Biến đổi laplace và một số ứng dụng

Lời nói đầuPhơng trình vi phân, phơng trình tích phân là một trong những nội dungnghiên cứu của bộ muôn toán giải tích, đặc biệt trong các phơng trình toán -lý.. Khi giải các phơng trình

Trờng đại học Vinh

Lời nói đầu

Phơng trình vi phân, phơng trình tích phân là một trong những nội dungnghiên cứu của bộ muôn toán giải tích, đặc biệt trong các phơng trình toán -lý

Khi giải các phơng trình vi phân, phơng trình tích phân ngời ta thờngvận dụng các phép biến đổi Fourier, Laplace Tuy nhiên, trong chơng trìnhchính khoá của ngành đào tạo cử nhân khoa học phép biến đổi này cha có điềukiện nghiên cứu Do đó, mục đích của luận văn này muốn đi sâu, tìm tòi,nghiên cứu phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng của nó

Với mục đích đó luận văn đợc chia làm 4 phần nh sau

Đ0 Kiến thức chuẩn bị Đợc trình bày các khái niệm và các kết quả cần

dùng về sau

Đ1 Biến đối Laplace ở phần này chúng tôi trình bày khái niệm, đi sâu

nghiên cứu các tính chất của biến đổi Laplace

Đ2 Biến đổi Laplace ngợc Đợc trình bày một số công thức tìm hàm

gốc khi biết ảnh của nó

Đ3, Một số ứng dụng của biến đổi Laplace Trong phần này chúng tôi

đ-a rđ-a phơng pháp giải và một số bài tập ứng dụng củđ-a biến đổi Lđ-aplđ-ace để giảiphơng trình, hệ phơng trình vi phân – tích phân tuyến tính

Vì kiến thức và thời gian còn hạn chế nên không thể tránh khỏi nhữngsai sót về nội dung và hình thức Tác giả rất mong đợc sự góp ý, chỉ bảo củacác thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

Khoá luận đợc hoàn thành tại khoa Toán, trờng Đại học Vinh Nhân dịpnày, cho phép tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Th.S Trần Văn Tự - Ngời thầytrực tiếp hớng dẫn, giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thànhkhoá luận này

Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, cácthầy giáo, cô giáo trong khoa, đặc biệt là trong tổ giải tích đã tạo điều kiệnthuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm việc tại tr-

ơng

Vinh, tháng 5 năm 2006

Tác giả

 dx hội tụ đều trên tập

hợp A nếu với mỗi số  > 0 bé tuỳ ý, tồn tại B0 > a sao cho với mọi B > B0 và với mọi  A ta đều có

  [c, d] hàm f: x  f(x) khả tích trên mọi đoạn [a, b] với b > a, khi đó tích phân

hội tụ đều trên [c, d] nếu và chỉ nếu với một số  > 0 cho trớc, tồn tại một số

thực b 0  a sao cho từ b'  b  b 0 suy ra

B+

0.1.6 Định lý (Tính khả vi).Giả sử f: [a, +)  [c, d]  ℝ là hàm liên tục và có đạo hàm riêng f', hơn nữa f': [a, + )  [c, d]  ℝ cũng liên tục.

0.2 Tích phân ơle loại II - Hàm GAMA

0.2.1 Định nghĩa Tích phân ơle loại II là tích phân có dạng

0.3.1 Định lý (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue)

Cho (f n ) là một dãy các hàm thực (hoặc phức) khả tích trên  Giả sử

(a) f n (x)   f(x) hầu hết khắp nơi trên 

(b) Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n, f(x)  g(x) hầu hết

0.3.3 Định lý Giả sử f  L1 (ℝ N ), g  L P (ℝ N ), với 1) =  P   Khi đó,

với mỗi x  ℝ N , hàm số y  f(x - y) g(y) khả tích trên ℝ N và f * g  L P (ℝ N ) Hơn nữa f *g pf g1 p.

0.3.4 Định nghĩa Cho f  L1(ℝN) hàm fˆxác định bởi

đợc gọi là biến đổi Fourier của f

0.3.4 Định lý Nếu f thoả mãn điều kiện Đirichlet trên mọi khoảng mở

hữu hạn và f liên tục tại x thì ta có

Tích phân này đợc hiểu theo nghĩa giá trị chính.

0.3.5 Định lý (Stone - Weierstrass) Cho một hàm số f liên tục trên

đoạn đóng bị chậm [a.b] thì có một dãy đa thức hội tụ đều trên [a.b] về f.

0.3.6 Định lý (Weierstrass) Giả sử với mỗi n  ℕ, f n là một hàm phức giải tích trên miền n , sao cho dãy (f n ) hội tụ từng điểm trên miền n , sao cho dãy (f n ) hội tụ từng điểm trên miền về một hàm f và hội tụ đều trên mỗi

tập con compact của  Khi đó f giải tích trên  Hơn nữa f’ n hội tụ đều tới

f trên mỗi tập con compact của .

Đ1 Biến đổi LapLace

1.1 Định nghĩa Cho hàm số f thoả mãn các tính chất sau:

(i) f đo đợc trên (0; +)

(ii) f tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t  , nghĩa là tồn tại

 > 0 ,tồn tại M > 0 sao cho f(t)   M et ,t > 0

Hàm f có các tính chất (i) - (ii) đợc gọi là hàm gốc;

số 0 = inf { :  thoả mãn (ii) } đợc gọi là chỉ số tăng (hay hoành độ khả

dt e dt

e dt

t e

e p

pt a

a pt a

1 ] 1 [

1 lim 1

pt

) (

0 0

pt a a pt a

a 1 ) 1lim lim 1

0 0

dt e t p

lim

0 Re ,

e e

Vậy F(p) = 1

p   , với Re(p - ) > 0.

1.4 Các tính chất của biến đổi Laplace

1.4.1 Tính chất 1 Cho hàm f là hàm gốc có chỉ số tăng là  0 Khi đó biến đổi Laplace F của f là hàm giải tích trong miền Rep > 0

Ngoài ra, với mỗi n  ℕ, Fn giải tích trên miền Rep > 0.

Thật vậy, xét p cố định sao cho Rep > 0 Ta có

dt ht

t

0

1)

tf dt

ht t

h h

0

)(

1)

với miền xác định Rep > max k

Chứng minh.Theo định nghĩa và tính chất tuyến tính của tích phân ta có

ʆ[f(Ct)] = e p f Ct dt





 0

) (

Ví dụ 6 Từ tính chất 5 và các ví dụ trớc, ta sẽ tìm biến đổi Laplace của

vài hàm thông dụng sau

(a) f(t) = et.cost Ta có

ʆ[f(t)] = ʆ[et cost] = 2 2

p(p )

p

f p

f p

f p

F( ) (0 ) (0 ) (0 )

) 1 ( 2

ʆ[f'(t)] (p) = f t dt

n p

t f

a p a

p

a e ( ) e ( ).

0 0

a pt 0f(0 ) P e  f(t).dt

Theo nguyªn lý quy n¹p, ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh

VÝ dô T×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh vi ph©n sau ®©y

t

y '' 2y ' 3y ey(0) y '(0) 0

(p 1)(p 2p 3) (p 1)(p 1)(p    3)

= ʆ[(-t)N+1 f (t)] , Rep > 0.

Theo nguyên lý quy nạp, ta suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ (a) Biến đổi Laplace của hàm f(t) = t sint là

t

0

f( ) d 

(i) Vì f liên tục nên g liên tục suy ra g đo đợc trên (0, )

(ii) Gọi 0 là chỉ số tăng của f, thì với mọi 0 <  < 1, ta có

M.e  

0 lim

Chøng minh §Æt g(t) = f(t);

t G(p) = ʆ[g] Theo tÝnh chÊt 7, ta cã G'(p) = ʆ[(-t) g(t)]

0

lim 1 Re

( )

(ii) Với mọi t > 0,  > 0 ta có

f() g (t - )  M ( 0 ) ( 0 )(t )

e   .e   Khi đó

  

Chú ý Đổi vai trò của f(t) và g(t) ta sẽ đợc hai công thức khác.

Đ2 Biến đổi Laplace ngợc

2.1 Định lý Cho hàm gốc trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn ƒ trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục t ≥ 0, chỉ số tăng là α 0 Khi đó

Tích phân trong (2.1) = ) đợc hiểu theo nghĩa giá trị chính, và công thức này

có tên là công thức Mellin.

Chứng minh Với x > α0, đặt g(t) = e-xtf(t), ta có g cũng trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục t ≥ 0

Ngoài ra, ta có

Chọn ε > 0 sao cho x - α0 – ε > 0 Khi đó g khả tích.

áp dụng công thức tích phân Fourier và lu ý g(u) triệt tiêu khi u < 0, ta có

suy ra



 F x i d e

t

f t x i ( )

2

1 )

Ký hiệu ʆ-1(F) là biết đổi Laplace ngợc của hàm gốc f

2.2 Định lý Cho các hàm gốc f, g trơn từng khúc trên nữa trục t ≥0,có chỉ số tăng lần lợt là α 0 , và β 0

Giả sử ʆ[f]=F; ʆ[g]=G Khi đó f.g cũng là hàm gốc với chỉ số tăng là

α 0 +β 0 , và

ʆ[f.g] = trong đó x>α 0 , Rep >x+β 0

Chứng minh (a) Chứmg minh f.g là hàm gốc với chỉ số tăng α0+β0.Thật vậy do f, g là các hàm gốc trơn từng khúc trên nửa trục t≥0, có chỉ sốtăng là α0 và β0, nên

<i> f, g là các hàm đo đợc trên khoảng (0 , +∞) Suy ra f.g là hàm đo

p 

) ( 2

1 ) (  xi

i x

pt F p dp e

i t

f



, ) (

).

( 2



 

.

.

) )(

(

) 2 (

) ( ) (

0

0 0

t t

e M

e e

M t g f

Từ <i> và <ii>, suy ra f.g là hàm gốc với chỉ số tăng là α0+β0.

2.3 Định lý Giả sử rằng thác triển giải tích của F lên nửa mặt phẳng

trái là một hàm giải tích đơn trị Giả sử ʆ[f]=F và p = ∞ là điểm chính quy của F, tức là F có thác triển tai vô cực nh sau

(2.3.1) = ) Khi đó

, với t > 0 (2.3.2)

Chứng minh Ta khảo sát sự hội tụ của chuỗi (2.3.2) Giả sử chuỗi (2.3.1)

hội tụ bên ngoài đờng tròn bán kính R0 Khi đó

i x i

) ) ( 2

1 )(

( )

( ).

(

i t g e dt t g t f e

i x

i x

vt pt

i x

i x

i x

t p

i dt

t g e

dv v F

1 )

(

) ( 2

1

0

) (

i x

dv v p G v F

f

, )

(

1

R

C p

n R

!

) (

!

1 )

( 1 0

1 1

0

t R t

R n

n n

n

n

t R M

.

!

)

(

!

.

! )

)

! (

1 1

n n

n pt n

pt n

N

n

n pt n n

n

n n pt

dt t e n

C P

C

dt t e dt t e n C

t e n

C dt

n

t C e

Suy ra với Rep = R1 > R0, chuỗi

hội tụ đều theo N Mặt khác, từng số hạng của chuỗi này tiến về 0 khi N ∞,nên từ (2.4.3) ta suy ra

1 1

!.

C dt

t e n

n n

N

n pt n

1 1

1

!

n n

n n pt

p

C dt

n

t C e

0 . ! n !

n n

n

C n

t C

1

!

.

!

C dt t e n

N

n n

t R n

N

n pt n

Ví dụ1) = Tìm hàm gốc f thoả mãn ʆ[f]=F, F xác định bởi

Giải Trớc hết ta khai triển hàm F(p) thành chuỗi Laurent trong lân cận

2

)!

2 ( ) 1 (

n

P n

n

1

n

n n

t n

n t

f

2

2 2

1 ) 1 ( )!

2 (

) ( 2

)!

2 ( ) 1

) 1 ( )

(

n

p n p

n

t t

1

n

p n p

! 1 2 ) 1 ( ) (

n

n n

n n

t t

f

1

1 )

p p p

F( ) 1 cos1

Đ3 Một số ứng dụng của biến đổi Laplace

Đặt ʆ[f(t)]=F(p) ; ʆ[y(t)]=Y(p) (3.1.3)

áp dụng công thức đạo hàm của hàm gốc, ta có

ʆ[y’(t)] = p.Y(p) – y0,

ʆ[y’’(t)] = p2.Y(p) – py0-y0’ ,

.

ʆ[y(n)(t)] = pn.Y(p) – pn-1y0 – pn-2 y0’ - – y0(n-1).Nhờ tính chất biến đổi của biến đổi Laplace, thay vào (3.1.1) ta đợc ph-

Từ (3.1.4) ta tìm đợc Y(p) có hàm gốc là y(t), y(t) chính là

Y(0)=1, y’(0)=2, y’’(0)=-2

Giải áp dụng định lý đạo hàm của gốc, ta có

) (

) ( ) ( ) (

p A

p B p F p

) (

) ( ) (

p A

p F p

p p

F( ) 1

) (

1 )

(

p v p p

1 (

4 5 )

3

p p p p

p

p p p

1 )

(

p A p p

Ta cã A(p)  p3  p, suy ra

       1 

1 1

1 )

p p p p p t

t

t e e d e d e

t y

Lấy biến đổi Laplace hai vế của phơng trình đã cho, thay ʆ[y(t)],

ʆ[y’’(t)], ʆ[2sin2t] vào ta đợc phơng trình ảnh

1 2

1 1 )

2

4 )

p Y



 4

2

p p

1 2

1 1

2

1 cos sin 2

1 1

) (

t t e

t t e e e

e t y

t

t t t

VÝ dô4 Gi¶i ph¬ng tr×nh Bessel.

2 cos 2 2

cos 2

2 cos 4

2 sin )

2

1 ) (

p

C p

Y





C p

C p p

Y p

2

1

1 )

(

p p

Y





ta khai triÓn hµm Y(p) thµnh chuçi Laurent trong l©n cËn cña p = ∞

5 3 1

! 2 2

3 1 2

1 1

1

! 3

1 2

5 2

3 2

1 1

.

! 2

1 2

3 2

1 1 2

1 1 1

) 1 1 ( 1 ) (

7 3 5 2 3

6 4

2

2 1 2

p p

p p

p p

p p p Y

! 2

! 2 1

n

p n n

 

 ! 2 .

1 1 )

( ) (

0

2 2

J t y

d y t t

y y

0

1 ) 0 ( ' , 0 ) 0 ( , ) ( ) sin(

sin

0 ) 0 ( '' ) 0 ( ' ) 0 (

; 1 ' 4 ''

y

1 ) 0 ( '

; 0 ) 0 (

; 2 sin 2 2 ' 2

y

1 ) 0 ( '

; 0 ) 0 (

; sin 2

' 2

y

0 ) 0 ( '' ) 0 ( ' ) 0 (

; '

3 '' 3 '' '  y  yy t e y y y 

0

0 , ' ( 0 ) ' )

0 (

; 2 cos 5

' 2

; ) 0 (

; 3 cos 9

Lấy biến đổi Laplace hai vế của hệ phơng trình đã cho, ta đợc

Vậy nghiệm của hệ phơng trình đã cho là

8

2 sin 4 )

2 )

t

e t t

24 )

4

1 )

0 0

t t t y t y

t

6 3 sin 3

cos )

0 3

'

y x y

y x x

2 ) (

2 ) ( 1 ) ( ) ( ) 1 (

1 ) ( ) ( 3

p p Y p p p X p

X p Y p

p Y p X p

t t

t t

e t e t y

p p

p

p p Y

e t e t x

p p

p

p p

X

2 2

2 2

2 2

2 2

2 )

(

) 2 (

2 )

2 (

1 2

4 )

(

2 )

(

) 2 (

2 2

1 ) 2 ( ) (

t t

e t e

t y

e t e

t x

2 2

2 2

2 )

(

2 )

(

VÝ dô 7 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n sau.

) 4 ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) (

1 ) ( 2 ) (

2

2 2 2

2

p p p Y

p p p p X p p X p Y p

p p Y p X p

4

2 sin 2 )

4

1 )

4 (

4 4

1 )

4 (

1 )

p p Y

y x

2 '

1 2

y

t t

t x

2 cos 1 4 1 ) (

2 sin 2

4 1 ) (

Ví dụ 8 Giải hệ phơng trình vi phân sau

Giải Để có nghiệm tổng quát, ta giả sử x(0) = C1 , y(0) = C2

Đặt ʆ[x(t)] = X(p) , ʆ[y(t)] = Y(p) Ta có

Vậy nghiệm tổng quát của hệ đã cho là

Sau đây, chúng tôi đa ra kết quả của vài ví dụ về hệ phơng trình vi phân

)

(

sin cos

) (

1 2

2 1

t C t C

t y

t C t C

t x

e t

y t

y t x

e t

y t

x t

x

2 2 3 ) ( 3 ) ( ' ) ( 2

9 ) ( 4 ) ( 3 ) ( '

y t

x t y

t t

y xt t

x

sin ) ( 2 ) ( ) ( '

cos )

( 4 2

) ( '

e e t y

e e t x

2 2 )

( ) (

1 1 1 ) (

1 ) (

1 ) ( )

( ) (

) ( ) (

2 1 2 2

2 2 2 1

2 1 2 2 2 1 2

p C p p C p Y

p C p p C p X

p C p C p Y

p C p C p X C p X p Y p

C p Y p X p

2) Định nghĩa biến đổi Laplace (1.2), chứng minh chi tiết và làm sáng

tỏ các tính chất của biển đổi Laplace (1.4.1) - (1.4.10)

sin

2 2 ) (

sin 3 cos 2 2 4 ) (

t y

t t

t t x

Vì thời gian có hạn, chúng tôi chỉ trình bày đợc một phần cơ bản củabiến đổi Laplace và một số ứng dụng của nó Nếu có điều kiện và thời gianchúng tôi sẽ nghiên cứu tiếp đề tài này.

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] §Æng §×nh ¸nh (chñ biªn), Lý thuyÕt tÝch ph©n, NXB Gi¸o dôc (1997) [2] TrÇn V¨n ¢n (chñ biªn), To¸n cao cÊp tËp III, NXB Gi¸o dôc (2000) [3] §Ëu ThÕ CÊp, Bµi tËp hµm biÕn thøc, NXB Gi¸o dôc (2000).

[4] Vâ §¨ng Th¶o, Hµm phøc vµ to¸n tö Laplace, §¹i häc b¸ch khoa Thµnh

phè Hå ChÝ Minh (1996)

[5] A.I.A.KHIN - CHIN (ngêi dÞch Phan §øc ChÝnh, §oµn Quúnh), Gi¸o

tr×nh gi¶n yÕu to¸n häc, tËp 2, NXB §H vµ THCN (1972).

[6] G.M.FICHTENON (ngêi dÞch Phan V¨n H¹p, Hoµng H÷u Nh), C¬ së gi¶i

tÝch to¸n häc, tËp 2 NXB §H vµ THCN (1972).