về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bệnh (tóm tắt)

Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau đây: - Dùng lý thuyết hệ nhân tử để nghiên cứu cấu trúc đại số phạm trù; - Dùng lý thuyết cản trở của hàm tử để giải bài toán mở rộ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 62 46 01 04

TãM T¾T LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc

NGHỆ AN - 2014

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS TS Nguyễn Tiến Quang

Có thể tìm hiểu luận án tại:

1 Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh

2 Thư viện quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phạm trù với tích tenxơ bắt đầu được nghiên cứu bởi J Bénabou(1963) và S MacLane (1963) Các tác giả trên đã xét các phạm trù trên đó cótrang bị một phép toán ⊗ cùng với ràng buộc kết hợp a và ràng buộc đơn vị

l,r thỏa mãn một số biểu đồ giao hoán S MacLane (1963) gọi phạm trù này

là phạm trù monoidal và đưa ra điều kiện đủ cho tính khớp của các đẳng cấu

tự nhiên a,l,r S MacLane cũng chỉ ra điều kiện đủ cho tính khớp của cácđẳng cấu tự nhiên trong một phạm trù monoidal đối xứng, tức là một phạmtrù monoidal có thêm đẳng cấu giao hoán c tương thích với các ràng buộc kếthợp và đơn vị Sau đó, lý thuyết phạm trù monoidal đã được nhiều nhà toánhọc quan tâm và phát triển theo nhiều hướng khác nhau

Phạm trù monoidal có thể được “mịn hóa” để trở thành phạm trù với cấutrúc nhóm bằng việc bổ sung vật khả nghịch (xem M L Laplaza (1983) và N

S Rivano (1972)) Nếu phạm trù nền là một groupoid (nghĩa là mọi mũi tênđều đẳng cấu) thì ta được phạm trù monoidal giống nhóm (xem A Fr¨ohlich

và C T C Wall (1974)), hay Gr-phạm trù (xem H X Sính (1975)) Trongluận án này chúng tôi gọi phạm trù như thế là nhóm phạm trù theo cách gọiphổ biến gần đây (xem P Carrasco và A R Garzón (2004), A M Cegarra

và các đồng tác giả (2002)) Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm đẳngcấu giao hoán thì nó trở thành phạm trù Picard (xem H X Sính (1975)), haynhóm phạm trù đối xứng (xem M Bullejos và các đồng tác giả (1993)).Phạm trù monoidal bện xuất hiện trong công trình của A Joyal và R Street(1993) và là sự mở rộng của khái niệm phạm trù monoidal đối xứng Các tácgiả đã “mịn hoá” phạm trù monoidal bện để trở thành nhóm phạm trù bện khi

bổ sung điều kiện mọi vật đều khả nghịch và mọi mũi tên là đẳng cấu Họ cũng

đã phân lớp các nhóm phạm trù bện bởi phạm trù các hàm quadratic dựa trênkết quả của S Eilenberg và S MacLane (1953) về biểu diễn hàm quadratic bởinhóm đối đồng điều aben Hab3 (G, A) Một trường hợp riêng của nhóm phạm

trù bện là phạm trù Picard đã được phân lớp trước đó bởi H X Sính (1975).Một hướng tổng quát của nhóm phạm trù đã được giới thiệu bởi A Fr¨ohlich

và C T C Wall (1974) với tên gọi là nhóm phạm trù phân bậc Sau đó, A

M Cegarra và E Khmaladze (2007) đã nghiên cứu nhóm phạm trù phân bậcbện và phạm trù Picard phân bậc Các cấu trúc này lần lượt là các trường hợptổng quát của nhóm phạm trù bện và phạm trù Picard Họ đã thu được nhữngkết quả về phân lớp nhờ các lý thuyết đối đồng điều Γ-môđun do họ xây dựng.Theo một hướng khác, một số tác giả đã quan tâm đến lớp nhóm phạmtrù đặc biệt, trong đó các ràng buộc là các đồng nhất và các vật đều khảnghịch chặt chẽ, nghĩa là X ⊗ Y = I = Y ⊗ X Lớp phạm trù này được gọi

là G-groupoid theo R Brown và C B Spencer (1976), Gr-phạm trù chặt chẽtheo H X Sính (1978), nhóm phạm trù chặt chẽ theo A Joyal và R Street(1993), 2-nhóm chặt chẽ theo J C Baez và A D Lauda (2004) hay 2-nhómtheo B Noohi (2007)

R Brown và C B Spencer (1976) đã chỉ ra rằng mỗi môđun chéo được xácđịnh bởi một G-groupoid và ngược lại Từ đó các tác giả đã chứng minh rằngphạm trù các môđun chéo tương đương với phạm trù các G-groupoid (tươngđương Brown-Spencer)

Như trên, mỗi G-groupoid còn được gọi là nhóm phạm trù chặt chẽ, tuynhiên phạm trù các G-groupoid chỉ là phạm trù con của phạm trù các nhómphạm trù chặt chẽ N T Quang và cộng sự (2014) đã chỉ ra mối liên hệ củaphạm trù thứ hai này với phạm trù các môđun chéo, mà tương đương Brown-Spencer chỉ là trường hợp riêng Kết quả này cho phép ứng dụng các kết quả

về lý thuyết cản trở đối với các hàm tử và lý thuyết đối đồng điều vào việcnghiên cứu các môđun chéo Hơn thế, cách làm này mở ra một hướng liên kếtmột số lớp môđun chéo nào đó với một đại số phạm trù thích hợp, như chúngtôi sẽ trình bày trong Chương 3 và Chương 4

Ý tưởng của R Brown và C B Spencer cũng đã được A Joyal và R Street(1993) phát triển cho môđun chéo bện và nhóm phạm trù chặt chẽ bện Tuynhiên, A Joyal và R Street mới chỉ dừng lại ở việc xác định lẫn nhau giữa cáccấu trúc nói trên, nghĩa là chỉ giữa các vật Vấn đề đặt ra là có hay không một

tương đương Brown-Spencer cho các đối tượng này Chúng tôi cho rằng đây làmột vấn đề cần được giải quyết.

Ngoài môđun chéo bện còn có một số kiểu môđun chéo khác cũng đã nhậnđược sự quan tâm của nhiều tác giả, chẳng hạn như: môđun chéo aben (xem

P Carrasco và các đồng tác giả (2002)), Γ-môđun chéo và Γ-môđun chéo bện(xem B Noohi (2011)) Theo cách làm của N T Quang và các cộng sự (2014),chúng tôi mong muốn kết nối được những môđun chéo này với những đại sốphạm trù thích hợp nào đó, và hy vọng sẽ nhận được những tương đươngBrown-Spencer cho những đối tượng này

Theo một hướng khác, môđun chéo có liên quan chặt chẽ đến bài toán mởrộng nhóm Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo đã được giới thiệu bởi

P Dedecker (1964) và được giải quyết bởi R Brown và O Mucuk (1994) Điều

đó gợi ý cho chúng tôi một hướng nghiên cứu là tìm hiểu bài toán mở rộngkiểu môđun chéo nào đó trong số các kiểu môđun chéo đã được đề cập

Vì những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án củamình là: “Về mở rộng phân bậc của nhóm phạm trù bện”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là nghiên cứu về cấu trúc của các đại số phạm trùnhư: phạm trù Picard phân bậc, nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, nhómphạm trù phân bậc chặt chẽ bện, nhóm phạm trù chặt chẽ bện Từ đó, chúngtôi phân lớp đối vớiΓ-môđun chéo bện, môđun chéo bện, môđun chéo aben vàtrình bày lý thuyết Schreier cho mở rộng Γ-môđun, mở rộng aben kiểu môđunchéo aben, mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben và mở rộng tâm củacác nhóm đẳng biến

3 Đối tượng nghiên cứu

Nhóm phạm trù bện, nhóm phạm trù phân bậc bện, một số kiểu môđunchéo và bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu về tính chặt chẽ và tính đối xứng trong nhóm

phạm trù bện và nhóm phạm trù phân bậc bện để phân lớp các kiểu môđunchéo và giải các bài toán mở rộng kiểu môđun chéo nào đó.

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình thựchiện đề tài

Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau đây:

- Dùng lý thuyết hệ nhân tử để nghiên cứu cấu trúc đại số phạm trù;

- Dùng lý thuyết cản trở của hàm tử để giải bài toán mở rộng;

- Dùng đại số phạm trù để phân lớp kiểu môđun chéo tương ứng

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả của luận án đã được đăng hoặc nhận đăng trên các tạp chíquốc tế Vì vậy, chúng có thể được xem là có ý nghĩa khoa học theo một mức

độ nào đó và đóng góp về tư liệu cho những ai quan tâm đến những vấn đề cóliên quan

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan về luận án

A M Cegarra và E Khmaladze (2007) đã xây dựng đối đồng điều đối xứngcủa các Γ-môđun HΓ,sn (M, N ) Từ đó, họ đã ứng dụng lần lượt các nhóm đốiđồng điều thứ 2 và 3 để phân lớp các mở rộng Γ-môđun và phân lớp các phạmtrù Picard phân bậc

Nội dung đầu tiên của luận án là nghiên cứu phạm trù Picard Γ-phân bậcbằng phương pháp hệ nhân tử như N T Quang (2010) đã làm cho các nhómphạm trù Γ-phân bậc Chúng tôi chứng minh rằng mỗi phạm trù Picard phânbậc P tương đương với một rộng tích chéo của một hệ nhân tử lấy hệ tử trongphạm trù Picard thu gọn kiểu (π0P, π1P), đồng thời chỉ ra mỗi hệ nhân tửnói trên cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên các nhóm aben π0P, π1P và cảmsinh một 3-đối chu trình chuẩn tắc h ∈ ZΓ,s3 (π0P, π1P) Như một ứng dụngcủa lý thuyết phạm trù Picard phân bậc, chúng tôi trình bày sự phân lớp các

mở rộng Γ-môđun nhờ vào các hàm tử monoidal phân bậc đối xứng Những

kết quả này cho phép thu lại được định lý phân lớp các phạm trù Picard phânbậc và phân lớp đối đồng điều các mở rộng Γ-môđun của A M Cegarra và E.Khmaladze (2007).

Khái niệm môđun chéo đã được giới thiệu bởi J H C Whitehead (1949)

A Joyal và R Street (1993) đã nghiên cứu một khái niệm mịn hơn khái niệmmôđun chéo Khái niệm này được gọi là môđun chéo bện Năm 2004, từ kháiniệm môđun chéo, P Carrasco và các đồng tác giả trong (2002) đã xét trườnghợp các nhóm có tính chất giao hoán và đưa ra khái niệm môđun chéo aben

Họ chứng minh rằng phạm trù các môđun chéo aben tương đương với phạmtrù các môđun phải trên vành các ma trận Năm 2011, B Noohi đã bổ sungmột Γ-tác động từ nhóm Γ lên các nhóm và đồng cấu nhóm trong khái niệmmôđun chéo, môđun chéo bện và đưa ra khái niệm Γ-môđun chéo, Γ-môđunchéo bện khi so sánh các phương pháp khác nhau để tính đối đồng điều lấy hệ

tử trong một môđun chéo Tuy nhiên, trong bài báo đó, tác giả chưa đề cậpđến sự phân lớp các kiểu môđun chéo này Năm 2013, N T Quang và P T.Cúc đã xây dựng nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ để phân lớp các Γ-môđunchéo và giải bài toán mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo Mở rộngnày là dạng tổng quát của mở rộng nhóm đẳng biến của A M Cegarra và cácđồng tác giả (2002) và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo của R Brown và O.Mucuk (1994)

Nội dung thứ hai của luận án là xây dựng mũi tên trong phạm trù các môđunchéo bện bao gồm một đồng cấu (f1, f0) : M → M0 của các môđun chéo bện

và một phần tử thuộc nhóm các 2-đối chu trình aben Zab2 (π0M, π1M0) Từ

đó, chúng tôi chứng minh rằng phạm trù các môđun chéo bện tương đương vớiphạm trù các nhóm phạm trù chặt chẽ bện Mũi tên trong phạm trù các nhómphạm trù chặt chẽ bện là các hàm tử monoidal đối xứng (F,F ) :e P → P0 bảotoàn phép toán tenxơ và eFx,y = Fey,x với x, y ∈ Ob(P) Nếu môđun chéo bện

là môđun chéo aben thì nhóm phạm trù chặt chẽ bện là phạm trù Picard chặtchẽ Khi đó, chúng tôi thiết lập một tương đương phạm trù cho phạm trù cácmôđun chéo aben và phạm trù các phạm trù Picard chặt chẽ, đồng thời giảibài toán mở rộng aben kiểu môđun chéo aben

Nội dung thứ ba của luận án là giới thiệu khái niệm nhóm phạm trù phânbậc chặt chẽ bện để biểu diễnΓ-môđun chéo bện Từ đó, chúng tôi nghiên cứumối liên hệ giữa các đồng cấu Γ-môđun chéo bện và hàm tử monoidal phânbậc đối xứng của các nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện liên kết với các

Γ-môđun chéo bện tương ứng Điều này làm cơ sở cho phép chứng minh mộttương đương phạm trù giữa phạm trù cácΓ-môđun chéo bện với phạm trù cácnhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ bện Đồng thời, chúng tôi cũng giải bài toán

mở rộng Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben

Phần cuối của luận án sẽ ứng dụng nhóm phạm trù phân bậc để chỉ ra rằngnếu h là bất biến thứ ba của nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ HolΓG và

p : Π → Out G là một hạt nhân đẳng biến thì p∗(h) là một cản trở của p,

và phân lớp các mở rộng nhóm đẳng biến A → E → Π với A ⊂ ZE bởi các

tự hàm tử monoidal Γ-phân bậc của nhóm phạm trù Γ-phân bậc RΓ(Π, A, 0).Đồng thời chúng tôi xây dựng một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ là hợpthành của một nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ với một Γ-đồng cấu Kếtquả này mở rộng cấu trúc pull-back của S MacLane (1963) trong phép dựng

mở rộng nhóm Eγ của mở rộng E và đồng cấu nhóm γ

7.2 Cấu trúc của luận án

Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận chung, Danh mục công trình liên quantrực tiếp đến luận án, Tài liệu tham khảo, phần nội dung chính của luận ánđược trình bày trong năm chương Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở

để sử dụng cho những chương tiếp theo Chương 2 nghiên cứu các phạm trùPicard phân bậc bằng phương pháp hệ nhân tử Chương 3 nghiên cứu nhómphạm trù chặt chẽ bện để phân lớp các môđun chéo bện, môđun chéo aben

và mở rộng aben kiểu môđun chéo aben Chương 4 xây dựng nhóm phạm trùphân bậc chặt chẽ bện để phân lớp các Γ-môđun chéo bện và các mở rộng

Γ-môđun kiểu Γ-môđun chéo aben Chương 5 nghiên cứu về nhóm phạm trùphân bậc chặt chẽ gắn với bài toán mở rộng nhóm đẳng biến

CHƯƠNG 1MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về phạmtrù monoidal, nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, nhóm phạm trù phân bậc,đối đồng điều của các Γ-môđun, nhóm phạm trù phân bậc bện và phạm trùPicard phân bậc Những nội dung này làm cơ sở cho các chương tiếp theo.Mục 1.1 nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal, hàm tử monoidal, đồngluân và nhóm phạm trù

Mục 1.2 nhắc lại khái niệm nhóm phạm trù bện, phạm trù Picard, hàm tửmonoidal đối xứng, nhóm phạm trù bện thu gọn và trình bày hai kết quả vềcản trở của hàm tử kiểu (ϕ, f ) để trở thành một hàm tử monoidal đối xứng.Mục 1.3 nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal phân bậc, nhóm phạm trùphân bậc và nhóm phạm trù phân bậc kiểu (Π, A, h)

Mục 1.4 nhắc lại một cách ngắn gọn về các nhóm đối đồng điều aben (đốixứng) chiều thấp của các Γ-môđun

Mục 1.5 nhắc lại khái niệm phạm trù monoidal phân bậc bện (đối xứng),nhóm phạm trù phân bậc bện (đối xứng), hàm tử monoidal phân bậc đối xứng

và nhóm phạm trù phân bậc bện kiểu (M, N, h) Phần cuối của mục sẽ trìnhbày hai kết quả về cản trở của hàm tử phân bậc kiểu (ϕ, f ) để trở thành hàm

tử monoidal phân bậc đối xứng

CHƯƠNG 2

HỆ NHÂN TỬ TRONGCÁC PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC

Trong chương này, chúng tôi mô tả hệ nhân tử đối xứng trong phạm trùPicard phân bậc để giải thích nhóm đối đồng điều đối xứng thứ 3 của các

Γ-môđun và phân lớp các mở rộng Γ-môđun nhờ các hàm tử monoidal phânbậc đối xứng Các kết quả chính của chương được viết dựa theo bài báo [1]

2.1 Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard

Ký hiệu Pic là phạm trù của các phạm trù Picard và các hàm tử monoidalđối xứng giữa chúng Ký hiệu Z3s là phạm trù con đầy của phạm trù Pic cóvật là một phạm trù Picard P = R(M, N, h), trong đó M, N là các nhómaben và h = (ξ, η) ∈ Zs3(M, N ) với ξ : M3 → N, η : M2 → N, còn mũi tênR

(M, N, h) → R(M0, N0, h0) là một hàm tử monoidal đối xứng (F,F )e , trong

đó F là cặp đồng cấu nhóm ϕ : M → M0 và f : N → N0, eF liên kết với hàm

g : M2 → N0 sao cho f∗(h) = ϕ∗(h0) + ∂g ∈ Zs3(M, N0)

2.1.1 Định nghĩa Một hệ nhân tử đối xứng F trên Γ với các hệ tử trongphạm trù Picard P (hay một giả hàm tử F : Γ → Pic) bao gồm một họ các tựtương đương monoidal đối xứng Fσ : P → P với σ ∈ Γ và các đẳng cấu giữacác hàm tử monoidal đối xứng θσ,τ : FσFτ → Fστ với σ, τ ∈ Γ, thỏa mãn cácđiều kiện:

(i) F1 = idP;

(ii) θ1,σ = idFσ = θσ,1, σ ∈ Γ;

(iii) Với mọi σ, τ, γ ∈ Γ, biểu đồ sau giao hoán

Ta viết F = (P, Fσ, θσ,τ) và ký hiệu đơn giản là (F, θ)

Hệ nhân tử đối xứng F được gọi là một hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽnếu F∗σ = id với mọi σ ∈ Γ

2.1.5 Định lý Giả sử P là phạm trù Picard Γ-phân bậc và Ker P(h) làphạm trù Picard thu gọn của Ker P Khi đó tồn tại hệ nhân tử F lấy hệ

tử trong Ker P(h) sao cho P tương đương với ∆F

2.2 Hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạm trù Picard R (M, N, h)

Định lý sau đây chỉ ra điều kiện cần của hệ nhân tử lấy hệ tử trong phạmtrù Picard

2.2.1 Định lý Giả sử Γ là một nhóm và S = R(M, N, ξ, η) là một phạmtrù Picard Khi đó

(i) Mỗi hệ nhân tử đối xứng khá chặt chẽ F = (S, Fσ, θσ,τ) : Γ → Z3s

cảm sinh các cấu trúc Γ-môđun trên M, N và một 3-đối chu trình chuẩntắc hF ∈ ZΓ,s3 (M, N );

(ii) Điều kiện F1 = idS trong định nghĩa của hệ nhân tử có thể suy rađược từ những điều kiện còn lại

Kết quả sau đây được suy ra từ Định lý 2.1.5 và Định lý 2.2.1

2.2.2 Định lý Mỗi phạm trù Picard phân bậc P cảm sinh các cấu trúc

Γ-môđun trên M = π0P, N = π1P và cảm sinh một 3-đối chu trình chuẩntắc hF ∈ ZΓ,s3 (M, N )

Trong định nghĩa sau đây, chúng tôi giới thiệu khái niệm phạm trù Picard

Γ-phân bậc tiền đính kiểu (M, N ) Khi đó bài toán phân lớp tương đương cácphạm trù PicardΓ-phân bậc sẽ được thực hiện trên các phạm trù Picard phânbậc dạng này

2.2.8 Định nghĩa Giả sử M vàN là nhữngΓ-môđun Một phạm trù Picard

Γ-phân bậc P được gọi là một phạm trù Picard Γ-phân bậc tiền đính kiểu

(M, N ) nếu tồn tại cặp đẳng cấu của các Γ-môđun

2.3.1 Định nghĩa Một mở rộng Γ-môđun của N bởi M là một dãy khớpngắn của các Γ-môđun và các đồng cấu Γ-môđun

E : 0 → N −→ Bi −→ M → 0.p (2.3.1)

Ký hiệu ExtZΓ(M, N ) là tập tất cả các lớp tương đương của các mở rộng

Γ-môđun của N bởi M

Phạm trù Picard Γ-phân bậc rời rạc DisΓM được xác định

DisΓM =

Z

Γ

(M, 0, 0)

Do đó DisΓM có các vật là các phần tử của nhóm aben M và các mũi tên

σ : x → y là các phần tử σ thuộc Γ sao cho σx = y Hợp thành của các mũi

tên là phép nhân trong Γ Hàm tử phân bậc gr : DisΓM → Γ được cho bởi

gr(σ) = σ Tích tenxơ trên các vật là phép cộng trong M và tích tenxơ trênhai mũi tên được xác định

(x −→ y) ⊗ (xσ 0 σ−→ y0) = (x + x0 σ−→ y + y0)

Hàm tử phân bậc đơn vị I : Γ → DisΓM cho bởi

I(∗−→ ∗) = (0σ −→ 0).σ

Các ràng buộc kết hợp, giao hoán và đơn vị là đồng nhất

Phạm trù Picard Γ-phân bậc thu gọn RedΓN được cho bởi

RedΓN =

Z

Γ

(0, N, 0)

Do đó RedΓN có một vật ∗ duy nhất và các mũi tên là các cặp (n, σ) với

n ∈ N và σ ∈ Γ Hợp thành của hai mũi tên là