Về mở rộng hữu hạn của trường các số p adic

mở đầu Lý thuyết tr-ờng là một trong những vấn đề quan trọng của toán học hiện đại, nó đặt nền móng cho việc nghiên cứu mở rộng các cấu trúc đại số, giải quyết các mẫu thuẫn Toán học.. X

Bộ giáo dục và đào tạo

Tr-ờng Đại học Vinh

-

Lê Anh Chiến

Về mở rộng hữu hạn của tr-ờng các số P-ADic

Luận văn thạc sỹ toán học

Chuyên ngành : Đại số- Lý thuyết số Mã số : 1.01.03

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học:

PGS.TS: Nguyễn Quý Dy

Vinh- 2002

Mục lục

trang

Ch-ơng 1 Các khái niệm cơ bản về mở rộng tr-ờng 5

1.2 Mở rộng đơn, mở rộng đại số, mở rộng tạp 6

Ch-ơng 2 Về mở rộng hữu hạn của tr-ờng các số P-Adic 15

2.3 Mở rộng hữu hạn của tr-ờng số P-Adic 25 2.4 Nhóm các đơn vị chính của tr-ờng K 32

mở đầu

Lý thuyết tr-ờng là một trong những vấn đề quan trọng của toán học hiện đại, nó đặt nền móng cho việc nghiên cứu mở rộng các cấu trúc đại số, giải quyết các mẫu thuẫn Toán học Ngoài ra, các hiểu biết về lý thuyết tr-ờng

sẽ góp phần làm cho chúng ta hiểu sâu sắc hơn về ch-ơng trình toán phổ thông Đặc biệt là ch-ơng trình toán THPT, góp phần tích cực vào việc bồi d-ỡng học sinh giỏi Chẳng hạn, khi xét các đa thức trên tr-ờng số hữu tỉ  ta

nhận thấy có những đa thức, ví dụ x2 - 2, x2 - 3, không có nghiệm trên  Có những dãy cơ bản không hội tụ trên , còn đối với các tr-ờng số khác thì sẽ nh- thế nào? Xuất phát từ những lý do đó và hoàn cảnh cụ thể của chúng tôi -

một thầy giáo dạy toán ở THPT, chúng tôi chọn đề tài "Về mở rộng hữu hạn của tr-ờng các số p-adic" Theo chúng tôi, đề tài này mang một ý nghĩa khoa

học, có tính thời sự và thiết thực đối với sự phát triển toán học Chúng tôi không có tham vọng nhiều, bởi vì đây là một công việc khó khăn và lâu dài Trong chừng mực nhất định, chúng tôi muốn góp phần làm sáng tỏ một số vấn

đề: Cấu trúc nhóm đơn vị về mở rộng hữu hạn của tr-ờng p-adic

Luận văn đ-ợc chia làm 2 ch-ơng cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục một số tài liệu tham khảo

Ch-ơng 1: Các khái niệm cơ bản về mở rộng tr-ờng

Ch-ơng 2: Về mở rộng hữu hạn của tr-ờng các số p-adic

Luận văn là một sự thực hành nghiên cứu đại số và lý thuyết số vào một lĩnh vực mà ít nhiều có sự t-ơng tự với lý thuyết số thực, do đó, sẽ rất bổ ích cho chúng tôi sau này trong học tập và giảng dạy toán

Luận văn đ-ợc thực hiện và hoàn thành tại tr-ờng Đại họcVinh d-ới sự h-ớng dẫn của PGS.TS: Nguyễn Quý Dy, khoa Toán, tr-ờng Đại học Vinh

Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới

PGS.TS: Nguyễn Quý Dy, ng-ời đã dành nhiều thời gian, công sức, tận tình

giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo thuộc tổ Đại số, khoa Toán,

khoa sau đại học, Tr-ờng Đại học Vinh đã giúp đỡ và động viên tác giả rất

nhiều trong thời gian học tập cũng nh- thời gian làm luận văn

Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận đ-ợc nhiều

sự góp ý, trao đổi chân thành của các bạn bè đồng nghiệp Đặc biệt là thầy

giáo, TS: Nguyễn Thành Quang đã có nhiều ý kiến có giá trị giúp tác giả hoàn

thành luận văn Tác giả rất biết ơn và ghi nhận về những sự giúp đỡ quý báu

Ch-ơng 1

Các khái niệm cơ bản về mở rộng tr-ờng

Khi xét các đa thức trên tr-ờng số hữu tỉ , ta nhận thấy có những đa

thức, ví dụ: f(x) = x2 -2, không có nghiệm trên , nh-ng lại có nghiệm trên một tr-ờng rộng hơn chứa , ví dụ: ( 2), có những dãy cơ bản không hội tụ trên , nh-ng lại hội tụ trên tr-ờng rộng hơn chứa , ví dụ tr-ờng số thực 

với mêtric giá trị tuyết đối, tr-ờng p-adic p với mêtric p-adic p

1.1 - tr-ờng con và tr-ờng mở rộng 1.1.1 Tr-ờng mở rộng

Cho P, F là các tr-ờng F đ-ợc gọi là mở rộng của P nếu P là tr-ờng con

của F

1.1.2 Tr-ờng đơn

P đ-ợc gọi là tr-ờng đơn nếu nó không có tr-ờng con thực sự Ví dụ

tr-ờng các số hữu tỉ 

1.1.2.1 Mệnh đề Cho F là tr-ờng tuỳ ý, khi đó, giao của tất cả các

tr-ờng con của F là tr-ờng đơn

1.1.2.2 Hệ quả Mỗi tr-ờng có một và chỉ một tr-ờng đơn

1.1.3 Các kiểu tr-ờng đơn

Cho F là tr-ờng tuỳ ý, P là tr-ờng đơn của F Khi đó P phải chứa 0 và e

của F, do đó P chứa ne, n

Xét ánh xạ: f:  P ; rõ ràng f là đồng cấu vành

n  ne Im(f) = {ne, n} , là một vành con của F Ker(f) = {n , ne = 0}, là vành con của  Vì  là vành chính nên ker(f) là idean chính, sinh bởi một phần tử p nào

đó, nếu p  1 thì p là đặc số của tr-ờng F Có 2 khả năng có thể xảy ra:

i, p = 0, khi đó ker(f) = {0}, f là đơn cấu, nên Im(f) đồng cấu với  Vì P

là tr-ờng chứa Im(f) nên P chứa tr-ờng các th-ơng của Im(f) Vì  là tr-ờng các th-ơng của miền nguyên  Do đó, trong tr-ờng hợp này P đẳng cấu với tr-ờng số hữu tỉ 

ii, p  0, khi đó theo định lý đồng cấu vành ta có:

/p ≃ Im(f) vì Im(f) không có -ớc của 0 nên /p không có -ớc của 0, nên p là số nguyên

tố, p là một tr-ờng Khi đó Im(f) là tr-ờng con đơn của F, do tính duy nhất của tr-ờng con đơn của một tr-ờng, ta suy ra P ≃ p

Vậy, chỉ có hai kiểu tr-ờng đơn đó là tr-ờng số hữu tỉ  (có đặc số 0) và tr-ờng p, với p là số nguyên tố (có đặc số p) Tr-ờng p là tr-ờng tạo thành từ

p lớp thặng d- theo môđun p : p = {0, 1, ,P 1}

1.2 Mở rộng đơn, mở rộng đại số, mở rộng tạp

1.2.1 Mở rộng đơn

Giả sử P[x] là vành đa thức ẩn x trên P, với P là tr-ờng con của F Phần tử

 F là nghiệm của đa thức bậc d-ơng thuộc vành P [x] đ-ợc gọi là Phần tử

đại số trên P, phần tử không đại số trên P gọi là phần tử siêu việt

1.2.1.1 Định nghĩa Giả sử P  F,  F, tr-ờng con bé nhất của F chứa

P và , đ-ợc gọi là mở rộng đơn của P nhờ phần tử , ký hiệu P()

1.2.1.2 Ví dụ ( 2 )= {ab 2 : a,b} là mở rộng đơn của  nhờ 2 Giả sử F, P[x] là vành đa thức của x, khi đó:

P[] = {f(): f(x)  P[x]}

= {a0 + a1+ + ann+ , ai P , nN}

Rõ ràng P[] lập thành vành con của P ()

1.2.1.3 Định lý Giả sử p[x] là vành đa thức của x trên P, P() là mở rộng đơn của P nhờ  ,  là ánh xạ từ P[x] lên P() đặt t-ơng ứng đa thức f(x)  P[x] với f()  P(), khi đó:

k j k

j b x

k j k

j b

a  +

= (ao + + ajxj + ) (bo + +bkxk + ) = (f(x)) (g(x))

Vậy  là đồng cấu vành

Theo định lý đồng cấu vành ta có:

P() ≃ P[x]/ker() trong đó: ker() = {f(x)P[x]: (f(x))=f() = 0}

Im() = P[] là vành con của tr-ờng P() Theo hệ quả của định lý đồng cấu vành ta có:

P[x]/ker() ≃ Im() Suy ra: P[x]/ker() ≃ P[]

1.2.1.4.Hệ quả Nếu  là siêu việt trên P thì vành P[x] đẳng cấu với P() Chứng minh Xét ánh xạ : P[x]  P() , hiển nhiên  là đồng cấu vành

f(x)f() Nếu  là siêu việt trên P,f() = 0 (f() P()) khi và chỉ khi f(x)=0

VậyKer()={0} Do đó P()≃P[x]/{0}=P[x]

1.2.2 Đa thức tối tiểu của một phần tử đại số

Đa thức trong P[x]` có bậc nhỏ nhất (khác 0), với hệ số cao nhất bằng một,

nhận  làm nghiệm gọi là đa thức tối tiểu Bậc của đa thức đó gọi là bậc của phần tử đại số 

Đa thức tối tiểu của phần tử đại số bậc n có dạng:

f(x) = xn + an-1xn-1 + + a1x + a0 , ai P, i = 0,1, ,n-1

1.2.2.1 Mệnh đề Nếu  là phần tử đại số trên P thì đa thức tối tiểu của

 là duy nhất

Chứng minh Giả sử g(x) là một đa thức trong P sao cho g() = 0 thì g(x) chia hết cho f(x), f(x) là đa thức tối tiểu của P Thật vậy, nếu g(x)  P và g()=0, thì ta có thể viết g(x) = f(x).q(x) + r(x), deg r(x) < deg f(x) Thay x =

ta đ-ợc r() = 0 Vì r(x) nhận  làm một nghiệm và có bậc nhỏ hơn f(x), nên r(x) phải là đa thức không Vậy g(x) chia hết cho f(x) Đồng thời tính duy nhất của f(x) đ-ợc chứng minh

1.2.2.2 Định lý Giả sử  là phần tử đại số trên P deg  = n,   P và g(x) là đa thức tối tiểu của , khi đó:

i, g(x) bất khả quy trong P[x]

ii, Nếu f () = 0 thì f(x) chia hết cho g(x) trong P[x]

iii, P[x]/(g(x)) là một tr-ờng

iV, Vành th-ơng P[x]/(g(x)) ≃ P[]

V, Vành P[] = P()

Chứng minh i, Nếu g(x) khả quy, suy ra g(x) = h(x).s(x) trong P[x],

1degh(x), degs(x) < degg(x) Khi đó:

g) = h().s() Do tích không có -ớc của không, suy ra h() = 0 hoặc s() = 0, trái với giả thiết g(x) là đa thức tối tiểu của  Vậy g(x) bất khả quy trong P[x]

ii, Vì g(x) là đa thức tối tiểu của , theo (i) g(x) là đa thức bất khả quy trong P[x] Nếu f() = 0, f(x)  P[x], theo định nghĩa (1.2.2) ta suy ra degf(x)

degg(x) Nên f(x) chia hết cho g(x) trong P[x]

iii, Theo định lý (1.2.1.3) ta có  : P[x]  P() là đồng cấu vành

f(x)  f()

Theo giả thiết  là phần tử đại số trên P, nên tồn tại đa thức f(x)  0,

f(x)P[x]: f() = 0, suy ra f  ker() và ker()  0

Vì ker() là một idean chính khác không của vành chính P[x], nên

ker()=<g> - idean sinh bởi g(x)  P[x], với g(x) là đa thức bất khả quy, suy

ra ker() = <g> là idean tối đại, do đó vành th-ơng P[x]/g(x) là một tr-ờng

iV, Theo định lý (1.2.1.3) P[x]/ker() ≃ P[] và chứng minh trên, ker()

= <g> là idean tối đại sinh bởi đa thức g(x) bất khả quy trong P[x] Từ đó suy

ra P[x]/g(x)≃P[]

V, Từ nhận xét (1.2.1.2) P[] lập thành vành con của P() Ta chứng minh vành P[] giao hoán, có đơn vị và tồn tại phần tử nghịch đảo

P() = {co + c1 + + cn-1n-1

, ci P}

tập :{co + c1 + + cn-1n-1}  P(), lập thành một vành giao hoán, có đơn vị 1= 1 + 0 + + 0n-1

, chứa , vì  = 0 + 1. + + 0n-1

Với  P(),  0 đều có nghịch đảo:  = co + c1 + + cn-1n-1  0, suy ra

có ít nhất một ci  0 (i=0, ,n-1), do đó đa thức p(x) = co+ c1x + +cn-1xn-1 0,

đa thức này nguyên tố với đa thức tối tiểu g(x) của  (vì không nhận  làm

nghiệm), do đó có các đa thức u(x), v(x)  P[x] sao cho:

p(x).u(x) + g(x).v(x) = 1

p().u() + g().v() = 1, (g().v() = 0)

suy ra: u() là nghịch đảo của g() =  Vậy vành P[] = P()

Vậy trong tr-ờng hợp này tồn tại đẳng cấu tr-ờng:

1: P[x]/(g(x)) ≃ P(), sao cho:

1(x + <g>) = (x) = 

1(a + <g>) = (a) = a, a P

1.2.3 Dựng mở rộng đơn P()

1.2.3.1 Định lý Giả sử  là phần tử đại số trên P, deg = n, khi đó phần

tử bất kỳ  P(), có thể biểu diễn một cách duy nhất d-ới dạng:

 = c 0 + c 1+ + c n-1n-1 , c n-1 P

Chứng minh Theo định lý (1.2.2.2) ,1: P[x]/(g(x)) ≃ P() là đẳng cấu tr-ờng Nên  P() thì:  = 1 (f(x) + <g>) với f(x)  P[x], g(x) là đa thức bất khả quy trên P[x]

1.2.5.2 Mệnh đề Mọi mở rộng hữu hạn trên P đều đại số trên P

Chứng minh Giả sử   F (F là mở rộng hữu hạn của P),   0 Khi đó các luỹ thừa của  : 1, , 2, ,n phụ thuộc tuyến tính trên P vì hệ này có n+1

1.2.6 Mở rộng đại số tạp của một tr-ờng

1.2.6.1.Định nghĩa Mở rộng F của tr-ờng P, đ-ợc gọi là mở rộng đại số

tạp của P, nếu có một dãy tăng các tr-ờng con của F :

P = Lo L1   Lk = F, (k >1)

sao cho với mỗi chỉ số i, tr-ờng Li là mở rộng đại số đơn của tr-ờng Li-1 Số k

đ-ợc gọi là độ dài của mở rộng F

Ví dụ: [(i)] ( 2) là một mở rộng đại số tạp của tr-ờng  có độ dài 2 1.2.6.2 Định lý Nếu L là mở rộng hữu hạn của F, F là mở rộng hữu hạn

của P, (P  F  L ) Khi đó L là mở rộng hữu hạn của P, và:

[L : P] = [L : F] [F : P]

Nh- trong tr-ờng hợp các nhóm, ta gọi tháp các tr-ờng là chuỗi các mở rộng: F1  F2  Fn Điều kiện cần và đủ để tháp hữu hạn là mỗi tầng của

nó hữu hạn

1.2.7 Tr-ờng sinh bởi một tập

Giả sử 1, ,K là các phần tử đại số trên P, F là mở rộng của P Khi đó,

tr-ờng con bé nhất chứa P và 1, ,k đ-ợc gọi là tr-ờng sinh bởi 1, ,k trên

Vậy P(1, ,k) là mở rộng hữu hạn của P

1.2.7.2 Hệ quả Mở rộng đại số tạp của tr-ờng P là mở rộng đại số của

tr-ờng đó

1.2.8 Tính đơn của một mở rộng đại số tạp

Định lý Giả sử F là một mở rộng đại số tạp của tr-ờng số P, khi đó F là

mở rộng đơn của P nhờ một phần từ nào đó

Chứng minh Ta xét cho tr-ờng hợp mở rộng tạp nhờ hai phần tử , Giả sử P  L  F và L = P(), F = L(); f(x), g(x) là các đa thức tối tiểu trên P[x], t-ơng ứng của , , degf(x) = m, degg(x) = n Khi đó f(x) và g(x) là các đa thức bất khả quy trên P[x], do đó f(x), g(x) không có nghiệm bội trong

tr-ờng số phức 

Giả  = 1, ,m là các nghiệm của f(x) trong ,  = 1 , ,n là các

nghiệm của g(x) trong  Khi đó :

m i

k

i

, , 2 }, , , 1 ,

Giả sử F1 = P() và F1[x] và vành đa thức của x trên F1 Khi đó h = f(-cx)

là đa thức thuộc F1[x] ,(, c  P() = F1) ,x-  là ƯCLN của h(x) và g(x) trong

F1[x], vì g() = 0 nên (x-) \ g(x) trong vành [x], h() = f(-c) = f() = 0

nên x -  \ h(x) trong [x] Do đó x -  là -ớc chung của h(x) và g(x) trong

[x]

Bây giờ ta chứng tỏ h(x) và g(x) không có nghiệm chung nào khác  Thật vậy, giả sử k , k  {2, ,n} là nghiệm chung của h(x) và g(x), khi đó:

h(k) = f(-ck) = 0, do đó phải có một chỉ số i, i {1, ,m}, sao cho

- ck = i hay  = i + ck, điều đó mâu thuẫn với bất đẳng thức  i +ck

Vậy:x-  là ƯCLN của h(x) và g(x) trong vành F1[x] , do đó x -  F1

[x],  F1 = P() và  =  - c F1 Vậy P(,)  F1 , F1  F

Từ đó suy ra F = F1 = P(), và  là phần tử đại số trên P (vì  ,  đại số trên P), nên tr-ờng F là mở rộng đơn của P nhờ phần tử  Định lý đ-ợc chứng minh

Ch-ơng 2

về ở RộNG HữU HạN CủA TRƯờNG CáC Số P-ADIC

2.1 - tr-ờng số p-adic 2.1.1 Tr-ờng mêtric hoá

Định nghĩa Tr-ờng K đ-ợc gọi là mêtric hoá, nếu trên nó xác định

đ-ợc một hàm , nhận giá trị thực, sao cho:

i, (a) > 0, với a 0

(a) = 0, khi a = 0

ii, (a.b) = (a) (b)

iii, (a+b) (a) + (b)

Khi đó, hàm  đ-ợc gọi là mêtric của tr-ờng K

Dãy {an} các phần tử của tr-ờng K đ-ợc gọi là cơ bản đối với mêtric , nếu với (N) d-ơng cho tr-ớc (an-am) < (N) với mọi m, n > N Dãy {an}

đ-ợc gọi là hội tụ đến phần tử a, nếu (an-a) < , với mọi n>N

2.1.2 Tr-ờng đầy đủ

Định nghĩa Tr-ờng K đ-ợc gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của K, đều

hội tụ trong K

(I)

2.1.3 Định lý Đối với mỗi tr-ờng mêtric hoá K, tồn tại tr-ờng mêtric hoá

đầy đủ K , chứa K với t- cách tr-ờng con đầy đủ hầu khắp nơi, tr-ờng K đó

đ-ợc gọi là phần bù của K, xác định một cách duy nhất chính xác đến một phép đẳng cấu tôpô, giữ nguyên các phần tử của tr-ờng K

Giả sử  là mêtric của K, thì mêtric  của K đ-ợc xác định nh- sau: Giả sử   K Khi đó () = 





n

lim (an), an K Vì dãy {an} là cơ bản theo mêtric , nên {(an)} là dãy cơ bản trên tr-ờng số thực Do tính đầy đủ

của tr-ờng số thực nên dãy {(an)} có giới hạn

với k, l là các số nguyên không chia hết cho p, m là số nguyên (có thể d-ơng,

âm hoặc bằng 0) Ta chọn là số thực thoả mãn điều kiện: 0 <<1 đặt:

p(x) = m

, với x  0

p(0) = 0

Ta đ-ợc một hàm p, xác định trên tr-ờng số hữu tỉ, thoả mãn tất cả các

điều kiện của định nghĩa mêtric, ngoài ra p còn thoả mãn điều kiện mạnh hơn

điều kiện (iii) Đó là:

p(a+b)  max{p(a), p(b)} (II)

Mêtric trên một tr-ờng tuỳ ý thoả mãn bất đẳng thức (II), ng-ời ta gọi là mêtric phi Archimede

2.1.3.2 Định nghĩa Phần bù của tr-ờng số hữu tỉ  theo mêtric p , đ-ợc gọi là tr-ờng số p-adic, ký hiệu p

Theo định lý (2.1.3) ,tr-ờng p đ-ợc xác định một cách duy nhất chính xác đến một đẳng cấu tôpô, giữ nguyên các số hữu tỉ

Giả sử K là một tr-ờng mêtric, vì mêtric phi Archimedean p, dãy các tổng riêng S1, S1, ,Sn của dãy: ao+ a1+ + an , ai K (*) Hội tụ đến một phần

tử s, thì ta nói rằng dãy đó hội tụ và tổng của nó bằng s

2.1.4 Định lý Điều kiện cần và đủ để một dãy hội tụ (theo mêtric phi

Archimede) là số hạng tổng quát của nó tiến đến 0, nghĩa là  (a n )  0

Chứng minh Giả sử dãy (*) hội tụ Khi đó Sn - Sn-1 tiến tới 0 Nh-ng

+ +pn + , trong tr-ờng p-adic p là dãy hội

tụ, vì (pn) =  n 0(nghĩa là số hạng tổng quát tiến đến 0)

Sn = 1 + + pn =

P

p P

2.1.4.2 Ví dụ Trong tr-ờng 5-adic dãy: 3+2.5+3.52

p a



với m là số nguyên (có thể d-ơng, âm hoặc bằng 0), ai là các số nguyên thoả mãn điều kiện: 1  a0  p-1, 0  anp -1, n 1

2.1.5.1 Số mũ p-adic

Nếu với   0, có p() =  m thì số m đ-ợc xác định duy nhất, đ-ợc gọi

là số mũ p-adic của  và ký hiệu m = p() Quy -ớc p(0) = 

 trong tr-ờng 3-adic

Ta có -5  8a0 (mod 3), có nghiệm a0 = 2, vậy

2.1.6.Mệnh đề Tập tất cả các số nguyên p-adic lập thành một vành

Ta ký hiệu vành đó là Op Tính chia hết trong vành Op, đ-ợc định nghĩa theo tính chia hết trong vành nói chung: cho  0 thuộc vành Op, số nguyên 

chia hết cho  nếu tồn tại Op, sao cho  = .

Rõ ràng,  chia hết cho  khi và chỉ khi p()  p() Hoàn toàn t-ơng

tự định nghĩa đơn vị của một vành, ta có thể định nghĩa đơn vị của vành Op

2.1.7.Định lý Điều kiện cần và đủ để số p-adic , với  = c 0 +c 1 p+

c 2 p 2 + , trong đó 0  c n p-1 là đơn vị của vành O p là: "Số hạng tự do" c 0 khác 0

Từ khái niệm chia hết, ta có thể định nghĩa đồng d- thức trong vành Op

Cho   0,  đ-ợc gọi là đồng d- với , theo môđun , nếu - chia hết cho 

Nếu  là đơn vị p- adic thì đồng d- theo môđun , rõ ràng t-ơng đ-ơng với đồng d- theo môđun , do đó ta chỉ cần xét các đồng d- theo môđun pk Với t- cách hệ thặng d- đầy đủ theo môđun pk ta có thể lấy các số dạng:

c0 + c1p + c2p2 + + ck-1pk-1, với 0  ci p-1

2.2 - nhóm nhân của tr-ờng số p-adic

Theo định lý (2.1.5) mỗi số p-adic   0 đ-ợc viết một cách duy nhất d-ới dạng:  = pm, m = () ,  là một đơn vị p-adic Từ đó suy ra rằng:

nhóm nhân *

p của tr-ờng p, đ-ợc phân tích thành tích trực tiếp của nhóm

xyclic vô hạn {p}, sinh bởi số nguyên tố p và nhóm đơn vị p-adic E

*

p = {p} x E (1)

Trong tiết này chúng ta sẽ xét thêm nhóm đơn vị E

2.2.1 Định lý Giải sử f(t) là đa thức với hệ số nguyên p-adic Khi đó, với

cO p , sao cho f(c)  0 (mod p) và f'(c) ≢ 0 (mod p), tồn tại số nguyên p-adic

 sao cho:

f() = 0,  c (mod p)

Chứng minh Bằng phép quy nạp theo n, ta dựng dãy các số nguyên p-adic