Chuyên đề Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Bài toán liên quan đến viết phương trình tiếp tuyến của C có 3 dạng.. Viết pttt dạng: y = f’x0x – x0 + y0 Chú ý: Trong thực hành giải toán, thường chúng ta gặp dạng này trong trường hợp

Chuyê n đê 1 TIẾ P TUYẾ N CU A ĐO THI HA M

SO

I Phương pháp giải

Cho đồ thị (C): y = f(x) Bài toán liên quan đến viết phương trình tiếp tuyến của (C) có 3 dạng Phương pháp giải từng dạng cụ thể như sau:

Dạng 1 Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm M(x 0 ;y 0 )

 B1 Tính f’(x0)

 B2 Viết pttt dạng: y = f’(x0)(x – x0) + y0

Chú ý: Trong thực hành giải toán, thường chúng ta gặp dạng này trong

trường hợp tiếp điểm chưa biết một thành phần tọa độ nào đó Khi đó, ta tìm thành phần tọa độ còn lại như sau:

o Nếu cho x0 thì tính y0 bằng cách: y0 = f(x0)

o Nếu cho y0 thì tính x0 bằng cách: x0 là nghiệm của pt f(x) = y0

Đôi khi, tiếp điểm thỏa mãn một điều kiện gì đó

Dạng 2 Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

 B1 Giải phương trình f’(x) = k (*) để tìm hoành độ tiếp điểm x0

 B2 Tìm tung độ tiếp điểm y0 = f(x0)

 B3 Viết pttt dạng: y = k(x – x0) + y0

Chú ý:

o Phương trình (*) có thể cho nhiều hơn 1 hoành độ tiếp điểm Do vậy bài toán có thể có nhiều hơn 1 tiếp tuyến

o Trong thực hành giải toán, thường ta gặp dạng này với giả thiết như là: tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường nào

đó; hay tiếp tuyến tạo với một đường thẳng nào đó một góc  Khi

đó, việc làm trước tiên là tìm hệ số góc k

Dạng 3 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(a;b)

Cách 1

 B1 Viết dạng pt đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm A(a;b)

y = k(x – a) + b (*)

 B2 Đặt điều kiện và giải điều kiện tiếp xúc: Hệ sau có nghiệm

{ ( ) ( ) ( ) ( ) Chú ý rằng nghiệm x0 của hệ (**) chính là hoành độ tiếp điểm

 B3 Từ k tìm được ở hệ (**), thế vào phương trình (*) ta được pttt

Cách 2

 B1 Gọi M(x0;y0) (C) là tiếp điểm y0 = f(x0) (1) Viết dạng pttt tại M

y = f’(x0)(x – x0) + y0

 B2 Đặt điều kiện để tiếp tuyến qua A(a;b)

b = f’(x0)(a – x0) + y0 (2)

 B3 Giải hệ (1), (2) tìm được x0 và y0 Từ đó viết được pttt

II Bài tập

Dạng 1 Viết pttt khi biết tiếp điểm

Bài 1 Viết pttt của đthị (C): y = x3 + 4x2 + 5x – 4 trong những trường hợp sau:

a Biết tiếp điểm là A(-3; -10)

b Biết tiếp điểm có hoành độ bằng 1

c Biết tiếp điểm có tung độ bằng -6

y’ = 3x2 + 8x + 5

a

o y'(-3) = 3.(-3)2 + 8.(-3) + 5 = 8

o Pttt tại A(-3;-10) là: y = f’(x0)(x – x0) + y0 = 8(x + 3) – 10 = 8x + 14

b

o y0 = y(1) = 6 Tiếp điểm là B(1;6).

o y'(1) = 16

o Vậy pttt tại B(1;6) là: y = 16(x – 1) + 6 = 16x – 10

c

o Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt:

( ) ( )

Có 2 tiếp điểm là M(-1;-6), N(-2;-6)

o Tại điểm M(-1;-6)

y'(-1) = 0 Tiếp tuyến là: y = 0(x + 1) – 6 = -6

o Tại điểm N(-2;-6)

y'(-2) = 1 Tiếp tuyến là: y = 1(x + 2) – 6 = x – 4

Bài 2 Viết pttt của đồ thị (C) tại giao điểm giữa (C) với trục hoành Với

( )

Bài giải

 Gọi M là giao điểm giữa (C) và trục hoành

( )

( )

Tiếp điểm là M(2;0)

5 (2x 1)

( 2)

Bài 3 Cho đồ thị (Cm): y = x3 + mx2 – m – 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại các điểm cố định mà  C m đi qua

Bài giải

 Gọi M(x0;y0) là điểm cố định mà (Cm) đi qua

( )

{

{

Do đó có hai điểm cố định mà (Cm) đi qua là M 1 (1;0) và M 2 (-1;-2).

Ta có y’ = 3x2 + 2mx

o Tại M1(1;0)

y'(1) = 3 + 2m Pttt là: y = (3 + 2m)(x – 1) = (3 +2m)x – 3 – 2m

o Tại M2(-1;-2)

y'(-1) = 3 – 2m Pttt là: y = (3 – 2m)(x + 1) – 2 = (3 – 2m)x 1 – 2m

Lời bình: Để giải được các bài toán thuộc dạng toán trên ta phải nắm vững

phương pháp giải bài toán gốc (đã biết tiếp điểm) Nếu bài toán chưa cho biết

Dạng 2 Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Bài 1 Cho đồ thị (C): y = x3 – 3x – 1 Viết pttt của (C):

a Biết tt có hệ số góc k = 9

b Biết tt song song với đường thẳng (d): y = -3x + 1

c Biết tt vuông góc với đường thẳng ( ):x 6y 2 0

Bài giải

a Ta có y’ = 3x2 – 3

o Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = k

3x2

– 3 = 9

Có hai tiếp điểm là A(2;1), B(-2;-3)

o Phương trình tiếp tuyến tại A là: y = 9(x – 2) + 2 = 9x – 16

Phương trình tiếp tuyến tại B là: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15

b Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm Đường thẳng d có hệ số góc

là kd = -3

o Do tiếp tuyến song song với d nên k = kd = -3

o Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt: y’ = k

2

Tiếp điểm là M(0;-1)

o Phương trình tiếp tuyến tại M: y = -3(x – 0) – 1 = -3x – 1

c Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm Đường thẳng ( ) có hệ số

6

o Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) nên

6

o Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = k

2

y

Có hai tiếp điểm là M( 3; 1), (N 3; 1)

o Phương trình tiếp tuyến tại M: y 6(x 3) 1 6x 6 3 1 Phương trình tiếp tuyến tại N: y 6(x 3) 1 6x 6 3 1

Bài 2 Cho đồ thị ( ) : 1 3 3 2 1

C y x x x Viết pttt của (C) hợp với

trục Ox góc 450

Bài giải

Ta có y’ = x2

– 3x + 1

Có 2 khả năng xảy ra:

+) KN1: Hệ số góc của tiếp tuyến k = 1

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = k

x

Có hai tiếp điểm A(0;1), B(3;-1/2)

Tiếp tuyến tại A: y = 1(x – 0) + 1 = x + 1

Tiếp tuyến tại B: 1( 3) 1 7

+) KN2 Hệ số góc của tiếp tuyến k = -1

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: y’ = k

2

5 1

6 3x 1 1

1 2

3

x

Có hai tiếp điểm (1; ), (2;5 1)

1( 2)

Dạng 3 Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Bài 1 Cho đồ thị (C): y = x3 – 2x + 6 Viết pttt của (C) qua A(1;4)

Bài giải

 Phương trình đường thẳng (d) có hsg k và qua A có dạng: y = k(x – 1) + 4

 (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

3

2

2x 6 ( 1) 4

 Vậy có hai tiếp tuyến là:

Bài 2 Cho đồ thị (C): y = x3 – 3x + 2 Tìm những điểm M trên đường thẳng (d): y = 4 sao cho từ M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

Bài giải

( ) ( ;4)

Đường thẳng ( ) qua M có dạng y = k(x – a) + 4

( ) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

3

2

2

Để qua M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc đến (C) thì hệ (1) phải có 2 nghiệm k1, k2 thỏa mãn k1.k2 = -1 Điều này xảy ra khi và chỉ khi pt (2) có 2 nghiệm x1, x2 khác -1 và thỏa mãn k1.k2 = -1 (k xác định theo x trong (*))

2

f

(2 3a)(3a 6) 0

1

a

3

28 27

a