Một số tính chất tôpô của các tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHHOÀNG VĂN QUÝ MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔPÔ CỦA CÁC TẬP FRACTAL SINH BỞI HỆ HÀM LẶP HỮU HẠN TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG VĂN QUÝ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔPÔ CỦA CÁC TẬP FRACTAL SINH BỞI HỆ HÀM LẶP HỮU HẠN

TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HOÀNG VĂN QUÝ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT TÔPÔ CỦA CÁC TẬP FRACTAL SINH BỞI HỆ HÀM LẶP HỮU HẠN

TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ THỊ HỒNG THANH

Nghệ An - 2015

Mục lục

Lời mở đầu 3

Chương 1 Hệ hàm lặp mêtric và tập Fractal 6

1.1.Một số kiến thức cơ sở 6

1.2.Hệ hàm lặp mêtric và tập Fractal 9

1.3.Không gian dịch chuyển và phép chiếu chính tắc 14

Chương 2 Một số tính chất tôpô của các tập Fractal 20

2.1.Tính liên thông và liên thông đường 20

2.2.Tính liên thông đường địa phương và hoàn toàn không liên thông 27

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

Lời mở đầu

Hình học Fractal là một lĩnh vực mới mẻ và hấp dẫn Nó được khởixướng vào giữa những năm 70 của thế kỷ XX mà người đi tiên phongtrong lĩnh vực này là B Mandelbrot Đối tượng nghiên cứu của nó làcác tập fractal Năm 1981, J E Hutchinson ([9]) đã đưa ra một cách chỉ

ra tập fractal khá đơn giản Ông chỉ ra rằng cứ có một họ hữu hạn cácánh xạ co trên Rn thì luôn sinh ra một tập fractal Ta gọi họ đó là hệhàm lặp (Iterated Function System - IFS) và tập bất biến qua ánh xạsinh bởi hệ hàm lặp này người ta gọi là tập fractal Năm 1993, M F.Barnsley ([8]) phát triển và sử dụng một cách rộng rãi ý tưởng cổ điểnnày của J E Hutchinson Đã có rất nhiều nỗ lực để mở rộng ý tưởngkhởi đầu này lên không gian tổng quát hơn Rn chẳng hạn là khônggian mêtric nói chung hay không gian tôpô, hay mở rộng họ hữu hạnánh xạ thành họ vô hạn ánh xạ, cũng như mở rộng việc nghiên cứuchiều và độ đo Hausdorff sang nghiên cứu các tính chất tôpô (tính liênthông, liên thông đường, liên thông địa phương, ) của tập fractal.Năm 2010, [4], D Dumitru đã khởi xướng nghiên cứu một số điều kiệncần, điều kiện cần và đủ để tập bất biến qua hệ hữu hạn ánh xạ hoặc

hệ vô hạn ánh xạ trên không gian mêtric có tính chất liên thông, liênthông địa phương, liên thông đường Sau đó, một số nhà toán họccũng tập trung nghiên cứu theo hướng này Vì thế, để tập duyệt vớiNCKH và nghiên cứu các tính chất tôpô của các tập bất biến qua họ

hữu hán các ánh xạ co trên không gian mêtric với tên đề tài là:

“Một số tính chất tôpô của các tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp hữu

hạn trên không gian mêtric”.

Mục đích của luận văn là thông qua các tài liệu tìm hiểu và trình bàymột cách có hệ thống các kết quả và các chứng minh cần thiết về sự tồntại tập Fractal sinh bởi hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian mêtric,đồng thời tìm hiểu các tính chất tôpô của tập Fractal sinh bởi hệ hàmlặp này và tìm các ví dụ minh họa cho các tính chất tôpô đó

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung củaluận văn được viết trong hai chương

• Chương 1: Hệ hàm lặp mêtric và tập fractal Trong chương này

chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở cần dùng cho toàn luậnvăn như, trình bày về hệ hàm lặp mêtric, không gian dịch chuyển

và phép chiếu chính tắc

• Chương 2: Một số tính chất tôpô của các tập fractal Trong chương

này chúng tôi trình bày một số tính chất tôpô của các tập fractal:Tính liên thông, liên thông đường, liên thông đường địa phương

và hoàn toàn không liên thông

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Vũ Thị HồngThanh Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô người đã tận tìnhhướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các Thầy, Côgiáo trong tổ Giải tích khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại Học Vinh

đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn này

Mặc dù em đã cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Em rất mong nhận được sự góp ý và chỉ bảo của quý Thầy,

Chương 1

Hệ hàm lặp mêtric và tập Fractal

Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần dùngtrong toàn luận văn như: Khái niệm liên thông, liên thông đường, liênthông đường địa phương, thành phần liên thông, tập hoàn toàn khôngliên thông Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày chi tiết các khái niệmliên quan đến hệ hàm lặp mêtric, tâp fractal, không gian dịch chuyển

và phép chiếu chính tắc

1.1 Một số kiến thức cơ sở

Trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm về tập liên thông,liên thông địa phương, liên thông đường, liên thông đường địa phương,thành phần liên thông, họ liên thông cùng một số ví dụ minh họa

1.1.1 Định nghĩa [6].Cho (X, d) là không gian mêtric Khi đó

i) Họ{Gi : i ∈ I}các tập con của X được gọi là một phủ của tập A ⊂ Xnếu A ⊂ S

tại một tập con đếm được trù mật trong X, nghĩa là tồn tại A ⊂ X mà

A đếm được và A = X

1.1.2 Định nghĩa ([4]). Không gian mêtric (X, d) được gọi là liên thông

nếu X không thể biểu điễn được dưới dạng hợp của hai tập mở khácrỗng rời nhau Ngược lại,(X, d) được gọi là không liên thông.

1.1.3 Ví dụ. Các tập lồi là các không gian liên thông

1.1.4 Định nghĩa ([3]).Không gian mêtric(X, d)đượng gọi là liên thông

địa phươngnếu với mỗi x ∈ X, mỗi lân cận U của x thì luôn có một lâncân liên thông V của x sao cho U ⊂ V

1.1.5 Ví dụ. i) Mỗi khoảng và tia trên đường thẳng thực là liên thôngđịa phương

ii) Không gian con [−1, 0) ∪ (0, 1] của R không liên thông nhưng nó

liên thông địa phương

1.1.6 Định nghĩa ([2]). Không gian mêtric (X, d) được gọi là liên thông

đườngnếu với mỗi x, y ∈ X luôn tồn tại hàm liên tục ϕ : [0, 1] → X sao

cho ϕ(0) = x, ϕ(1) = y

1.1.7 Ví dụ Rn với khoảng cách Euclide liên thông đường; Các hìnhcầu, các tập mở trongRn đều là các tập liên thông đường

1.1.8 Nhận xét.i) Nếu X liên thông đường thì X liên thông

ii)Tồn tại tập liên thông nhưng không liên thông đường

Chứng minh: i) Giả sử X liên thông đường nhưng không liên thông.Khi đó tồn tại ít nhất hai thành phần liên thông rời nhau là A, B Lấy

x ∈ A và y ∈ B Do X liên thông đường nên tồn tại ánh xạ liêntục f : [0, 1] → X với f(0) = x, f(1) = y Vì [0, 1] liên thông và

f liên tục nên f([0, 1]) liên thông trong X Do đó f([0, 1]) ⊂ A hoặc

f([0, 1]) ⊂ B Dẫn đến x, y ∈ A hoặc x, y ∈ B Điều này mâu thuẫn với

x ∈ A, y ∈ B, A∩B = ∅ Vậy, X liên thông

ii) Xét X = Y∪Z với Y = {(0, y) : y ∈ R} ⊂ R2 tức Y là trục tung

và Z = {(x, sin 1

x) : 0 < x ≤ 1} ⊂ R2

là đồ thị hàm số y = sin 1x trên nửa khoảng (0, 1]

Ta sẽ chỉ ra X liên thông nhưng không liên thông đường

Ta có (0, 0) ∈ Z và (0, 0) ∈ Y nên Y∩ Z 6= ∅ và Y liên thông nên

Y∩Z liên thông vì giới hạn của các dãy điểm của Z đề nằm trong Ynên Y∩Z = Y∩Z Vậy, X =Y∩Zliên thông

Bây giờ ta chứng minh X không liên thông đường Giả sử ngược lại,

X liên thông đường Khi đó, với x = (0, 0), y = (1, sin1) ∈ X luôntồn tại ánh xạ f : [0, 1] → X sao cho f(0) = x và f(1) = y Lấy

t0 = inf{t : f(t) ∈ Z}, với t < t0 thì f(t) ∈ Y và Y là đóng nên theotính liên tục của f ta có f(t0) ∈ Y

Từ định nghĩa của in f imum ta có: Với mỗi δ > 0, luôn tồn tại 0 < r < δ

sao cho ω(t0 +r) = (a, sin 1a) ∈ Z với a nào đó Khi đó, phép chiếu

f([t0, t0+r]) lên 0x chứa 0, a với X là tập liên thông nên nó chứa cảđoạn[0, a] Nói riêng f([t0, t0+δ])chứa f([t0, t0+r])và chứa các điểm

(t, x) và (t0, 1) Điều này đúng với mọi δ do đó f không liên thông tại

t0 (mâu thuẫn)

Vậy, X không liên thông đường

1.1.9 Định nghĩa ([4]). Cho X 6= ∅, A ⊂ X Tập A được gọi là thành

phần liên thông của X nếu nó là tập liên thông lớn nhất trong X

1.1.10 Nhận xét. i) Mọi tập con liên thông của X đều được chứa trongmột thành phần liên thông của X.

ii) Mỗi thành phần liên thông của X là đóng

iii) Mỗi tập con liên thông của X mà vừa đóng, vừa mở thì sẽ làthành phần liên thông của X

1.1.11 Định nghĩa ([5]).Không gian mêtric(X, d) được gọi là liên thông

đường địa phương nếu với mỗi điểm x ∈ X đều có một lân cận là tậpliên thông đường

1.1.12 Ví dụ.i)Rn là liên thông đường địa phương

ii) Tất cả các tập mở trong không gian định chuẩn là liên thông đườngđịa phương

1.1.13 Định nghĩa ([4]). Họ (Ai)i∈I các tập con khác rỗng của X được

gọi là liên thông (connected) nếu với mỗi i, j ∈ I tồn tại (ik)k=1,n ⊂ I saocho i1 = i, in = j và Aik ∩Aik+1 6= ∅ với k ∈ {1, 2, , n−1}

1.1.14 Ví dụ. Trong R2 xét họ các tập (Ai)i∈N, với Ai = [i, i+1] ×[i, i+1] Khi đó, họ (Ai)i∈N liên thông.

1.2 Hệ hàm lặp mêtric và tập Fractal

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm: ánh xạ co, ánh

xạ Lipschits, hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian metric, sự tồn tại vàcách xây dựng tập bất biến qua hệ hữu hạn ánh xạ co và các ví dụ

1.2.1 Định nghĩa ([5]).Cho(X, d) là không gian mêtric, A 6= ∅, A ⊂ X,với mỗi x ∈ X ta đặt

1 d(x, A) = in f{d(x, y) : y ∈ A}và được gọi là khoảng cách từ phần

tử x đến tập A

2 d(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} và được gọi là đường kính của tập

A

3 Cho trước một số thực dương δ, kí hiệu A δ = {x ∈ X : d(x, a) ≤

δ} được gọi là δ - bao của A.

4) Bây giờ ta cần chứng minh h(A, B) ≤ h(A, C) + h(C, B) với mọi

Tương tự

d(B, A) ≤ d(B, C) +d(C, A).Suy ra

h(A, B) = max{d(B, A), d(A, B)} ≤ max{d(A, C) +d(C, B), d(B, C) +d(C, A)}

≤ max{d(A, C), d(C, A)} +max{d(C, B), d(B, C)} = h(B, C) +h(A, C)

Vậy h là một mêtric trên K(X)

1.2.3 Nhận xét: i) Nếu thay K(X) bởi P (X) thì h chỉ là nửa mêtric,

nghĩa là tồn tại A, B ∈ P (X), A, B 6= ∅ mà h(A, B) = 0 nhưng A 6= B

ii) Nếu (X, d) là không gian mêtric đầy đủ thì (K(X), h) là không

gian mêtric đầy đủ

iii) Nếu(X, d) là không gian mêtric compact và tách thì(K(X), h)là

không gian mêtric compact và tách

1.2.4 Định nghĩa ([5]).Cho (X, d) là không gian mêtric Khi đó h được

xác định như trong Mệnh đề 1.2.2 được gọi là mêtric Hausdorff-Pompeiu.

1.2.5 Định nghĩa ([6]). Cho (X, d) là không gian mêtric và ánh xạ f :

Nếu Lip(f) < +∞ thì f được gọi là ánh xạ Lipschitz.

Nếu Lip(f) < 1 thì f được gọi là ánh xạ co.

1.2.6 Mệnh đề ([7]) Cho (X, d) và (Y, d0) là hai không gian mêtric và hX :

P (X) × P (X) → R+ được xác định như trong Mệnh đề 1.1.2 Khi đó, ta có

1 Nếu H, K là hai tập con khác rỗng của X thì hX(H, K) = hX(H, K).

2 Nếu (Hi)i∈I,(Ki)i∈I là hai họ các tập con khác rỗng của X thì

3 Nếu H, K là hai tập con khác rỗng của X và f : X → Y khi đó,

hX(f(K), f(H)) ≤ Lip(f).hX(K, H)

4 Nếu (Hn)n≥1 ⊂ P (X), H ∈ P (X) sao cho hX(Hn, H) → 0 Khi đó,

x ∈ H nếu và chỉ nếu tồn tại xn ∈ Hn, n ≥ 1 sao cho xn → x

5 Nếu (Hn)n≥1 ⊂ P (X) la dãy các tập con compact tương đối và H ∈

P (X) là tập sao cho hX(Hn, H) → 0 thì H cũng là tập compact trương

đối.

6 Nếu (Hn)n≥1 ⊂ P (X) la dãy các tập con liên thông, compact và H ∈

P (X) là tập đóng sao cho hX(Hn, H) →0 thì H cũng là tập liên thông,

compact.

1.2.7 Định nghĩa ([5]). Cho (X, d) là không gian mêtric và fi : X → X

với i ∈ {1, 2, , n} là các ánh xạ co Khi đó, (fk)k=1,n được gọi là một

hệ hàm lặp (Iterated Function System - IFS) trên X và kí hiệu là S =(X,(fk)k=1,n)

1.2.8 Định nghĩa ([3]). Cho hệ hàm lặp S = (X,(fk)k=1,n) Khi đó, ánhxạ

Lip(FS) ≤ max

k = 1,n

Lip(fk)

Chứng minh.Ta có

1.2.10 Định lí ([4]) Cho(X, d)là không gian mêtric đầy đủ, S = (X,(fk)k=1,n)

là IFS trên X với c = max

k = 1,n

Lip(fk) < 1 Khi đó, tồn tại duy nhất A ∈ K(X)

sao cho FS(A) = A Hơn nữa, với bất kì H0 ∈ K(X) thì dãy (Hn)n≥1 được xác định bởi Hn+ 1 = FS(Hn) hội tụ về A theo mêtric h trên K(X) với tốc độ hội tụ ước tính là

h(Hn, A) ≤ cn

1−ch(H0, H1).

Chứng minh. Vì (X,d) là không gian mêtric đầy đủ nên theo Nhận xét1.2.3 thì (K(X), h) là không gian mêtric đầy đủ và theo Mệnh đề 1.2.9thì FS là ánh xạ co Khi đó, theo nguyên lí ánh xạ co Banach, ta có: Tồntại duy nhất tập A ∈ K(X) thỏa mãn FS(A) = A Ta có

1.2.11 Định nghĩa ([8]). Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và

S = (X,(fk)k=1,n) là IFS Tập A trong Định lí 1.2.10 được gọi là tập bất

biến (tập hút, tập Fractal) của hệ hàm lặp S= (X,(fk)k=1,n)

1.2.12 Định lí ([6]) Cho(X, d)là không gian mêtric đầy đủ và S = (X,(fk)k=1,n)

là IFS với c = max

1.3 Không gian dịch chuyển và phép chiếu chính tắc

Trong phần này chúng tôi trình bày mọt số kí hiệu cần dùng trongChương 2 và các khái niệm liên quan đến không gian dịch chuyển vàphép chiếu chính tắc

Kí hiệu |ω| là độ dài của ω.

Cho α ∈ ∧n, β ∈ ∧m Kí hiệu αβ là sự ghép của α và β Cụ thể là

Khi đó, dS là một mêtric trên ∧

Chứng minh.Để chứng minh dSlà một mêtric trên∧ta cần chứng minh

dS thõa mãn các điều kiện sau

Vậy dS là một mêtric trên ∧.

1.3.3 Nhận xét. (Λ, ds) là không gian mêtric, compact

1.3.4 Định nghĩa ([4]). Bộ (Λ, ds) được gọi là không gian dịch chuyển (shift space hoặc code space).

Mệnh đề sau cho ta thấy chi tiết cách xây dựng và sự tồn tại của tập bấtbiến qua hệ hàm lặp hữu hạn trên không gian mêtric

1.3.5 Mệnh đề ([4]) Cho(X, d)là không gian mêtric đầy đủ S = (X,(fk)k=1,n)

là IFS trên X và A là tập bất biến qua S Khi đó, ta có

m iii) A = A(s) = S

∈ ΛAω.

Giả sử diều cần chứng minh đúng với m, nghĩa là A =

Vì BΛ(ω, 31m) ⊆ {α ∈ Λ: [ω]m = [α]m}nên ta có

BΛ(ω,31m) ⊆ Λ[ω]m = {α ∈ Λ : [ω]m = [α]m}

⊆ Π− 1(Λ[ω]m) ⊆ Π− 1(BX(a, ε)).Nghĩa là Π(BΛ(ω,31m)) ⊂ BX(a, ε) Do đó, Π liên tục

Từ ii) và iii), ta có Π(Λ) = Anên Π là toàn ánh

1.3.6 Định nghĩa ([4]). Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ S =(X,(fk)k=1,n) là IFS trên X và A là tập bất biến qua S Khi đó, hàm

Π : Λ → A được xác định như trong Định lí 1.3.6 được gọi là phép

chiếu chính tắctừ không gian dịch chuyểnΛ lên tập bất biến A

2.1 Tính liên thông và liên thông đường

2.1.1 Định lí ([4]) Cho(X, d) là không gian mêtric đầy đủ, A là tập bất biến của IFS S = (X,(fk)k=1,n) Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.

1 Ai = fi(A) liên thông đường với mỗi i ∈ {1, 2, , n}.

2 Ai = fi(A) liên thông với mỗi i ∈ {1, 2, , n}.

3 Aω = fi1 ◦ fi2 ◦ ◦ fim(A) liên thông đường với m ∈ N∗.

4 Aω = fi1 ◦ fi2 ◦ ◦ fim(A) liên thông với m ∈ N∗.

Chứng minh Từ Nhận xét 1.1.8(i) ta có 1) ⇒ 2) và 3) ⇒ 4)

Rõ ràng ta có 3) ⇒1) và 4) ⇒2)

Do đó ta cần chứng minh

1) ⇒3)

2) ⇒1).Trước hết, ta chứng minh 1) ⇒3) Ta chứng minh Ai liên thông đườngvới mọi i = 1, n thì Aω liên thông đường với mọi m ∈ N∗, ω =

dP(f , g) = sup

( x,y,t )∈ A × A ×[ 0,1 ]

{d(f(x, y, t), g(x, y, t))}

Suy ra(P, dP) là không gian mêtric đầy đủ

Lấy i ∈ {1, 2, , n} cố định, với mỗi (p, q) ∈ Ai ×Ai luôn tồn tại np,q ∈{1, 2, , n} và {ip,q} ⊂ {1, 2, , n} và {xp,q} ⊂ A sao

cho p = x0p,q; q = xnp,qp,q và xkp,q, xkp,q+1 ∈ Aiip,q

k ,∀k ∈ {0, 1, , np,q−1}.Bây giờ, với mỗi f ∈ Pta xác định một hàm Tf ∈ P như sau:

Tf(p, q, t) = fi(f(ykp,q, zkp,q, np,q.t−k))

với ∀t ∈ [nkp,q; kn+p,q1]; ykp,q ∈ fi−1(xkp,q) ∈ Aip,q

k ; zkp,q ∈ fi−1(xkp,q+1) với mỗi

k ∈ {0, 1, , np,q−1}

Ta kí hiệu Tof = f ; Tmf = Tf ◦Tf ◦ ◦Tf với m ∈ N∗ Khi đó,

dP(Tf, Tg) ≤ c.dP(f , g)và bằng quy nạp ta chứng minh được dP(Tmf , Tgm) ≤

cm.dP(f , g) → 0 khi n → ∞ với mọi f , g ∈ P.

Suy ra tồn tại f∗ ∈ Pđể Tmf → f∗ khi m → ∞ (vì nó là dãy Cauchytrong không gian mêtric đầy đủ)

Vậy Ai liên thông đường

2.1.2 Nhận xét.Cho(X, d)là không gian mêtric đầy đủ, S = (X,(fi)i=1,n)

là IFS và A là tập bất biến của S Với mỗi i ∈ {1, , n}nếu Ai liên thôngthì A = Sn