Khai triển một hàm thành tổng vô hạn hoặc tích vô hạn và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2QUÁCH THỊ THU HUYỀN KHAI TRIỂN MỘT HÀM THÀNH TỔNG VÔ HẠN HOẶC TÍCH VÔ HẠN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: T

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

QUÁCH THỊ THU HUYỀN

KHAI TRIỂN MỘT HÀM THÀNH TỔNG VÔ HẠN HOẶC TÍCH VÔ HẠN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS Bùi Kiên Cường

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường, thầy đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thểhoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập

Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn thểcác thầy cô giáo trường THPT Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc đãgiúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận vănnày

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập vàhoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 07 năm 2015

Tác giả

Quách Thị Thu Huyền

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường, luận văn:Khai triển một hàm thành tổng vô hạn hoặc tích vô hạn vàmột số ứng dụng là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thôngtin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 07 năm 2015

Tác giả

Quách Thị Thu Huyền

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Tổng vô hạn và tích vô hạn 3

1.1 Tổng vô hạn và tích vô hạn 3

1.1.1 Tổng vô hạn 3

1.1.2 Tích vô hạn 5

1.2 Đa thức và các số Bernoulli, Euler 15

1.2.1 Đa thức Bernoulli và các số Bernoulli 15

1.2.2 Đa thức Euler và các số Euler 20

1.3 Khai triển Lagrange 22

1.4 Khai triển hàm phân hình theo hàm phân thức 27

Chương 2 Một số ứng dụng của tổng vô hạn và tích vô hạn 33 2.1 Phương trình vi phân thường cấp 2 33

2.1.1 Các điểm kì dị của phương trình vi phân thường cấp 2 33

2.1.2 Nghiệm trong một lân cận của điểm thường 34

2.2 Ứng dụng tổng vô hạn trong việc tìm nghiệm của một số phương trình vi phân thường 39

2.2.1 Nghiệm trong lân cận của một điểm kì dị 39

2.2.2 Nghiệm chính quy Điểm kì dị chính quy 45

2.2.3 Phương pháp Frobenius 51

2.3 Khai triển hàm qua tích vô hạn 54

2.4 Khai triển tiệm cận 59

2.4.1 Mở đầu về khai triển tiệm cận 59

2.4.2 Khai triển tiệm cận của tích phân Laplace, Bổ đề Watson 65

Kết luận 68

Tài liệu tham khảo 69

Nhằm tìm hiểu sâu về ứng dụng của lý thuyết chuỗi và tổng vô hạn tronglĩnh vực biểu diễn nghiệm kỳ dị của một số lớp phương trình vi phân,

và được sự hướng dẫn của TS Bùi kiên Cường, tôi đã chọn đề tàinghiên cứu: Khai triển một hàm thành tổng vô hạn hoặc tích

vô hạn và một số ứng dụng để thực hiện luận văn tốt nghiệp thạcsĩ

2 Mục đích nghiên cứu

Biểu diễn một số hàm qua tích vô hạn và ứng dụng trong tìm nghiệm

kỳ dị của một số phương trình vi phân thường

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn và việc khai triển một hàmthành tổng hoặc tích vô hạn;

• Nghiên cứu ứng dụng của việc khai triển hàm thành tổng vô hạntrong việc tìm nghiệm kỳ kị của một số phương trình vi phân

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Một số đa thức: Bernoulli, Euler, tích vô hạn, khai triển tiệm cậntrong giải tích cổ điển;

• Nghiệm của một số phương trình vi phân thường cấp 2 có sử dụngcác hàm đặc biệt

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đềtài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết

6 Những đóng góp của đề tài

Luận văn là tài liệu tổng quan về biểu diễn hàm qua tổng vô hạn hoặctích vô hạn và một số ứng dụng của nó trong việc giải một số kiểu phươngtrình vi phân thường cấp 2

Chương 1 Tổng vô hạn và tích vô hạn

∞

P

n=1

an hội tụ thìlim

n→∞an = 0 Tuy nhiên điều ngược lại là không đúng Chẳng hạn, chuỗiđiều hòa

Ta thấy rằng, nếu chuỗi

∞

X

n=0

(−1)nz2n(2n)! , ∀z ∈ C, (1.1.4)log(1 + z) =

Ta có một số kết quả về tính hội tụ của tổng vô hạn sau đây

Định lý 1.1.2 Cho hai dãy số phức {an}∞

∞

P

n=0

an hội tụ

Điều ngược lại của định lí này là không đúng, chẳng hạn xét chuỗi

(−1)nn

Định lý 1.1.4 Giả sử rằng am,n ∈ [0, ∞) với mỗi (m, n) ∈ N × N và

φ : N → N × N là một song ánh Với ngầm hiểu rằng một chuỗi số thựckhông âm hội tụ đến ∞ nếu như nó không hội tụ đến một số thực, ta có

Định lý 1.1.5 Giả sử cm,n ∈ C với mỗi (m, n) ∈ N×N và φ : N → N×N

là một song ánh Nếu một trong ba tổng sau

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm và các bài toán hội

tụ của tích vô hạn, đặc biệt trình bày các điều kiện về hội tụ tuyệt đối

pn = um+1um+2· · · un, n > m (1.1.8)

tiến tới một giới hạn Um không bằng 0 khi n → ∞ Khi đó,

Định lý 1.1.6 Nếu tích vô hạn (1.1.7) hội tụ thì lim

∞

X

n=m+1

hội tụ, ở đây logarit được lấy theo các giá trị chính, tức là |arg(1 + an)| <

π Kí hiệu tổng trong (1.1.11) là L, khi đó

n→∞ln(1 + an) = 0 là điều kiện cần để chuỗi(1.1.11) hội tụ và

ln(1 + an) = ln |1 + an| + iarg(1 + an)

Vì vậy, ta phải có an → 0 và arg(1 + an) → 0 Do đó, ngoại trừ với một

số số hạng hữu hạn ta phải có |arg(1 + an)| < π, tức là logarit là lấy các

2 < |ps| < 3

2điều này chứng tỏ rằng, khi s > m, 1 + as 6= 0 và nếu ps tiến tới một giớihạn thì giới hạn đó phải khác không Hơn nữa, từ (1.1.14) ta có

ps+k

ps − 1

I

C m

f (ς)dς

ςp+1(ς − z)

Khi tất cả các ar là các cực điểm đơn (6= 0) của các hàm phân hình

f (z), và |f (z)| < M trên Cm (tức là, trường hợp p = 0), M không phụthuộc vào m, ta có công thức khai triển đơn giản đặc biệt

trong đó bn là thặng dư của f (z) tại an

Chuỗi ở vế phải của (1.4.2) và (1.4.8) biểu diễn hàm ở vế trái trong

Ví dụ 1.4.3 Khai triển phân thức hữu tỉ hàm cot z

Hàm cot z là hàm phân hình, tất cả cá cực điểm của hàm này là 0 và

nπ, n = ±1, ±2, , và tất cả đều là cực điểm đơn với thặng dư là bằng

1 Vì z = 0 cũng là một cực điểm, ta phải xét hàm F (z) ≡ cot z − 1

z,toàn bộ cực điểm là nπ, n = ±1, ±2, , với các thặng dư bằng 1 Đặt

Cm là chu tuyến vuông (xem hình dưới đây) Ta có |F (z)| < M trên Cm

không phụ thuộc vào m Thật vậy, ta có

| cot z|2 = e

2y + e−2y + 2 cos 2x

e2y+ e−2y − 2 cos 2x, z = x + iy.

Trên hai cạnh BC và B0C0 của Cm, x = ±(m + 12)π, ta có cos 2x = −1

z − nπ +

1nπ

,khi z → 0, cot z − 1/z → 0, và do đó

cot z = 1

z +X

n6=0

1

z − nπ +

1nπ

2k (1.4.11)Khi |t| < 2π mỗi số hạng của chuỗi ở vế trái có thể được khai triển thànhchuỗi lũy thừa theo t, cụ thể là,

2k

, k = 1, 2, (1.4.12)trong đó Bk là các số Bernoulli