Một số tính chất của nhóm tôpô giải được địa phương

2, Tính hữu hạn địa phơng tôpô của nhóm tôpô giải đợc địa phơng 3, Nhóm con xoắn trừu tợng cực đại trong nhóm tôpô giải đợc địa phơng Trong toàn bộ luận văn này nhóm tôpô đợc nghiên cứu

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng Đại học vinh

Bộ giáo dục và đào tạoTrờng Đại học vinh

Lê Thị Ngọc Tú

Một số tính chất của nhóm tôpô giải đợc địa phơng

Chuyên ngành: Đại số- lý thuyết số Mã số :

Luận văn thạc sĩ toán học

Ngời hớng dẫn khoa học:

GS-TS :Nguyễn Quốc Thi

Vinh- 2004

Trong khóa luận tốt nghiệp đại học tôi đã đề cập đến hai lớp nhóm trên

và cũng đã đạt đợc một số kết quả nhất định

Tuy nhiên mục đích chính của luận văn thạc sĩ này là nghiên cứu nhómtôpô không giải đợc, mà chỉ giải đợc đối với nhóm con tôpô hữu hạn sinh.Vìthế nội dung nghiên cứu lớp nhóm này phong phú hơn nhiều so với lớp nhómgiải đợc

Nhóm tôpô giải đợc địa phơng đợc xếp vào một trong những lớp nhóm cơbản của lý thuyết nhóm trừu tợng cũng nh lý thuyết nhóm tôpô Việc nghiêncứu lớp nhóm tôpô giải đợc địa phơng đã đợc nhiều nhà toán học dày côngnghiên cứu và kết quả thu đợc cũng rất phong phú, nhng nội dung của nó khárộng nên còn nhiều vấn đề cha đợc nghiên cứu hoặc mới đợc nghiên cứu nhngcòn rất ít

Trong phạm vi luận văn này tôi đi vào nghiên cứu sâu một số tính chấtcủa nhóm tôpô giải đợc địa phơng nh :

1, Tính chất giải đợc và tính chất compact của nhóm tôpô giải đợc địa phơng

2, Tính hữu hạn địa phơng tôpô của nhóm tôpô giải đợc địa phơng

3, Nhóm con xoắn trừu tợng cực đại trong nhóm tôpô giải đợc địa phơng

Trong toàn bộ luận văn này nhóm tôpô đợc nghiên cứu đều là nhómcompact địa phơng (Nếu không nói gì thêm ta hiểu đó là nhóm compact địaphơng )

Trên cơ sở đó nội dung của luận văn bao gồm:

Phần mở đầu, 3 chơng và phần kết luận Ngoài phần mở đầu nêu xuất xứ vấn

đề và đặt vấn đề nghiên cứu, cả 3 chơng là phần chính của luận văn, trong đótrình bày tỉ mỉ, lần lợt các cơ sở lý luận, phơng pháp và kỹ thuật đã sử dụngcùng với các kết quả chính đã đạt đợc Phần kết luận sau cùng là những nhậnxét liên quan đến các vấn đề đã giải quyết trong luận văn, đồng thời nêunhững vấn đề gợi mở cần tiếp tục suy nghĩ và nghiên cứu

Chơng I: Gồm 3 tiết:

 Tiết đầu nêu lên các kết quả của Yamabe ( [4],[5] ), định lý Cartan –Meltsev – Iwasawa tổng quát để làm cơ sở lập luận chính không chỉcho chơng này mà cho cả toàn bộ luận văn

 Tiết thứ hai trình bày về tính chất giải đợc của nhóm tôpô giải đợc địaphơng, ở tiết này chúng tôi xét điều kiện đặc trng giải đợc của nhóm

tôpô giải đợc địa phơng và chúng tôi đã chỉ ra đợc điều kiện để nhóm tôpô G giải đợc địa phơng là giải đợc khi nhóm thơng

0

G

G là nhóm

hữu hạn Trong đó G 0 là thành phần liên thông của đơn vị e  G.

 Tiết thứ ba trình bày về tính chất compact của nhóm tôpô giải đợc địa

ph-ơng Trong tiết này chúng tôi xét điều kiện để nhóm tôpô G compact sinh ra là nhóm compact; và đã chỉ ra đợc rằng nhóm tôpô G compact sinh ra là compact khi trong G có nhóm con H giải đợc địa phơng, xoắn tôpô trù mật và rút ra một nhận xét thú vị là trong nhóm giải đợc địa phơng, xoắn tôpô thì tính chất compact sinh ra và compact là trùng nhau.

Chơng II:

Trình bày về tính hữu hạn địa phơng tôpô của nhóm tôpô giải đợc địa

ph-ơng Trong phần đầu của chph-ơng này chúng tôi nghiên cứu tính hữu hạn địaphơng trừu tợng của nhóm xoắn trừu tợng, giải đợc địa phơng và sau đó mởrộng ra đối với nhóm xoắn tôpô giải đợc địa phơng và đã chứng minh đợc định

lý “Nhóm xoắn tôpô, giải đợc địa phơng là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô”.

Chơng III :

Trình bày về nhóm con xoắn trừu tợng cực đại của nhóm tôpô giải đợc

địa phơng và mối liên hệ giữa chúng, đặc biệt chúng tôi chú trọng đến sự liênhợp của các nhóm con xoắn trừu tợng cực đại Chúng tôi đã chứng minh đợc

rằng trong lớp nhóm tôpô giải đợc địa phơng nếu nhóm thơng

G compact xoắn trừu tợng thì khi đó các nhóm

con xoắn trừu tợng cực đại liên hợp với nhau trong G.( trong đó G 0 là thành

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong tổ Đại số – Khoa toán

ĐHV đã dìu dắt tác giả trong những năm học đại học và cao học, cũng nh đãhết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn

Tác giả cũng xin cảm ơn Khoa sau đại học - ĐHV đã tạo nhiều điều kiệnthuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn của mình.

Cũng nhân dịp này tác giả xin cảm ơn các bạn học viên trong lớp Cao học

10 - Đại số đã giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này

Vì thời gian có hạn, bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không thểtránh khỏi những thiếu sót Kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn

Tác giả

Vinh 11/2004

Chơng I Tính chất giải đợc và tính chất compact của

nhóm tôpô giải đợc địa phơng

Các tính chất giải đợc và tính chất compact có một vai trò quan trọng đốivới nhóm tôpô nói chung và đối với lớp nhóm tôpô giải đợc địa phơng nóiriêng, bởi chúng có khá nhiều đặc tính tốt, vì thế có ứng dụng rộng rãi trong

lý thuyết nhóm trừu tợng và lý thuyết nhóm tôpô

Chơng này dành cho việc chứng minh các định lý sau:

“Giả sử G là nhóm tôpô giải đợc địa phơng với nhóm thơng

Để chứng minh các định lý này, chúng tôi dựa vào các kết quả củaYamabe Phần cuối chơng trình bày ví dụ để chứng tỏ rằng không thể bỏ qua

một điều kiện nào của định lý 1.3.2 ( H là nhóm con xoắn tôpô là điều kiện

cần )

Và chúng tôi đã đa ra một số kết quả rút ra từ định lý 1.3.2

1.1 Các kết quả của yamabe ( [4], [5] )

Nh đã biết ở giáo trình nhóm tôpô (Chuyên đề cao học – Lê Quốc Hán )

đã trình bày “ Mỗi nhóm compact là giới hạn xạ ảnh của một dãy nhóm lie”

Tiết này sẽ trình bày tóm tắt các kết quả của Yamabe ([4], [5] ) về nhóm

compact địa phơng G với nhóm thơng

1.1.3 Mệnh đề Giả sử G là nhóm lie với một số hữu hạn thành phần

liên thông Khi đó nhóm con compact bất kỳ của G đợc chứa trong nhóm con compact tối đại nào đó của G Tất cả các nhóm con compact tối đại liên hợp với nhau Nếu B là một trong số chúng, thì

G = B.H 1 H 2 H 3 …H H r , trong đó H i (i = 1,2, …H ,r ) là các nhóm vectơ một chiều, hơn nữa ánh xạ :

r

r B H H H H

H H B

f :  1 2    1. 2

là đồng phôi.

*Từ định lý Yamabe thứ nhất và mệnh đề trên ta có định lý sau:

Giả sử G là nhóm compact địa phơng với thơng

G = B.H 1 H 2 H 3 …H H r , trong đó H i (i = 1,2, …H ,r ) là các nhóm vectơ một chiều, và ánh xạ tự nhiên:

r B H H H H

H H B

f :  1 2    1. 2

là đồng phôi.

ph-ơng

Nhóm tôpô giải đợc hiển nhiên là nhóm tôpô giải đợc địa phơng nhng

điều ngợc lại thì cha phải bao giờ cũng đúng

Trong tiết này ta nghiên cứu điều kiện để nhóm tôpô giải đợc địa phơng

là nhóm tôpô giải đợc

1.2.1 Định nghĩa.

* Nhóm G là nhóm giải đợc nếu dãy đạo nhóm của G sau một số bớc hữu

hạn phải dừng tại nhóm con đơn vị :

G G ’  G ’ ’   G (n-1)  G n = e

* Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm tôpô giải đợc nếu nhóm trừu tợng G là

nhóm giải đợc

1.2.2 Định nghĩa Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm tôpô giải đợc địa

ph-ơng nếu nh mọi bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh đều là nhóm tôpô giải

Do G 0 là nhóm con của nhóm giải đợc nên G 0 là nhóm giải đợc

Do mọi phần tử của G đều là phần tử compact nên G 0 cũng là nhóm xoắntôpô

Hiển nhiên rằng G 0 là nhóm liên thông

Vậy G 0 là nhóm liên thông, giải đợc, xoắn tôpô Nên G 0 là nhóm compact

Vậy G 0 là nhóm liên thông, giải đợc, compact nên G 0 là xuyến tôpô

1.2.5 Mệnh đề Nhóm lie, liên thông giải đợc địa phơng có nhóm con

hữu hạn sinh trù mật.

Chứng minh Xem [2].

1.2.6 Định lý Giả sử G là nhóm tôpô giải đợc địa phơng với nhóm thơng

Nhng bất kỳ nhóm lie liên thông nào cũng có nhóm con trù mật hữu hạnsinh ([2]), nên nhóm 0



G là nhóm tôpô giải đợc liên thông Vậy nếu G 0 lànhóm compact thì 0



G là xuyến lie, khi đó G 0 là xuyến

Giả sử G 0 không phải là nhóm compact theo định lý Yamabe thứ nhất [4],

trong nhóm G 0 có ớc chuẩn K compact để nhóm thơng

K

G0 là nhóm lie, ta

gọi K 0 là thành phần liên thông của đơn vị e  K Theo chứng minh trên K 0 là

xuyến bất biến trong G 0 , nên K 0 thuộc tâm của G 0

Ta có nhóm compact hoàn toàn không liên thông

Trong tiết này ta xét điều kiện để nhóm compact sinh ra, giải đợc địa

ph-ơng là nhóm compact và nghiên cứu tập hợp các phần tử compact B của nhóm tôpô G.

1.3.1 Định nghĩa.

* Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm compact sinh ra nếu tồn tại tập con compact M để G= M

* Phần tử g của nhóm tôpô G đợc gọi là phần tử compact nếu nhóm con

A =  g là nhóm compact ( A là bao đóng của nhóm con xiclic sinh bởi phần

tử g).

* Nhóm tôpô G mà mọi phần tử của nó đều là phần tử compact thì đợc gọi là nhóm xoắn tôpô.

* Tâm của nhóm G là tập hợp C(G) = gG/xggx, xG

1.3.2 Định lý Giả sử G là nhóm tôpô compact sinh ra G=M , trong

đó M là tập compact và trong G có nhóm con H giải đợc địa phơng, xoắn tôpô trù mật Khi đó G là nhóm compact

Chứng minh.

Theo [1] H là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô.

Vì G là nhóm compact sinh ra nên trong G tồn tại lân cận compact đối xứng V để G ={V} và V là lân cận của đơn vị e  G

Theo giả thiết H phải là nhóm con, còn nếu H chỉ là tập xoắn tôpô thì

định lý không đúng Hay H là nhóm con xoắn tôpô là điều kiện cần

Giả sử nhóm tôpô

G=  

 0 Trong đó  = 1,  ,  là số phức, còn  thuộc xuyến một chiều

Rõ ràng G là nhóm liên thông giải đợc compact địa phơng Khi đó trong

G tồn tại tập con H gồm các phần tử compact trù mật trong G nhng G không

Suy ra điều phải chứng minh

* Từ định lý 1.3.2 chúng tôi rút ra đợc một số kết quả sau:

1.3.3 Hệ quả Nhóm giải đợc địa phơng xoắn tôpô G là nhóm compact

khi và chỉ khi G là nhóm compact sinh ra.

Chứng minh

Thật vậy nếu G là nhóm tôpô giải đợc địa phơng compact thì hiển nhiên

G là nhóm xoắn tôpô, compact sinh ra

Ngợc lại nếu G là nhóm xoắn tôpô với t cách H ta lấy ngay nhóm G khi

đó các điều kiện của định lý đợc thoả mãn

Nhận xét

Trong nhóm giải đợc địa phơng xoắn tôpô thì tính chất compact và compact sinh ra là trùng nhau.

1.3.4 Bổ đề Giả sử G là nhóm compact địa phơng, liên thông thì G sinh

bởi lân cận compact, đối xứng của đơn vị e  G.

Chứng minh.

Giả sử G là nhóm compact địa phơng, liên thông và V là lân cận compact,

đối xứng của đơn vị e  G Khi đó G  V

Thật vậy, giả sử G *  V là bao đóng của nhóm con sinh bởi V Khi đó G *

là nhóm con mở nên G * là nhóm con đóng

Vậy G * vừa đóng vừa mở và ta có:

Vì G là nhóm compact địa phơng liên thông nên theo bổ đề ta có G  V

với V là lân cận đối xứng compact của đơn vị e  G.

Vậy theo hệ quả 1.2.3 thì G là nhóm compact.

Suy ra điều phải chứng minh

1.3.6 Hệ quả Giả sử G là nhóm xoắn tôpô với nhóm thơng

0

G G

compact thì G là nhóm compact.

1.3.7 Bổ đề Giả sử G là nhóm compact điạ phơng tôpô, B là tập hợp các

phần tử compact của nhóm G Khi đó B tạo thành nhóm con đóng hữu hạn địa phơng tôpô của nhóm G và nhóm thơng G B là nhóm phi xoắn tôpô.

Chứng minh.

Kết quả đã chứng minh trong khoá luận tốt nghiệp

1.3.8 Định lý Giả sử G là nhóm compact điạ phơng, giải đợc địa phơng

Để chứng minh B compact ta chứng minh B 0 compact

Ta có B 0 là nhóm tôpô giải đợc địa phơng, xoắn liên thông ( sinh ra bởi

tập compact ) Khi đó theo nhận xét 1.3.3 ta có B 0 là nhóm compact

Vậy B là nhóm compact.

Định lý đợc chứng minh

1.3.9 Hệ quả G là nhóm liên thông, giải đợc địa phơng tôpô Khi đó

nhóm B nói trên là nhóm con thuộc tâm của G.

Chứng minh.

Vì B là nhóm compact giải đợc liên thông nên B là xuyến bất biến của nhóm liên thông G.

Vậy B thuộc tâm của G.

Suy ra điều phải chứng minh

Chơng II Tính hữu hạn địa phơng tôpô của nhóm tôpô giải đợc

địa phơng

Trong lý thuyết nhóm trừu tợng, lớp nhóm hữu hạn có một vị trí rất quantrọng và là lớp nhóm đợc sử dụng nhiều trong hình học, vật lý, hoá học, … Vì Vìthế vấn đề nghiên cứu tính hữu hạn của các nhóm con đợc nhiều ngời quantâm Trong đó xét điều kiện để trong một nhóm xoắn các nhóm con hữu hạnsinh khi nào thì hữu hạn ( tức hữu hạn địa phơng ) là nội dung của định lý:

Nhóm xoắn trừu t

“ ợng, giải đợc địa phơng là nhóm hữu hạn địa phơng ”

* Trong lớp nhóm trên ta thay từ “trừu tợng” bởi từ “tôpô”, từ “hữu hạn” bởi từ “compact” thì định lý còn đúng nữa không ?

Trả lời cho câu hỏi đó là nội dung chính của định lý cơ bản trong chơng này:

“ Nhóm compact địa phơng xoắn tôpô giải đợc địa phơng là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô ”

ở cuối chơng chúng tôi đa ra khái niệm về nhóm compact địa phơng thoả mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con aben và cũng đa ra đợc một kết quả tơng tự khá thú vị:

Giả sử G là nhóm compact địa ph

“ ơng, giải đợc địa phơng thoả mãn điều kiện cực tiểu đối với nhóm con aben Khi đó G là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô ”

2.1 Định nghĩa.

* Cho G là nhóm trừu tợng, gọi g1,g2, ,g k là tập con hữu hạn bất kỳ

các phần tử của G Khi đó nếu H g1,g2, ,g klà nhóm hữu hạn thì G đợc gọi

là nhóm hữu hạn địa phơng trừu tợng.

* Một ví dụ về nhóm hữu hạn địa phơng :

2

1

8

1 4

1 2

G là tổng liệt tăng đơn thì G là nhóm hữu hạn địa phơng.

Thật vậy, giả sử g1,g2, ,g k là tập con hữu hạn gồm các phần tử của G Khi đó theo định nghĩa nhóm G sẽ tồn tại một số nguyên dơng m để

Vậy G là nhóm hữu hạn địa phơng

2.2 Định nghĩa Nhóm tôpô G đợc gọi là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô

nếu nh bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh là compact

Giả sử G là nhóm xoắn trừu tợng giải đợc địa phơng và g1,g2, ,g k là

tập con hữu hạn gồm các phần tử của G Khi đó nhóm

g g g k

H  1, 2, ,

là nhóm xoắn trừu tợng giải đợc

Vì H là nhóm hữu hạn sinh của G nên H giải đợc Suy ra ta có H là

nhóm hữu hạn địa phơng trừu tợng nên hữu hạn

Vậy G là nhóm hữu hạn địa phơng trừu tợng.

Kết thúc chứng minh định lý

*Sau đây là một số bổ đề và mệnh đề dùng để chứng minh định lý cơ bản

của chơng này:

2.4 Bổ đề Giả sử G là nhóm tôpô, H và K là hai nhóm con của nhóm G

sao cho H KH', Với H' là đạo nhóm của H Khi đó K  H/ trong đó K , H

y xyx y

x 

Khi đó f là ánh xạ liên tục

Ta có f(HH) K, Vì K  H' và

K H H f H

Trong trờng hợp đặc biệt nếu ta lấy K = H’ thì ta có:

Ta xét dãy nhóm con:

e G G

2.6 Mệnh đề Giả sử G là nhóm compact địa phơng liên thông giải đợc,

xoắn tôpô Khi đó G là nhóm compact.

Chứng minh.

Theo bổ đề 2.4 và 2.5 ta có dãy giải đợc

e G G

1 (

n n

Tập tất cả các gV với g  G phủ G( n 1 ) đặc biệt phủ V 2,

Vì V 2 là tập compact nên tồn tại phủ con hữu hạn

g 1 V, g 2 V , .,g n V phủ V 2

Ta ký hiệu A = {g 1 , g 2 , ,g n } là nhóm con sinh bởi g 1 , g 2 , ,g n

Khi đó V 2 AV Ta chứng minh G (n-1) = AV.

Chứng minh theo quy nạp

V 3 = V 2 V = AV.V = A.AV = AV,

Ta ký hiệu A  i  g i , i = 1, 2, 3, …, n, A i là nhóm compact aben

Vì A là nhóm aben mà AA1 A2 A n , vậy A là nhóm compact.

Ký hiệu M  i  g i ,theo giả thiết M i là nhóm compact.Ta cũng có:

n

M M M

M  1. 2

Là nhóm compact

Vậy G là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô.

Mệnh đề đợc chứng minh

2.8 Định lý Giả sử G là nhóm compact địa phơng, xoắn tôpô giải đợc

địa phơng Khi đó G là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô.

Chứng minh.

Giả sử G là nhóm compact địa phơng, giải đợc địa phơng và g 1 , g 2 , ,g n

là tập hữu hạn sinh các phần tử của nhóm G.

Ta chứng minh:

M = g1,g2, g n

Là tập compact

Vì G là nhóm giải đợc địa phơng nên M là nhóm giải đợc.

Khi đó M có dãy giải đợc

e M M

M M

áp dụng liên tục kết quả trên, M là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô

Mặt khác vì M là bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh suy ra M là nhóm

compact

Vậy G là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô

Định lý đợc chứng minh

2.9 Định nghĩa Nhóm compact địa phơng G đợc gọi là nhóm thoả mãn

điều kiện cực tiểu đối với nhóm con aben nếu mọi dãy giảm thực sự các nhóm con aben của G: