Một số vấn đề mở rộng siêu việt của trường và ứng dụng

trường có cùng lực lượng và chỉ ra tồn tại một quan hệ bao hàm giữa: tập sinh, tập độc lập đại số, cơ sở siêu việt.Trong chương 2, luận văn tập trung tìm hiểu định lý về sự mở rộng các đ

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh

-PHAN VĂN ANH

Một số vấn đề về mở rộng siêu

việt của trờng và ứng dụng

Vinh 2010

Các bài toán mở rộng trường xuất phát từ bài toán giải phương trình đại số Trong mở rộng trường có hai loại mở rộng đó là mở rộng đại số và

mở rộng siêu việt

Ta biết rằng mọi mở rộng đại số của một trường đóng đại số đều là

mở rộng tầm thường Chẳng hạn mọi mở rộng đại số của trường số phức £

Chương 2 Mở rộng siêu việt

Nội dung chương 1, giới thiệu các kiến thức cơ sở về mở rộng đại số, mở rộng lặp, lớp các mở rộng đại số được đánh dấu

Nội dung chương 2, giới thiệu các kết quả chi tiết về cơ sở siêu việt, trong đó kết quả đáng chú ý là Định lý 2.1.1 khẳng định hai cơ sở siêu việt của mở rộng

trường có cùng lực lượng và chỉ ra tồn tại một quan hệ bao hàm giữa: tập sinh, tập độc lập đại số, cơ sở siêu việt.

Trong chương 2, luận văn tập trung tìm hiểu định lý về sự mở rộng các đồng cấu đối với các vành hữu hạn sinh trên trường và hệ quả quan trọng của nó là định

lý Hinbe về nghiệm - một định lý có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học

Ngoài ra, luận văn tiếp tục tìm hiểu định lý Nơte về sự chuẩn hoá của vành

đa thức nhiều biến như là một ứng dụng của mở rộng siêu việt của trường

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thành Quang Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn đã dành cho tác giả sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Mai Văn Tư và các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số - Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong muốn nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo và các bạn học viên

Vinh, tháng 11 năm 2010

Tác giả

PHAN VĂN ANH

CHƯƠNG 1

MỞ RỘNG ĐẠI SỐ 1.1 MỞ RỘNG BẬC HỮU HẠN VÀ MỞ RỘNG ĐẠI SỐ

Giả sử F là một trường Nếu F là một trường con của trường E, thì ta cũng nói rằng E là mở rộng của trường F Ta có thể coi E như một không gian vectơ trên F và ta nói rằng E là mở rộng bậc hữu hạn hoặc bậc vô hạn của F

tuỳ theo số chiều của không gian vectơ đó là hữu hạn hay vô hạn

Giả sử F là trường con của E, phần tử α thuộc E được gọi là phần tử đại số trên F, nếu trong F tồn tại các phần tử ao,…., an (n ≥ 1) không bằng 0 tất cả, sao cho

n

a +aα + +aα =

Đối với phần tử đại số α ≠ 0 luôn luôn ta có thể tìm được các phần tử ai trong

đẳng thức trên sao cho ao ≠ 0 (bằng cách giản ước cho một luỹ thừa thích hợp của α)

Giả sử X là một biến trên F Cũng có thể nói rằng phần tử α là phần tử

đại số trên F, nếu đồng cấu

F[X] → E

đồng nhất trên F và chuyển X vào α, có hạt nhân khác không Trong trường

hợp này hạt nhân đó là một iđêan chính, sinh bởi một đa thức p(X) mà đối với

nó ta có thể giả thiết là hệ tử cao nhất bằng 1 Ta có đẳng cấu

F[X]/p(X) ≈ F[α],

vì F[α] là miền nguyên, nên p(X) là bất khả quy Nếu p(X) được chuẩn hoá bởi điều kiện là hệ tử cao nhất của nó bằng 1, thì p(X) được xác định một cách

duy nhất bởi phần tử α trên F Ta kí hiệu nó bởi Irr(α,F,X).

Mở rộng E của trường F được gọi là mở rộng đại số, nếu mọi phần tử thuộc E đều là phần tử đại số trên F

1.1.1 Mệnh đề Mọi mở rộng hữu hạn E của trường F đều là mở rộng đại số

luỹ thừa đó chứng tỏ rằng α là phần tử đại số trên F.

Ta chú ý rằng mệnh đề đảo của Mệnh đề 1.1.1 không đúng: Tồn tại các

mở rộng đại số vô hạn Ở dưới ta sẽ thấy rằng trường con của trường số phức gồm tất cả các số đại số trên ¤ là một mở rộng vô hạn của ¤

Nếu E là mở rộng của trường F, thì ta sẽ dùng kí hiệu

Chứng minh Giả sử z ∈ E Theo giả thiết, tồn tại các phần tử αj ∈ F hầu hết

bằng không, sao cho

Điều đó có nghĩa là {x i y j} là hệ sinh của E trên k Ta cần chứng tỏ rằng hệ đó

độc lập tuyến tính Giả sử {c ij} là họ các phần tử thuộc k, hầu hết bằng 0, sao cho

vì các phần tử y j độc lập tuyến tính trên F Cuối cùng, c ij = 0 với mọi i, vì {x i}

là cơ sở của trường F trên k, và mệnh đề được chứng minh W

1.1.3 Hệ quả Mở rộng E ⊃ F ⊃ k của trường k là hữu hạn khi và chỉ khi E hữu hạn trên F và F hữu hạn trên k.

Như trong trường hợp các nhóm, ta sẽ gọi tháp các trường là chuỗi các

mở rộng

F 1⊂ F 2 ⊂ … ⊂ F n

Điều kiện cần và đủ để tháp hữu hạn là mỗi tầng của nó hữu hạn

Giả sử k là một trường, E là mở rộng của nó và α∈E Ta sẽ kí hiệu k(α)

là trường con bé nhất trong E chứa k và α Nó gồm tất cả các phân thức

f(α)/g(α), trong đó f và g là các đa thức với hệ tử thuộc k và g(α) ≠ 0

1.1.4 Mệnh đề Giả sử α là phần tử đại số trên k Thế thì k(α) = k[α] và

trường k(α) hữu hạn trên k Bậc [k(α):k] bằng bậc của đa thức Irr(α,k,X).

Chứng minh Giả sử p(X) = Irr(α, k, X) Giả sử đa thức f(X) ∈ k[X] sao cho

f(α) ≠ 0 Thế thì f(X) không chia hết cho p(X), và do đó tồn tại các đa thức

g(X), h(X)∈k[X] sao cho

g(X)p(X)+h(X)f(X) = 1.

Từ đó ta được h(α)f(α) = 1, nghĩa là f(α) khả nghịch trong k[α] Thành thử

k[α] không những là một vành mà là một trường và vì vậy phải bằng k(α)

Giả sử d = degp(X) Các luỹ thừa

Cuối cùng, giả sử f(α)∈k[α], trong đó f(X)∈k[X] Tồn tại các đa thức q(X), r(X) ∈ k[X] sao cho degr < d và

hợp tử của chúng

1.2 MỞ RỘNG LẶP

Giả sử k là trường con của E, α1, …., αn là các phần tử thuộc E Ta ký

hiệu k( , ,α1 αn) là trường con bé nhất của E chứa k và α1, ,αn Các phần tử

của nó là tất cả các phân thức

1 1,

( , , )

,( , )

n n

f g

α α

α α

trong đó f, g là các đa thức của n biến với các hệ tử thuộc k và

g(α1,…, αn) ≠ 0 Thật vậy, tập tất cả các phân thức đó lập thành một trường,

chứa k và α1,…,αn Ngược lại, mọi trường chứa k và α1,…, αn đều phải chứa các phân thức đó

Chú ý rằng E là hợp của tất cả các trường con k(α1, …., αn) của nó khi (α1, …., αn ) chạy qua tất cả các họ con hữu hạn các phần tử thuộc E Có thể định nghĩa hợp tử của một họ con tuỳ ý các trường con của trường L như trường con bé nhất chứa tất cả các trường con của họ đó Ta nói E hữu hạn sinh trên k, nếu tồn tại một họ hữu hạn các phần tử α1,…, αn thuộc E sao cho

E = k(α1 ,…, αn)

Ta sẽ thấy E là hợp tử của tất cả các trường con hữu hạn sinh của nó trên k.

1.2.1 Mệnh đề Mọi mở rộng hữu hạn E của trường k là hữu hạn sinh.

Chứng minh Thật vậy, giả sử {α1,…., αn} là cơ sở của trường E coi như một không gian vectơ trên k Lúc đó hiển nhiên E = k(α1,…, αn) W

Nếu E = k(α1,…, αn ) là một trường hữu hạn sinh và F là một mở rộng của trường k sao cho cả F và E đều được chứa trong L thì

EF= F(α1,…, αn)

và trường EF là hữu hạn sinh trên F Ta sẽ thường vẽ những hình như sau:

Các đường xiên chỉ quan hệ bao hàm giữa các trường Ta cũng sẽ gọi mở

rộng EF của trường F là sự nâng E tới F.

Giả sử α là phần tử đại số trên trường k và F là mở rộng của k Giả sử

cả hai trường k(α) và F đều được chứa trong một trường L nào đó Thế thì α

là phần tử đại số trên F Thật vậy, đa thức bất khả quy của α trên k tất nhiên là

có hệ tử thuộc F và cho ta sự phụ thuộc tuyến tính giữa các luỹ thừa của α

1.2.2 Mệnh đề Giả sử E = k(α1 ,…, αn ) là mở rộng hữu hạn sinh của trường

k, trong đó αi là phần tử đại số trên k với mỗi i = 1, …., n thế thì E là mở rộng đại số hữu hạn của trường k.

Chứng minh Theo các chú ý ở trên, E có thể coi là đỉnh của một tháp mà mỗi

tầng đều sinh bởi một phần tử đại số và do đó là hữu hạn theo Mệnh đề 1.1.4

Theo hệ quả của Mệnh đề 1.1.2 ta kết luận rằng E hữu hạn trên k và theo

1.2.3 Định nghĩa Giả sử ζ là một lớp nào đó các mở rộng F⊂ E Ta sẽ gọi

lớp ζ là được đánh dấu, nếu nó thoả mãn các điều kiện sau đây:

(i) Giả sử k ⊂ F ⊂ E là tháp các trường Mở rộng k ⊂ E thuộc ζ khi và

chỉ khi k ⊂ F và F ⊂ E thuộc ζ

(ii) Nếu k ⊂ E thuộc ζ, còn F là mở rộng tuỳ ý của trường k và nếu cả E

và F được chứa trong một trường nào đó, thì F ⊂ EF thuộc ζ

(iii) Nếu k ⊂ F và k ⊂ E thuộc ζ, trong đó E, F là các trường con của một trường nào đó, thì k ⊂ EF thuộc ζ

Các tính chất này được minh hoạ bởi các biểu đồ sau:

(i) (ii) (iii)

Các biểu đồ cấu trúc này rất có ích khi ta nghiên cứu các mở rộng trường

Ta chú ý rằng (iii) được suy ra một cách hình thức từ hai điều kiện đầu

Thật vậy, có thể coi EF trên k như một tháp với các tầng

k ⊂ F ⊂ EF.

Về kí hiệu, để cho tiện ta viết E/F thay cho F ⊂ E Điều này không làm

ta lầm lẫn với các nhóm thương, vì ta không bao giờ dùng kí hiệu E/F để chỉ các nhóm thương tương ứng trong những trường hợp khi E là mở rộng của trường F.

1.2.4 Mệnh đề Lớp các mở rộng đại số là lớp được đánh dấu Do đó lớp các

mở rộng hữu hạn cũng là lớp được đánh dấu.

E F

EF

E

F F k k

EF

k

Chứng minh Trước hết ta xét lớp các mở rộng hữu hạn Ta đã chứng minh

điều kiện (i) Còn đối với điều kiện (ii) ta giả sử E/k hữu hạn, còn F là một mở rộng tuỳ ý của trường k Theo Mệnh đề 1.1.5, tồn tại các phần tử α1, …., αn∈

E sao cho E = k(α1,…, αn ) Lúc đó EF = F(α1,…,αn ) và do đó EF/F là hữu hạn sinh và sinh bởi các phần tử đại số Dùng Mệnh đề 1.2.2 ta suy ra EF/F hữu

trong đó, a i ∈ F, và không phải mọi a i đều bằng 0 Giả sử F0 = k(a n ,…, a0) Thế

thì F0 hữu hạn trên k theo Mệnh đề 1.1.6 và α là phần tử đại số trên F0

Ta có thể lập tháp

k ⊂ F 0 = k(a n ,…, a 0 ) ⊂ F 0 (α)

và vì mỗi tầng của tháp đó hữu hạn nên ta suy ra F0(α) hữu hạn trên k, thành

thử α là phần tử đại số trên k Điều đó chứng minh rằng E là mở rộng dại số

trên k và vì vậy điều kiện (i) thoả mãn đối với các mở rộng đại số Ở trên ta

đã chú ý rằng điều kiện (ii) cũng thoả mãn: khi nâng các trường thì phần tử đại số vẫn là đại số, do đó mở rộng đại số khi nâng vẫn là đại số W

CHƯƠNG 2

MỞ RỘNG SIÊU VIỆT

Trong chương này, từ "vành" là chỉ "vành giao hoán"

2.1 CƠ SỞ SIÊU VIỆT

Giả sử K là một mở rộng của trường k và S là một tập con nào đó của K

Ta nói rằng S là độc lập đại số trên k, nếu từ hệ thức:

với các hệ tử a (v)∈ k, trong đó hầu hết bằng 0, suy ra mọi a (v) = 0

Ta có thể sắp thứ tự các tập con độc lập đại số của K theo quan hệ bao

hàm Thế thì hiển nhiên các tập con đó được sắp thứ tự quy nạp và như vậy

tồn tại các phần tử tối đại Nếu S là một tập con độc lập đại số của K và nếu lực lượng của S là lớn nhất trong các lực lượng của các tập con đó, thì ta sẽ gọi lực lượng đó là bậc siêu việt, hay số chiều của mở rộng K trên k Thực ra

ta chỉ cần phân biệt các bậc siêu việt hữu hạn với các bậc siêu việt vô hạn

Ta chú ý rằng, quan hệ giữa khái niệm bậc siêu việt và khái niệm độc lập đại

số cũng giống như quan hệ giữa khái niệm số chiều và khái niệm độc lập tuyến tính

Ta thường đề cập tới các họ phần tử thuộc K, chẳng hạn họ {x i}i∈I; ta

sẽ nói một họ như vậy là độc lập đại số trên k, nếu các phần tử của nó khác

nhau (tức là xi ≠ x j nếu i ≠ j) và tập gồm các phần tử của họ đó là độc lập đại

số trên k.

Tập con S của K độc lập đại số trên k và tối đại đối với thứ tự bao hàm,

sẽ được gọi là cơ sở siêu việt của trường K trên k Từ tính tối đại ta thấy ngay rằng nếu S là cơ sở siêu việt của K trên k, thì K là trường đại số trên k(S).

2.1.1 Định lí Giả sử K là mở rộng của trường k Hai cơ sở siêu việt tuỳ ý của

K trên k có cùng lực lượng Nếu Γ là tập sinh của K trên k (tức là

K = k(Γ)) và S là một tập con của Γ độc lập đại số trên k, thì tồn tại cơ sở siêu việt B của trường K trên k, sao cho S ⊂ B ⊂Γ.

Chứng minh.Ta chứng minh rằng nếu tồn tại một cơ sở siêu việt hữu hạn,

chẳng hạn {x1,…, x m }, m ≥ 1, thì mọi cơ sở siêu việt tuỳ ý khác cũng phải chứa m phần tử Muốn vậy, chỉ cần chứng minh rằng: nếu ω1, …, ωn là các

phần tử thuộc K, độc lập đại số trên k, thì n ≤ m (vì sau đó ta có thể dùng sự đối xứng) Theo giả thiết tồn tại đa thức khác không f1 của m+1 biến với các

hệ tử thuộc k sao cho f1(ω1, x1,…, x m) = 0

Ngoài ra, theo giả thiết ω1 có mặt trong f1 và một số x j chẳng hạn x1

cũng có mặt trong f1 Thế thì x1 là phần tử đại số trên k(ω, x1,…, x m) Theo quy

nạp ta giả thiết rằng sau khi đánh số lại một cách thích hợp x2,…, x m ta có thể tìm các ω1,…, ωr (r < n), sao cho K là mở rộng đại số trên

k(ω1 ,…, ωr+1 , x r+2 ,…, x m ).

Vì tháp các mở rộng đại số là một mở rộng đại số, nên K là mở rộng đại

số trên k(ω1,…., ωr+1 , x r+2 ,…, x m ) Ta có thể lặp lại quá trình đó, và nếu n ≥ m, thì sau khi thay tất cả các x bởi các ω, ta phát hiện ra rằng K là mở rộng đại số trên k(ω1,…., ωm) Điều đó chứng tỏ rằng n ≥ m suy ra đẳng thức n = m, là

điều cần chứng minh W

2.2 ĐỊNH LÝ HINBE VỀ NGHIỆM

Định lí về nghiệm của Hinbe là một trường hợp riêng của định lí về sự

mở rộng các đồng cấu đối với các vành hữu hạn sinh trên các trường

2.2.1 Định lý Giả sử k là một trường, k[x] = k[x 1, …., x n ] là một vành hữu hạn

sinh trên k, và ϕ : k→L là phép nhúng chìm k vào một trường đóng đại số L nào đó Thế thì tồn tại mở rộng của ϕ tới đồng cấu từ k[x] vào L.

Chứng minh Giả sử µ là một iđêan tối đại nào đó của k[x], σ là một đồng cấu chính tắc σ : k[x] → k[x]/µ Thế thì σk [σx1, , σx n] là một trường và là mở rộng của trường σk Nếu ta có thể chứng minh định lí cho trường hợp vành

hữu hạn sinh thực tế là một trường thì lúc đó ta sẽ xét cái thu hẹp của

ϕοσ-1 trên σk và mở rộng nó tới đồng cấu từ σk[σx1,…., σx n ] vào L, cái đó cho

ta mở rộng phải tìm đối với ϕ

Vì vậy, không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng k[x] là một trường Nếu nó là mở rộng đại số trên k thì mọi việc chứng minh xong

(theo kết quả đã biết về các mở rộng đại số) Trong trường hợp trái lại, giả sử

t1,…, t r là một cơ sở siêu việt nào đó, r ≥ 1 Không làm mất tính tổng quát, ta

có thể coi ϕ đồng nhất trên k Mỗi phần tử x1,…, x n đại số trên k(t1,…, t r)

Nhân đa thức bất khả quy Irr(x i , k(t), X) với phần tử thích hợp khác không thuộc k[t] ta được một đa thức mà các hệ tử nằm trong k[t] Giả sử a1(t),….,

a n (t) là tập các hệ tử cao nhất của các đa thức đó, và a(t) là tích của chúng:

2.2.2 Hệ quả Giả sử k là một trường và k[x 1 ,…, x n ]= k[x] là vành hữu hạn

sinh trên k Nếu k[x] là một trường thì k[x] là mở rộng đại số trên k.

Chứng minh Tất cả các đồng cấu của trường là đẳng cấu (lên ảnh) và tồn tại

đồng cầu từ k[x] trên k vào bao đóng đại số của trường k W

2.2.3 Hệ quả Giả sử k[x 1 ,…, x n ] là một vành nguyên vẹn hữu hạn sinh trên

trường k, và giả sử y 1 ,…, y m là các phần tử khác không của vành đó Thế thì tồn tại đồng cấu

Ψ : k[x]→ k trên k, sao cho Ψ(y j ) ≠ 0 với mọi j = 1,…,m.

Chứng minh Ta xét vành

k[x 1 ,…, x n , y 1 -1 ,…, y m -1]

và áp dụng định lý đối với nó

Giả sử S là một tập nào đó các đa thức của vành đa thức k[X1,…, X n]

của n biến, L là một mở rộng nào đó của trường k Ta hiểu nghiệm của tập S trong L là một bộ tuỳ ý gồm n phần tử (c1,…, c n ) nằm trong L sao cho

f(c 1 ,…,c n ) = 0

với mọi f ∈ S Nếu S chỉ gồm một đa thức f thì ta cũng nói rằng (c) là một nghiệm của f Tập tất cả các nghiệm của họ S được gọi là tập đại số trong L (hay chính xác hơn, trong L (n)) Giả sử a là iđêan sinh bởi tất cả các phần tử

thuộc S Vì S ⊂ a, nên hiển nhiên là mọi nghiệm của a cũng là nghiệm của S