãy {a n }, n  N, các phần tử của trường K được gọi là hội tụ về phần tử

a K , nếu với  >0 bé tuỳ ý cho trước, tồn tại n 0 N sao cho (a n – a ) < 

1.6.Sự tương đương giữa các chuẩn

1.6.1 Định nghĩa Hai chuẩn  và  trên cùng một trường K được gọi

là tương đương với nhau nếu chúng xác định trên K cùng một tính hội tụ,

nghĩa là (x n - x)  0 khi và chỉ khi (x n - x)  0 (trên trường số thực.)

1.6.2 Định lý Giả sử  và  là hai chuẩn trên trường K Khi đó  và

 là tương đương với nhau nếu và chỉ nếu:

x K : (x) < 1 (x) < 1

Chứng minh Giả sử    trên K

nếu (x) <1 khi đó dãy số thực (x) n 0 trong R khi n  suy ra

(x n) 0 trong R khi n  tức là x n0 theo chuẩn  trên trường K mà

   trên K nên ta có x n 0 theo chuẩn  trong K, từ đó ta có : (x n)0

trong R, suy ra (x n ) 0 trong R hay (x) <1

*/ Giả sử  và  là hai chuẩn thoả mãn :

) (

a b





 0 <  (a) <  (b) Giả sử p là một phần tử tuỳ ý cố định của K sao

cho (p) > 1 (phần tử p như vậy là tồn tại, vì nếu ngược lại thì

(p -1 ) = 1

) (

1



p

 , với K có nhiều hơn hai phần tử )

Theo nhận xét trên ta suy ra (p) > 1

Đặt (a) = (p) và (a) = (p)’ ta sẽ chứng minh  = ’

Giả sử n và k là các số nguyên sao cho  

k n

, k > 0

Khi đó (p) n/k <  (p) = (a) (Do (p) > 1) hay (p) n < (a) k 

(p n ) < (a k ), lại theo nhận xét trên ta suy ra (p) n < (a)k Từ đó suy ra

) ( ln

Do đó (a) = (a) a  K,

) ( ln

) ( ln

1.7.1 Định nghĩa Trường K được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản

của K, đều hội tụ trong K

1.7.2 Định lý Đối với mỗi trường mêtric hoá K , tồn tại một trường

mêtric hoá đầy đủ K chứa K với tư cách trường con đầy đủ hầu khắp nơi , trường K đó gọi là mở rộng đầy đủ của K , xác định một cách duy nhất chính xác đến một phép đẳng cấu tôpô, giữ nguyên các phần tử của trường K

1.8 Chuẩn p:

1.8.1 Định nghĩa Cho p = 2, 3, 5, … là một số nguyên tố cố định,

với  Q ,   0 ta viết được một cách duy nhất dưới dạng n

p b

c p

n

p bd

bc adp

p d

c p b

c p b

a

) ( n m

Chuẩn p được xác định như trên được gọi là chuẩn p – adic trên Q

1.8.2 Định nghĩa Mở rộng đầy đủ của trường số hữu tỷ Q theo chuẩn

p được gọi là trường số p – adic, ký hiệu Rp

1.8.3 Mệnh đề Nếu p, q là hai số nguyên tố phân biệt thì các chuẩn p – adic và q- adic không tương đương với nhau trên Q

Chứng minh Xét dãy {x n } = {p n } Theo chuẩn p – adic :

p(x n ) = 1  0 , (n  )

p n tức là {x n} hội tụ về số hữu tỷ 0 theo chuẩn trên Q

Trong khi đó theo chuẩn q – adic thì: p(x n ) = q (p n q 0 ) = 1(Vì (p,q) = 1)

Do đó {x n } không hội tụ về số hữu tỷ 0 theo chuẩn q – adic

Vậy p và q không tương đương với nhau trên Q

Hệ quả Nếu p, q là hai số nguyên tố phân biệt thì các trường R p

và R q

không đẳng cấu tôpô với nhau

Chứng minh Giả sử trường Rp và Rq có các chuẩn tương ứng là p và

q , theo mệnh đề trên thì p và q không tương đương với nhau trên Q vậy

Rp và Rq không đẳng cấu tôpô với nhau

a

x , a,b Z, không chia hết cho p ; m Z

Khi đó: i/  là chuẩn không Acsimet trên Q

ii/  tương đương với p trên Q

Chứng minh Ta chứng minh  là chuẩn không Acsimet trên Q

Với mọi x, y Q , giả sử n m

p d

c y p b

p bd

bc adp 

  Do đó ta có ( x + y) = p k ; ( k  m )

 p m (do 0 < p < 1 )