Phép biến đổi laplace và một số ứng dụng

GVHD: Nguyễn Văn Hùng 1 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy MỤC LỤC Lời Nói Đầu Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Sơ lược giải tích phức 1.2 Một số khái niện cơ bản của phương trình đạo hàm riêng

Trang 1

GVHD: Nguyễn Văn Hùng 1 SVTH: Nguyễn Thị Kim Thúy

MỤC LỤC

Lời Nói Đầu

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Sơ lược giải tích phức

1.2 Một số khái niện cơ bản của phương trình đạo hàm riêng

1.3 Một số khái niện cơ bản của phương trình và hệ phương trình vi phân Chương 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

2.1 Biến đổi Laplace thuận

2.2 Biến đổi Laplace ngược

Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 3.1 Ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng

3.2 Ứng dụng giải phương trình vi phân thường

3.3 Ứng dụng giải phương trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang

3.4 Ứng dụng giải hệ phương trình vi phân hệ số là hằng số

Kết Luận

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang 2

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân Lý thuyết biến đổi tích phân ban đầu được áp dụng để giải phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng Phương trình vi phân (PTVP) là một lĩnh vực của toán học cơ bản, vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Thông thường các bài toán PTVP được rút ra từ các vấn đề trong thực tế và sau đó người ta tìm ra nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như trong Vật lý, Xác suất, kỹ thuật …

Các sách tham khảo dành cho sinh viên nghiên cứu sử dụng biến đổi Laplace vào phương trình và hệ PTVP chưa nhiều Bởi vậy việc nghiên cứu biến đổi này là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên

Do vậy mà em đã chọn đề tài: “Phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng”

để thực hiện khóa luận tốt nghiệp đại học

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về phương trình và hệ phương trình vi phân, giải tích hàm đặc biệt là phép biến đổi Laplace

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phép biến đổi Laplace thuận và nghịch, các ứng dụng của phép biến đổi này vào giải toán

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận, phân tích tổng hợp và đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp gồm ba chương:

Trang 3

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phép biến đổi Laplace

Chương 3: Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace

Trong suốt quá trình nghiên cứu em đã nhận được sự tận tình giúp đỡ của các thầy cô trong tổ Giải tích khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2, đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Hùng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

nhất tới các thầy cô

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Trang 4

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Điểm mà tại đó mà hàm f không giải tích gọi là điểm kỳ dị hay hàm f được gọi là có điểm kỳ dị

Hàm f được gọi là giải tích trong miền G nếu f khả vi trong miền đó

Ví dụ: Xét hàm f(z) = zn, n ¢

+ Nếu n ≥ 0 thì f giải tích trên £

+ Nếu n < 0 thì f giải tích trên £ \{0}

1.1.3 Khai triển Laurent

Tại một cực điểm cấp n ta có hàm

Trang 5

Như vậy, một khai triển được biết như là chuỗi Laurent nó có thể là độ

phân giải đơn giản nhất của một điểm kỳ dị

1.2 Một số khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng

1.2.1 Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng

i 1, a là một hàm hoặc

một ma trận trong Ω còn u = u(x) là hàm chưa biết trong Ω

Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u, có mặt trong hệ thức (1.2) gọi là

cấp của toán tử A

Định nghĩa: Phương trình (1.2) với toán tử A cấp m và các hàm u, f thỏa mãn

những điều kiện nêu trên được gọi là một phương trình đạo hàm riêng tuyến

tính cấp m

Định nghĩa tổng quát: Phương trình liên hệ các hàm ẩn: u ,u , ,u các biến 1 2 n

và các đạo hàm riêng của chúng được gọi là phương trình đạo hàm riêng

Trang 6

Một phương trình đạo hàm riêng chứa ít nhất một đạo hàm cấp m và không chứa các đạo hàm cấp cao hơn m được gọi là phương trình cấp m

3 Phương trình truyền nhiệt: u u

t trong đó

2 n

2

i 1 i

uu

x là toán tử Laplace

Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là hệ bất kỳ các hàm số sao cho khi thay vào các hàm ẩn, phương trình này biến thành phương trình đồng nhất thức theo các biến số độc lập

1.2.2 Bài toán Cauchy

Giả sử Ω là miền nào đó trong không gian ¡ (có thể trùng với n ¡ ) nXét trong Ω phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai:

Trong trường hợp tổng quát: Giả sử trong miền Ω cho một mặt (n-1) chiều đủ trơn S và tại mỗi điểm của mặt cho một đường cong nào đó không tiếp xúc với mặt S, biến thiên đủ trơn trên mặt S

Trang 7

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.4) trong một lân cận nào đó của mặt S sao cho: uS u0 x (1.6)

1.2.3 Bài toán biên

Giả sử Ω là miền bị chặn nào đó trong ¡ Trong Ω xét phương trình n(1.4) khi đó bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện

u (1.8)

ở đây là hàm đã cho trên , được gọi là bài toán biên thứ nhất

Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện biên

u

v (1.9)

ở đây là hàm đã cho liên tục trên , u

v là đạo hàm theo hướng pháp vectơ ngoài tới , được gọi là bài toán biên thứ hai

Bài toán biên thứ ba là bài toán tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện biên dạng

uauvvới a và là hàm đã cho trên

1.2.4 Bài toán hỗn hợp

Giả sử ¡ là không gian n chiều với các điểm n n

x ,x , ,x , ¡

Trang 8

là miền bị chặn, ¡ n 1 ¡ n t là không gian (n + 1) chiều, T là

một số dương nào đó Ta kí hiệu Qt x ,0 t T có mặt xung quanh là

0

t x , 0 t T ; t x , t t0 Đáy trên của Q là T

T

Q x , t T ; đáy dưới của Q là T Q0 x , t 0

Với T > 0 trong hình trụ Q ta xét phương trình (1.4) Bài toán tìm nghiệm T

(1.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu

trong đó , , và a là những hàm đã cho, gọi là bài toán hỗn hợp thứ nhất

(hoặc thứ ba) Nếu a = 0 trên T thì nó được gọi là bài toán hỗn hợp thứ hai

1.3 Một số khái niện cơ bản của phương trình và hệ phương trình vi

phân

1.3.1 Phương trình vi phân cấp một

Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát là

F x, y, y 0 (1.15) trong đó hàm F xác định trong miền D ¡ 3

Nếu trong miền D, từ phương trình (1.15) ta có thể giải được y :

y f x, y (1.16)

thì ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm

Trang 9

Hàm y x xác định và khả vi trên khoảng I = (a;b) được gọi là nghiệm của phương trình (1.15) nếu:

a x, x , x D với mọi x D

b F x, x , x 0 trên I

Bài toán Cauchy: Nghiệm của phương trình vi phân cấp một là vô số, cho

nên ta thường quan tâm đến nghiệm của PTVP cấp một thỏa mãn những điều kiện nào đấy Chẳng hạn tìm nghiệm của phương trình (1.15) hoặc (1.16) thỏa mãn điều kiện: y x0 y (1.17) 0trong đó x , y là các số cho trước Điều kiện (1.17) được gọi là điều kiện 0 0ban đầu Bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.15) hoặc (1.16) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.17) được gọi là bài toán Cauchy

Nghiệm tổng quát: Ta nói rằng hàm y x,C (1.18) là nghiệm tổng quát của phương trình (1.16) trong miền G nếu:

a Từ hệ thức y0 x ,C 0 (1.19)

ta có thể giải ra được: C x , y0 0 với x , y0 0 G (1.20)

b Hệ thức (1.18) là nghiệm của (1.16) với mỗi hằng số C được xác định từ hệ thức (1.20)

Nghiệm riêng: Nghiệm của (1.16) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất

nghiệm của bài toán Cauchy được đảm bảo, được gọi là nghiệm riêng

Nghiệm kì dị: Nghiệm của phương trình (1.16) mà tại mỗi điểm tính duy nhất

nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ, được gọi là nghiệm kì dị

1.3.2 Phương trình vi phân cấp cao

Định nghĩa: PTVP cấp n có dạng tổng quát là:

n

F x, y, y , y , y 0 (1.21)

Trang 10

Hàm F được xác định trong miền G nào đấy của không gian ¡ n 2 Trong phương trình (1.21) có thể vắng mặt một trong các biến x, y, y , …, n 1

ynhưng n

thì ta được PTVP cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao nhất

Bài toán Cauchy: Là bài toán tìm nghiệm y y x của phương trình (1.21) hoặc (1.22) thỏa mãn điều kiện ban đầu

y x0 y , y x0 0 y , , y0 n 1 x0 y0 n 1 (1.23) trong đó x , y , y , , y0 0 0 0n 1 là các giá trị cho trước

Nghiệm tổng quát: Ta giả thiết rằng miền G là miền tồn tại và duy nhất

nghiệm của phương trình (1.22), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối với mỗi điểm x , y , y , , y0 0 0 0n 1 G hàm y x,C ,C , ,C1 2 n xác định và biến thiên của các biến x, C , C , , C có tất cả các đạo hàm 1 2 nriêng theo x liên tục đến cấp n được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.22) trong miền G nên trong G từ hệ phương trình

Trang 11

n 1 0

Và hàm y x,C , ,C10 0n là nghiệm của phương trình (1.22) ứng với mỗi hệ

số C ,C , ,C được xác định từ (1.24) khi 10 02 0n x , y , y , , y0 0 0 0 n 1 biến thiên trong G

Nghiệm riêng: Nghiệm của phương trình (1.22) mà tại mỗi điểm của nó tính

duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được đảm bảo gọi là nghiệm riêng của phương trình (1.22)

Nghiệm kì dị: Nghiệm của phương trình (1.22) mà tại mỗi điểm của nó tính

duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị của phương trình (1.22)

dy

f x, y , y , , ydx

dy

f x, y , y , , ydx

(1.25)

ở đây x là biến số độc lập, y1 y x , y1 2 y x , , y2 n yn x là các hàm phải tìm Các hàm f (i = 1, 2,…,n) xác định trong miền G của không gian (n i+ 1) chiều ¡ n 1

Trang 12

Bài toán Cauchy: Cho điểm x , y , y , , y0 10 10 n0 G tìm nghiệm

Được gọi là nghiệm tổng quát của (1.25) trong miền G nếu:

a Ứng với mỗi x , y , y , , y0 10 10 0n G từ hệ (1.26) ta có thể xác định được các hằng số

Nghiệm riêng: Nghiệm của hệ (1.25) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất

nghiệm của bài toán Cauchy được bảo đảm được gọi là nghiệm riêng

Nghiệm kì dị: Nghiệm của hệ (1.25) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất

nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị

Trang 13

CHƯƠNG 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

2.1 Biến đổi Laplace thuận

iii f(t)tăng không nhanh hơn hàm số mũ, nghĩa là tìm được các số

M > 0 và S0 ≥ 0 sao cho với mọi t ta đều có: │f(t)│ ≤ M S t 0

e

Số inf S0 với tất cả S0 thỏa mãn (iii) được gọi là chỉ số tăng của f

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm đơn vị sau đây là hàm gốc

Điều kiện i, ii, rõ ràng được thỏa mãn Đối với điều kiện iii, ta thấy rằng:

Trang 14

từ đó suy ra với mọi t ta đều có:

có nghĩa là điều kiện (iii) được thỏa mãn, ở đây coi M = 2, S0 = 1

Ví dụ 3: Hàm số sau đây có phải là hàm gốc hay không?

Điều kiện i, ii, rõ ràng được thỏa mãn Đối với điều kiện iii, ta chú ý khi

t ≥ 0 nếu f(t) là hàm gốc thì: tồn tại M >0, S0 ≥ 0 sao cho:

2 2

S t t S t t

đây là một điều mâu thuẫn vì:

2 0

t S t

tlim e

2.1.2 Định nghĩa và ví dụ phép biến đổi Laplace

Cho hàm số gốc f(t), ta gọi hàm số phức F(p) của biến số phức

p = s + iζ được xác địnhh bằng công thức dưới đây

Trang 15

+ Còn có thể chứng minh được khi Rep = S → +∞ thì lim F p 0 Cho nên những hàm F(t) nào không thỏa mãn điều kiện này sẽ không phải là

hàm ảnh của một hàm gốc nào cả Chẳng hạn φ(p) = cosp không phải là hàm

ảnh của hàm hàm gốc nào cả vì nếu lấy p = 2kπ thì khi k→ +∞ ta sẽ có:

Rep = 2kπ → +∞, nhưng khi đó:

lim φ(p) = lim cos 2kπ = 1 ≠ 0 Tương tự cũng dễ thấy các hàm sinp,

2 p 2

p không phải là ảnh của hàm gốc nào cả

Ví dụ 4: Xét hàm số đơn vị Heaviside (t) 1 khi t 0

0 khi t 0 Biến đổi Laplace của η là:

p

Trang 16

Cho f là hàm gốc có chỉ số tăng α0 Khi đó biến đổi Laplace F của hàm f

là hàm giải tích trong miền Rep > α0

Chứng minh:

Đặt Fn là hàm định bởi:

n pt

0

t (Rep) t

Ngoài ra, với mỗi n ¥ , Fn giải tích trên miền Rep > α0 Sử dụng định

lý hội tụ bị chặn của Lebesgue ta có:

Trang 17

Vậy suy ra F giải tích trên miền Rep > α0

với miền xác định Rep > max αk

Ý nghĩa: Muốn tìm ảnh (hoặc tìm gốc) của một tổng gồm nhiều số hạng ta chỉ

cần tìm ảnh (hoặc tìm gốc) của từng số hạng mà thôi

Ví dụ 7: Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng

Trang 18

p1

p

e cos tdtp

Trang 19

Trang 20

e F p

+ Muốn tìm gốc của e p F p trước hết ta tìm gốc của F(p) là f(t) rồi theo tính chậm trễ của gốc sẽ tìm được gốc của hàm e p F p là f t Cho nên sự có mặt của thừa số e p không gây khó khăn cho việc tìm gốc

2.1.3.6 Tính chất ảnh của hàm tuần hoàn

Nếu khi t > 0, hàm gốc f(t) là một hàm tuần hoàn chu kỳ T thì hàm ảnh của nó sẽ được tính theo công thức sau:

pT

p

L f t F p

1 e (2.1) trong đó:

T pt

0

p e f t dt (2.2)

Ý nghĩa: Muốn tìm ảnh của hàm tuần hoàn ta chỉ phải tính tích phân với cận

hữu hạn (2.2) rồi áp dụng công thức (2.1)

Ví dụ 10: Tính L(cosωt), L(sinωt) trong 2.1.3.2 Bằng cách sử dụng tính chất

2.1.3.6 ta cũng tìm được kết quả như vậy Chẳng hạn: Tính L(sinωt)

Hàm sin là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π trước hết ta tính p

Trang 21

p1

p

Trang 22

Khi làm bài tập cần vận dụng tính chất theo cả hai chiều

Ví dụ 11: Tìm nghiệm của phương trình vi phân sau:

ty" 2y ' 3y e

y 0 y ' 0 0

Trang 23

Thật vậy, đặt Y = L{y} Theo tính chất đạo hàm của gốc trình bày ở trên ta có:

y(p) – p2 – 2p + 2 và L(4) = pt pt

t 0 0

Trang 24

hay L{tn f(t)} = (-1)n Fn(p)

Ý nghĩa:

Muốn tìm ảnh của t f(t) hoặc tnf(t) trước hết ta tìm ảnh của f(t) là F(p) sau đó theo tính chất đạo hàm của ảnh sẽ suy ra ảnh của t f(t) là – F’(p) hoặc ảnh của t f(t) là (–1)n

Fn(p)Như vậy có thể nói: Sự có mặt của thừa số t, tn

ở hàm gốc không gây khó khăn cho việc tìm ảnh

f d ta chỉ cần tìm ảnh của hàm dưới dấu tích

phân, tức tìm F(p) rồi theo tính chất 2.1.3.11 suy ra ngay ảnh của

t

0

f d là F p

p

Trang 25

+ Tính chất này còn cho phép ta tìm gốc trong trường hợp hàm ảnh có

Ý nghĩa: Muốn tìm ảnh của hàm gốc có dạng f t

t trước hết ta tìm ảnh của

hàm f(t) làF(p) sau đó theo tính chất 2.1.3.12 suy ra được ảnh của f t

t Như

vậy sự có mặt của thừa số 1

t về nguyên tắc không gây khó khăn cho việc tìm

d

Trang 26

Trang 27

Mà ta có tính chập

t

0sin t * sin t sin(t )sin d

p p 1

Vậy ảnh của hàm t là: F t 2 1

p (p 1)

Trang 28

2.2 Biến đổi Laplace ngƣợc

2.2.1 Định nghĩa và ví dụ về phép biến đổi Laplace ngược

Thông thường người ta kí hiệu L-1 { F(p) } là hàm ngược của hàm F(p)

Biến đổi Laplace ngược có ý nghĩa quan trọng trong thực hành và cũng

có rất nhiều cách khác nhau để tìm chúng Ở đây ta xem xét tới các hàm phân

thức của hai đa thức dạng: F p r p

Để đơn giản ta xét các hàm F(p) các bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu

Định dạng
Số trang	56
Dung lượng	1,66 MB