Biến đổi Fourier và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2TRẦN THỊ HỒNG BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ HỒNG

BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ HỒNG

BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Bùi Kiên Cường

Hà Nội - 2014

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường Trong suốt quá trìnhhọc tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn, được sự hướng dẫn tận tìnhcủa thầy, tác giả đã hoàn thiện hơn rất nhiều về mặt kiến thức cũng nhưphương pháp nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, sựkính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong và ngoài nhàtrường giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạođiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở GD-ĐT Ninh Bình, Ban Giám hiệu

và các thầy cô giáo Trường THPT Hoa Lư A, tỉnh Ninh Bình cùng giađình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi đểtác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2014

Tác giả

Trần Thị Hồng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường,luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Biến đổiFourier và một số ứng dụng” được hoàn thành bởi tác giả, khôngsao chép từ các đề tài khác

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn sâusắc

Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2014

Tác giả

Trần Thị Hồng

Mục lục

1.1 Một số không gian hàm 51.1.1 Không gian Lp(Rn) (1 ≤ p ≤ ∞) 51.1.2 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn) 61.1.3 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn) 81.1.4 Không gian Sobolev 91.2 Tích chập 101.3 Một số công thức liên quan 11

2.1 Biến đổi Fourier trong không gian L1(Rn) 122.2 Biến đổi Fourier trong không gian S (Rn) 242.3 Biến đổi Fourier trong không gian L2(Rn) 37

2.4 Biến đổi Fourier trong không gian S0(Rn) 41

2.5 Một số biểu diễn khác của biến đổi Fourier 49

2.6 Mối liên hệ với biến đổi Laplace 50

Kết luận chương 2 3 Một số ứng dụng của biến đổi Fourier 54 3.1 Ứng dụng biến đổi Fourier vào giải phương trình vi, tích phân 54

3.1.1 Giải phương trình vi phân thường 54

3.1.2 Giải phương trình đạo hàm riêng 58

3.1.3 Giải phương trình tích phân 64

3.2 Định lý lấy mẫu Shannon 68

3.3 Ứng dụng trong xác suất thống kê 71

3.4 Một số ứng dụng trong lý thuyết giả vi phân, lý thuyết giải tích thời gian - tần số 73

3.4.1 Ứng dụng trong lý thuyết giả vi phân 73

3.4.2 Ứng dụng trong lý thuyết giải tích thời gian – tần số 79 Kết luận chương 3

KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

• α = (α1, α2, , αn) ∈ Nn: đa chỉ số

α! = α1!α2! αn!

|α| = α1 + α2 + · · · + αn: cấp (độ dài) của đa chỉ số α

• Cho α, β ∈ Nn, α ≤ β ⇔ αj ≤ βj; ∀j = 1, n Với α ≤ β, ký hiệu

βα

0 nếu x < 0 : hàm bước nhảy đơn vị Heaviside.

• C∞(Rn): không gian tất cả các hàm f : Rn → C khả vi vô hạn trên

Rn

• C0∞(Rn): không gian tất cả các hàm f : Rn → C khả vi vô hạntrên Rn và có suppf là tập compact trong Rn, trong đó suppf ={x ∈ Rn|f (x) 6= 0} gọi là giá của hàm f

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong gần hai thế kỷ qua, các biến đổi tích phân trong đó có biến đổiFourier đã được sử dụng một cách hiệu quả để giải quyết rất nhiều bàitoán của toán học ứng dụng, vật lý và khoa học kỹ thuật Về mặt lịch sử,nguồn gốc của biến đổi Fourier có thể được tìm thấy trong luận án củaJoseph Fourier (1768-1830) xuất bản năm 1822, Théorie analytique de

la chaleur Trong luận án, Fourier đã cung cấp lý thuyết toán học hiệnđại của sự truyền nhiệt, chuỗi Fourier và tích phân Fourier cùng các ứngdụng, ông đã trình bày một kết quả quan trọng đó là định lý tích phânFourier, đồng thời đưa ra một số ví dụ trước khi phát biểu rằng mộthàm tùy ý xác định trên một đoạn hữu hạn có thể được khai triển thànhmột chuỗi lượng giác gọi là chuỗi Fourier Trong sự cố gắng mở rộng ýtưởng mới của mình đối với các hàm xác định trên một khoảng vô hạn,Fourier đã khám phá ra một biến đổi tích phân và công thức biến đổingược của nó mà ngày nay gọi là biến đổi Fourier và biến đổi Fourierngược

Biến đổi Fourier rất hữu dụng trong việc giải phương trình tích phân

và phương trình đạo hàm bởi các lý do sau: Thứ nhất, với việc thực hiệnphép biến đổi Fourier, các phương trình này sẽ được thay thế bởi cácphương trình đại số hoặc phương trình vi phân đơn giản, khi đó nghiệm

của phương trình đã cho theo biến ban đầu chính là nghịch đảo củanghiệm biến đổi Thứ hai, nghiệm biến đổi kết hợp với định lý tích chậpcho ta công thức biểu diễn nghiệm cần tìm Vì thế, rất nhiều bài toánbiên và bài toán ban đầu tuyến tính trong toán học ứng dụng, toán lý

và khoa học kĩ thuật có thể được giải quyết hiệu quả bằng cách sử dụngbiến đổi Fourier

Biến đổi Fourier cũng là một công cụ quan trọng trong lý thuyết giả

vi phân bởi một trong các tính chất rất tiện lợi của nó, đó là biến đổiFourier thay thế phép lấy đạo hàm bằng phép nhân với một đa thức.Nhờ tính chất này mà toán tử đạo hàm P (D) (với hệ số hằng) đượcchuyển thành toán tử nhân Mp : f 7→ pf với p (ξ) là đa thức, p (ξ) đượcgọi là biểu trưng của P (D) (xem [5], công thức (5.41)-(5.44)) Người ta

có thể mở rộng ý tưởng này để xây dựng lớp các biểu trưng (phụ thuộcvào cả hai biến x, ξ) và lớp các toán tử tổng quát hơn gọi là toán tử giả

Ngoài ra, lý thuyết biến đổi Fourier cũng xuất hiện trong các lĩnh

vực toán học khác như giải tích tín hiệu, xác suất thống kê.

Khi xét mối liên hệ của biến đổi Fourier với các biến đổi tích phânkhác, người ta thấy rằng, về bản chất biến đổi Laplace là trường hợp đặcbiệt của biến đổi Fourier cho một lớp các hàm xác định trên nửa trụcthực dương Dựa vào biến đổi Fourier người ta xây dựng được công thứcbiến đổi Laplace ngược kiểu Mellin, nhờ công thức này cùng tính chấtmột tích phân theo chu tuyến phức có thể bị triệt tiêu (theo lý thuyếtthặng dư Cauchy) và sự biến dạng của chu tuyến trong mặt phẳng phứccho phép khôi phục lại một hàm nếu biết biến đổi Laplace của nó.Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về biến đổi Fourier và những ứngdụng của nó, được sự hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tácgiả đã chọn đề tài “Biến đổi Fourier và một số ứng dụng” để thựchiện luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về biến đổi Fourier

Tìm hiểu một số ứng dụng của biến đổi Fourier

Tìm hiểu mối quan hệ với một số biến đổi tích phân khác

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về biến đổi Fourier

Nghiên cứu về một số ứng dụng của biến đổi Fouier

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi Fourier và một số ứng dụng của nó.Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu biến đổi Fourier và một số ứng dụng

của nó trong các không gian hàm L1(Rn), S (Rn), L2(Rn), S0(Rn).

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

Phương pháp của giải tích hàm, giải tích điều hòa

6 Những đóng góp của luận văn

Luận văn là báo cáo tổng quan về biến đổi Fourier cổ điển và hiệnđại, mối liên hệ giữa biến đổi Fourier với biến đổi Laplace, cùng ứngdụng của biến đổi Fourier vào giải một số phương trình vi, tích phân;định lý lấy mẫu, trong giải tích điều hòa và một số ứng dụng khác

, f ∈ Lp(Rn)

Định nghĩa 1.2 Ta gọi là không gian L∞(Rn), không gian định chuẩntất cả các hàm số f (x) đo được theo nghĩa Lebesgue trên Rn và thỏamãn điều kiện tồn tại C > 0 sao cho |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên Rnvới chuẩn xác định bởi

i) {fk}∞k=1 hội tụ hầu khắp nơi tới hàm f ,

ii) Tồn tại hàm khả tích g sao cho |fn(x)| ≤ g (x) h.k.n trên Rn, vớimọi k ∈ N

1.1.2 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rn)

Định nghĩa 1.9 Ta gọi là không gian các hàm giảm nhanh hay khônggian Schwartz, ký hiệu S (Rn) hoặc S, không gian Fréchet tất cả cáchàm số ϕ (x) khả vi vô hạn trên Rn sao cho xαDβϕ (x) bị chặn với mọi

đa chỉ số α, β ∈ Nn với tôpô xác định bởi họ đếm được chuẩn

kϕkα,β = sup xαDβϕ (x)

x ∈ Rn , ϕ ∈ S (Rn

) , α, β ∈ Nn

|Dαp (x)| ≤ chxia, ∀x ∈ Rntạo thành một không gian vectơ gọi là không gian các hàm tăng chậm

và ký hiệu là OM (Rn) hoặc OM

Mệnh đề 1.14 i) Với p ∈ OM (Rn) thì toán tử nhân Mp : ϕ 7→ Mpϕ =

pϕ là tuyến tính liên tục từ S (Rn) vào S (Rn)

ii) Các toán tử đạo hàm Dα : ϕ 7→ Dαϕ, ∂α : ϕ 7→ ∂αϕ là tuyến tínhliên tục từ S (Rn) vào S (Rn)

Nhận xét 1.15 Vì S (Rn) ⊂ OM (Rn) nên nếu ϕ, ψ ∈ S (Rn) thì ϕψ ∈

S (Rn)

Mệnh đề 1.16 Với 1 ≤ p < ∞, S (Rn) trù mật trong Lp(Rn)

1.1.3 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rn)

Định nghĩa 1.17 Một phiếm hàm tuyến tính u là liên tục trên S (Rn)nếu với dãy bất kì {ϕk}∞k=1 ⊂ S (Rn), {ϕk}∞k=1 hội tụ tới θ ∈ S (Rn) thì

u (ϕk) → 0 khi k → ∞ Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liêntục trên S (Rn) tạo thành một không gian vectơ gọi là không gian cáchàm suy rộng tăng chậm và ký hiệu là S0(Rn) hoặc S0 Mỗi phần tử của

S0(Rn) được gọi là một hàm suy rộng tăng chậm (trên Rn) Vậy

huk, ϕi → hu, ϕi khi k → ∞

Mệnh đề 1.19 Tôpô trên S0 xác định bởi sự hội tụ nêu trong Địnhnghĩa 1.18 là tôpô yếu* của cặp đối ngẫu (S, S0) Hơn nữa không gian

ii) Với u ∈ S0(Rn) , p ∈ OM (Rn), pu xác định bởi

hpu, ϕi = hu, pϕi , ∀ϕ ∈ S (Rn)

là hàm suy rộng tăng chậm.

iii) Với u ∈ S0(Rn) , α ∈ Nn, Dαu xác định bởi

hDαu, ϕi = hu, (−D)αϕi , ∀ϕ ∈ S (Rn)

1.1.4 Không gian Sobolev

Định nghĩa 1.23 Với mỗi s ∈ R, không gian Sobolev Hs(Rn) đượcxác định bởi

Mệnh đề 1.25 Cho ϕ ∈ H∞ và s ∈ R Khi đó, nếu u ∈ Hs thì ϕu ∈ Hs

và kϕuks ≤ 2|s|−n2kϕk|s|+nkuks Ngoài ra, nếu a (x, D) = P

Rn

f (x − y) g (y) dy tồn tại với hầu hết x ∈ Rn

Định nghĩa 1.27 Cho f ∈ L1(Rn) và g ∈ Lp(Rn) (1 ≤ p ≤ ∞) Tíchchập của f và g, kí hiệu là f ∗ g được xác định bởi công thức

(f ∗ g) (x) =

Z

Rn

f (x − y) g (y) dy, x ∈ Rn.Mệnh đề 1.28 Cho f, g, h ∈ L1(Rn) Khi đó

1.3 Một số công thức liên quan

• Công thức Leibniz: Với u, v ∈ C|α|(Rn) ta có

Dα(uv) =X

β≤α

αβ



∂βu
∂α−βv

• ∂αxβ =

(α! αβ
xβ−α , α ≤ β

Chương 2

Biến đổi Fourier

Nội dung của chương này được tác giả trình bày dựa trên các tài liệutham khảo số [1], [2], [3] và [5]

Định nghĩa 2.1 Cho f ∈ L1(Rn), biến đổi Fourier của hàm f kí hiệu

là bf hoặc F [f ] là hàm số được xác định bởi công thức

Ví dụ 2.3 Tìm biến đổi Fourier của hàm f (x) = e−axH (x) trong đó

a > 0 và H là hàm bước nhảy đơn vị Heaviside

Giải Rõ ràng f ∈ L1(R) Với ξ ∈ R, theo định nghĩa biến đổi Fourier

2 a2 − ξ2
(a2 + ξ2)2 .

Ví dụ 2.5 Tìm biến đổi Fourier của f (x) = e−|x|cos x

Giải Rõ ràng f ∈ L1(R) Với ξ ∈ R, theo định nghĩa biến đổi Fourier

Áp dụng công thức tích phân từng phần thu được

= 1 − iξ

1 + (1 − iξ)2.

1 − |x|a

với x ∈ R

1 − |x|

a

H



1 − |x|

a

 < ∞ ⇒ |bg (ξ)| ≤ C



1 + |ξ|2

M2

tức là tồn tại R > 0 sao cho với mọi ξ ∈ Rn thỏa mãn |ξ| ≥ R ta có

f (ξ) −b bg (ξ) +bg (ξ)

≤

f (ξ) −b bg (ξ)

+ |bg (ξ)| < ε

Điều này chứng tỏ rằng lim

|ξ|→∞

b

f (ξ) = 0

Định lý 2.10 Cho f (x) ∈ L1(Rn), a ∈ Rn và λ ∈ R\ {0} Khi đó cáchàm f (x − a), eiaxf (x) và f (λx) cũng thuộc L1(Rn) Hơn nữa

Chứng minh i) Chứng minh f (x − a) ∈ L1(Rn) và F [f (x − a)] (ξ) =

e−iaξf (ξ).b

Xét tích phân R

Rn

|f (x − a)| dx, đặt x − a = y ⇒ x = y + a ⇒ DxDy = 1.Khi đó

e−iyξf (y) dy = e−iaξf (ξ) b

ii) Chứng minh eiaxf (x) ∈ L1(Rn) và Feiaxf (x) (ξ) = f (ξ − a).b

Xét tích phân R

Rn

|f (λx)| dx, đặt y = λx ⇒ x = λ1y ⇒ DxDy = |λ|−n.Khi đó

Rn

e−ixξ



Z

Rn

g (y)



Z

Rn

e−ixξf (x − y) dx



dy (theo Định lý Fubini)

Rn

e−iyξg (y)



Z

ii) Vì f, g ∈ L1(Rn) nên bf ,bg ∈ CL∞(Rn) Do đó tồn tại C1, C2 ∈ R saocho

... 2

Biến đổi Fourier< /h2>

Nội dung chương tác giả trình bày dựa tài liệutham khảo số [1], [2], [3] [5]

Định nghĩa 2.1 Cho f ∈ L1(Rn), biến đổi Fourier. .. .

Ví dụ 2.5 Tìm biến đổi Fourier f (x) = e−|x|cos x

Giải Rõ ràng f ∈ L1(R) Với ξ ∈ R, theo định nghĩa biến đổi Fourier