về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện

MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN ÁNAbCross phạm trù các môđun chéo aben BrCross phạm trù các môđun chéo bện Dis M phạm trù rời rạc ∆F mở rộng tích chéo của hệ nhân tử F ExtΠ, A tập c

Bộ giáo dục và đào tạo TRường đại học vinh -

CHẾ THỊ KIM PHỤNG

VỀ MỞ RỘNG PHÂN BẬC CỦA NHểM PHẠM TRÙ BỆN

Luận án tiến sĩ toán học

NGHỆ AN - 2014

TRường đại học vinh -

CHẾ THỊ KIM PHỤNG

VỀ MỞ RỘNG PHÂN BẬC CỦA NHểM PHẠM TRÙ BỆN

Chuyờn ngành: Đại số và Lý thuyết số

LỜI CAM ĐOAN

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫncủa PGS TS Nguyễn Tiến Quang và PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tôi xin cam đoanđây là công trình nghiên cứu của tôi và các đồng tác giả Các kết quả trong luận

án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được aicông bố trước đó

Tác giả

Chế Thị Kim Phụng

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn TiếnQuang và PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắctới Thầy Nguyễn Tiến Quang và Thầy Ngô Sỹ Tùng

Tác giả xin cảm ơn NCS Phạm Thị Cúc về sự cộng tác viết bài báo chung

và thảo luận những bài toán có liên quan

Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm vàgóp ý của PGS TS Nguyễn Thành Quang, PGS TS Lê Quốc Hán, TS NguyễnThị Hồng Loan, các thành viên trong Bộ môn Đại số, Khoa Sư phạm Toán học,Trường Đại học Vinh cùng các nhà khoa học và bạn bè đồng nghiệp Tác giảxin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới:

- Khoa Sư phạm Toán học và Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại họcVinh,

- Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn,

- Khoa Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp,

đã hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ củamột nghiên cứu sinh

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người bạnthân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập

Chế Thị Kim Phụng

MỤC LỤC

1.1 Phạm trù monoidal 16

1.2 Nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard 19

1.3 Nhóm phạm trù phân bậc 22

1.4 Đối đồng điều của các Γ-môđun 25

1.5 Nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard phân bậc 26

1.6 Kết luận của Chương 1 29

2 Hệ nhân tử trong các phạm trù Picard phân bậc 30 2.1 Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard 31

2.2 Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard R(M, N, h) 35

2.3 Mở rộng Γ-môđun 41

2.4 Kết luận của Chương 2 46

3 Môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện 47 3.1 Môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện 48

3.2 Môđun chéo aben và phạm trù Picard chặt chẽ 55

3.3 Mở rộng aben kiểu môđun chéo aben 59

3.4 Kết luận của Chương 3 66

4 Γ-môđun chéo bện và nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện 67 4.1 Γ-môđun chéo bện và nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện 68

4.2 Mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben 77

4.3 Kết luận của Chương 4 84

5 Mở rộng nhóm đẳng biến và nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ 85

5.1 Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ 86

5.2 Hạt nhân đẳng biến 87

5.3 Phân lớp các mở rộng nhóm đẳng biến là mở rộng tâm 90

5.4 Hợp thành của nhóm phạm trù phân bậc với Γ-đồng cấu 93

5.5 Kết luận của Chương 5 96

Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án 98

MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN ÁN

AbCross phạm trù các môđun chéo aben

BrCross phạm trù các môđun chéo bện

Dis M phạm trù rời rạc

∆(F ) mở rộng tích chéo của hệ nhân tử F

Ext(Π, A) tập các lớp tương đương các mở rộng nhóm của A bởi Π (F, F , Fe ∗) hàm tử monoidal

R

Γ (M, N, h) nhóm phạm trù Γ-phân bậc kiểu (M, N, h)

Hom[C, C0] tập các lớp đồng luân của các hàm tử từ C đến C0

Hom(X, Y ) tập các mũi tên từ vật X đến vật Y

Habn nhóm đối đồng điều aben thứ n của nhóm

Hsn nhóm đối đồng điều đối xứng thứ n của nhóm

HΓ,abn nhóm đối đồng điều aben thứ n của các Γ-môđun

HΓ,sn nhóm đối đồng điều đối xứng thứ n của các Γ-môđun

Mor(C) tập các mũi tên của phạm trù C

Zabn nhóm các n-đối chu trình aben của nhóm

ZΓ,abn nhóm các n-đối chu trình aben của các Γ-môđun

ZΓ,sn nhóm các n-đối chu trình đối xứng của các Γ-môđun

Zsn nhóm các n-đối chu trình đối xứng của nhóm

BẢNG THUẬT NGỮ

đối đồng điều đối xứng symmetric cohomology

Γ-môđun chéo đối xứng symmetric Γ-crossed module

hàm tử monoidal đối xứng symmetric monoidal functor

môđun chéo đẳng biến equivariant crossed module

môđun chéo đẳng biến aben abelian equivariant crossed modulemôđun chéo đẳng biến bện braided equivariant crossed modulemôđun chéo đẳng biến đối xứng symmetric equivariant crossed module

mở rộng nhóm đẳng biến equivariant group extension

nhóm phạm trù phân bậc bện braided graded categorical groupnhóm phạm trù chặt chẽ strict categorical group

nhóm phạm trù đối xứng symmetric categorical group

nhóm phạm trù phân bậc đối xứng symmetric graded categorical groupnhóm phạm trù phân bậc graded categorical group

nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ strict graded categorical groupnhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện braided strict graded cate-group

phạm trù monoidal đối xứng symmetric monoidal category

phạm trù Picard chặt chẽ strict Picard category

phạm trù Picard phân bậc graded Picard category

phạm trù Picard phân bậc chặt chẽ strict graded Picard category

phép biến đổi tự nhiên natural transformation

SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC KHÁI NIỆM

Nhóm phạm trù phân bậc bện oo _? Phạm trù Picard phân bậc

Nhóm phạm trù bện oo _? Phạm trù Picard

Nhóm phạm trù Nhóm phạm trù bệnoo _? chặt chẽ bện oo // Môđun chéo bện

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phạm trù với tích tenxơ bắt đầu được nghiên cứu bởi J Bénabou[42] và S MacLane [25] Các tác giả đã xét các phạm trù trên đó có trang bịmột phép toán ⊗ cùng với ràng buộc kết hợp a và ràng buộc đơn vị l,r thỏamãn một số biểu đồ giao hoán S MacLane [25] gọi phạm trù này là phạm trùmonoidal và đưa ra điều kiện đủ cho tính khớp của các đẳng cấu tự nhiên a,l,r

S MacLane cũng chỉ ra điều kiện đủ cho tính khớp của các đẳng cấu tự nhiêntrong một phạm trù monoidal đối xứng, tức là một phạm trù monoidal có thêmđẳng cấu giao hoán c tương thích với các ràng buộc kết hợp và đơn vị Sau đó,

lý thuyết phạm trù monoidal đã được nhiều nhà toán học quan tâm và pháttriển theo nhiều hướng khác nhau

Phạm trù monoidal có thể được “mịn hóa” để trở thành phạm trù với cấutrúc nhóm bằng việc bổ sung vật khả nghịch (xem M L Laplaza [23] và N S.Rivano [45]) Nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tên đều đẳngcấu) thì ta được phạm trù monoidal giống nhóm (xem A Fr¨ohlich và C T C.Wall [19]), hayGr-phạm trù (xem H X Sính [46]) Trong luận án này chúng tôigọi phạm trù như thế là nhóm phạm trù theo cách gọi phổ biến gần đây (xem

P Carrasco và A R Garzón [10], A M Cegarra và các đồng tác giả [11], A R.Garzón và A Del Río [21]) Sự phân lớp các nhóm phạm trù bởi đối đồng điềunhóm đã được H X Sính trình bày trong [46] Trong trường hợp nhóm phạmtrù có thêm đẳng cấu giao hoán thì nó trở thành phạm trù Picard (xem [46]),hay nhóm phạm trù đối xứng (xem M Bullejos và các đồng tác giả [6])

Phạm trù monoidal bện xuất hiện trong công trình của A Joyal và R Street[22] và là sự mở rộng của khái niệm phạm trù monoidal đối xứng Họ cũng đã

“mịn hoá” phạm trù monoidal bện để trở thành nhóm phạm trù bện khi bổ sungđiều kiện mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tên là đẳng cấu Các tác giả đãphân lớp các nhóm phạm trù bện bởi phạm trù các hàm quadratic dựa trên kếtquả của S Eilenberg và S MacLane [18] về biểu diễn hàm quadratic bởi nhómđối đồng điều aben Hab3(G, A) Một trường hợp riêng của nhóm phạm trù bện là

phạm trù Picard đã được phân lớp trước đó bởi H X Sính [46].

Một hướng tổng quát của nhóm phạm trù đã được giới thiệu bởi A Fr¨ohlich

và C T C Wall [19] với tên gọi là nhóm phạm trù phân bậc Sau đó, A M.Cegarra và E Khmaladze đã nghiên cứu nhóm phạm trù phân bậc bện (xem[14]) và phạm trù Picard phân bậc (xem [15]) Các khái niệm này lần lượt làcác trường hợp tổng quát của nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard Họ đãthu được những kết quả về phân lớp nhờ các lý thuyết đối đồng điều Γ-môđun

do chính họ xây dựng

Theo một hướng khác, một số tác giả đã quan tâm đến lớp nhóm phạm trùđặc biệt, trong đó các ràng buộc là các đồng nhất và các vật đều khả nghịchchặt chẽ, nghĩa là X ⊗ Y = I = Y ⊗ X Lớp phạm trù này được gọi là G-groupoid(xem R Brown và C B Spencer [5]), Gr-phạm trù chặt chẽ (xem H X Sính[47]), nhóm phạm trù chặt chẽ (xem A Joyal và R Street [22]), 2-nhóm chặtchẽ (xem J C Baez và A D Lauda [2]) hay 2-nhóm (xem B Noohi [27])

R Brown và C B Spencer [5] đã chỉ ra rằng mỗi môđun chéo được xác địnhbởi một G-groupoid và ngược lại Từ đó các tác giả đã chứng minh rằng phạmtrù các môđun chéo tương đương với phạm trù các G-groupoid (tương đươngBrown-Spencer) (xem [5, Định lý 1])

Như trên, mỗiG-groupoid còn được gọi là nhóm phạm trù chặt chẽ, tuy nhiênphạm trù các G-groupoid chỉ là phạm trù con của phạm trù các nhóm phạmtrù chặt chẽ N T Quang và cộng sự [34] đã chỉ ra mối liên hệ của phạm trùthứ hai này với phạm trù các môđun chéo, mà tương đương Brown-Spencer chỉ

là trường hợp riêng Kết quả trong [34] cho phép ứng dụng các kết quả về lýthuyết cản trở đối với các hàm tử và lý thuyết đối đồng điều vào việc nghiêncứu các môđun chéo Hơn thế, cách làm này mở ra một hướng liên kết một sốlớp môđun chéo nào đó với một đại số phạm trù thích hợp, như chúng tôi sẽtrình bày trong Chương 3 và Chương 4

Ý tưởng trong [5] cũng đã được A Joyal và R Street [22] phát triển chomôđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện Tuy nhiên, A Joyal và R.Street mới chỉ dừng lại ở việc xác định lẫn nhau giữa các cấu trúc nói trên,nghĩa là chỉ giữa các vật Vấn đề đặt ra là có hay không một tương đươngBrown-Spencer cho phạm trù các môđun chéo bện và phạm trù các nhóm phạmtrù chặt chẽ bện Chúng tôi cho rằng đây là một vấn đề cần được giải quyết

Ngoài môđun chéo bện còn có một số kiểu môđun chéo khác cũng đã nhậnđược sự quan tâm của nhiều tác giả, chẳng hạn như: môđun chéo aben (xem P.Carrasco và các đồng tác giả [8]), Γ-môđun chéo và Γ-môđun chéo bện (xem B.Noohi [28]) Theo cách làm của N T Quang và các cộng sự [34], chúng tôi mongmuốn kết nối được những kiểu môđun chéo này với những đại số phạm trù thíchhợp nào đó, và hy vọng sẽ nhận được những tương đương Brown-Spencer chonhững đối tượng này.

Theo một hướng khác, môđun chéo có liên quan chặt chẽ đến bài toán mởrộng nhóm (xem S Eilenberg và S MacLane [16]) Bài toán mở rộng nhóm kiểumôđun chéo được giới thiệu trong các công trình [40] và [43] đã được nghiên cứubởi R Brown và O Mucuk [4] Điều đó gợi ý cho chúng tôi một hướng nghiêncứu là tìm hiểu bài toán mở rộng kiểu môđun chéo nào đó trong số các kiểumôđun chéo đã được đề cập

Vì những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án củamình là: “Về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là nghiên cứu về cấu trúc của các đại số phạm trù như:phạm trù Picard phân bậc, nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, nhóm phạm trùphân bậc chặt chẽ bện, nhóm phạm trù chặt chẽ bện Từ đó, chúng tôi phânlớp đối với Γ-môđun chéo bện, môđun chéo aben, môđun chéo bện và trìnhbày lý thuyết Schreier cho mở rộng Γ-môđun, mở rộng aben kiểu môđun chéoaben, mở rộngΓ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben và mở rộng tâm của các nhómđẳng biến

3 Đối tượng nghiên cứu

Nhóm phạm trù bện, nhóm phạm trù phân bậc bện, môđun chéo và bài toán

mở rộng nhóm kiểu môđun chéo

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu về tính chặt chẽ và tính đối xứng trong nhómphạm trù bện và nhóm phạm trù phân bậc bện để phân lớp từng kiểu môđunchéo và giải các bài toán mở rộng kiểu môđun chéo nào đó

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình thựchiện đề tài

Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau đây:

- Dùng lý thuyết hệ nhân tử để nghiên cứu cấu trúc đại số phạm trù;

- Dùng lý thuyết cản trở của hàm tử để giải bài toán mở rộng;

- Dùng đại số phạm trù để phân lớp kiểu môđun chéo tương ứng

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả của luận án đã được đăng hoặc nhận đăng trên các tạp chí quốc

tế Vì vậy, chúng có thể được xem là có ý nghĩa khoa học theo một mức độ nào

đó và đóng góp về tư liệu cho những ai quan tâm đến những vấn đề có liên quan

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan về luận án

Năm 2002, A M Cegarra và các đồng tác giả [11] đã chỉ ra rằng mỗi nhómphạm trù Γ-phân bậc G xác định một bộ ba (Π, A, h), trong đó tập Π các lớpvật đẳng cấu bậc 1 của G là một Γ-nhóm, tập A các tự đẳng cấu bậc 1 của vậtđơn vị của G là một Π-môđun Γ-đẳng biến và [h] là một phần tử thuộc nhómđối đồng điều đẳng biến HΓ3(Π, A) Từ kết quả này, các tác giả trong [11] đã xâydựng được một nhóm phạm trù Γ-phân bậc RΓ(Π, A, h) tương đương với G Nhờvậy, họ đã chứng minh định lý phân lớp chính xác cho nhóm phạm trù phân bậcbởi nhóm HΓ3(Π, A) nhờ các phạm trù khung và áp dụng lý thuyết nhóm phạmtrù phân bậc để đưa ra lời giải thích hợp cho bài toán mở rộng nhóm đẳng biếnvới hạt nhân không aben Bài toán này là một sự tổng quát hoá của bài toán

mở rộng nhóm

Năm 2010, N T Quang [31] đã giải bài toán phân lớp các nhóm phạm trùphân bậc nhờ vào khái niệm hệ nhân tử của A Grothendieck [44] Tác giả đãchứng minh rằng mỗi nhóm phạm trù Γ-phân bậc G tương đương với một mởrộng Γ-phân bậc của một nhóm phạm trù kiểu (Π, A) và chỉ ra rằng mỗi hệnhân tử lấy hệ tử trong một nhóm phạm trù kiểu(Π, A) cảm sinh một 3-đối chutrình của nhóm đối đồng điều đẳng biến HΓ3(Π, A) Với những kết quả này, N

T Quang đã thu lại được định lý phân lớp các nhóm phạm trù Γ-phân bậc của

A M Cegarra và các đồng tác giả [11]

Năm 2007, A M Cegarra và E Khmaladze đã xét các nhóm phạm trù phânbậc cho trường hợp có tính bện, tính đối xứng và lần lượt đưa ra các khái niệmnhóm phạm trù phân bậc bện (xem [14]) và phạm trù Picard phân bậc (xem[15]) Các khái niệm này lần lượt là các trường hợp tổng quát của nhóm phạmtrù bện (xem A Joyal và R Street [22]) và phạm trù Picard (xem H X Sính[46]) A M Cegarra và E Khmaladze đã xây dựng các nhóm đối đồng điều abencủa các Γ-môđun HΓ,abn (M, N ) (xem [14]) để phân lớp các nhóm phạm trù bện

và xây dựng đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun HΓ,sn (M, N ) (xem [15]) đểphân lớp các phạm trù Picard phân bậc Đồng thời họ cũng sử dụng hai đối đồngđiều của các Γ-môđun để phân lớp các mở rộng Γ-môđun theo hai hướng khácnhau mà không sử dụng đến những kết quả phân lớp về nhóm phạm trù phânbậc bện hay phạm trù Picard phân bậc như cách tiếp cận của A M Cegarra vàcác đồng tác giả trong [11] cho các mở rộng nhóm đẳng biến

Nội dung đầu tiên của luận án là nghiên cứu phạm trù Picard Γ-phân bậcbằng phương pháp hệ nhân tử Chúng tôi chứng minh rằng mỗi phạm trù Picardphân bậc P tương đương với một mở rộng tích chéo của một hệ nhân tử lấy

hệ tử trong phạm trù Picard thu gọn kiểu (π0P, π1P) (Định lý 2.1.5), đồng thờichỉ ra mỗi hệ nhân tử nói trên cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên các nhómaben π0P, π1P và cảm sinh một 3-đối chu trình chuẩn tắc h ∈ ZΓ,s3 (π0P, π1P)(Định lý 2.2.1) Như một ứng dụng của lý thuyết phạm trù Picard phân bậc,chúng tôi trình bày sự phân lớp các mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm tửmonoidal phân bậc đối xứng (Định lý 2.3.2) Những kết quả này cho phép thulại được định lý phân lớp các phạm trù Picard phân bậc và phân lớp đối đồngđiều các mở rộng Γ-môđun trong [15]

Khái niệm môđun chéo bện trên một groupoid được giới thiệu đầu tiên bởi

R Brown và N D Gilbert [3] Sau đó, khái niệm môđun chéo bện trên các nhómxuất hiện trong công trình của A Joyal và R Street [22], một môđun chéo bện làmột môđun chéoM = (B, D, d, ϑ), trong đó nhómB được bổ sung tính chất bện.Khái niệm này mịn hơn khái niệm môđun chéo A Joyal và R Street đã chỉ rarằng mỗi môđun chéo bện được xác định bởi một nhóm phạm trù chặt chẽ bện

và ngược lại Tuy nhiên, họ vẫn chưa thiết lập một tương đương Brown-Spencercho hai đối tượng này Cũng từ khái niệm môđun chéo, P Carrasco và các đồngtác giả [8] đã xét trường hợp các nhóm có tính chất giao hoán và đưa ra khái

niệm môđun chéo aben Ngoài ra, môđun chéo aben có thể được đặc trưng bởikhái niệm tâm của một môđun chéo như trong công trình của K Norrie [29].Chú ý rằng môđun chéo aben cũng là một trường hợp riêng của môđun chéobện Các tác giả trong [8] đã chỉ ra rằng phạm trù các môđun chéo aben CMabtương đương với phạm trù các môđun phải trên vành các ma trận

Đối với môđun chéo bện, chúng tôi xác định mũi tên trong phạm trù cácmôđun chéo bện Mũi tên này bao gồm một đồng cấu (f1, f0) : M → M0 củacác môđun chéo bện và một phần tử thuộc nhóm các 2-đối chu trình aben

Zab2 (π0M, π1M0) Từ đó, chúng tôi chứng minh rằng phạm trù các môđun chéobện tương đương với phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện Mũi têntrong phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện là các hàm tử monoidal đốixứng (F, F ) :e P → P0 bảo toàn phép toán tenxơ và Fex,y = Fey,x với x, y ∈ Ob(P)(Định lý 3.1.11)

Đối với môđun chéo aben, chúng tôi xác định mũi tên trong phạm trù cácmôđun chéo aben và chứng minh phạm trù này tương đương với phạm trù cácphạm trù Picard chặt chẽ, trong đó mũi tên trong phạm trù thứ nhất bao gồmmột đồng cấu(f 1 , f 0 ) : M → M0 của các môđun chéo aben và một phần tử thuộcnhóm các 2-đối chu trình đối xứng Zs2(π0M, π1M0), còn mũi tên trong phạm trùthứ hai là một hàm tử monoidal đối xứng bảo toàn phép toán tenxơ trên cácvật (Định lý 3.2.7) Đồng thời, chúng tôi giới thiệu bài toán mở rộng aben kiểumôđun chéo aben và sử dụng lý thuyết cản trở cho các hàm tử monoidal đối xứng

để giải quyết bài toán này như sau Mỗi môđun chéo abenMxác định một phạmtrù Picard chặt chẽ P Bất biến thứ ba của P là một phần tử k ∈ Hs3(π0M, π1M)

và mỗi đồng cấu ψ : Q → π0Mcảm sinh ψ∗k ∈ Hs3(Q, π1M) Khi đó, sự triệt tiêucủa ψ∗k trong Hs3(Q, π 1 M) là điều kiện cần và đủ để tồn tại mở rộng aben kiểumôđun chéo aben M (Định lý 3.3.5) Mỗi mở rộng như vậy cảm sinh một hàm

tử monoidal đối xứng F : Dis Q →P Tương ứng này xác định một song ánh

Ω : HomP ic(ψ,0)[DisQ,P] → ExtabM(Q, B, ψ),

trong đóHomP ic(ψ,0)[DisQ,PB→D]là tập các lớp đồng luân của các hàm tử monoidalđối xứng F : Dis Q →P kiểu (ψ, 0) và ExtabM(Q, B, ψ) là tập các lớp tương đươngcủa các mở rộng aben kiểu môđun chéo aben M cảm sinh ψ (Định lý 3.3.4).Năm 2011, B Noohi [28] đã bổ sung mộtΓ-tác động từ nhóm Γlên các nhóm

và đồng cấu nhóm trong khái niệm môđun chéo, môđun chéo bện và đưa ra kháiniệm Γ-môđun chéo, Γ-môđun chéo bện Với các khái niệm này, B Noohi đãtính các nhóm đối đồng điều Hi(Γ, M) với i = −1, 0, 1 của nhóm Γ với các hệ

tử trong M, trong đó M lần lượt là Γ-môđun chéo và Γ-môđun chéo bện Tuynhiên, trong bài báo đó, tác giả chưa đề cập đến sự phân lớp các Γ-môđun chéo

và Γ-môđun chéo bện Năm 2013, N T Quang và P T Cúc [33] đã xây dựngnhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ để phân lớp các Γ-môđun chéo và giải bàitoán mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo Mở rộng này là dạng tổngquát của mở rộng nhóm đẳng biến và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo

Nội dung thứ ba của luận án là xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽbện để phân lớp các Γ-môđun chéo bện và giải bài toán mở rộng Γ-môđun kiểu

Γ-môđun chéo aben Trước hết, chúng tôi giới thiệu khái niệm nhóm phạm trùphân bậc chặt chẽ bện để biểu diễn Γ-môđun chéo bện (Định nghĩa 4.1.5) Từ

đó, chúng tôi nghiên cứu mối liên hệ giữa các đồng cấu Γ-môđun chéo bện vàhàm tử monoidal phân bậc đối xứng giữa các nhóm phạm trù phân bậc chặtchẽ bện liên kết Điều này làm cơ sở cho phép chứng minh định lý phân lớp các

Γ-môđun chéo bện (Định lý 4.1.10) Ngoài ra, chúng tôi còn giới thiệu bài toán

mở rộngΓ-môđun kiểuΓ-môđun chéo aben và sử dụng lý thuyết cản trở cho cáchàm tử monoidal đối xứng phân bậc để giải quyết bài toán như đối với mở rộngaben kiểu môđun chéo aben (Định lý 4.2.3, Định lý 4.2.4)

Phần cuối của luận án được dành để nghiên cứu về nhóm phạm trù phân bậcchặt chẽ gắn với bài toán mở rộng nhóm đẳng biến Thứ nhất, chúng tôi chỉ rarằng nếu h là bất biến thứ ba của nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ HolΓG(được xây dựng từ Γ-nhóm G) và p : Π → Out G là một hạt nhân đẳng biếncủa bài toán mở rộng nhóm đẳng biến thì p∗(h) là một cản trở của p, trong đó

p∗: ZΓ3(Out G, ZG) → ZΓ3(Π, ZG)(Định lý 5.2.1) Thứ hai, chúng tôi phân lớp các

mở rộng nhóm đẳng biến A → E → Π với A ⊂ ZE bởi các tự hàm tử monoidal

Γ-phân bậc của nhóm phạm trù Γ-phân bậc RΓ(Π, A, 0) (Định lý 5.3.1) Thứ ba,chúng tôi xây dựng một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ là hợp thành của

một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ với một Γ-đồng cấu (Định lý 5.4.1) Kếtquả này mở rộng cấu trúc pull-back của S MacLane [26] trong phép dựng mởrộng nhóm Eγ của mở rộng E và đồng cấu nhóm γ.

7.2 Cấu trúc của luận án

Nội dung của luận án được trình bày trong năm chương

Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả về phạm trùmonoidal, nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, nhóm phạm trù phân bậc, đốiđồng điều của các Γ-môđun, nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picardphân bậc Đồng thời, chúng tôi còn trình bày sự phân lớp các hàm tử monoidal(phân bậc) đối xứng kiểu (ϕ, f )

Chương 2 nghiên cứu các phạm trù Picard phân bậc bằng phương pháp hệnhân tử Mục 2.1 chỉ ra rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc P tương đươngvới mở rộng tích chéo của một hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard thugọn của Ker P (Định lý 2.1.5) Mục 2.2 chứng minh rằng mỗi hệ nhân tử đốixứng khá chặt chẽ lấy hệ tử trong phạm trù Picard kiểu (M, N ) cảm sinh cáccấu trúc Γ-môđun trên M, N và một 3-đối chu trình chuẩn tắc thuộc ZΓ,s3 (M, N )(Định lý 2.2.1) Kết quả này cho phép thu lại được định lý phân lớp đối đồngđiều các phạm trù Picard phân bậc (Định lý 2.2.9) Mục 2.3 trình bày sự phânlớp các mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm tử monoidal đối xứng phân bậc(Định lý 2.3.2)

Chương 3 nghiên cứu nhóm phạm trù chặt chẽ bện để phân lớp các môđunchéo bện, môđun chéo aben và mở rộng aben kiểu môđun chéo aben Mục3.1 xác định mũi tên trong phạm trù các môđun chéo bện và chứng minhphạm trù này tương đương với phạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện(Định lý 3.1.11) Mục 3.2 chỉ ra rằng mỗi môđun chéo aben được xây dựng từmột phạm trù Picard chặt chẽ và ngược lại Từ đó, chúng tôi xác định mũitên trong phạm trù các môđun chéo aben và chứng minh phạm trù này tươngđương với phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ (Định lý 3.2.7) Mục 3.3phát biểu và giải bài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben (Định lý 3.3.3,Định lý 3.3.4)

Chương 4 xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện để phân lớp các

Γ-môđun chéo bện và các mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben Mục 4.1giới thiệu khái niệm nhóm phạm trùΓ-phân bậc chặt chẽ bện (Định nghĩa 4.1.5)

Từ đó, chúng tôi xác định mũi tên trong phạm trù các Γ-môđun chéo bện vàchứng minh phạm trù này tương đương với phạm trù các nhóm phạm trù phânbậc chặt chẽ bện (Định lý 4.1.10) Mục 4.2 phát biểu và giải bài toán mở rộng

Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben (Định lý 4.2.3, Định lý 4.2.4)

Chương 5 nghiên cứu về nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ gắn với bàitoán mở rộng nhóm đẳng biến Mục 5.1 trình bày khái niệm nhóm phạmtrù phân bậc chặt chẽ và một số ví dụ minh họa Mục 5.2 xác định cái cảntrở của một hạt nhân đẳng biến trong bài toán mở rộng nhóm đẳng biến(Định lý 5.2.1) Mục 5.3 phân lớp các mở rộng nhóm đẳng biến mà là mởrộng tâm (Định lý 5.3.1) Mục 5.4 xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ

từ một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và một đồng cấu nhóm đẳng biến(Định lý 5.4.1)

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về phạmtrù monoidal (xem S MacLane [26]), nhóm phạm trù bện (xem A Joyal và R.Street [22]), phạm trù Picard (xem H X Sính [46]), nhóm phạm trù phân bậc(xem A Fr¨ohlich và C T C Wall [19]), đối đồng điều của các Γ-môđun, nhómphạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard phân bậc (xem A M Cegarra và E.Khmaladze [14], [15]) Những nội dung này làm cơ sở cho các chương tiếp theo

với mọi X, Y, Z, T thuộc C.

Các đẳng cấu tự nhiên a, l và r tương ứng được gọi là ràng buộc kết hợp,ràng buộc đơn vị trái và ràng buộc đơn vị phải

Một hàm tử monoidal từ phạm trù monoidal C đến phạm trù monoidal C0,là

là một hàm tử tương đương Khi đó ta cũng nói phạm trù monoidal C và phạmtrù monoidal C0 tương đương monoidal với nhau.

Giả sử (F, F , Fe ∗) và (G, G, Ge ∗) là hai hàm tử monoidal từ phạm trù monoidal

C đến phạm trù monoidal C0 Mũi tên hàm tử θ : F −→ G được gọi là một mũitên hàm tử monoidal nếu các biểu đồ sau giao hoán:

F (X ⊗ Y ) −−−→ F X ⊗FeX,Y 0F Y



y

Gr-phạm trù theo H X Sính [46], hay nhóm phạm trù theo P Carrasco và A

R Garzón [10], A M Cegarra và các đồng tác giả [11]

1.1.2 Định nghĩa ([46]) Một nhóm phạm trù là một phạm trù monoidal màtất cả các mũi tên đều đẳng cấu và mọi vật đều khả nghịch theo nghĩa với mọivật X đều tồn tại vật X0 cùng với mũi tên đẳng cấu X ⊗ X0 ∼− → I

1.2 Nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard

Phạm trù monoidal bện và nhóm phạm trù bện đã xuất hiện trong công trìnhcủa A Joyal và R Street [22] Một trường hợp riêng của nhóm phạm trù bện làphạm trù Picard đã được nghiên cứu bởi H X Sính [46]

Một phạm trù monoidal bện (hay phạm trù tenxơ bện) là một phạm trùmonoidal C cùng với đẳng cấu tự nhiên c = (cX,Y) : X ⊗ Y → Y ⊗ X thỏa mãncác biểu đồ giao hoán:

1.2.1 Định nghĩa ([22]) Một nhóm phạm trù bện là một phạm trù monoidalbện mà tất cả các vật đều khả nghịch và mọi mũi tên đều đẳng cấu

Nếu bện c của nhóm phạm trù bện P là một ràng buộc giao hoán thì P đượcgọi là một phạm trù Picard (xem H X Sính [46]) hay nhóm phạm trù đối xứng(xem M Bullejos và các đồng tác giả [6])

Giả sử (C, ⊗) và (C0, ⊗0) là hai phạm trù monoidal bện Hàm tử monoidal đốixứng (F, F , Fe ∗) : (C, ⊗) → (C0, ⊗0)là một hàm tử monoidal thỏa mãn biểu đồ giaohoán

A Joyal và R Street [22] đã phân lớp các nhóm phạm trù bện và hàm tửmonoidal đối xứng bởi các hàm quadratic Năm 2011, N T Quang và các cộng

sự [35] đã chỉ ra rằng mỗi hàm tử monoidal giữa hai nhóm phạm trù thu gọn

là một hàm tử kiểu (ϕ, f ) Hơn nữa, các tác giả trong [35] đã sử dụng hàm tửmonoidal kiểu (ϕ, f ) như một kỹ thuật để chứng minh định lý phân lớp chínhxác cho các nhóm phạm trù và nhóm phạm trù bện Kết quả phân lớp nhómphạm trù này là một dạng đầy đủ hơn kết quả phân lớp của H X Sính [46].Nội dung tiếp theo trình bày về phép dựng nhóm phạm trù bện thu gọn củamột nhóm phạm trù bện theo tài liệu [35]

Cho P = (P, ⊗, I, a, l, r, c) là một nhóm phạm trù bện Ký hiệu M = π0(P) lànhóm aben các lớp vật đẳng cấu của P với phép toán được cảm sinh bởi tíchtenxơ, N = π1(P)là nhóm aben các tự đẳng cấu của vật đơn vị I của P với phéptoán của nhóm là phép hợp thành Khi đó, nhóm phạm trù bện thu gọn của P,

ký hiệu là P(h), được xây dựng như sau

Vật của P(h) là các phần tử x ∈ M và các mũi tên là những tự đẳng cấu(a, x) : x → x, a ∈ N Phép hợp thành của các mũi tên được xác định bởi

(a, x) ◦ (b, x) = (a + b, x).

Phép toán ⊗ được cho bởi

x ⊗ y = x + y, (a, x) ⊗ (b, y) = (a + b, x + y).

Các ràng buộc đơn vị trong B là chặt chẽ Ràng buộc kết hợp và bện lần lượtliên kết với các hàm ξ : M3 → N và η : M2 → N Do tính khớp của ràng buộckết hợp (xem (1.1.2)) và tính tương thích của ràng buộc kết hợp với ràng buộcbện (xem (1.2.1) và (1.2.2)) nên cặp (ξ, η) lần lượt thỏa mãn các hệ thức

ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0, (1.2.4)ξ(x, y, z) − ξ(y, x, z) + ξ(y, z, x) + η(x, y + z) − η(x, y) − η(x, z) = 0, (1.2.5)ξ(x, y, z) − ξ(x, z, y) + ξ(z, x, y) − η(x + y, z) + η(y, z) + η(x, z) = 0 (1.2.6)

và do tính tương thích của ràng buộc kết hợp và ràng buộc đơn vị (xem (1.1.1))nên ξ thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc

ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0.

Vậy h = (ξ, η) thỏa mãn các hệ thức (1.2.4)-(1.2.6) là một 3-đối chu trình abenthuộc Zab3 (M, N ) (xem S MacLane [24]) Nhóm phạm trù bện thu gọn P(h) cònđược gọi là một nhóm phạm trù bện kiểu (M, N, h) và tương đương với P bởi cáchàm tử monoidal đối xứng chính tắc G và H Các hàm tử này được xây dựngnhư sau.

Trong P, ta chọn hệ đại diện (Xs) với s ∈ π0(P) sao cho X0 = I và chọn họcác đẳng cấu iX : X → X s sao cho iXs = idXs, iI⊗Xs = lXs, iXs⊗I = rXs Khi đó

đã chỉ ra nhóm HomZ(M, N/2N ) chính là nhóm đối đồng điều đối xứng của cácnhóm aben Hs3(M, N ) (xem [17])

Phần tiếp theo chúng tôi sẽ mô tả và phân lớp các hàm tử monoidal đối xứngkiểu (ϕ, f ) giữa hai nhóm phạm trù Picard thu gọn như N T Quang và cáccộng sự đã làm đối với hàm tử monoidal kiểu (ϕ, f ) trong [35]

Với các dữ liệu M, N, h (thay thế cho π0(P), π1(P), h), nhóm phạm trù bệnthu gọn P(h) còn được ký hiệu bởi R

(M, N, h) (để chỉ rằng nó không phụ thuộcvào P)

Hàm tử F :R(M, N, h) →R(M0, N0, h0)được gọi là một hàm tử kiểu (ϕ, f )nếu

có cặp đồng cấu nhóm ϕ : M → M0, f : N → N0 thỏa mãn

F (x) = ϕ(x), F (a, x) = (f (a), ϕ(x))với x ∈ M, a ∈ N Khi đó hàm

k = ϕ∗h0− f∗h, (1.2.8)

trong đó ϕ∗ và f∗ là các đồng cấu

Zs3(M, N ) −→ Zf∗ s3(M, N0) ϕ

∗

←− Zs3(M0, N0),được gọi là một cản trở của hàm tử F

Khái niệm cản trở của một hàm tử được trình bày lần đầu tiên trong [30]đối với các Ann-hàm tử kiểu (R, A)

Lưu ý rằng nếu (F, F )e là một hàm tử monoidal đối xứng thì

ϕ∗h0− f∗h = ∂(gF),trong đó Fex,y = (gF(x, y), F (xy)), và do đó k = 0 trong Hs3(M, N0)

Từ các kết quả của N T Quang và các cộng sự trong [35], bằng một vài thayđổi cần thiết chúng tôi thu được kết quả sau

1.2.2 Mệnh đề Giả sử P và P0 là hai phạm trù Picard P(h) và P0(h0) lần lượt

là các phạm trù Picard thu gọn của P và P0 Khi đó mỗi hàm tử monoidal đối xứng(F, F ) :e P→ P0 cảm sinh một hàm tử monoidal đối xứng Fh :P(h) → P0(h0) kiểu(ϕ, f ) Hơn nữa, Fh = G0F H, trong đó H và G0 là những tương đương monoidalđối xứng chính tắc

1.2.3 Mệnh đề Cho S = R(M, N, h) và S0 = R(M0, N0, h0) là các phạm trùPicard Khi đó

(i) Mỗi hàm tử monoidal đối xứng (F, F ) :e S→S0 là một hàm tử kiểu (ϕ, f ).(ii) Hàm tử F :S→S0 kiểu (ϕ, f ) có thể hiện, nghĩa là tồn tại Fex,y để (F, F )e

là một hàm tử monoidal đối xứng, nếu và chỉ nếu cái cản trở k triệt tiêu trong

Hs3(M, N0) Khi đó tồn tại song ánh

số của lý thuyết nhóm phạm trù phân bậc được trình bày trong [9] Sau đó, cấutrúc này được nghiên cứu sâu sắc bởi A M Cegarra và các đồng tác giả [11].Mục này nhắc lại một số khái niệm và kết quả về nhóm phạm trù phân bậc theo[11].

Giả sử Γ là một nhóm Ta xem Γ như một phạm trù với một vật ∗, mũi tên

là các phần tử của Γ và phép hợp thành là phép toán nhóm Khi đó phạm trùCcùng với hàm tửgr : C → Γ được gọi là một phạm trù Γ-phân bậc (hay phạm trùphân bậc khi không cần chỉ rõ Γ) Hàm tử gr : C −→ Γ được gọi là một Γ-phânbậc trên C Nếu f : X −→ Y là một mũi tên của phạm trù C và gr(f ) = σ thì σđược gọi là bậc của mũi tên f và f được gọi là σ-mũi tên Γ-phân bậc gr đượcgọi là Γ-phân bậc ổn định nếu với mỗi X ∈ C và mỗi σ ∈ Γ, tồn tại một mũi tênđẳng cấu u trong C với nguồn X sao cho gr(u) = σ

Giả sử (C, gr) là một phạm trù Γ-phân bậc Ta ký hiệu C ×ΓC là một phạmtrù con của phạm trù tích C × C mà các vật là các vật (X, Y ) của C × C và cácmũi tên là các cặp mũi tên (f, g) củaC × C sao cho gr(f ) = gr(g)

Khi đó C ×ΓC cùng với hàm tử gr0 : C ×ΓC → Γ cũng là một phạm trùΓ-phânbậc với gr0(f, g) = gr(f ) = gr(g)

1.3.1 Định nghĩa Phạm trù monoidal Γ-phân bậc C = (C, gr, ⊗,a, I,l,r) baogồm một phạm trùC, mộtΓ-phân bậc ổn địnhgr : C → Γ,các hàm tửΓ-phân bậc

⊗ : C ×ΓC → C và I : Γ → C, và các đẳng cấu tự nhiên bậc 1: a= (aX,Y,Z),l= (lX)

và r= (rX), trong đó

lX : I ⊗ X → X,∼

rX : X ⊗ I → X,∼sao cho với mọi vật X, Y, Z, T ∈ C, các biểu đồ (1.1.2) và (1.1.1) giao hoán.Giả sử C và C0 là hai phạm trù monoidal phân bậc Một hàm tử monoidalphân bậc từ C đến C0 là một bộ ba (F, F , Fe ∗) bao gồm:

(i) Một hàm tử phân bậc F : C → C0,

(ii) Một đẳng cấu tự nhiên bậc 1: F = (e FeX,Y) với

e

FX,Y : F (X ⊗ Y ) → F X ⊗ F Y,

(iii) Một mũi tên đẳng cấu bậc 1: F∗ : F I → I0 sao cho với mọi X, Y, Z ∈ C,các biểu đồ (1.1.3) và (1.1.4) giao hoán.

Một hàm tử monoidal phân bậc (F, F , Fe ∗) từ phạm trù monoidal phân bậc

C đến phạm trù monoidal phân bậc C0 được gọi là tương đương monoidal phânbậc nếu F : C → C0 là một hàm tử tương đương phân bậc Khi đó ta cũng nói haiphạm trù monoidal phân bậc C và C0 tương đương monoidal phân bậc với nhau.Giả sử rằng(F, F , Fe ∗)và(F0, Fe0, F∗0)là hai hàm tử monoidal phân bậc từ phạmtrù monoidal phân bậcC đến phạm trù monoidal phân bậcC0 Một mũi tên hàm

tử monoidal phân bậc θ : (F, F , Fe ∗) → (F0, Fe0, F∗0) là mũi tên hàm tử phân bậc

θ : F → F0 thỏa mãn các biểu đồ giao hoán trong (1.1.5) với mọi X, Y ∈ Ob(C).Mũi tên hàm tử monoidal phân bậc θ của hai hàm tử monoidal phân bậc(F, F , Fe ∗)và (F0, Fe0, F∗0)được gọi là đẳng cấu hàm tử monoidal phân bậc nếu mũitên hàm tử phân bậc θ : F → F0 là một đẳng cấu hàm tử phân bậc

1.3.2 Định nghĩa Một nhóm phạm trù phân bậc là một phạm trù monoidalphân bậc trong đó mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tên đều là đẳng cấu.Khi đó phạm trù con KerG của nhóm phạm trù phân bậc G bao gồm các vậtcủa G và các mũi tên bậc 1 trong G là một nhóm phạm trù

A M Cegarra và các đồng tác giả [11] đã chỉ ra rằng mỗi nhóm phạm trù

Γ-phân bậc G = (G, gr, ⊗, I, a, l, r) xác định một bộ ba (π 0 G, π 1 G, h), trong đó:

1 Tập π0G các lớp vật 1-đẳng cấu của G là một Γ-nhóm,

2 Tập π1G các 1-tự đẳng cấu của vật đơn vị I là mộtΠ-môđun Γ-đẳng biến,

3 Bất biến thứ ba là một lớp đối đồng điều đẳng biến h ∈ HΓ3(π0G, π1G),trong đó HΓ3(π 0 G, π 1 G)là nhóm đối đồng điều Γ-toán tử (xem A M Cegarra vàcác đồng tác giả [12])

Ngược lại, từ một bộ ba (Π, A, h) bất kỳ, trong đó Π là một Γ-nhóm, A là

Π-môđun Γ-đẳng biến và h là một 3-đối chu trình thuộc ZΓ3(Π, A), các tác giảcủa [11] đã xây dựng một nhóm phạm trù Γ-phân bậc, ký hiệu là RΓ(Π, A, h).Sau đây, chúng tôi nhắc lại một cách ngắn gọn phép dựng này để tiếp tục sửdụng trong những phần sau

Các vật của RΓ(Π, A, h) là các phần tử x ∈ Π và mũi tên của chúng là các cặp(a, σ) : x → y bao gồm phần tử a ∈ A và σ ∈ Γ sao cho σx = y Hợp thành củahai mũi tên (x −−−→ y(a,σ) −−−(b,τ )→ z) được xác định

(b, τ )(a, σ) = (b + τ a + h(x, τ, σ), τ σ). (1.3.1)

Tích tenxơ trên các vật là phép nhân trong Π và tích tenxơ trên hai mũi tênđược cho bởi

0

,σ),σ)

−−−−−−−−−−−−→ yy0). (1.3.2)Các ràng buộc đơn vị là chặt chẽ, nghĩa là lx= (0, 1) = rx : x → x và ràng buộckết hợp

Γ-phân bậc ổn định xác định bởi gr(a, σ) = σ Hàm tử phân bậc đơn vị I : Γ →R

Γ (Π, A, h) cho bởi

I(∗ − → ∗) = (1σ −−−→ 1).(0,σ)

Trong trường hợpΠ = π0G và A = π1G,RΓ(Π, A, h)tương đương với G và được

ký hiệu là G(h), và để thuận tiện chúng tôi sẽ gọi nó là nhóm phạm trù phân bậcthu gọn của G.

1.4 Đối đồng điều của các Γ-môđun

A M Cegarra và E Khmaladze đã xây dựng các nhóm đối đồng điều abencủa các Γ-môđun để phân lớp các nhóm phạm trù phân bậc bện trong [14] vàxây dựng các nhóm đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun để phân lớp cácphạm trù Picard phân bậc trong [15] Chúng tôi sẽ nhắc lại ngắn gọn nhữngđiều cần thiết về các nhóm đối đồng điều aben (đối xứng) để sử dụng trong Mục1.5, Chương 2 và Chương 4

ChoM và N là haiΓ-môđun Nhóm đối đồng điều abenHΓ,abn (M, N )với n ≤ 3(xem [14]) chính là nhóm đối đồng điều của dãy phức bị chặn

0 −→ CΓ,ab1 (M, N ) −→ C∂ Γ,ab2 (M, N ) −→ Z∂ Γ,ab3 (M, N ) −→ 0,

trong đóCΓ,ab1 (M, N )bao gồm tất cả các ánh xạ chuẩn tắcf : M → N, CΓ,ab2 (M, N )bao gồm tất cả các ánh xạ chuẩn tắc g : M2∪ (M × Γ) → N và ZΓ,ab3 (M, N ) baogồm tất cả các ánh xạ chuẩn tắch : M3∪ (M |M ) ∪ (M 2 × Γ) ∪ (M × Γ 2 ) → N thoảmãn các điều kiện của 3-đối chu trình sau đây:

h(y, z, t) + h(x, y + z, t) + h(x, y, z) = h(x + y, z, t) + h(x, y, z + t), (1.4.1)h(x|z) + h(y, x, z) + h(x|y) = h(y, z, x) + h(x|y + z) + h(x, y, z), (1.4.2)

h(y|z) + h(z, x, y) + h(x|z) = h(x, y, z) + h(x, z, y) + h(x + y|z), (1.4.3)σh(x, y, z)+h(x+y, z, σ)+h(x, y, σ) = h(σx, σy, σz)+h(y, z, σ)+h(x, y+z, σ), (1.4.4)

h(σx|σy) + h(y, x, σ) = σh(x|y) + h(x, y, σ), (1.4.5)σh(x, y, τ ) + h(τ x, τ y, σ) + h(x, σ, τ ) + h(y, σ, τ ) = h(x + y, σ, τ ) + h(x, y, στ ), (1.4.6)

σh(x, τ, γ) + h(x, σ, τ γ) = h(x, στ, γ) + h(γx, σ, τ ), (1.4.7)với mọi x, y, z, t ∈ M và σ, τ, γ ∈ Γ

Với mỗi g ∈ CΓ,ab2 (M, N ), đối bờ ∂g được cho bởi:

(∂g)(x, y, z) = g(y, z) − g(x + y, z) + g(x, y + z) − g(x, y), (1.4.8)

(∂g)(x|y) = g(x, y) − g(y, x), (1.4.9)(∂g)(x, y, σ) = σg(x, y) − g(σx, σy) − g(y, σ) + g(x + y, σ) − g(x, σ), (1.4.10)

(∂g)(x, σ, τ ) = σg(x, τ ) − g(x, στ ) + g(τ x, σ), (1.4.11)với mọi x, y, z, t ∈ M và σ, τ ∈ Γ

Trong trường hợp đối đồng điều đối xứng của các Γ-môđun (xem [15]), nếu

h ∈ ZΓ,s3 (M, N ) thì hệ thức (1.4.3) được thay bởi hệ thức

h(x|y) = −h(y|x).

Với n = 2, các nhóm ZΓ,ab2 và ZΓ,s2 là trùng nhau Khi Γ = 1 các nhóm ZΓ,ab2

và ZΓ,s2 lần lượt là nhóm đối đồng điều của các nhóm aben Zab2 và Zs2 (xem S.MacLane [17])

1.5 Nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picard phân bậc

Nhóm phạm trù bện được xét tới lần đầu tiên trong [22] bởi A Joyal và R.Street như là một sự mở rộng của phạm trù Picard Trường hợp tổng quát hơnđối với các nhóm phạm trù bện đã được nghiên cứu bởi A M Cegarra và E.Khmaladze [14] với tên gọi nhóm phạm trù phân bậc bện (trường hợp riêng của

nó là phạm trù Picard phân bậc trong [15]) Các tác giả trong [14] (tương ứng,[15]) đã thu được các kết quả phân lớp đồng luân cho các nhóm phạm trù phânbậc bện (tương ứng, phạm trù Picard phân bậc) Trong phép chứng minh các

kết quả phân lớp này, phần thú vị nhất và cũng là phần phức tạp nhất là phépdựng 3-đối chu trình được cảm sinh bởi một nhóm phạm trù phân bậc bện (hoặcphạm trù Picard phân bậc) qua phạm trù khung mà mỗi lớp tương đương củacác phạm trù cùng loại là tương ứng với một lớp đối đồng điều thứ 3.

Trong mục này, trước hết chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả

về nhóm phạm trù phận bậc bện và phạm trù Picard (theo [14] và [15]) Thứhai, chúng tôi trình bày sự phân lớp các hàm tử monoidal phân bậc đối xứngkiểu (ϕ, f )

Một phạm trù monoidal Γ-phân bậc bện bao gồm một phạm trù Γ-phân bậc

Giả sử C và C0 là hai phạm trù monoidal phân bậc bện (đối xứng) Một hàm

tử monoidal phân bậc đối xứng (F, F , Fe ∗) : C → C0 là một hàm tử monoidal phânbậc thỏa mãn biểu đồ giao hoán (1.2.3) với mọi X, Y ∈ Ob(C)

1.5.1 Định nghĩa Một nhóm phạm trù phân bậc bện là một phạm trù monoidalphân bậc bện sao cho mọi mũi tên đều đẳng cấu và mọi vật đều khả nghịch.Nếu bện c trong nhóm phạm trù phân bậc bện P là ràng buộc giao hoán thì

P được gọi là phạm trù Picard phân bậc (xem [15])

Phạm trù con KerP của nhóm phạm trù phân bậc bện P (tương ứng, phạmtrù Picard phân bậc) có vật là các vật của P và các mũi tên là những mũi tênbậc 1 trong P, là một nhóm phạm trù bện (tương ứng, phạm trù Picard).Giả sử C là một phạm trù monoidal bện (đối xứng) Một mở rộng phân bậccủa C là một cặp (P, J ), trong đó P = (P, gr) là một phạm trù monoidal phânbậc bện (đối xứng) và J = (J, J , Je ∗) : C −→ Ker P là một tương đương monoidalđối xứng Khi C là một nhóm phạm trù bện (tương ứng, phạm trù Picard) thìcặp(P, J )là một mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện C (tương ứng, phạmtrù Picard)

A M Cegarra và E Khmaladze [14] đã chỉ ra rằng mỗi nhóm phạm trù

Γ-phân bậc bện P thì (π 0 P, π 1 P) bây giờ là những Γ-môđun và bất biến thứ ba

h là một ba đối chu trình thuộc ZΓ,ab3 (M, N ) (xem Mục 1.4).

Với các dữ liệu (M, N, h) thỏa mãn các điều kiện nói trên, nhóm phạm trùphân bậc RΓ(M, N, h) trở thành nhóm phạm trù phân bậc bện với phép bện chobởi

cx,y = (h(x, y), 1) : xy → yx.

Trong trường hợp P là phạm trù Picard phân bậc thì h ∈ ZΓ,s3 (M, N ) vàR

Γ (M, N, h) là một phạm trù Picard phân bậc Nếu M = π0P và N = π1P thìR

Γ (M, N, h) được ký hiệu là P(h)

Để tiện sử dụng, chúng tôi gọi nhóm phạm trù phân bậc bện P(h) (tươngứng, phạm trù Picard phân bậc) là một nhóm phạm trù phân bậc bện thu gọn(tương ứng, phạm trù Picard phân bậc thu gọn) của nhóm phạm phân bậc bện

P (tương ứng, phạm trù Picard phân bậc)

Chúng tôi đã định nghĩa cản trở của một hàm tử (để trở thành một hàm tửmonoidal đối xứng) (xem Mục 1.2) Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra cản trở của mộthàm tử phân bậc (để trở thành một hàm tử monoidal phân bậc đối xứng).Đối với một hàm tử phân bậc F : RΓ(M, N, h) → RΓ(M0, N0, h0) kiểu (ϕ, f ) thìcái cản trở

k = ϕ∗h0− f∗h(xem Mục 1.2) trong trường hợp này là thuộc nhóm ZΓ,s3 (M, N0)

Từ Mệnh đề 1.2.2 và Mệnh đề 1.2.3, với một vài thay đổi cần thiết ta lầnlượt thu được kết quả sau

1.5.2 Mệnh đề Giả sửP vàP0 là hai phạm trù Picard phân bậc.P(h)vàP0(h0)lần lượt là phạm trù Picard phân bậc thu gọn của P và P0 Khi đó mỗi hàm tửmonoidal phân bậc đối xứng (F, F ) : P → Pe 0 cảm sinh một hàm tử monoidalphân bậc đối xứng Fh : P(h) → P0(h0) kiểu (ϕ, f )

1.5.3 Mệnh đề Cho S = RΓ(M, N, h) và S0 = RΓ(M0, N0, h0) là hai phạm trùPicard phân bậc Khi đó

(i) Mỗi hàm tử monoidal phân bậc đối xứng (F, F ) : S → Se 0 là một hàm tửphân bậc kiểu (ϕ, f ).

(ii) Hàm tử phân bậc F : S → S0 kiểu (ϕ, f ) có thể hiện, nghĩa là một hàm

tử monoidal phân bậc đối xứng, nếu và chỉ nếu cái cản trở k triệt tiêu trong

HΓ,s3 (M, N0) Khi đó tồn tại song ánh

1.6 Kết luận của Chương 1

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả về phạmtrù monoidal, nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, nhóm phạm trù phân bậc,đối đồng điều của các Γ-môđun, nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trùPicrad phân bậc Đồng thời, chúng tôi còn trình bày về sự phân lớp các hàm tửmonoidal (phân bậc) đối xứng kiểu (ϕ, f )

CHƯƠNG 2

HỆ NHÂN TỬ TRONG CÁC PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC

Bài toán phân lớp cho các nhóm phạm trù phân bậc, nhóm phạm trù phân bậcbện và phạm trù Picard phân bậc đã được giải quyết lần lượt trong[11], [14], [15]bởi A M Cegarra và các đồng tác giả Trong mỗi trường hợp, các tác giả trên

đã xây dựng một lý thuyết đối đồng điều Γ-toán tử thích hợp và phân lớp cácphạm trù đang xét bởi các 3-đối chu trình tương ứng nhờ các phạm trù khung.Hơn nữa, các tác giả trong [11] còn áp dụng lý thuyết nhóm phạm trù phân bậc

để đưa ra lời giải thích hợp cho bài toán mở rộng nhóm đẳng biến với hạt nhânkhông aben Còn trong [14] và [15], A M Cegarra và E Khmaladze đã phân lớpcác mở rộng Γ-môđun (chính là mở rộng nhóm đẳng biến với các nhóm được bổsung tính giao hoán) theo hai hướng khác nhau mà không áp dụng đến các kếtquả về phân lớp các nhóm phạm trù phân bậc bện hay phạm trù Picard phânbậc

A M Cegarra và các đồng tác giả [13] đã sử dụng khái niệm hệ nhân tử của

A Grothendieck [44] để phân lớp các mở rộng phân bậc của phạm trù monoidal.Nhưng sau đó họ đã không tiếp tục sử dụng phương pháp này trong nghiên cứu

về nhóm phạm trù phân bậc, nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trù Picardphân bậc Trong [31], N T Quang đã giới thiệu một cách tiếp cận khác cho bàitoán phân lớp các nhóm phạm trù phân bậc dựa trên phương pháp hệ nhân tử.Theo [13], mỗi nhóm phạm trùΓ-phân bậc được xem như một mở rộng của mộtnhóm phạm trù bởi nhómΓ Do mỗi nhóm phạm trù tương đương với một nhómphạm trù kiểu (Π, A) (xem H X Sính [46]) nên nảy sinh một câu hỏi tự nhiênlà: mỗi nhóm phạm trù Γ-phân bậc có tương đương với một mở rộngΓ-phân bậccủa một nhóm phạm trù kiểu (Π, A) hay không? Nếu câu trả lời là khẳng địnhthì bài toán phân lớp có thể được thực hiện đơn giản hơn trên các nhóm phạm

trù Γ-phân bậc kiểu này Sau này, trong công trình [7] với sự cộng tác của M.Calvo, A M Cegarra và N T Quang, các tác giả đã quay lại sử dụng phươngpháp hệ nhân tử để nghiên cứu về nhóm phạm trù phân thớ.

Trong chương này, chúng tôi sử dụng phương pháp hệ nhân tử để nghiêncứu các phạm trù Picard phân bậc Chúng tôi chứng minh rằng mỗi phạm trùPicard phân bậc P tương đương với mở rộng tích chéo của một hệ nhân tử lấy

hệ tử trong phạm trù Picard thu gọn của Ker P (Định lý 2.1.5) và chỉ ra rằngcác cấu trúc Γ-môđun trên M, N và 3-đối chu trìnhh được cảm sinh trực tiếp từgiả hàm tử (Định lý 2.2.1) Từ những kết quả này, chúng tôi thu lại được định

lý phân lớp các phạm trù Picard phân bậc trong [15] Ngoài ra, chúng tôi còn ápdụng lý thuyết phạm trù Picard phân bậc để phân lớp các mở rộng Γ-môđun vàthu được một hệ quả là kết quả phân lớp đối đồng điều các mở rộng Γ-môđuntrong [15]

Các kết quả chính của chương được viết dựa trên bài báo [36]

2.1 Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard

Mục này được dành để mô tả hệ nhân tử đối xứng trong các phạm trù Picardphân bậc và chứng minh rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc P tương đươngvới mở rộng tích chéo của hệ nhân tử đối xứng lấy hệ tử trong phạm trù Picardthu gọn của Ker P

Trước hết, chúng tôi ký hiệuPic là phạm trù của các phạm trù Picard và cáchàm tử monoidal đối xứng giữa chúng Ký hiệuZ3s là phạm trù con đầy của phạmtrù Pic Phạm trù này được xác định như sau Mỗi vật của Z3s là một phạm trùPicard P=R(M, N, h), trong đó M, N là các nhóm aben và h = (ξ, η) ∈ Zs3(M, N )với ξ : M3→ N, η : M2 → N Mỗi mũi tên R(M, N, h) →R(M0, N0, h0) là một hàm

tử monoidal đối xứng(F, F )e , trong đóF là cặp đồng cấu nhóm ϕ : M → M0vàf :

N → N0, Feliên kết với hàm g : M2→ N0 sao cho f∗(h) = ϕ∗(h0) + ∂g ∈ Zs3(M, N0)

Sự tồn tại của mũi tên monoidal τ : (F, g) ⇒ (F0, g0) đòi hỏi rằng F = F0 Khi đó

τ cảm sinh một ánh xạ t : M → N0 sao cho g0= g + ∂t Phạm trù Z3s được gọi làphạm trù các 3-đối chu trình đối xứng

2.1.1 Định nghĩa Một hệ nhân tử đối xứngF trênΓvới các hệ tử trong phạmtrù Picard P (hay một giả hàm tử F : Γ → Pic) bao gồm một họ các tự tương

đương monoidal đối xứng Fσ : P → P với σ ∈ Γ và các đẳng cấu giữa các hàm

tử monoidal đối xứng θσ,τ : FσFτ → Fστ với σ, τ ∈ Γ, thỏa mãn các điều kiện:(i) F1 = idP;

Ta viết F = (P, Fσ, θσ,τ) và ký hiệu đơn giản là (F, θ)

Hệ nhân tử đối xứng F được gọi là một hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽnếu F∗σ = id với mọi σ ∈ Γ

Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc cảm sinh một

hệ nhân tử lấy hệ tử trong một phạm trù Picard

2.1.2 Mệnh đề Mỗi phạm trù Picard phân bậc (P, gr) cảm sinh một hệ nhân

tử đối xứng F : Γ → Pic

Chứng minh Phần chứng minh của mệnh đề được suy ra từ [13, Định lý 2.1 (i)]cùng với những bổ sung cần thiết Để bạn đọc tiện theo dõi, chúng tôi trình bàyđầy đủ phép chứng minh mệnh đề này

Giả sử (P, gr) là một phạm trù Picard Γ-phân bậc Ta xây dựng hệ nhân tử

F như sau: F biến vật duy nhất∗ của Γ thành phạm trù Picard KerP Bây giờvới mỗi mũi tên σ ∈ Γ, ta dựng một hàm tử monoidal đối xứng Fσ = (Fσ, Feσ) :KerP →KerP như sau

Với mỗi X ∈ Ker P, vì phân bậc gr là ổn định nên tồn tại mũi tên đẳng cấu

ΥσX : X → F∼ σX, trong đó FσX ∈ Ker P và gr(ΥσX) = σ Đặc biệt, khi σ = 1, talấy F1X = X và Υ1X = idX Với mỗi mũi tên f : X → Y bậc 1 trong KerP, mũitên Fσ(f ) trong KerP được xác định bởi

Fσ(f ) = ΥσY ◦ f ◦ (ΥσX)−1. (2.1.2)Các đẳng cấu tự nhiên FeX,Yσ : Fσ(X ⊗ Y ) −→ F∼ σ X ⊗ FσY được xác định duynhất bởi

e

FX,Yσ = (ΥσX ⊗ ΥσY) ◦ (ΥσX⊗Y)−1.

Với mỗi cặp σ, τ ∈ Γ tồn tại một đẳng cấu giữa các hàm tử monoidal: θσ,τ :

FσFτ −→ F∼ στ với θ1,σ = idFσ = θσ,1 được xác định bởi

θσ,τX = ΥσFτ X ◦ ΥτX ◦ (ΥστX )−1 (2.1.3)với mọi X ∈ Ob(P) Vì F1X = X nên F1 = idKerP

Khi đó, (Fσ, Feσ) sẽ tương thích với các ràng buộc kết hợp a và giao hoán ccủa phạm trù PicardKer P nhờ vào mũi tên đẳng cấu Υσ cùng với tính tự nhiêncủaa và c Hơn nữa, do các hệ thức (2.1.2), (2.1.3) và Υ(στ )γ = Υσ(τ γ) nên đẳngcấu θσ,τ thỏa mãn

Như vậy, F = (Ker P, F σ , θσ,τ) xác định như trên là một hệ nhân tử trên Γ

Bây giờ ta xây dựng một phạm trù Picard phân bậc từ một hệ nhân tử đốixứng F = (P, Fσ, θσ,τ) Phạm trù này được gọi là mở rộng tích chéo của F vàđược ký hiệu là ∆F

Ta đặt Ob(∆F ) = Ob(P) Mũi tên X → Y trong ∆F là cặp (a, σ), trong đó

FσX → Ya là mũi tên trong P.Với σ, τ ∈ Γ, hợp thành X (a,σ)→ Y (b,τ )→ Z là mũi tên(c, τ σ) : X → Z, trong đó c được xác định một cách tự nhiên theo biểu đồ giaohoán sau





yb

Fτ σX −−−→ Znghĩa là

(b, τ ) ◦ (a, σ) = (b ◦ Fτ(a) ◦ (θXτ,σ)−1, τ σ).

Từ các điều kiện chuẩn tắc và điều kiện đối chu trình của F, ta suy ra phéphợp thành của các mũi tên trong ∆F có tính kết hợp và phần tử đơn vị ∆F làphạm trù Picard Γ-phân bậc với hàm tử gr : ∆F → Γ cho bởi

X 7→ ∗; (X (a,σ)→ Y ) 7→ σ.

Tích tenxơ trên các vật trong ∆F chính là tích tenxơ trong P, tích tenxơ giữacác mũi tên trong ∆F được xác định bởi

trong đó d được xác định bởi hợp thành

trong đó aX,Y,Z, cX,Y, lX, rX là các ràng buộc của phạm trù Picard P.

Vì vậy, từ Mệnh đề 2.1.2 và [13, Định lý 2.1 (i)] cùng với những bổ sung cầnthiết ta thu được mệnh đề sau

2.1.3 Mệnh đề Mỗi phạm trù Picard Γ-phân bậc P tương đương với một mởrộng tích chéo ∆F với F là một hệ nhân tử lấy hệ tử trong Ker P

Mệnh đề tiếp theo được suy ra từ [31, Mệnh đề 3.1]

2.1.4 Mệnh đề Nếu G : P → P0 là một tương đương monoidal đối xứng củahai phạm trù Picard thì mỗi hệ nhân tử đối xứng F lấy hệ tử trong P cảm sinhmột hệ nhân tử đối xứng F0 lấy hệ tử trong P0 Hơn nữa, các mở rộng tích chéotương ứng là Γ- tương đương

Bây giờ chúng tôi chứng minh rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc P tươngđương với mở rộng tích chéo của hệ nhân tử đối xứng lấy hệ tử trong phạm trùPicard thu gọn của Ker P

2.1.5 Định lý Giả sửP là phạm trù PicardΓ-phân bậc vàKer P(h) là phạm trùPicard thu gọn của Ker P. Khi đó tồn tại hệ nhân tử F lấy hệ tử trong Ker P(h)sao cho P tương đương với ∆F

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.3, P tương đương với tích chéo ∆(FP) với FPlấy hệ tử trong phạm trù Picard Ker P Do Ker P tương đương monoidal đốixứng với phạm trù Picard thu gọn Ker P(h) của nó nên theo Mệnh đề 2.1.4,FPcảm sinh hệ nhân tử đối xứng F lấy hệ tử trong Ker P(h) sao cho ∆(FP) tương

2.2 Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard R (M, N, h)

Để phân lớp các phạm trù PicardΓ-phân bậc, A M Cegarra và E Khmaladze[15] đã xây dựng các nhóm đối đồng điều đối xứngHΓ,sn (M, N ) của cácΓ-môđun(xem Mục 1.4) Từ mỗi 3-đối chu trình đối xứng h ∈ ZΓ,s3 (M, N ) cho trước, cáctác giả đã xây dựng được một phạm trù Picard Γ-phân bậc S = RΓ(M, N, h) vàchỉ ra rằng các 3-đối chu trình đối xứng h, h0 là đối đồng điều khi và chỉ khi cácphạm trù Picard Γ-phân bậc S, S0 tương đương Họ đã thu được một song ánhgiữa nhóm đối đồng điều đối xứng HΓ,s3 (M, N ) với tập các lớp tương đương cácphạm trù Picard Γ-phân bậc kiểu (M, N ) (xem [15, Định lý 3.11])

Trong phần này, chúng tôi chỉ ra rằng mỗi phạm trù Picard phân bậc P cảmsinh một cách tự nhiên các cấu trúcΓ-môđun trên M = π 0 (P), N = π 1 (P)và một3-đối chu trình chuẩn tắc h ∈ ZΓ,s3 (M, N ) Kết quả này cho phép thu lại đượcđịnh lý phân lớp các phạm trù Picard phân bậc trong [15, Định lý 3.11]

Định lý sau đây chỉ ra điều kiện cần của hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạmtrù Picard

2.2.1 Định lý Giả sử Γ là một nhóm và S = R(M, N, ξ, η) là một phạm trùPicard Khi đó

(i) Mỗi hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽ F = (S, Fσ, θσ,τ) : Γ → Z3s cảmsinh các cấu trúc Γ-môđun trên M, N và một 3-đối chu trình chuẩn tắc hF ∈

ZΓ,s3 (M, N );

(ii) Điều kiện F1 = idS trong định nghĩa của hệ nhân tử có thể suy ra được

từ những điều kiện còn lại

Chứng minh (i) Theo Mệnh đề 1.2.3 (i), mỗi hàm tử monoidal đối xứng Fσ :

S−→S là một cặp đồng cấu nhóm (ϕσ : M → M, fσ : N → N ). Hơn nữa, do Fσ

là một tự tương đương nên ϕσ và fσ là những tự đẳng cấu nhóm

Mặt khác, với mọi σ, τ ∈ Γ, do θσ,τx : FσFτx −→ Fστx là một mũi tên trong SnênFστ(x) = (FσFτ)(x)với mọix ∈ M.Từ đó ta cóϕστ = ϕσϕτ Điều này chứng

tỏM là một Γ-môđun với đồng cấu nhómϕ : Γ → Aut M, trong đó ϕ1 = idM. Đểđơn giản, với mọi σ ∈ Γ, x ∈ M và a ∈ N, ta đặt

σx = ϕσ(x), σa = fσ(a).

Do ξ, η lần lượt là các hàm liên kết với ràng buộc kết hợp và ràng buộc giaohoán của phạm trù Picard S, nên cặp ξ, η thỏa mãn các hệ thức

ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0, (2.2.1)

η(x, y) + η(y, x) = 0, (2.2.2)ξ(x, y, z) − ξ(y, x, z) + ξ(y, z, x) + η(x, y + z) − η(x, y) − η(x, z) = 0. (2.2.3)Bây giờ đặt Fex,yσ = ( f (x, y, σ), σ(x + y))e Do Fσ là một hàm tử monoidal đối xứng

và F∗σ = id nên tính tương thích của Feσ với ràng buộc a và c dẫn đến

σt(x, τ, γ) + t(x, σ, τ γ) = t(x, στ, γ) + t(γx, σ, τ ). (2.2.8)Như vậy, bộ bốn (ξ, η, f , t)e xác định một ánh xạ chuẩn tắc

hF : M3∪ (M |M ) ∪ (M2× Γ) ∪ (M × Γ2) → N.

Các hệ thức (2.2.1)-(2.2.5), (2.2.7) và (2.2.8) đảm bảo rằng hF là một 3-đối chutrình chuẩn tắc đối xứng thuộc nhóm ZΓ,s3 (M, N ) theo nghĩa [15]