VẬN DỤNG PHÉP TƯƠNG tự vào dạy học CHỦ đề HÌNH học KHÔNG GIAN NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ học tập môn TOÁN CHO học SINH lớp 11 THPT

Những lí do nêu trên là cơ sở để tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Vận dụng phép tương tự trong dạy học chủ đề hình học không gian nhằm nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VẬN DỤNG PHÉP TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC TẬP

MÔN TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 11 THPT

Người thực hiện: Trịnh Trọng Trung Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài:

Cải cách giáo dục sao cho phù hợp với điều kiện thực tiễn của Việt Namnhằm đi kịp với xu hướng phát triển của thế giới luôn là bài toán lớn mà để giảiđược nó đòi hỏi phải có sự vào cuộc cùng quyết tâm lớn của toàn Đảng, toàndân ta Một trong những bước quan trọng của cải cách giáo dục đó là đổi mớiphương pháp dạy và học, trong đó thay đổi tư duy thói quen làm việc lỗi thờicủa giáo viên bằng phương pháp dạy học mới là một khâu quan trọng nhất Ýthức được yêu cầu và trách nhiệm đó, bản thân tôi trong quá trình dạy học môntoán nói chung, nội dung hình học không gian nói riêng đã luôn cố gắng tìm tòinhững cách thức tổ chức dạy học, những phương pháp mới phù hợp để giúp họcsinh học tập một cách có hiệu quả nhất

Chủ đề hình học không gian luôn là một nội dung dạy học có rất nhiều ýnghĩa, không những giúp học sinh phát huy rất tốt năng lực tư duy, sáng tạotrong học tập mà còn giúp các em giải quyết được nhiều vấn đề thực tiễn thiếtthực Tuy nhiên nội dung hình không gian lại gây khó khăn cho các em học sinhhơn các nội dung khác của môn toán, bởi ngoài các kĩ năng toán học như các nộidung khác thì khi học hình không gian các em phải luôn phát huy trí tưởngtượng của mình, cái cốt lõi cái chính của vấn đề cần giải quyết thường bị che điđòi hỏi các em phải có phương pháp phù hợp mới tìm ra được Vì thế rất nhiềuhọc sinh, kể cả những học sinh khá giỏi thường ngại học hình không gian Nắmđược thực trạng như vậy trong quá trình dạy học tôi luôn quan tâm làm sao đểcác em mất dần đi cảm giác ngại hay sợ học hình không gian mà thay vào đó làyêu thích, đam mê nội dung học tập này

Một trong những nhiệm vụ quan trọng của dạy học toán là rèn luyện chohọc sinh các hoạt động trí tuệ: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, so sánh,phân tích, tổng hợp Các hoạt động này giúp cho HS nắm vững, đào sâu kiếnthức, phát huy tính độc lập, sáng tạo của bản thân các em không những tronghọc tập môn toán mà còn các môn học khác.Trong các hoạt động trí tuệ nêu trên,phép tương tự là rất phổ biến Khi gặp một vấn đề mới, người ta có xu hướng sosánh, đối chiếu nó với các vấn đề tương tự trước đó Phép tương tự có mối quan

hệ khăng khít với các thao tác tư duy khác So sánh là thành tố tiên phong củaphép tương tự Phép tương tự có thể coi là yếu tố tiền đề của bước khái quát hoá

vì để khái quát hoá người ta phải chuyển từ một tập hợp đối tượng này sang mộttập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặcđiểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát

Những lí do nêu trên là cơ sở để tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Vận dụng

phép tương tự trong dạy học chủ đề hình học không gian nhằm nâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh lớp 11 THPT”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Khai thác hoạt động tương tự nhằm vào hướng tiếp cận phát hiện từ đó đề xuấtcác biện pháp ứng dụng hoạt động này vào việc tìm tòi phát hiện kiến thức và pháthiện cách giải quyết vấn đề trong dạy học hình học không gian

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Dạy học hình học không gian lớp 11-THPT theo phương thức tiếp cận pháthiện thông qua khai thác vai trò của phép tương tự trong phát hiện vấn đề vàphát hiện cách giải quyết vấn đề

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận:

+ Thông qua việc nghiên cứu tài liệu sách tham khảo, các SKKN củađồng nghiệp liên quan đến đề tài

+ Nghiên cứu lý luận về đổi mới trong dạy học môn Toán nói chung vàtrong dạy học hình học không gian nói riêng theo hướng giúp học sinh hoạtđộng phát hiện vấn đề, phát hiện cách giải quyết vấn đề

+ Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Toán 11, mục đích yêu cầudạy học hình học không gian ở trường phổ thông

- Phương pháp điều tra thực tiễn nhằm xác định những thuận lợi, khókhăn của học sinh trong việc liên hệ những kiến thức tương tự giữa hình họckhông gian và hình học phẳng để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyếtvấn đề trong dạy học hình học không gian lớp 11

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Suy luận quy nạp là suy luận từ những chân lý riêng lẻ, cụ thể, khái quátlên thành những chân lý tổng quát Quy nạp có thể dẫn đến các kết luận sai vìvậy không cho phép dùng quy nạp để chứng minh Cho nên quy nạp có thể dùng

để phát hiện vấn đề, mày mò, dự đoán ra chân lý, sau đó dùng suy diễn để chứngminh [4, tr119-120] Phép tương tự là phép suy luận quy nạp, không phải là mộtsuy luận chứng minh, nên những kết luận dự kiến chỉ là giả thiết, thực tế đúngđắn của chúng không được bảo đảm mà phải được kiểm tra một cách riêng biệt

Vì vậy, khi đánh giá một tương tự cần chú ý: cho dù những kết luận dự kiến cócấu trúc nhất quán đi nữa, tính đúng đắn của mục tiêu vẫn có thể khác so với cáckết luận dự kiến Một tiêu chí khác được áp dụng trong giải quyết vấn đề là liệucác kết luận của phép tương tự có liên hệ đến mục tiêu hiện tại hay không Mộttương tự có thể được cấu tạo suy luận đúng, nhưng vẫn không liên quan đếnmục tiêu Đó là khả năng thích ứng của những kết luận cho vấn đề mục tiêu Qua các phân tích trên, xin đưa ra một tóm tắt về phép tương tự như sau:Phép tương tự là phép suy luận về sự tương ứng các mối quan hệ từ đối tượng

quả khi sử dụng phép tương tự đòi hỏi một sự hiểu biết đúng đắn về lĩnh vực cơ

sở Do đó, kiến thức mà học sinh đã học đóng một vai trò quan trọng trong sựhiểu biết đúng đắn về các khái niệm mới Hơn nữa, việc sử dụng phép tương tựcòn phù hợp với quan điểm học tập tích cực, có nghĩa là, học tập là một quátrình hoạt động, xây dựng kiến thức mới dựa trên cơ sở kiến thức đã có Nóicách khác, học tập về cơ bản có liên quan với xây dựng tương đồng giữa những

ý tưởng mới và những ý tưởng hiện có

Ví dụ 1: Đường tròn trong mặt phẳng và mặt cầu trong không gian có tính

chất chung (sự tương tự) đó là khoảng cách từ tâm đến một điểm trên đường(mặt) đó chính bằng bán kính Một tam giác bất kì luôn có một đường tròn ngoạitiếp, mà tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian Vậy ta

có thể dự đoán rằng có thể: Một sứ diện bất kì luôn có duy nhất một mặt cầungoại tiếp

Theo Pôlya [16,tr 19- 20], tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Có thểnói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn và ở mức độ đượcphản ánh bằng khái niệm Tuy vậy, chúng ta có thể diễn tả chính xác hơn mộtchút Theo Pôlya, sự khác nhau căn bản giữa tương tự và những loại giống nhaukhác là ở ý định của người đang suy nghĩ Những đối tượng giống nhau phù hợpvới nhau trong một quan hệ nào đó Nếu bạn có ý định quy mối quan hệ trong đócác đối tượng phù hợp với nhau về những khái niệm đã định thì bạn sẽ xemnhững đối tượng giống nhau ấy như là những đối tượng tương tự Và nếu bạnđạt tới những khái niệm rõ ràng thì tức là bạn đã làm sáng tỏ sự tương tự

2.1.2 Cơ sở tâm lý học

Mỗi khi thay đổi một thói quen học tập học sinh đòi thường gặp nhiều khókhăn, nếu khó khăn không được đơn giản hóa học sinh sẽ rất ngại phải tiếp tụchọc tập nội dung đó Đối với nội dung “Hình học không gian” học sinh đã quenvới tư duy, thói quen giải các bài toán hình học phẳng, khi tiếp cận với hình họckhông gian học sinh gặp ngay khó khăn từ bài học đầu tiên như: Vẽ hình sao chođúng, tính chất nào đúng trong hình phẳng mà vẫn đúng hoặc không đúng trongkhông gian

Như vậy ngay ban đầu khi tiếp cận để học hình học không gian học sinh dễ

bị choáng ngợp bởi nhiều nội dung mới mà thói quen tư duy, tưởng tượng hay kĩnăng vốn có không còn phù hợp khi học hình không gian Hơn nữa các em cóthể ngại học hình không gian khi còn chưa bắt đầu học nội dung này do nhữnghọc sinh đã học trước đó nói lại Vì thế nếu giáo viên không nắm bắt được tâm

lý này, dạy học theo lối áp đạt kiến thức để bắt buộc các em phải học thì tâm lý

đó rất dễ dẫn đến việc học sinh ngại, sợ học hình không gian Ngược lại nếugiáo viên tìm được cách để giúp các em hiểu rằng học hình không gian khôngkhó khăn như nhiều người nghĩ, bởi hình không gian chính là những hình ảnhcủa những vật thể ngay xung quanh chúng ta (như bàn, ghế, căn phòng học )

nó rất thiết thực và gần gũi với các em Tiếp đến qua từng nội dung dù là học lýthuyết hay bài tập giáo viên tìm cách để học sinh tìm được những yếu tố tương

tự giữa hình phẳng và hình không gian, giúp các em phát triển được bài toánphẳng đã biết thành bài toán không gian, bóc tách được các yếu tố không gian để

giải quyết riêng bài toán phẳng thì từng bước giáo viên sẽ giúp học sinh yêuthích nội dung học tập này.

2.2 Thực trạng của đề tài.

Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tra

từ giáo viên và học sinh ở các trường THPT trên địa bàn huyện Yên Định; tổnghợp các thông tin có được khi tìm hiểu trên các phương tiện thông tin đại chúngtôi nhận thấy trong việc dạy và học chủ đề hình học không gian tồn tại nhữngthực trạng sau:

+ Đối với giáo viên:

- Nhiều giáo viên cảm thấy ít hứng thú khi dạy chủ đề hình học không giandẫn đến chưa thực sự tìm tòi, đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với đốitượng học sinh

- Chưa phát huy hiệu quả tính chủ động, sáng tạo của học sinh Ít khuyếnkhích học sinh đặt mối liên hệ tương ứng giữa hình học phẳng và hình họckhông gian trong quá trình học tập nội dung hình không gian

- Nhiều giáo viên chưa quan tâm nhiều đến việc giúp học sinh xây dựng bàitoán không gian xuất phát từ các bài toán phẳng đã biết hay việc bóc tách cácyếu tố không gian để giải quyết bài toán phẳng đơn thuần Qua đó giáo viênchưa giúp học sinh đơn giản hóa vấn đề học hình không gian dẫn đến tình trạngcác em gặp nhiều lúng túng khi ghi nhớ tính chất hay làm các bài tập áp dụng + Đối với học sinh:

- Đa số cảm thấy khó dẫn đến ngại, không hứng thú khi học hình khônggian Cá biệt có nhiều đối tượng học sinh bỏ hẵn không học phần hình họckhông gian mà chỉ tập chung vào các chủ đề khác

- Tư tưởng xem nhẹ chủ đề hình học không gian của nhiều học sinh xuấtphát từ việc nhận thức chủ đề này chỉ chiếm một phần nhỏ trong các kì thi đạihọc, nhiều học sinh cho rằng có thể học tốt các chủ đề khác để khi thi sẽ bù chochủ đề hình học không gian

- Đa số học sinh chưa biết cách tự làm đơn giản hóa nội dung học tập hìnhkhông gian bằng cách phán đoán kết quả từ sự tương tự của các nội dung hìnhhọc phẳng Việc bóc tách các yếu tố không gian để đưa bài toán không gianthành bài toán phẳng học sinh còn gặp nhiều khó khăn

- Học sinh gặp nhiều khó khăn, dễ bị nhầm lẫn trong việc học tập, ghi nhớcác tính chất của hình học không gian Nhiều học sinh vận dụng tương tự sai cáctính chất của hình học phẳng áp dụng cho hình học không gian

2.3 Các biện pháp giải quyết vấn đề.

Nhằm giúp học sinh đơn giản hóa vấn đề khi học hình không gian, từngbước giúp các em học sinh yêu thích học hình không gian bằng cách vận dụngphép tương tự, tôi đã thực hiện theo các giải pháp như sau:

2.3.1 Biện pháp 1: Sử dụng phép tương tự vào học tập, củng cố kiến thức lí thuyết hình không gian.

Từ năm học 2016 – 2017 Bộ GD&ĐT đã quyết định sẽ kiểm tra, đánh giákết quả học tập môn Toán của học sinh THPT bằng hình thức thi trắc nghiệm.Một số dạng bài toán hình không gian sẽ giảm bớt hoặc ít được ưu tiên (như bài

toán chứng minh) bên cạnh đó sẽ ưu tiên những bài toán có tính liên môn, thựctiễn, những bài toán tính toán với số liệu định lượng…Với hình thức thi như vậythì với riêng nội dung hình không gian học sinh phải xử lý thật nhanh nhưngphải thật chính xác, những kĩ năng ban đầu như vẽ hình rồi định hướng cách xử

lý bài toán là một trong những yếu tố quan trọng Tuy nhiên cái quan trọng đầutiên giáo viên cần phải quan tâm, giúp học sinh thực hiện thật tốt đó là nắm thậtvững, cũng cố và khắc sâu kiến thức lí thuyết hình không gian Những ví dụ sauđây minh họa cho việc vận dụng phép tương tự vào học tập định lý, tính chấthình không gian hiệu quả:

Ví dụ 2: Định lý về sự biểu thị một véc tơ qua ba vec tơ không đồng phẳng

Định lý:“Nếu a , b , c là ba véc tơ không đồng phẳng thì mỗi véc tơ d ta tìm được các số m,n,p sao cho d m a b p c Hơn nữa, các số m, n, p là duy nhất.”

Để học sinh nhận biết được định lý và cách chứng minh định lý, giáo viên

sử dụng sự tương tự giữa ba véc tơ đồng phẳng trong không gian với hai véc tơcùng phương trong mặt phẳng

Sau khi dạy định nghĩa ba véc đồng phẳng, giáo viên đã khẳng định sựtương tự trong sự hình thành khái niệm giữa ba véc tơ đồng phẳng trong khônggian với hai véc tơ cùng phương trong mặt phẳng

Giáo viên có thể đặt ra câu hỏi để học sinh nhớ lại kiến thức cũ:

GV: Với hai véc tơ không cùng phương, hãy nhắc lại một số tính chất củanó?

HS: Với hai véc tơ không cùng phương bất kỳ a,b Mọi véc tơ bất kì c tađều biểu diễn được qua hai véc tơ đó và sự biểu thị là duy nhất

- Nếu HS chưa phát biểu đầy đủ các tính chất thì giáo viên có thể phát vấncho HS khác bổ sung

GV: Điều đó có nghĩa là gì?

HS: Tồn tại hai số m, n sao cho c = m a +n b , trong đó m, n là duy nhất.

GV khẳng định: Đúng rồi, các em đã nhớ chính xác về tính chất của hai véc

tơ không cùng phương, giáo viên vẽ hình lên bảng

GV: Để chứng minh tính chất này ta làm như thế nào?

HS: Ta sử dụng tính chất đường chéo của hình bình hành bằng cách dựng

hình bình hành OABC trong đó OB  c; véc tơ OA cùng phương với véc tơ a;véc tơ OC cùng phương với véc tơ b

GV: Thế bây giờ ta chuyển sang không gian, theo các em ta có tính chấttương tự như vậy không? Hãy thử phát biểu tính chất tương tự?

HS: Cho 3 véc tơ không đồng phẳng, khi đó mọi véc tơ bất kỳ đều biểu diễnđược qua 3 véc tơ đó và sự biểu diễn là duy nhất

GV: Điều đó có nghĩa là gì? Ta biễu diễn như thế nào?

HS: d m a b p c, (m,n,p) là duy nhất

GV: Hãy chứng minh tính chất trên

HS: Suy nghĩ

GV: Gợi ý: Ta có thể vận dụng sự tương tự trong chứng minh trên đượckhông? Trước hết ta làm điều gì? Cái gì tương tự với hình bình hành?

HS: Hình bình hành trong mặt phẳng tương tự với hình hộp trong khônggian

GV: Đúng rồi, ta hãy vận dụng sự tương tự đó để chứng minh tính chất trên

HS chứng minh

Dựng hình hộp ABCDA1B1C1D1 trong đó d  AC1; véc tơ AB cùng phương với

a, véc tơ AD cùng phương với b, véc tơ AA1 cùng phương với c Khi đó theoquy tắc đường chéo của hình hộp ta có: AC1 ABADAA1

= m a b p c

Hay d m a b p c

Sự biểu diễn đó là duy nhất vì nếu tồn tại bộ số khác m1 ,n1 ,p1 sao cho

c p b

Nếu m m 1 thì ba véc tơ đó đồng phẳng, mâu thuẫn với giả thiết

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Định lý Talet trong không gian

Định lý: “Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.”

GV : Ta đã học định lý Talet trong mặt phẳng Hãy nêu định lý Talet trongmặt phẳng?

HS: Hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng chắn trên ba đường thẳng songsong những đoạn tỉ lệ

GV: Hãy thiết lập sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không giantrong định lý trên?

HS: Mặt phẳng tương tự đường thẳng

Khi đó ta có thể nghĩ đến hai cách phát biểu:

 “Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn tỷ lệ”

 “Ba mặt phẳng song song chắn trên hai mặt phẳng bất kỳ những đoạn tỷlệ”

GV: Theo các em trong hai mệnh đề vừa rút ra ở trên, mệnh đề nào đúng? HS: Mệnh đề 2 không đúng vì mặt phẳng chắn mặt phẳng sẽ tạo ra đườnggiao tuyến chứ không thể tạo ra những đoạn tỷ lệ được

GV: Đúng rồi, nội dung thứ nhất chính là nội dung của định lý Talet trongkhông gian Bây giờ ta hãy chứng minh định lý trên?

GV: Hãy đưa vào những ký hiệu thích hợp?

HS: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R)đôi một song song, đường thẳng a cắtmặt phẳng(P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C; đường thẳng b cắt (P), (Q), (R)lầnlượt tại A ',B',C'

Chứng minh rằng: AB A 'B'

BC B'C' (định lý Talet trong không gian).

Q P

b

C' B' A

C

A'

B

R Q

GV: Để chứng minh định lý này ta làm như thế nào? Ta có thể sử dụng định

lý Talet trong mặt phẳng được không?

HS: Được, bằng cách phân ra hai trường hợp a // b (khi đó ta có thể đưa về bài toán phẳng) và a không song song với b

Trường hợp 1: Nếu a // b

Khi đó ta có A,B,A',B' đồng phẳng và AB// A'B'

Gọi( ) mp(a,b)  thì ( ) cắt hai mặt phẳng (P), (Q) theo hai giao tuyến

Ví dụ 4: Giúp học sinh nắm được Các yếu tố tương tự của tam giác và

tứ diện, của tam giác vuông và tứ diện vuông từ đó tự xây dựng và nắm vững các tính chất tương tự

+ Trong khi dạy học hình không gian giáo viên luôn hướng để học sinh đặtmối liên hệ tương tự giữa các yếu tố phẳng với các yếu tố không gian từ đógiúp học sinh dự đoán được những tính chất tương tự Chẳng hạn một số yếu

tố tương tự như sau:

Đường cao của tam giác Đường cao của tứ diện

Trung tuyến của tam giác Trọng tuyến của tứ diện

Diện tích tam giác Thể tích tứ diện

Hay sự tương tự giữa tam giác vuông trong mặt phẳng và tứ diện vuôngtrong không gian giúp học sinh dự đoán, chứng minh rồi khắc sâu được các tínhchất thường dùng khi giải các bài toán không gian

Tam giác vuông ABC (Vuông tại A) Tứ diện vuông OABC

AB2

 S2OAB SHAB.SABC

B AB

BH  cos SHAB= SABCcos 

1 cos

cos 2 B 2C  cos2  cos2  cos2=1 với  ,  ,  lần

lượt là góc hợp (OAB),(OAC), (OBC) với (ABC) (5)

Như vậy bằng cách khéo léo vận dụng phép tương tự giáo viên sẽ giúp họcsinh không những cũng cố kiến thức hình phẳng đã học mà còn giúp họ tự tìm ranhững tính chất tương tự trong không gian Qua đó học sinh sẽ dễ dàng hơntrong việc ghi nhớ các định lý, tính chất và có thể vận dụng bất cứ khi nào cầnđến

2.3.1.Biện pháp 2: Sử dụng kết hợp thao tác đặc biệt hoá và tương tự hoá

Ta nhận thấy rằng không thể nói theo ngôn ngữ toán học cao cấp cho họcsinh thấy sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian, GV cầnchuyển ngôn ngữ toán cao cấp sang ngôn ngữ toán phổ thông Ở trên ta đã sửdụng phương pháp trực quan cho học sinh thấy được sự tương tự giữa đườngthẳng và mặt phẳng, giữa tam giác và tứ diện, , Tuy nhiên, ngoài cách trên, đểhọc sinh xác lập được sự tương ứng này, và để cho kiến thức đến tự nhiên, ta cóthể sử dụng thao tác đặc biệt hoá, xem đối tượng hình học này là trường hợpriêng của đối tượng kia, sau đó yêu cầu học sinh dự đoán và chứng minh tínhchất vừa dự đoán Như vậy ở đây cần bồi dưỡng và kết hợp hai thao tác tư duy

đặc biệt: đặc biệt hoá để liên hệ kiến thức trong phẳng và tương tự hoá để đề

xuất và giải quyết các bài toán không gian Cụ thể có thể minh hoạ tư tưởng nàyqua tình huống dạy học sau:

Ví dụ 5 :

Hình thành cho học sinh khả năng liên tưởng giữa tứ diện và tam giác bằng

cách: Đặc biệt hoá tứ diện khi có hai đỉnh trùng nhau, ta được hình tam giác,như vậy, ta xem tam giác là trường hợp riêng của tứ diện trong không gian Từ

đó, xây dựng các tính chất của tứ diện

Ví dụ : từ tính chất trọng tâm tam giác để hình thành các tính chất tương ứng của trọng tâm tứ diện.

Hỏi: Hãy nêu các tính chất trọng tâm tam giác ABC mà em biết?

HS: G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có:

1 GA GB GC                                                           0

OAOBOC 3OG ; với mọi điểm O

với G 1 , G 2 , G 3 , G 4 là trọng tâm các mặt đối diện A, B, C, D.

3’ G chia tứ diện ABCD thành 4 tứ diện G.ABC,G.DAB,G.CBD, G.CAD

có thể tích bằng nhau

Việc chứng minh những dự đoán trên và khẳng định lại tính đúng đắn của

k là một sự tương tự từ mặt phẳng sang không gian Điều này có thể thực hiện nhờ chính quá trình chứng minh tính chất đã có trong mặt phẳng, tức là vận dụng cách chứng minh trong phẳng để chứng minh trong không gian Sau khi

cho học sinh kiến tạo lại cách chứng minh trong phẳng, yêu cầu học sinh pháthiện xem tương ứng với các phương pháp đó có thể chứng minh bài toán mởrộng hay không

Ví dụ 6:

Đặc biệt hoá tứ diện “OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau” với trường hợp C trùng B Khi đó xem tam giác OBC là một trường hợp riêng của tứ diện Lúc này ta có: Tam giác OBC là tam giác vuông tại O.

Hỏi: Em hãy nêu các tính chất của một tam giác vuông?

HS1 Tam giác OBC vuông tại O có đường cao OH

Khi đó ta có hệ thức: 1 2 12 12

OH OB OC

HS2 Định lí Pitago: BC2 OB2 OC2

Hỏi: Em có thể dự đoán tính chất tương tự trong tứ diện được hay không?Nhờ thiết lập sự tương tự hoá, học sinh có thể dự đoán và phát hiện những tínhchất tương tự với hai tính chất trên như sau:

HS: 1’.Tứ diện OABC vuông tại O có đường cao OH hạ xuống mặt đáy (ABC) Khi đó ta có hệ thức: 1 2 12 12 1 2

OH OA OB OC 2’ Định lí Pitago: 2 2 2 2

2.3.3 Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh hoạt động phát hiện các hướng chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng thông qua tương tự hóa

Đối với học sinh, việc học và giải quyết bài toán không gian rất khó do sự

trừu tượng của nó Vì vậy việc chuyển bài toán không gian về bài toán phẳngsau đó để giải bài toán không gian lại xem bài toán phẳng là một mô hình nó có

ý nghĩa rất lớn như:

- Tạo nên chuỗi kiến thức liên kết từ hình học phẳng và hình học không gian

- Rèn luyện thao tác chuyển bài toán không gian về bài toán phẳng nhằm làmđơn giản hoá vấn đề

Ví dụ 7: Cho tam diện ba góc vuông Sxyz Lần lượt trên Sx, Sy, Sz ta lấy các

điểm A, B, C sao cho SA = SB = SC = a Trên đường cao SO của tứ diện SABC lấy điểm O' sao cho SO ' kSO ( k là hằng số)

Một mặt phẳng ( )bất kỳ qua O', lần lượt cắt Sx, Sy, Sz tại A', B', C'.

Chứng minh rằng: 1' 1' 1'

SC SB

SA   không đổi.

Giải: Để giải bài toán này, để đơn giản hóa vấn đề, ta nghiên cứu bài toán phẳng

tương ứng với nó Biết đâu có một sự tương tự trong phương pháp chứng minh

Ta xét bài toán phẳng tương ứng :

“Cho góc vuông Sxy, trên các cạnh góc vuông Sx, Sy ta lấy lần lượt các điểm A,

B sao cho SA = SB = a Trên đường cao SO của tam

giác SAB ta lấy điểm O' sao cho SO ' kSO Một

đường thẳng d cắt Sx, Sy tại A', B' Chứng minh

SA

SA

; '

SB SB

do SA = SB = a Vậy đối với hai tỷ số như vậy ta có

thể nghĩ đến tỷ số của hai diện tích của hai tam giác có chung đỉnh S

B B'

A'

O'

x y

O

Thật vậy, ta có:

SO

SO SA

'

SOA A

SA

SA k



' '

Tương tự:

SB

SB k SO

SO SB

SB S

SB

SB k



' '

SB

SB SA

SA S

SB

SB SA

'

SB

SB k

'



ka SB SA

2 1 1

'

Ví dụ 8: Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O là góc tam diện vuông H là

hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC) Gọi I là trung điểm OH Gọi S, S 1 , S 2 , S 3 lần lượt là diện tích của các tam giác ABC, OBC, OAC, OAB Chứng minh

3

2 2

2 1 2

tự để học sinh liên tưởng đến bài toán phẳng tương ứng

GV: Khi làm bài toán này, các em nghĩ đến điều gì?

HS: Có thể nghĩ đến bài toán phẳng tương tự

GV: Đó cũng là một hướng đi đúng

Vậy hãy phát biểu bài toán tương tự trong mặt phẳng

HS: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi I là trung điểm của





b IB c IC IA

dụng phương pháp chứng minh của bài toán trên

để chứng minh bài toán này

HS: Hệ thức cần chứng minh tương đương

a

c AB a

N