Tập con A của không gian tôpô X, τ được gọi là mở chính quy nếu tồn tại một tập đóng F sao cho A = intF.. Khi đó i Một tập mở là tập tiền mở, một tập đóng là tập tiền đóng; ii Hợp tuỳ ý
Trang 1Mục lục 1
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 41.2 Các tập tiền mở và một số tính chất cơ bản của chúng 6
2.1 Không gian tôpô (X, τγ) 152.2 Mối quan hệ giữa không gian tôpô (X, τα) và không gian tôpô(X, τγ) 202.3 Không gian không liên thông cực trị 27
Tài liệu tham khảo 30
1
Trang 2Tiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu về các tập mở cùng với những ứngdụng của chúng, nhằm xây dựng lớp các hàm mới và mở rộng các khái niệmtôpô quan trọng như compact, paracompact, liên thông, trong các năm gầnđây các nhà toán học đưa ra các khái niệm mới như tập nửa mở, nửa đóng,tiền mở, tiền đóng, nửa tiền mở, nửa tiền đóng
Các tập nửa mở, tiền mở, nửa tiền mở và α- tập lần lượt được giới thiệubởi Levine, Mashhour, Andrijevic và Njastad Họ các tập nửa mở, tiền mở,nửa tiền mở không trở thành tôpô trên X nhưng Njastad đã chỉ ra rằng họcác α- tập là một tôpô trên X và đưa ra điều kiện để họ các tập nửa mở trởthành một tôpô trên X Katetov đưa ra vấn đề tương tự đối với họ các tậptiền mở và được Reilly và Vamanamurthy giải quyết vấn đề đó
Trên cở sở các bài báo On the topology generated by preopen sets, A note
on preopen sets và A note on the topology generated by preopen sets củaD.Andrijevic, chúng tôi tiếp cận theo hướng nghiên cứu này Mục đích củaluận văn là tìm hiểu sâu hơn các tính chất tôpô của các tập nửa mở, tiền mở,nửa tiền mở Bên cạnh đó, luận văn còn tìm hiểu các mối liên hệ giữa cáckhông gian tôpô (X, τα), (X, τγ) và không gian không liên thông cực trị Từ
đó đưa ra điều kiện cần và đủ để giao của hai tập tiền mở là tập tiền mở
Với mục đích trên, luận văn được trình bày thành hai chương
Chương 1 Các tập tiền mở
Trong chương này, trước tiên chúng tôi giới thiệu một số kiến thức vàtính chất cơ bản của tôpô đại cương để làm cơ sở cho các phần sau Sau đógiới thiệu về các tập tiền mở, tiền đóng và liệt kê một số tính chất cơ bảncủa chúng
2
Trang 3Chương 2 Tôpô sinh bởi các tập tiền mở
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu về tôpô τγ với họ các tập tiền
mở, những tính chất trong không gian tôpô(X, τγ) Tiếp theo đó chúng tôigiới thiệu không gian (X, τα), đưa vào một số kết quả về mối quan hệ giữahai không gian (X, τα) và không gian tôpô (X, τγ), đồng thời đưa ra một sốtính chất về mối liên hệ giữa không gian không liên thông cực trị với cáckhông gian (X, τγ) và không gian (X, τα)
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình của thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc nhất đến thầy Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Banchủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, các thầy giáo, côgiáo trong khoa, đặc biệt là các thầy cô giáo trong tổ Giải tích khoa Toántrường Đại học Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thànhluận văn Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên cao học khoá 14 Toán - Giảitích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốtkhoá học
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của cácthầy cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện
Vinh, tháng 12 năm 2008
Tác giả
Trang 4CÁC TẬP TIỀN MỞ
1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập X 6= ∅ Họ τ các tập con của X được gọi
là một tôpô trên X nếu nó thoả mãn
i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
ii) Với mọi A, B ∈ τ thì A ∩ B ∈ τ ;
iii) Với mọi họ {Ai, i ∈ I} ⊂ τ thì ∪{Ai, i ∈ I} ∈ τ
Khi đó (X, τ ) được gọi là không gian tôpô
Mỗi tập A ∈ τ gọi là một tập mở Phần bù của tập mở gọi là tập đóng.Giả sử τ và σ là các tôpô trên X Ta nói rằng tôpô τ yếu hơn (thô hơn)tôpô σ nếu τ ⊂ σ
Lúc đó ta cũng nói rằng tôpô σ mạnh hơn (hay mịn hơn) tôpô τ
1.1.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử X là một không gian tôpô và A ⊂ X
Hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A được gọi là phần trong của
Trang 51.1.4 Định lý ([1]) Giả sử X là không gian tôpô và A, B là những tập concủa X Khi đó
a) intA ⊂ A và A ⊂ clA;
b) cl(A ∪ B) = clA ∪ clB và int(A ∩ B) = intA ∩ intB;
c) int(intA) = intA và cl(clA) = clA;
1.1.7 Định nghĩa ([8]) Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là
mở chính quy nếu tồn tại một tập đóng F sao cho A = intF Phần bù củatập mở chính quy là tập đóng chính quy
Họ tất cả các tập mở chính quy trong X được kí hiệu là RO(X, τ ).1.1.8 Nhận xét Từ định nghĩa trên ta có
i) A là mở chính quy nếu và chỉ nếu A = int(clA);
ii) A là đóng chính quy nếu và chỉ nếu A = cl(intA)
1.1.9 Định nghĩa ([1]) Giả sử A là tập con của không gian tôpô X
A được gọi là trù mật trong X nếu clA = X
A được gọi là không đâu trù mật trong X nếu int(clA) = ∅
Kí hiệu họ tất cả các tập con không đâu trù mật của không gian tôpô(X, τ ) là N (X, τ )
1.1.10 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếukhông tồn tại các tập mở khác rỗng U, V trong X sao cho X = U ∪ V và
U ∩ V = ∅
Trang 61.1.11 Nhận xét ([1]) Không gian tôpô X là không liên thông nếu tồn tạicác tập mở khác rỗng U, V trong X sao cho X = U ∪ V và U ∩ V = ∅.
1.2.1 Định nghĩa ([9]) Giả sử X là không gian tôpô Tập A ⊂ X được gọi
là nửa mở (semi - open) nếu A ⊂ cl(intA) Phần bù của tập nửa mở là tậpnửa đóng (semi - closed)
Họ các tập nửa mở trong X được kí hiệu là SO(X)
Họ các tập nửa đóng trong X được kí hiệu là SC(X)
1.2.2 Định nghĩa ([9]) Giả sử X là không gian tôpô Tập A ⊂ X được gọi
là tiền mở (preopen) nếu A ⊂ int(clA) Phần bù của tập tiền mở là tập tiềnđóng (preclosed)
Họ các tập tiền mở trong X được kí hiệu là P O(X)
Họ các tập tiền đóng trong X được kí hiệu là P C(X)
1.2.3 Nhận xét ([3]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó
i) Một tập mở là tập tiền mở, một tập đóng là tập tiền đóng;
ii) Hợp tuỳ ý các tập nửa mở trong X là tập nửa mở;
iii) Giao của họ tuỳ ý các tập nửa đóng trong X là tập nửa đóng;
iv) Hợp tuỳ ý các tập tiền mở trong X là tập tiền mở;
v) Giao của họ tuỳ ý các tập tiền đóng trong X là tập tiền đóng;
vi) Giao của hai tập tiền mở trong X chưa hẳn là tập tiền mở
Chứng minh i) Giả sử A ⊂ X và A mở Khi đó A ⊂ clA kéo theo intA ⊂int(clA) mà A mở nên intA = A Do đó A ⊂ int(clA)
Vậy A là tiền mở
Vì A đóng nên X \ A mở suy ra X \ A là tiền mở Do đó A là tiền đóng.ii) Giả sử {Ai, i ∈ I} là họ các tập nửa mở Khi đó ta có Ai ⊂cl(intAi)), i ∈ I Từ đó ta có Ai ⊂ cl(intAi)) ⊂ cl(int(∪Ai)), với mọi i ∈ I
Vì thế ta có ∪{Ai, i ∈ I} ⊂ cl(int(∪{Ai, i ∈ I})) Do đó ∪{Ai, i ∈ I} là tập
Trang 7nửa mở.
iii) Suy từ định nghĩa tập nửa đóng và Nhận xét 1.2.3 ii)
iv) Giả sử {Ai, i ∈ I} là họ các tập tiền mở trong X Khi đó ta có Ai ⊂int(clAi), mọi i ∈ I kéo theo ∪{Ai, i ∈ I} ⊂ ∪{int(clAi), i ∈ I}
Mặt khác int(clAi) ⊂ cl(Ai) nên int(clAi) ⊂ ∪{clAi, i ∈ I}, mọi i ∈ Ikéo theo ∪{int(clAi), i ∈ I} ⊂ ∪{clAi, i ∈ I}, mà ∪{int(clAi), i ∈ I} là tập
mở nên ∪{int(clAi), i ∈ I} ⊂ int (∪{clAi, i ∈ I}) ⊂ int(cl(∪{Ai, i ∈ I})) Do
đó ∪{Ai, i ∈ I} ⊂ int(cl(∪{Ai, i ∈ I}))
Vậy ∪{Ai, i ∈ I} ⊂ P O(X)
v) Suy từ định nghĩa tập tiền đóng và Nhận xét 1.2.3 iv)
vi) Cho X = {a, b, c} Trên X trang bị tôpô τ = {∅, X, {a, b}} Ta có{a, c} ⊂ int(cl{a, c}) = intX = X, do đó {a, c} là tập tiền mở
{b, c} ⊂ int(cl{b, c}) = intX = X, do đó {b, c} là tập tiền mở
Tuy nhiên {a, c} ∩ {b, c} = {c} không là tập tiền mở vì {c} 6⊂ int(cl{c}) =int{c} = ∅
1.2.4 Định nghĩa ([9]) Giả sử X là không gian tôpô Tập A ⊂ X được gọi
là nửa tiền mở (semi - preopen) nếu A ⊂ cl(int(clA)) Phần bù của tập nửatiền mở là tập nửa tiền đóng (semi - preclosed)
Họ các tập nửa tiền mở trong X được kí hiệu là SP O(X)
Họ các tập nửa tiền đóng trong X được kí hiệu là SP C(X)
1.2.5 Nhận xét ([12]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó
i) Hợp tuỳ ý các tập nửa tiền mở trong X là tập nửa tiền mở;
ii) Giao của họ tuỳ ý các tập nửa tiền đóng trong X là tập nửa tiềnđóng;
iii) SO(X), P O(X) và SP O(X) mịn hơn tôpô τ
Chứng minh i) Giả sử {Ai, i ∈ I} là các tập nửa tiền mở Khi đó ta có Ai ⊂cl(int(clAi)), i ∈ I Từ đó ta có Ai ⊂ cl(int(clAi)) ⊂ cl(int(cl( ∪Ai))), vớimọi i ∈ I Vì thế ta có ∪{Ai, i ∈ I} ⊂ cl(int(cl( ∪{Ai, i ∈ I}))) Do đó
∪{Ai, i ∈ I} là tập nửa tiền mở
Trang 8ii) Suy từ định nghĩa tập nửa tiền đóng và Nhận xét 1.2.5 i).
iii) Lấy bất kì A ∈ τ Khi đó A = intA và ta có A ⊂ clA = cl(intA) Do
đó A ⊂ cl(intA) hayA ∈ SO(X) Vậy τ ⊂ SO(X)
Lấy bất kì A ∈ τ Khi đó A = intA và ta có A ⊂ clA Suy ra A = intA ⊂int(clA) Do đó A ⊂ int(clA) hayA ∈ P O(X) Vậy τ ⊂ P O(X)
Lấy bất kì A ∈ τ Khi đó A = intA và ta có A ⊂ clA = cl(intA) ⊂cl(int(clA)) Do đó A ⊂ cl(int(clA)) hayA ∈ SP O(X) Vậy τ ⊂ SP O(X).1.2.6 Định lý ([8]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó
SO(X) ∪ P O(X) ⊂ SP O(X)
Chứng minh Lấy bất kì A ∈ SO(X) ∪ P O(X) Khi đó A ∈ SO(X) hoặc
A ∈ P O(X)
Nếu A ∈ SO(X), thì A ⊂ cl(intA) mà cl(intA) ⊂ cl(int(clA)) Do đó
A ⊂ cl(int(clA)) suy ra A ∈ SP O(X)
Nếu A ∈ P O(X), thì A ⊂ int(clA) mà int(clA) ⊂ cl(int(clA)) Do đó
A ⊂ cl(int(clA)) suy ra A ∈ SP O(X)
Vậy SO(X) ∪ P O(X) ⊂ SP O(X)
1.2.7 Định nghĩa ([9]) Không gian tôpô X được gọi là dưới cực đại maximal) nếu mỗi tập con trù mật của X là mở
(sub-1.2.8 Định lý ([9]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô Khi đó mỗi tập tiền
mở là mở nếu và chỉ nếu (X, τ ) là dưới cực đại
Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A ⊂ X và clA = X Khi đó ta có A ⊂clA = X = intX = int(clA), kéo theo A ⊂ int(clA) Suy ra A là tập tiền mở.Theo giả thiết điều kiện đủ ta có A mở Vậy (X, τ ) là dưới cực đại
Điều kiện đủ Giả sử A là tập tiền mở trong không gian tôpô (X, τ ) Khi
đó A ⊂ int(clA kéo theo clA ⊂ cl(int(clA)) ⊂ clA hay clA = cl(int(clA)).Đặt B = A ∪ X\int(clA)) Ta có clB = cl(A ∪ X\int(clA))) = clA ∪X\cl(int(clA))) = X Vì (X, τ ) là dưới cực đại, B là tập mở trong X Từ đósuy ra A = int(clA) ∩ B là tập mở trong X
Trang 91.2.9 Định lý ([9]) Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô Khi đó mỗi tập con
là tập tiền mở nếu và chỉ nếu (X, τ ) mỗi tập mở trong (X, τ ) là đóng
Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A là tập mở trong (X, τ ) Khi đó vì clA ⊂
X, nên theo giả thiết ta có clA ⊂ int(clA) Vì A mở nên ta có int(clA) ⊂ A.Suy ra clA ⊂ A Vậy A đóng
Điều kiện đủ Giả sử A là tập con bất kỳ của (X, τ ) Từ giả thiết điềukiện đủ và int(clA) là tập mở ta suy ra int(clA) là tập đóng Vì thế ta suy
Chứng minh a) Giả sử U là tập mở và A là nửa mở trong không gian tôpô
X Khi đó A ⊂ cl(intA) và intU = U Do đó A ∩ U ⊂ cl(intA) ∩ intU =cl(int(A ∩ U )) suy ra A ∩ U ⊂ cl(int(A ∩ U ))
mở nên intU = U Do đó A ∩ U ⊂ cl(int(clA)) ∩ intU ⊂ cl(int(cl(A ∩ U ))(do Bổ đề 1.1.6 a)) suy ra A ∩ U ⊂ cl(int(cl(A ∩ U )))
Vậy A ∩ U là tập nửa tiền mở
Trang 101.2.11 Định lý ([9]) Giả sử A là tập con của không gian tôpô X Khi đóa) A là nửa đóng nếu và chỉ nếu int(clA) ⊂ A;
b) A là tiền đóng nếu và chỉ nếu cl(intA) ⊂ A;
c) A là nửa tiền đóng nếu và chỉ nếu int(cl(intA)) ⊂ A
Chứng minh a) Giả sử A là nửa đóng Khi đó X \A là nửa mở suy ra X \A ⊂cl(int(X \ A)) kéo theo X\ cl(int(X \ A)) ⊂ A Sử dụng Định lý 1.1.5 ta cóX\ cl(int(X \ A)) = int(X\int(X \ A)) = int(clA) Do đó int(clA) ⊂ A.Ngược lại, giả sử A ⊂ X và int(clA) ⊂ A thì X \ A ⊂ X\ int(clA) =cl(X\ clA) = cl(int(X \ A)) suy ra X \ A ⊂ cl(int(X \ A)) Do đó X \ A làtập nửa mở Vậy A là tập nửa đóng
b) Giả sử A là tiền đóng Khi đó X \ A là tiền mở suy ra X \ A ⊂int(cl(X \ A)) kéo theo X\ int(cl(X \ A)) ⊂ A Sử dụng Định lý 1.1.5 ta cóint(cl(X \ A)) = X\ cl(X\ cl(X \ A)) Kéo theo X\ int(cl(X \ A)) = cl(X\cl(X \ A)) = cl(intA) Do đó cl(intA) ⊂ A
Ngược lại, giả sử A ⊂ X và cl(intA) ⊂ A thì X \ A ⊂ X\ cl(intA) = X\cl(X\ cl(X \ A)) = int(cl(X \ A)) suy ra X \ A ⊂ int(cl(X \ A)) Do đó X \ A
là tập tiền mở Vậy A là tập tiền đóng
c) Giả sử A là nửa tiền đóng Khi đó X \ A là nửa tiền mở suy ra X \ A ⊂cl(int(cl(X \A))) kéo theo X\ cl(int(cl(X \A))) ⊂ A Sử dụng Định lý 1.1.5 ta
có cl(int(cl(X \ A))) = cl(int(X\intA)) = cl(X\cl(intA)) = X\int(cl(intA)).Suy ra X\cl(int(cl(X \ A))) = int(cl(intA)) Do đó int(cl(intA) ⊂ A
Ngược lại, giả sử A ⊂ X và int(cl(intA)) ⊂ A thì X \A ⊂ X\ int(cl(intA))
= cl(int(cl(X \ A))) Suy ra X \ A ⊂ cl(int(cl(X \ A))) Do đó X \ A là tậpnửa tiền mở Vậy A là tập nửa tiền đóng
1.2.12 Định nghĩa ([9]) Giả sử X là không gian tôpô và A ⊂ X
Hợp của họ tất cả các tập nửa mở của X được chứa trong A được gọi lànửa phần trong của A và kí hiệu là sintA
Giao của họ tất cả các tập nửa đóng của X chứa A được gọi là nửa baođóng của A và kí hiệu là sclA
Trang 11Hợp của họ tất cả các tập tiền mở của X được chứa trong A được gọi làtiền phần trong của A và kí hiệu là pintA.
Giao của họ tất cả các tập tiền đóng của X chứa A được gọi là tiền baođóng của A và kí hiệu là pclA
Hợp của họ tất cả các tập nửa tiền mở của X được chứa trong A đượcgọi là nửa tiền phần trong của A và kí hiệu là spintA
Giao của họ tất cả các tập nửa tiền đóng của X chứa A được gọi là nửatiền bao đóng của A và kí hiệu là spclA
1.2.13 Định lý ([9]) Giả sử A là tập con của không gian tôpô X Khi đóa) sintA = A ∩ cl(intA);
Chứng minh a) Từ Nhận xét 1.2.3 ii) ta có sintA là tập nửa mở và sintA ⊂
A ∩ cl(intA) Mặt khác ta có intA ⊂ intA ∩ cl(intA) Điều này kéo theointA ⊂ int(A ∩ cl(intA)) và cl(intA) ⊂ cl(int(A ∩ cl(intA))) Vì thế ta có
A ∩ cl(intA) ⊂ cl(int(A ∩ cl(intA))), nghĩa là A ∩ cl(intA) là tập nửa mởnằm trong A Do đó ta có sintA = A ∩ cl(intA)
b) Từ Nhận xét 1.2.3 iii) ta có sclA là tập nửa đóng và sclA ⊃ A ∪int(clA) Mặt khác ta có cl(A ∪ int(clA)) ⊂ clA, nên int(cl(A ∪ int(clA))) ⊂int(clA) Kéo theo int(cl(A ∪ int(clA))) ⊂ A ∪ int(clA) Do đó A ∪ int(clA)
là tập nửa đóng chứa chính nó Vì vậy ta có sclA ⊂ A ∪ int(clA) Suy rasclA = A ∪ int(clA)
Trang 12c) int(pclA) = int(cl(intA)) = scl(intA);
d) cl(pintA) = cl(int(clA)) = sint(clA)
Chứng minh a) Sử dụng Định lý 1.2.13 c) ta có
pint(clA) = clA ∩ int(cl(clA)) = clA ∩ int(clA) = int(clA)
Từ Định lý 1.2.13 b) suy ra int(clA) ⊂ sclA kéo theo int(clA) ⊂ int(sclA).Mặt khác áp dụng Định lý 1.2.13 b) ta có int(sclA) = int(A ∪ int(clA) ⊂int(A ∪ clA) = int(clA) Do đó int(clA) = int(sclA)
Vậy pint(clA) = int(clA) = int(sclA)
b) Sử dụng Định lý 1.2.13 d) ta có
pcl(intA) = intA ∪ cl(int(intA)) = intA ∪ cl(intA) = cl(intA)
Từ Định lý 1.2.13 a) suy ra sintA ⊂ cl(intA) kéo theo cl(sintA) ⊂ cl(intA).Mặt khác áp dụng Định lý 1.2.13 a) ta có
cl(sintA) = cl(A ∩ cl(intA) ⊂ clA ∩ cl(cl(intA)) = clA ∩ cl(intA) = cl(intA)
Do đó cl(intA) = cl(sintA)
Vậy pcl(intA) = cl(intA) = cl(sintA)
c) Từ Định lý 1.2.13 b) suy ra scl(intA) = intA ∪ int(cl(intA)) = int(cl(intA))
Từ Định lý 1.2.13 d) suy ra cl(intA) ⊂ pclA kéo theo int(cl(intA)) ⊂ int(pclA)
Sử dụng Bổ đề 1.1.6 b) ta có
int(pclA) = int(A ∪ cl(intA)) ⊂ intA ∪ cl(intA) ⊂ cl(intA) suy raint(pclA) ⊂ int(cl(intA)) Do đó int(cl(intA) = int(pclA)
Vậy int(pclA) = int(cl(intA)) = scl(intA)
d) Từ Định lý 1.2.13 a) suy ra sint(clA) = clA ∩ cl(int(clA)) = cl(int(clA))
Từ Định lý 1.2.13 c) suy ra pintA ⊂ int(clA) Do đó cl(pintA) ⊂ cl(int(clA))
Sử dụng Bổ đề 1.1.6 a) ta có cl(pintA) = cl(A ∩ int(clA)) ⊃ clA ∩int(clA) = int(clA) suy ra cl(pintA) ⊃ cl(int(clA))
Do đó cl(pintA) = cl(int(clA))
Vậy cl(pintA) = cl(int(clA)) = sint(clA)
1.2.15 Định lý ([8]) Giả sử A là tập con của không gian tôpô X Khi đóa) scl(pintA) = int(clA);
Trang 13scl(pclA) = pclA ∪ int(cl(pclA)) = pclA ∪ int(clA) = pclA ∪ sclA.
b) Vì τ ⊂ P O(X) nên intA ⊂ pintA ⊂ A suy ra int(pintA) = intA Sửdụng 1.2.13 d) ta có
pcl(pintA) = pintA ∪ cl(int(pintA)) = pintA ∪ cl(intA)
1.2.17 Mệnh đề ([11]) Giả sử A là tập con của không gian tôpô X Khi đóa) scl(sintA) = sintA ∪ int(cl(intA));
b) pcl(pintA) = pintA ∪ cl(intA);
c) spcl(spintA) = spint(spclA);
d) int(sclA) = pint(clA) = pint(sclA) = scl(pintA) = int(clA);
e) int(pclA) = scl(intA) = spcl(intA) = int(spclA) = int(cl(intA))
1.2.18 Định lý ([13]) Nếu A là tập con của không gian tôpô X, thì cáckhẳng định sau là tương đương
i) A là tiền mở;
ii) Nửa bao đóng của A tập mở chính quy;
iii) A là giao của tập mở và tập trù mật;
iv) A là giao của tập mở chính quy và tập trù mật;
v) A là tập con trù mật của không gian con mở chính quy;
vi) A là tập con trù mật của không gian con mở;
Trang 14vii) A là tập con trù mật của không gian con tiền mở;
viii) sclA = int(clA);
ix) Tồn tại một tập mở chính quy F chứa A sao cho clA = clF
1.2.19 Bổ đề ([13]) Giả sử X là không gian tôpô và A, B là các tập concủa X Nếu A là nửa mở và B là tiền mở, thì A ∩ B là nửa mở trong B vàtiền mở trong A
1.2.20 Mệnh đề ([13]) Giả sử X là không gian tôpô và A, B là các tập concủa X Khi đó
a) Nếu A là tiền mở và B là đóng chính quy (tương ứng, mở chính quy)thì A ∩ B) là đóng chính quy (tương ứng, mở chính quy) trong không giantiền mở A;
b) Nếu A là tiền mở thoả mãn B ⊂ A ⊂clB, thì B cũng là tiền mở;c) Tập A là mở chính quy nếu và chỉ nếu A là nửa đóng và tiền mở;d) Nếu A là tiền mở và B là nửa mở, thì A ∩ clB = cl(A ∩ intB)=cl(A ∩ B) = cl(A ∩ clB) = cl(int(clA ∩ B))
Trang 15TÔPÔ SINH BỞI CÁC TẬP TIỀN MỞ
2.1 KHÔNG GIAN TÔPÔ (X, τγ)
2.1.1 Định nghĩa ([9]) Tập con A của không gian tôpô X được gọi là γ tập nếu A ∩ B ∈ P O(X) với mọi tập tiền mở B
-Họ tất cả các γ - tập trong X được kí hiệu là τγ
2.1.2 Nhận xét ([3]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó τγ là tôpô trên
X và τγ mịn hơn τ
Chứng minh Hiển nhiên ∅ ∈ τγ và X ∈ τγ
Giả sử {As, s ∈ S} ⊂ τγ thì As ∩ B ∈ P O(X), với mọi B ∈ P O(X) vàvới mọi s ∈ S Do đó theo Nhận xét 1.2.3 (∪As) ∩ B = ∪(As∩ B) ∈ P O(X),với mọi B ∈ P O(X) hay ∪As ∈ τγ
Giả sử C, D ∈ τγ thì (C ∩ D) ∩ B = C ∩ (D ∩ B) ∈ P O(X), với mọi
B ∈ P O(X) hay C ∩ D ∈ τγ
Vậy τγ là tôpô trên X
Bây giờ với bất kì A ∈ τ suy ra A mở trong không gian tôpô (X, τ ) Khi
đó nhờ Định lý 1.2.10 ta có A ∩ B ∈ P O(X), với mọi B ∈ P O(X) Do đó
A ∈ τγ Vậy τ ⊂ τγ
2.1.3 Định nghĩa ([9]) Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ )
Kí hiệu bao đóng (phần trong) của tập A trong không gian tôpô (X, τγ)
là clγA (tương ứng, intγA)
Kí hiệu lớp các tập đóng trong không gian tôpô (X, τγ) là Fγ
2.1.4 Định lý ([9]) Với mọi tôpô τ trên X ta có τγ ⊂ P O(X, τ )
15