CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

CHỦ ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Hệ thống lí thuyết. 1. Độ và radian 2. Các hệ thức cơ bản 3. Dấu các giá trị lượng giác 4. Các cung liên kết 5. Các công thức biến đổi II. Những dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của góc, hay cho trước một giá trị tính giá trị lượng giác còn lại. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác Dạng 3: Rút gọn một biểu thức lượng giác Dạng 4: Chứng minh biểu thức độc lập với Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác: B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Hệ thống lí thuyết. 1. Hàm số y = sinx 2. Hàm số y = cosx 3. Hàm số y = tanx 4. Hàm số y = cotx II. Những dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Dạng 2: Tính chẵn lẻ của hàm số Dạng 3: Tuần hoàn, chu kỳ Dạng 4: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến Dạng 5: Tìm GTLNGTNN C. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN I. Tóm tắt lí thuyết 1. Phương trình 2. Phương trình 3. Phương trình 4. Phương trình II. Bài tập minh họa D. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx E. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC F. BÀI TOÁN THỰC TẾ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Hệ thống lí thuyết. Độ và radian (rad) Các hệ thức cơ bản Dấu các giá trị lượng giác Góc phần tư GTLG I II III IV + + + + + + + + Các cung liên kết Cung đối Cung bù Cung phụ Cung hơn kém Cung hơn kém nhau Các công thức biến đổi Công thức cộng Công thức nhân Công thức tính theo Công thức hạ bậc Lưu ý Công thức biến đổi tích về tổng Công thức biến đổi tổng về tích II. Những dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của góc, hay cho trước một giá trị tính giá trị lượng giác còn lại. Phương pháp giải: Dùng công thức lượng giác cơ bản Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác của góc nếu: Giải: Vận dụng công thức sin2⁡〖x+cos2⁡〖x=1〗 〗 Vì nên Ví dụ 2: Tính giá trị lượng giác của góc Ta có: . Nên Ta có: Ta có: Ta có: Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác Phương pháp giải: Để chứng minh lượng giác A=B ta vận dụng các công thức lượng giác và biến đổi vế đẻ đưa A thành A1, A2, đơn giản hơn và cuối cùng thành B. Có bài toán cần sử dụng phép chứng minh tương đương hoặc chứng minh phản chứng. Ví dụ minh họa Ví dụ 3: Chứng minh: Ta có: Dạng 3: Rút gọn một biểu thức lượng giác Phương pháp giải: Để rút gọn biểu thứ lượng giác chứa góc ta thực hiện các phép toán tương tự dang 2 chỉ khác là kết quả bài toán chưa được cho trước. Nếu kết quả cưa bài toán sau rút gọn là một hằng số thì biểu thức đã cho độc lập với 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: Ta có: Dạng 4: Chứng minh biểu thức độc lập với Phương pháp giải: Vận dụng các công thức và thực hiện các phép biến đổi tương tự dạng 3. Ví dụ minh họa Ví dụ 5: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x: Ta có: Vậy biểu thức A=0 không phụ thuộc vào giá trị của x Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác: Phương pháp giải: Vận dụng các công thức và thực hiện các phép biến đổi tương tự dạng 2 và 3. Ví dụ minh họa Ví dụ 6: Tính giá trị của biểu thức Ta có: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Hệ thống lí thuyết. 1. Hàm số y = sinx • Tập xác định: • Tập giá trị: • Hàm số lẻ • Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn 0;  b) Đồ thị hàm số y = sinx trên R 2. Hàm số y = cosx • Tập xác định: • Tập giá trị: • Hàm số chẵn • Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn –;  Đồ thị của các hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường sin. 3. Hàm số y = tanx • Tập xác định: D = R • Tập giá trị: • Hàm số lẻ • Hàm số tuần hoàn với chu kì  Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng Đồ thị hàm số 4. Hàm số y=cotx • Tập xác định: • Tập giá trị: • Hàm số lẻ • Hàm số tuần hoàn với chu kì  Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng Đồ thị của hàm số y = cot x II. Những dạng bài tập và phương pháp giải Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 1. Phương pháp giải. Ta chú ý một số điều kiện sau: xác định khi và chỉ khi xác định khi và chỉ khi , trong đó xác định khi và chỉ khi xác định và xác định khi và chỉ khi xác định và Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số Hàm số xác định khi và chỉ khi Vậy TXĐ: Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số Vì Nên hàm số xác định khi và chỉ khi: Vậy TXĐ: Ví dụ 3: Tìm tâp xác định của hàm số Hàm số xác định khi và chỉ khi: {█( )┤ Vậy TXĐ Dạng 2: Tính chẵn lẻ của hàm số Phương pháp giải: Ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, tập D đối xứng Bước 2: Tính và thu gọn kết quả. Khi đó: Nếu thì hàm số đã cho là hàm số chẵn Nếu thì hàm số đã cho là hàm số lẻ Nếu không rơi vào hai trường hợp trên thì hàm số không chẵn, không lẻ Ví dụ minh họa Ví dụ 4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số TXĐ: Ta có: Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ Ví dụ 5: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số TXĐ: Ta có: Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn Dạng 3: Tuần hoàn, chu kỳ Phương pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần lưu ý rằng; a. Hàm số , có chu kì b. Hàm số , có chu kì c. Hàm số , với có chu kì d. Hàm số , với có chu kì e. Nếu hàm số có chu kì , hàm số có chu kì thì hàm số có chu kì là bội chung nhỏ nhất của và Ví dụ 6: Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì: Ta có , do đó hàm số tuần hoàn với chu kì . Ví dụ 7: Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì: Hàm số có chu kì Hàm số có chu kì . Suy ra hàm số đã cho có chu kì Dạng 4: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến Phương pháp giải: Bước 1: Tìm tập xác định. Bước 2: Tính đạo hàm. Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Bước 3: Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Ví dụ minh họa Ví dụ 8: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: Giải: TXĐ: Bảng biến thiên: Kết luận: hàm số đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến trên khoảng (2;4) Ví dụ 9: Tìm m để hàm số nghịch biến trên Giải: TXĐ: là tam thức bậc hai (hệ số của là ) có Do đó hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi Chú ý: Đối với hàm bậc ba, y’ là tam thức bậc hai. Khi đó: Hàm số y ĐB trên Hàm số y NB trên Dạng 5: Tìm GTLNGTNN Số M được gọi là GTLN của hàm số f(x) trên X nếu: . Kí hiệu: . Số m được gọi là GTNN của hàm số f(x) trên X nếu: . Kí hiệu: . Phương pháp giải: Cách 1: Sử dụng miền giá trị để suy ra GTLN và GTNN: Nếu ta biến đổi hàm số f(x) về dạng thì . Để làm được điều đó ta sử dụng các tính chất sau: BĐT Côsi: . Dấu bằng xảy ra khi a=b BĐT Bunhiacopxki: . Dấu bằng xảy ra khi Cách 2: Sử dụng tính chất hình học Nếu ta biến đổi hàm số f(x) về dạng thì . Để làm được điều đó ta sử dụng các tính chất sau: Đặt hoặc thì Hàm số bậc hai xác định trên tập Cách 3: Sử dụng tính chất của hàm số (1) Áp dụng điều kiện có nghĩa của phương trình (1) là Ví dụ minh họa Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a. Ta có Do Vậy GTLN của hàm số bằng 3, GTNN bằng 1 b. Ta có: Vậy GTLN của hàm số bằng 4, GTNN bằng 1 Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau: trong khoảng Vì nên do đó Vậy hàm số đạt GTLN là 0 tại PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Tóm tắt lí thuyết Phương trình (1) Nếu thì phương trình vô nghiệm Nếu Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì Một số phương trình đặc biệt: Mở rộng phương trình ta có: Phương trình (2) Nếu thì phương trình vô nghiệm Nếu Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì Một số phương trình đặc biệt: Mở rộng phương trình ta có: Phương trình (3) Với Một số phương trình đặc biệt: Mở rộng phương trình ta có: Phương trình (4) Với Một số phương trình đặc biệt: Mở rộng phương trình ta có: Bài tập minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình: Hướng dẫn giải Ví dụ 2: Giải phương trình: Ví dụ 3: Giải phương trình: Ta có: () Do Ví dụ 4: Gỉải phương trình: Ta có: Để phương trình có nghiệm ta có: Hay k là các số 1, 2, 3, 4, 5, … hay Ta thu được nghiệm Giải tương tự với phương trình (2) Ví dụ 5: Giải phương trình Ta có: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Trong đó : là các hằng số ( ) : là 1 trong các hàm số lượng giác. Cách giải : Bước 1: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho t (nếu có) Bước 2: GiảI pt bậc hai theo t và kiểm tra điều kiện để chọn nghiệm t Bước 3: giảI pt lượng giác cơ bản theo mỗi nghiệm t nhận được Ví dụ minh họa Giải phương trình: Đặt Ta được phương trình Với Với b) Giải: Đặt , Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2+b2≥c2 Phương pháp giải: Cách 1: Chia hai vế phương trình (1) cho . Khi đó, Đặt: (2), (với Phương trình (2) quay về dạng Từ đó giải và tìm nghiệm. Cách 2: Chia hai vế cho a => Đặt Đặc biệt: Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình: Cách 1: Vậy (1) có họ nghiệm Cách 2: Ví dụ 2: Giải phương trình: Hướng dẫn giải GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương pháp giải: Để giải một BPT lượng giác, ta thường dùng hai pp sau: Phương pháp 1: Đưa bất phương trình về dạng cơ bản như: Thông thường ta dùng đường tròn lượng giác để tìm các họ nghiệm tương ứng Phương pháp 2: Viết bất phương trình về dạng tích hay thương các hàm số lượng giác dạng cơ bản. Xét dấu các thừa số, từ đó chọn nghiệm thích hợp Sau khi đưa các bất phương trình lượng giác về một số dạng hàm số cơ bản, ta cần nắm các bất phương trình cơ bản bằng cách ghi nhớ các bất phương trình chứa hàm cosin, sin, tan, cotan. Nếu , bất phương trình vô nghiệm Nếu , bất phương trình có nghiệm Nếu , bất phương trình có nghiệm là: Nếu , bất phương trình vô số nghiệm. Nếu , bất phương trình vô nghiệm Nếu , bất phương trình có nghiệm Nếu , bất phương trình có nghiệm là: Nếu , bất phương trình vô số nghiệm. có nghiệm là: có nghiệm là: 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải bất phương trình: Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: Giải: Ta có: Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: Giải: Bất phương trình tương đương với: Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau: Giải: Ta đặt: Bất phương trình tương đương với: F. BÀI TOÁN THỰC TẾ Bài toán 1: Trong cuốn tiểu thuyết kinh điển Don Quixote, nhân vật nổi tiếng trong trận chiến với cốt xay gió. Trong bài toán này, chúng ta sẽ mô hình hóa những gì sẽ xảy ra khi Don Quixote đấu với cối xay gió và cối xay gió chiến thắng. Giả sử tâm của cối xay gió cách mặt đất 20 m, và các cánh buồm dài 15 m. Don Quixote bị kẹt trên một đầu của một trong những cánh buồm. Các cánh buồm đang quay với tốc độ một vòng quanh ngược chiều kim đồng hồ cứ sau 1 phút. Hãy mô hình hóa độ cao của Don Quixote so với mặt đất như một hàm thời gian.Gọi t=0 là thời điểm người đó ở gần mặt đất nhất. Bài toán 2: Một chiếc đu quay có đường kính 17 m. Bạn lên ở dưới cùng của vòng đu quay từ bệ cách mặt đất 2m. Nếu mất 25 giây để đạt được trên cùng, xác định một phương trình cho chiều cao cuả người lái theo thời gian. Bài toán 3: Số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố A ở vĩ độ 400B trong ngày thứ t của một năm không nhuận dduocj cho bởi hàm số: với Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sán mặt trời vào ngày nào trong năm? Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

CHỦ ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC

A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I Hệ thống lí thuyết.

1 Độ và radian

2 Các hệ thức cơ bản

3 Dấu các giá trị lượng giác

4 Các cung liên kết

5 Các công thức biến đổi

II Những dạng bài tập và phương pháp giải

 Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của góc, hay cho trước một giá trị tính giá trị lượng giác còn lại.

 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

 Dạng 3: Rút gọn một biểu thức lượng giác

 Dạng 4: Chứng minh biểu thức độc lập với 

 Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác:

B HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I Hệ thống lí thuyết.

1 Hàm số y = sinx

2 Hàm số y = cosx

3 Hàm số y = tanx

4 Hàm số y = cotx

II Những dạng bài tập và phương pháp giải

 Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

 Dạng 2: Tính chẵn lẻ của hàm số

 Dạng 3: Tuần hoàn, chu kỳ

 Dạng 4: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến

C PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I Tóm tắt lí thuyết

II Bài tập minh họa

D PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

 Dạng 1: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

 Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

E GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

F BÀI TOÁN THỰC TẾ

A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I Hệ thống lí thuyết.

(180)o  (rad)



sin tan

cos









(cos 0)



cos cot

sin









(sin 0)

 sin2  cos2   1, 



2

2

1

1 tan

cos





( 2 k k, )



     



2

2

1

1 cot

sin





( k k,  )

 tan cot  1 ( 2 , )

k k



Góc phần tư GTLG

a) Cung đối

 cos( ) cos  

 tan(   )  tan 

 sin( )  sin

 cot( )  cot b) Cung bù

 sin(  ) sin  

 cos( )  cos

 tan( )  tan

 cot(  )  cot c) Cung phụ

 sin( ) cos

2



 cos( ) sin

2



 tan( ) cot

2



 cot( ) tan

2



d) Cung hơn kém 

 tan( ) tan  

 cot( ) cot  

 sin( )  sin

 cos( )  cos

e) Cung hơn kém nhau 2



 sin( ) cos

2





cos( ) sin

2



 

 tan( ) cot

2



 



cot( ) tan 2



 

a) Công thức cộng

 sin(a b ) sin cos  a b cos sina b

 cos(a b ) cos cos  a b sin sina b



tan tan tan( )

1 tan tan

a b

a b

a b







1 tan tan cot( )

tan tan

a b

a b

a b





b) Công thức nhân

 sin 2a 2sin cosa a

 cos 2a cos2a sin2a 2cos2a 1 1 2sin   2a

2 tan tan 2

1 tan

a a

a







2 cot 1 cot 2

2cot

a a

a





 Công thức tính theo tan2

x

t 



2

2 tan

1

t x

t







2

2 sinx

1

t t







2 2

1 cos

1

t x

t





 c) Công thức hạ bậc

2 1 cos 2 cos

2

a

a 



2 1 cos 2 sin

2

a

a 



2 1 cos 2 tan

1 cos 2

a a

a







 Lưu ý



2

1 cos 2cos

2

x x



2

1 cos 2sin

2

x x

d) Công thức biến đổi tích về tổng

 sin cos 1sin( ) sin( )

2

a b a b  a b

 cos cos 1cos( ) cos( )

2

a b a b  a b

 sin sin 1cos( ) cos( )

2

a b a b  a b e) Công thức biến đổi tổng về tích

 sin sin 2sin cos

A B A B

A B  



sin sin 2cos sin

A B A B

A B  

 cos cos 2cos cos

A B A B

A B  

 cos cos 2sin sin

A B A B

A B  



sin( ) tan tan

cos cos

 



, 2 k k,



II Những dạng bài tập và phương pháp giải

 Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của góc, hay cho trước một giá trị tính giá trị lượng giác còn lại.

1 Phương pháp giải: Dùng công thức lượng giác cơ bản

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác của góc  nếu:

4



Giải: Vận dụng công thức sin 2x+cos2x=1

2

             

 

Vì 0 2 sin 0,



nên

153 3 17 sin

169 13



sin 3 17 4 3 17

cot

tan 3 17















Ví dụ 2: Tính giá trị lượng giác của góc

)sin 240 ,cot 15

o Ta có: 2400 1800600 Nên 0  0 0 0 3

sin 240 sin 180 60 sin 60

2

o Ta có:

cot 15 cot15 tan 90 15 tan 75 tan 45 30

3 1

1 tan 45 tan 30 1 1.

3





 7

)sin ;cos

b     

o Ta có:

o Ta có:

 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

1 Phương pháp giải: Để chứng minh lượng giác A=B ta vận dụng các công thức

lượng giác và biến đổi vế đẻ đưa A thành A1, A2, đơn giản hơn và cuối cùng thành B

Có bài toán cần sử dụng phép chứng minh tương đương hoặc chứng minh phản chứng

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 3: Chứng minh: cos (1 cos )(tan     sin ) sin  3

 Ta có:

2

cos 1 cos tan sin

sin

cos

1 cos sin sin cos

sin (1 cos )(1 cos ) sin (1 cos )

sin sin sin

VT

VP





 Dạng 3: Rút gọn một biểu thức lượng giác

1 Phương pháp giải:

Để rút gọn biểu thứ lượng giác chứa góc  ta thực hiện các phép toán tương tự dang 2 chỉ khác là kết quả bài toán chưa được cho trước

Nếu kết quả cưa bài toán sau rút gọn là một hằng số thì biểu thức đã cho độc lập với 

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: sina b sin 2 a sin b



Ta có:

2 sin cos cos sin cos sin

sin cos cos sin cos sin sin cos

a b a b a b

a b a b a b a b



 Dạng 4: Chứng minh biểu thức độc lập với 

1 Phương pháp giải: Vận dụng các công thức và thực hiện các phép biến đổi

tương tự dạng 3

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 5: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x: A sin 4 x cos 4 x

      

Ta có:

 Vậy biểu thức A=0 không phụ thuộc vào giá trị của x

 Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác:

1 Phương pháp giải: Vận dụng các công thức và thực hiện các phép biến đổi

tương tự dạng 2 và 3

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 6: Tính giá trị của biểu thức A sin150tan 30 cos150 0

Ta có:

0

0

sin 30 sin15 tan 30 cos15 sin15 cos15

cos30

sin15 cos30 cos15 sin 30 sin 45

2

B HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I Hệ thống lí thuyết.

1 Hàm số y = sinx

 Tập xác định: Tập Tập xác định: xác Tập xác định: định: Tập xác định: D 

 Tập xác định: Tập Tập xác định: giá Tập xác định: trị: Tập xác định: T   1;1

 Tập xác định: Hàm Tập xác định: số Tập xác định: lẻ

 Tập xác định: Hàm Tập xác định: số Tập xác định: tuần Tập xác định: hoàn Tập xác định: với Tập xác định: chu Tập xác định: kì Tập xác định: 2

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]

b) Đồ thị hàm số y = sinx trên R

2 Hàm số y = cosx

 Tập xác định: Tập Tập xác định: xác Tập xác định: định: Tập xác định: D 

 Tập xác định: Tập Tập xác định: giá Tập xác định: trị: Tập xác định: T   1;1

 Tập xác định: Hàm Tập xác định: số Tập xác định: chẵn

 Tập xác định: Hàm Tập xác định: số Tập xác định: tuần Tập xác định: hoàn Tập xác định: với Tập xác định: chu Tập xác định: kì Tập xác định: 2

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [–; ]

b) Tập xác định: Đồ Tập xác định: thị Tập xác định: của Tập xác định: các Tập xác định: hàm Tập xác định: số Tập xác định: y Tập xác định: = Tập xác định: sinx, Tập xác định: y Tập xác định: = Tập xác định: cosx Tập xác định: được Tập xác định: gọi Tập xác định: chung Tập xác định: là Tập xác định: các Tập xác định: đường Tập xác định: sin.

x y=sinx

0 0

1

0

2





x y=cosx

–1

1

–1



3 Hàm số y = tanx

 Tập xác định: Tập Tập xác định: xác Tập xác định: định: Tập xác định:

D Tập xác định: = Tập xác định: R Tập xác định: \ Tập xác định:

 Tập xác định: Tập Tập xác định: giá Tập xác định: trị: Tập xác định: T 

 Tập xác định: Hàm Tập xác định: số Tập xác định: lẻ

 Tập xác định: Hàm Tập xác định: số Tập xác định: tuần Tập xác định: hoàn Tập xác định: với Tập xác định: chu Tập xác định: kì Tập xác định: 

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tanx trên nửa khoảng

b) Đồ thị hàm số ytanx

4 Hàm số y=cotx

 Tập xác định: Tập Tập xác định: xác Tập xác định: định: Tập xác định: D  \{k k,   }

 Tập xác định: Tập Tập xác định: giá Tập xác định: trị: Tập xác định: T 

 Tập xác định: Hàm Tập xác định: số Tập xác định: lẻ

,

  

0; 2

  





 

x

y=tanx



2





 Tập xác định: Hàm Tập xác định: số Tập xác định: tuần Tập xác định: hoàn Tập xác định: với Tập xác định: chu Tập xác định: kì Tập xác định: 



b) Đồ thị của hàm số y = cot x

II Những dạng bài tập và phương pháp giải

 Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

1 Phương pháp giải Ta chú ý một số điều kiện sau:

a)

( ) ( )

f x y

g x



xác định khi và chỉ khi g x ( ) 0 b) y2n f x( ) xác định khi và chỉ khi f x ( ) 0, trong đó n  *

c) y tan ( )u x  xác định khi và chỉ khi u x( )xác định và u x( ) 2 k k,





d) y cot ( )u x  xác định khi và chỉ khi u x( )xác định và u x( )k k,  

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số

1 2 sin 2

x y

x





Hàm số

1 2 sin 2

x y

x





xác định khi và chỉ khi sin 2x 0

2

x k k

Vậy TXĐ: \ 2

k

D  



Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số y tan(x 6)



Vì

sin( )

6 tan( )

6

x

y x

x











Nên hàm số y tan(x 6)



xác định khi và chỉ khi: cos(x 6) 0



6 2

2

, 3

x k k







Vậy TXĐ: D \{

2

\ 3

D   k



Ví dụ 3: Tìm tâp xác định của hàm số

tan 2

cot(3 )

x

x





Hàm số

tan 2

cot(3 )

x

x



 xác định khi và chỉ khi:

¿

2 2

18 3

x k

k x

k x







 







   







 (k  )

Vậy TXĐ \ 2 2 , 18 3 4, 2

k k

D   k        



(k  )

 Dạng 2: Tính chẵn lẻ của hàm số

1 Phương pháp giải: Ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, tập D đối xứng

- Bước 2: Tính f(x)và thu gọn kết quả Khi đó:

 Nếu f(x)f x( ) thì hàm số đã cho là hàm số chẵn

 Nếu f(x) f x( )thì hàm số đã cho là hàm số lẻ

 Nếu không rơi vào hai trường hợp trên thì hàm số không chẵn, không lẻ

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số f x( ) tan xcotx

 TXĐ: D \ 2 k1 ,k2 ,( ,k k1 2 )



 Ta có: f(x) tan( x) cot( x) tanx cotx(tanxcot )x  f x( ) Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ

Ví dụ 5: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

9 ( ) sin(2 )

2

f x  x 

 TXĐ: D 

 Ta có:

9 ( ) sin(2 ) sin(2 ) cos 2

f x  x   x  x

 f ( x) cos( 2 ) cos 2   x  xf x( )

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn

 Dạng 3: Tuần hoàn, chu kỳ

Phương pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần lưu ý rằng;

a Hàm số ysinx, ycosx có chu kì T 2

b Hàm số ytanx , ycotx có chu kì T 

c Hàm số ysin(ax b ), ycos(ax b ) với a 0 có chu kì

2

T a





d Hàm số ytan(ax b ), ycot(ax b ) với a 0 có chu kì

T a





e Nếu hàm số f1 có chu kì T1, hàm số f2 có chu kì T2 thì hàm số f f1 f2 có chu

kì T là bội chung nhỏ nhất của T1và T2

Ví dụ 6: Hàm số y2cos2x 1 là hàm tuần hoàn với chu kì:

Ta có y2cos2x 1 cos 2 x, do đó hàm số tuần hoàn với chu kì

2 2

T   

x

y   x  

    là hàm tuần hoàn với chu kì:

Hàm số y1 sin 2 x



 có chu kì 1

2 2 1

T    



Hàm số 2 cot 3

x

y   

  có chu kì

1 3

T   

Suy ra hàm số đã cho yy1y2 có chu

kì T BCNN  2 ,3  6

 Dạng 4: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến

1 Phương pháp giải:

 Bước Tập xác định: 1: Tìm tập xác định.

định

 Bước Tập xác định: 3: Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

 Bước Tập xác định: 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 8: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

1

3

y x  x  x Giải: TXĐ: D 

4

x

y x x y

x





 Bảng biến thiên:

Kết luận: hàm số đồng biến trên các khoảng  ;2 và 4;; nghịch biến trên khoảng (2;4)

Ví dụ 9: Tìm m để hàm số

1

3

y x  x  m x m

nghịch biến trên  Giải: TXĐ: D 

2

y x  x m

'

y là tam thức bậc hai (hệ số của x2 là  1 0) có ' 2 m5