Một số phương pháp giải các bài toán vận dụng của chủ đề hình học không gian

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN...3 2.1.. Thực tế giảng dạy tại trường THPT Tống Duy Tân, tôi nhận thấy rằng, nếu có thể chuyển bài toán Hình

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Một số phương pháp giải bài toán hình học không gian ở mức độ vận dụng và vận dụng cao 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 13

3 Kết luận, kiến nghị 13

3.1 Kết luận 13

3.2 Kiến nghị 14

TÀI LIỆU THAM KHẢO 15

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG

CỦA CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình môn Toán THPT, chủ đề Hình học không gian chiếm một khối lượng lớn kiến thức và được bố trí ở lớp 11 và lớp 12 Phần lớn học sinh gặp khó khăn khi học phần này Thực tế giảng dạy tại trường THPT Tống Duy Tân, tôi nhận thấy rằng, nếu có thể chuyển bài toán Hình học không gian sang bài toán tọa độ trong không gian thì nhiều em học sinh lại có thể làm tốt các bài toán này Nhiều em học sinh cũng chưa có kĩ năng đưa khối đa diện đang xét về khối đa diện quen thuộc, do đó rất lúng túng khi tìm lời giải

Câu hỏi đặt ra là: Làm sao có thể giúp học sinh yêu thích học phần hình học không gian, giúp các em giải được các bài toán hình học không gian? Câu

trả lời đó là: Chuyển được bài toán hình học không gian (mang nặng định tính)

về bài toán định lượng Nghĩa là, thay vì chứng minh các mối quan hệ trong không gian, ta đưa về bài toán tính toán Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian giúp chúng ta làm được điều này Một phương pháp nữa có thể giúp các em giải được các bài toán hình học không gian là kĩ năng quy về các hình đa diện quen thuộc, hoặc đưa về bài toán hình học phẳng Các em có thể sử dụng các kiến thức hình học phẳng để giải bài toán hình học không gian, và như vậy sẽ giảm bớt sự trừu tượng của hình học không gian cho các em

Từ những lí do đó, tôi lựa chọn đề tài SKKN: “Một số phương pháp giải các bài toán vận dụng của chủ đề hình học không gian” Đề tài SKKN này là

một góp ý, trao đổi của tác giả với các đồng nghiệp để nâng cao chất lượng dạy học chủ để hình học không gian

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là đưa ra những phương pháp giúp các em học sinh lớp 12, các em học sinh chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia áp dụng vào các bài tập hình học không gian cụ thể Đồng thời thông qua đó nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các nội dung kiến thức và kĩ năng chủ

đề hình học không gian; phương pháp tọa độ trong không gian; véc-tơ và các phép toán véc-tơ trong không gian

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về chủ đề hình học không

gian; phương pháp tọa độ trong không gian; véc-tơ và các phép toán véc-tơ

Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh khi học và giải các

bài toán thuộc chủ đề hình học không gian; những khó khăn mà học sinh thường mắc phải trong việc lựa chọn phương pháp giải toán cụ thể

Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học

sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CỦA

CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Chủ đề hình học không gian trong chương trình môn Toán THPT

Chủ đề hình học không gian được phân phối ở chương trình môn toán lớp

11 và 12 Cụ thể như sau:

Trong chương trình môn Toán 11: Chủ đề hình học không gian được học

ở hai chương (Chương 2: Quan hệ song song trong không gian; Chương 3: Quan

hệ vuông góc trong không gian)

Trong chương trình môn Toán 12: Chủ đề hình học không gian được tiếp

nối chương trình môn Toán 11 và được học ở hai chương (Chương 1: Khối đa diện và thể tích của chúng; Chương 2: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón)

2.1.2 Một số nội dung kiến thức được sử dụng trong sáng kiến kinh nghiệm

a) Phương pháp tọa độ trong không gian

 Tọa độ của véc-tơ và của điểm;

 Công thức tọa độ của tích vô hướng của hai véc-tơ;

 Tích có hướng của hai véc-tơ;

 Phương trình mặt phẳng; phương trình đường thẳng; phương trình mặt cầu;

 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

b) Tỉ số thể tích

Cho hình chóp S ABC , trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A

, B, C Khi đó, ta có .

.

S A B C

S ABC

     

c) Một số công thức trong hình học phẳng: định lí cô-sin trong tam giác; định lí

sin trong tam giác; …

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy, đa phần học sinh rất ngại học hình, đặc biệt phần hình học không gian Các em cho rằng, phần hình học không gian rất trừu tượng và nhiều bài toán không tìm ra hướng giải Mong muốn của các em là

có thể chuyển các bài toán hình học nặng về định tính sang bài toán định lượng Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian có thể giúp các em học sinh giải bài toán hình học không gian một cách dễ dàng hơn Tất nhiên, không phải bài toán nào cũng có thể tọa độ hóa được, nhưng đây cũng là một hướng tư duy tìm lời giải cho bài toán rất có ích cho học sinh

Một trong những khó khăn của học sinh trong việc học hình học không gian là chưa biết quy lạ về quen Công thức thể tích khối tứ diện đều ABCD các

em đều biết, như khi ta thay đổi kích thước các cạnh AB, AC, AD thì nhiều

em lại không tính được thể tích khối này

Một dạng bài tập nữa gây khó cho học sinh là bài toán tìm đường đi ngắn nhất khi đi quanh khối chóp; khối tròn xoay Bài toán này sẽ trở nên đơn giản khi học sinh biết kĩ thuật trải hình

Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian; qui về các khối đa diện quen thuộc và phương pháp trải hình cũng đã có một số tài liệu đề cập đến nhưng chưa thành hệ thống Thực tế đó đòi hỏi cần hệ thống lại các phương pháp này để giúp học sinh dễ dàng tiếp thu và vận dụng hiệu quả vào học tập, đó cũng là mục tiêu của SKKN này

2.3 Một số phương pháp giải bài toán hình học không gian ở mức độ vận dụng và vận dụng cao

2.3.1 Phương pháp 1: Tọa độ hóa bài toán hình học không gian

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM Biết HB HC , HBC   ;30 góc giữa mặt phẳng SHC và mặt phẳng  HBC bằng  60 Tính côsin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SHC ?

A.1

3

13

3

4 .

Phân tích: Khi giải bài toán này, học sinh gặp khó khăn khi giải phải dựng được

góc giữa hai mặt phẳng và dựng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Chúng ta

để ý rằng, từ giả thiết ta thấy tam giácABC cân đỉnh A và SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên ta có thể tọa độ hóa để giải bài toán này

Lời giải Chọn C

Từ M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM , HB HC suy ra

AM BC, hay tam giác ABC cân đỉnh A

Đặt

2

a

BC a  BM  Do HBC   suy ra 30 3 3

HM   AM  Đặt

SA b

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

z

y x

H

M

S

A

B

C

Ta có A0;0;0 , ; 3;0

2 3

a a

, ; 3;0

2 3

a a

; 0; 3;0

6

a

, S0;0;b 

2 6

a a

HC   

; 0; 3;

6

a

SH  b



Nên

2

 

Suy ra SHC có một véc-tơ pháp tuyến là  n12b 3;6 ;b a 3

Mặt phẳng HBC có một véc-tơ pháp tuyến là  k  0;0;1

Góc giữa mặt phẳng SHC và mặt phẳng  HBC bằng  60 nên

   

1

n k

n k



 

 

3 cos60

a

12b 36b 3a 2a 3

4

a b

Khi đó 1 3 3 3

a a



, đường thẳng BC có véc-tơ chỉ phương

1;0;0

i 



Gọi  là góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SHC , ta có

1

3

sin

4

3

a

n i

a

 

Do đó

2

        

 

Ví dụ 2 Cho lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác ABC vuông cân tại

A, cạnh BC a 6 Góc giữa mặt phẳng AB C và mặt phẳng '  BCC B  bằng 0

60 Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C   ?

A

3

3

a

2

a

V 

C 3 3 3.

4

a

2

a

V 

Lời giải Chọn D.

Gọi chiều cao của hình lăng trụ là h

Đặt hệ trục tọa độ Axyz như hình vẽ Khi đó A0;0;0 , B a 3;0;0,

0; 3;0

; ;0

là trung điểm của BC

Vì AM BCC B  và 3; 3;0

nên n  1;1;0 là véc-tơ pháp tuyến của BCC B ' '

1

là véc-tơ pháp tuyến của

AB C 

Theo giả thiết góc giữa AB C  và mặt phẳng BCC B  bằng 60

 1

1

h



 

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC A B C    là 3 3 3.

2

a

V 

Ví dụ 3 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Gọi M , N, P

lần lượt là trung điểm của CD, CB, A B  Tính khoảng cách từ A đến mp

MNP 

A 3

4

2

2

2

Lời giải Chọn B.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có A0;0;0 , ; ;0

2

a

M a 

 , ; ;0

2

a

N a 

 , 0; ;

2

a

P a

; ;0

2 2

a a

MN  

, MP a ;0;a



Véc tơ pháp tuyến của MNP là 

2 2 2

2 2 2

a a a

 

Phương trình của MNP là  3 0

2

a

x y z   

Suy ra khoảng cách từ A đến mpMNP là: 

3

3 2

,

2 3

a a

d A MNP



2.3.2 Phương pháp 2: Quy về các hình đa diện quen thuộc

Ví dụ 4 Cho khối chóp S ABC có ASB BSC CSA  60 ; SA a , SB2a, 4

SC  a Tính thể tích S ABC theo a

A

3 2

3

a

3

3

a

3

3

a

3

3

a

Phân tích: Học sinh đã quen thuộc với công thức tính thể tích của khối tứ diện

đều cạnh a là 3 2

12

a

V  Từ giả thiết ASB BSC CSA  60 ta có thể quy bài toán về tính thể tích của khối tứ diện đều, sau đó sử dụng công thức tỉ số thể tích

ta tính được thể tích của khối chóp S ABC

Lời giải Chọn B.

Trên cạnh SB ta lấy điểm B sao cho SB a,

trên cạnh SC ta lấy điểm C' sao cho SC a

ASB BSC CSA    ta suy ra hình chóp

S AB C  là một tứ diện đều cạnh a Do đó

3

.

2 12

S AB C

a

Mặt khác: .

.

1

S AB C

S ABC



2.3.3 Phương pháp 3: Phương pháp trải hình

Ví dụ 5 Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S ABCD cạnh bên bằng 200m, góc ASB   bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng15 quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS Trong đó điểm L cố định và LS 40m Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?

S

A

C

B C'

B'

A

D

C

S

L

G H

K

A 40 67 40 mét B 20 111 40 mét

C 40 31 40 mét D 40 111 40 mét

Lời giải Chọn C.

Ta sử dụng phương pháp trải đa diện

Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau

A

A

B

C

S

D

E

F

B

C

D

A

I J K L

Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng AL LS

S

Từ giả thiết về hình chóp đều S ABCD ta có ASL 120

Ta có



2 2 2 2 cos 2002 402 2.200.40.cos120 49600

Nên AL  49600 40 31

Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là 40 31 40 mét

Ví dụ 6 Để chào mừng 20 năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết định trang trí cho cổng chào có hai hình trụ Các kỹ thuật viên đưa ra phương án quấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng 20 vòng đèn Led cho mỗi cột, biết bán kính hình trụ cổng là 30 cm và chiều cao cổng là 5 m Tính chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng

A 24 m B 20 m C 30 m D 26 m

Lời giải Chọn D.

Cắt hình trụ theo đường sinh của nó rồi trải liên tiếp trên mặt phẳng 20 lần ta được hình chữ nhật ABCD có AB5 m và BC 20.2r 20.2 0,3 12 m  

Độ dài dây đèn Led ngắn nhất trang trí 1 cột là

Chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng là: 2.13 26  m

D

A

Bài tập tương tự Bài 1 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của CD CB A B, ,   Tính khoảng cách giữaAM đến NP

A 3

7

a

7

a

3

a

3

a

Bài 2 Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của CD CB, Tính khoảng cách từ D đến MN

A 3

4

4

4

2

Bài 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác

SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi  M

là trung điểm của SD Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC là

A 3

2

5

a

2

a

Bài 4.Cho hình lập phương ABCD A B C D     có cạnh bằng a Một đường thẳng

d đi qua đỉnh D và tâm I của mặt bên BCC B  Hai điểm M, N thay đổi lần lượt

thuộc các mặt phẳng BCC B  và  ABCD sao cho trung điểm K của MN thuộc

đường thẳng d (tham khảo hình vẽ).

Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là ?

A 3

2

10

5

5

a .

Bài 5 Cho khối chóp S ABC có ASB BSC 60 , CSA   , 90 SA 1, SB 5 3

SC  Tính thể tích S ABC

Bài 6 Bên cạnh con đường trước khi vào

thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn

lộng lẫy Ngọn tháp hình tứ diện đều

S ABCD cạnh bên SA 600 mét,

ASC   Do có sự cố đường dây điện

tại điểm Q (là trung điểm của SA) bị

hỏng, người ta tạo ra một con đường từ A

đến Q gồm bốn đoạn thẳng AM , MN,

NP, PQ (hĩnh vẽ) Để tiết kiệm kinh phí,

kỹ sư đã nghiên cứu và có được chiều dài

con đường từ A đến Q ngắn nhất Tính tỉ

số k AM MN

NP PQ





2

2

2

2

k 

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

SKKN đã được tác giả triển khai dạy cho học sinh lớp 12A năm học

20175 – 2018 của trường THPT Tống Duy Tân ở các tiết tự chọn Sau khi học nội dung này, tác giả nhận thấy các em học sinh tiếp nhận tốt nội dung kiến thức được đề cập Thông qua các ví dụ được trình bày, các em có thể giải các bài toán tương tự và tìm ra cách giải các bài toán cụ thể cùng chủ đề

SKKN cũng được các thầy cô bộ môn toán trường THPT Tống Duy Tân giảng dạy các tiết dạy tự chọn toán lớp 12, dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi và nhận được phản hồi tốt SKKN được các thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận

Những phương pháp giải bài toán hình học không gian được trình bày trong SKKN này giúp học sinh có những cách tiếp cận với bài toán hình học không gian một cách dễ dàng hơn Nội dung SKKN là tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, là tài liệu tham khảo phục vụ cho công tác giảng dạy đối với giáo viên

3.2 Kiến nghị

Xuất phát từ tâm nguyện của một giáo viên đang từng ngày giảng dạy cho học sinh, tôi mong muốn nếu đề tài của tôi được đánh giá tốt thì cần được phổ biến một cách rộng rãi để tài liệu đến tay những giáo viên và học sinh yêu thích môn toán.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm

2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của

người khác

ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)

2 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2008 (Tái bản lần thứ hai)

3 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Hình học 12 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)

4 Các Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 của các trường THPT, các Sở Giáo dục và Đào tạo trên cả nước

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC

CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Đỗ Đường Hiếu

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Tống Duy Tân

Cấp đánh giá xếp loại

(Ngành GD cấp huyện/tỉnh;

Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Hướng dẫn học sinh giải bài

toán hình học giải tích

không gian bằng kĩ thuật

tham số hóa

Ngành GD cấp

2 Hướng dẫn học sinh giải

phương trình, bất phương

trình bậc hai chứa tham số

và thỏa mãn điều kiện phụ

Ngành GD cấp

3 Xây dựng hệ thống bài tập

dạy học chủ đề ứng dụng

hình học của tích phân theo

định hướng phát triển năng

lực

Ngành GD cấp