Nửa nhóm số sinh bởi 3 phần tử (2018)

Tæi xin cam oan Khâa luªn n y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ngtæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y ThS.. N¸u sai tæi xinchàu ho n to n tr¡ch nhi»m... Giao cõa mët hå kh¡c réng c¡c nûa nhâm co

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN THỊ HÒA

NỬA NHÓM SỐ SINH BỞI BA PHẦN TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI – 2018

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN THỊ HÒA

NỬA NHÓM SỐ SINH BỞI BA PHẦN TỬ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học

ThS ĐỖ VĂN KIÊN

HÀ NỘI – 2018

º ho n th nh khâa luªn n y, tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥us­c ¸n ThS é V«n Ki¶n - Ng÷íi trüc ti¸p tªn t¼nh h÷îng d¨n, ch¿b£o v  ành h÷îng cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh tæi l m b i khâa luªncõa m¼nh çng thíi tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong

tê ¤i sè v  c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 2, Ban chõ nhi»m khoa To¡n ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nhtèt b i khâa luªn n y º câ k¸t qu£ nh÷ ng y hæm nay

M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè g­ng, song thíi gian v  kinh nghi»m b£nth¥n cán nhi·u h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸usât r§t mong ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o, c¡c b¤n sinhvi¶n v  b¤n åc

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, ng y 2 th¡ng 05 n«m 2018

T¡c gi£ khâa luªn

Nguy¹n Thà Háa

Tæi xin cam oan Khâa luªn n y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ngtæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y ThS é V«n Ki¶n Trong khi nghi¶ncùu, ho n th nh b£n khâa luªn n y tæi ¢ tham kh£o mët sè t i li»u ¢ghi trong ph¦n t i li»u tham kh£o.

Tæi xin kh¯ng ành k¸t qu£ cõa · t i: Nûa nhâm sè sinh bði

ba ph¦n tû l  k¸t qu£ cõa vi»c nghi¶n cùu v  né lüc håc tªp cõa b£nth¥n, khæng tròng l°p vîi k¸t qu£ cõa c¡c · t i kh¡c N¸u sai tæi xinchàu ho n to n tr¡ch nhi»m

H  Nëi, ng y 2 th¡ng 5 n«m 2018

T¡c gi£ khâa luªn

Nguy¹n Thà Háa

Mð ¦u 1

1.1 Nûa nhâm 3

1.2 Nûa nhâm con sinh bði mët tªp hñp 4

1.3 Nûa nhâm sè 4

1.4 Mët sè b§t bi¸n cõa nûa nhâm sè 7

1.5 Ph¥n lo¤i nûa nhâm sè 13

1.5.1 Nûa nhâm sè èi xùng 13

1.5.2 Nûa nhâm sè gi£ èi xùng 15

2 Nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû 21 2.1 I¶an ành ngh¾a cõa v nh nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû 21

2.2 Gièng cõa nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû 29

2.3 V½ dö 34

T i li»u tham kh£o 36

Vîi mong muèn t¼m hiºu s¥u v· l¾nh vüc n y d÷îi gâc ë mët sinh vi¶ns÷ ph¤m To¡n håc v  trong ph¤m vi cõa mët khâa luªn tèt nghi»p, còng

sü gióp ï tªn t¼nh cõa th¦y gi¡o - Th.S é V«n Ki¶n em ¨ lüa chån

· t i : "Nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû" Möc ½ch v  nhi»m

vö ch½nh cõa · t i l  cung c§p mët sè ki¸n thùc cì sð v· nûa nhâm sè

v  cung c§p °c tr÷ng v· i¶an ành ngh¾a cõa v nh nûa nhâm sè sinhbði ba ph¦n tû, gièng cõa nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

B÷îc ¦u l m quen vîi cæng t¡c nghi¶n cùu khoa håc çng thíi muèn

i s¥u t¼m tái nghi¶n cùu v· nûa nhâm sè, nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦ntû

Nghi¶n cùu v· nûa nhâm sè, nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû.

4 C§u tróc khâa luªn

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, danh möc t i li»u tham kh£o, khâaluªn gçm 2 ch÷ìng:

• Ch÷ìng 1: Nûa nhâm sè

Trong ch÷ìng n y, khâa luªn tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n nh÷kh¡i ni»m nûa nhâm, nûa nhâm con sinh bði mët tªp hñp, mët sèb§t bi¸n cõa nûa nhâm sè, nûa nhâm sè èi xùng v  nûa nhâm sègi£ èi xùng

• Ch÷ìng 2: Nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû

Nëi dung chõ y¸u cõa ch÷ìng n y tr¼nh b y v· i¶an ành ngh¾ac£u v nh nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû v  gièng cõa nûa nhâm

sè sinh bði ba ph¦n tû

(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)Hìn núa n¸u tçn t¤i e ∈ X sao cho a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ X th¼ X

÷ñc gåi l  mët và nhâm v  e gåi l  ph¦n tû ìn và cõa nûa nhâm X

ành ngh¾a 1.1.2 Cho X l  mët nûa nhâm vîi ph²p to¡n ∗, A ⊆ X,

X 6= ∅ Ta nâi A l  nûa nhâm con cõa X n¸u nâ ên ành vîi ph²pto¡n tr¶n X , tùc l  vîi måi a, b ∈ A th¼ a ∗ b ∈ A

M»nh · 1.1.3 Giao cõa mët hå kh¡c réng c¡c nûa nhâm con cõa mëtnûa nhâm X l  mët nûa nhâm con cõa X

V½ dö 1.1.4 Tªp sè tü nhi¶n N vîi ph²p to¡n + l  mët và nhâm

1.2 Nûa nhâm con sinh bði mët tªp hñp

ành ngh¾a 1.2.1 Cho X l  mët và nhâm, A ⊆ X Khi â giao cõat§t c£ c¡c và nhâm con cõa X chùa A l  mët và nhâm con cõa X chùa

A, và nhâm con n y ÷ñc gåi l  và nhâm con sinh bði A

ành ngh¾a 1.3.1 Cho H ⊆ N Ta nâi H l  mët nûa nhâm sè n¸u nâthäa m¢n c¡c i·u ki»n sau

(i) 0 ∈ H;

(ii) H + H ⊆ H;

(iii) |N\H| < ∞

N¸u {a1, a2, , an} l  mët h» sinh tèi tiºu cõa H, tùc

ai ∈ ha/ 1, a2, , ai−1, ai+1, , ani , 1 ≤ ∀i ≤ nth¼ ta vi¸t H = ha1, a2, , ani

Theo nhªn x²t 1.2.2(ii) ta câ

H = {c1a1 + c2a2 + + cnan| c1, c2, , cn ∈ N} M»nh · 1.3.2 Cho n ∈ N∗, n ≥ 2 v  H = ha1, a2, , ani , trong â

a1, a2, , an ∈ N∗ Khi â H l  mët nûa nhâm sè khi v  ch¿ khi

°t d = gcd (a1, a2, , an) Måi sè thuëc H ·u chia h¸t cho d n¶n n¸u

d > 1 th¼ t§t c£ c¡c sè tü nhi¶n câ d¤ng nd + 1 vîi n ∈ N ·u khængthuëc H Do â tªp N\H l  væ h¤n, i·u n y l  m¥u thu¨n

Vîi n = 2 v  gi£ sû H = ha, bi, gcd (a, b) = 1 Khi â H câ d¤ng

Gi£ sû n > 2 v  (iii) óng vîi n − 1.

X²t H = ha1, a2, ani

°t d = gcd (a1, a2, , an−1) suy ra gcda1

d , ,

an−1d



= 1.Theo gi£ thi¸t quy n¤p th¼

N\Da1

d , ,

an−1d

E < ∞ tùc l  tçn t¤i

m1 ∈ N sao cho vîi måi m ≥ m1 th¼ m ∈ Da1

d , ,

an−1

d E

Suy ra vîi måi m ≥ m1 th¼ md ∈ ha1, , an−1i

°t c = dm1+ (d − 1) an+ 1 Ta chùng minh vîi måi m ≥ c th¼ m ∈ H.Thªt vªy, v¼ gcd (d, an) = 1 n¶n m câ biºu di¹n duy nh§t l 

1.4 Mët sè b§t bi¸n cõa nûa nhâm sè

ành ngh¾a 1.4.1 Cho H = ha1, a2, , ani l  mët nûa nhâm sè saocho a1, a2, , an l  h» sinh tèi tiºu cõa H Khi â

• m (H) := minH\ {0} = min {a1, a2, , an} gåi l  bëi cõa H

• g (H) := |N\H| ÷ñc gåi l  gièng cõa H

• emb (H) := n ÷ñc gåi l  chi·u nhóng cõa H

• F (H) := max (N\H) ÷ñc goi l  sè Frobenius cõa H.

• V nh k [H] := k th|h ∈ H = k [ta1, , tan] vîi k l  mët tr÷íng, t

l  bi¸n sè, ÷ñc gåi l  v nh nûa nhâm sè cõa H

V½ dö 1.4.2 Cho H = h3, 5, 7i l  mët nûa nhâm sè Ta câ

tùc vîi måi h ∈ Ap (H, a) tçn t¤i i ∈ {0, , a − 1} sao cho h = ω (i).

N¸u p > 0 suy ra ω (i) + a (p − 1) ∈ H do â h − a ∈ H, i·u n y l m¥u thu¨n

Vªy p = 0 v  h = ω (i)

Ng÷ñc l¤i vîi måi ω (i) ta câ ω (i) ∈ H

Gi£ sû ω (i) − a ∈ H n¶n ω (i) − a ≡ i (mod a), theo t½nh nhä nh§t cõaω(i) ta suy ra ω (i) ≤ ω (i) − a, b§t ¯ng thùc n y chùng tä a ≤ 0, i·u

n y l  m¥u thu¨n do a ∈ H \ {0} cho n¶n ω (i) − a /∈ H

Vªy ω (i) ∈ Ap (H, a)

V½ dö 1.4.5 Cho H = h5, 9, 13i Khi â

Ap(H, 5) = ω(i) | i = 0, 4

= {0, 9, 13, 22, 26}

ành ngh¾a 1.4.6 Cho H l  mët nûa nhâm sè

(i) Ta gåi sè nguy¶n lîn nh§t khæng thuëc H l  sè Frobenius cõa H,k½ hi»u l  F (H), tùc F (H) = max(Z\H)

M»nh · 1.4.8 Cho ≤H l  mët quan h» thù tü x¡c ành tr¶n Z bði

x ≤H y n¸u y − x ∈ H Khi â tªp c¡c sè gi£ Frobenius cõa H l  nhúngph¦n tû cüc ¤i cõa Z \ H theo quan h» ≤H

Chùng minh Vîi måi x ∈ P F (H) suy ra x ∈ Z \ H

Gi£ sû tçn t¤i y ∈ Z \ H sao cho x ≤H y suy ra y − x ∈ H

N¸u y − x > 0 th¼ do x ∈ P F (H) n¶n x + (y − x) ∈ H hay y ∈ H, i·u

n y l  m¥u thu¨n

Do â y − x = 0 hay x = y Vªy x ∈ max≤ H(Z \ H)

Ng÷ñc l¤i, vîi måi x ∈ max≤ H(Z \ H) gi£ sû tçn t¤i h ∈ H \ {0} sao cho

x + h /∈ H

Suy ra (x + h) − x = h ∈ H

Do â x ≤H x + h, i·u n y m¥u thu¨n vîi x ∈ max≤ H(Z \ H)

Tªp Apery cho ta mët cæng thùc º t¼m sè Frobenius v  c¡c sè gi£Frobenius nh÷ sau

M»nh · 1.4.9 Cho H = ha1, a2, , ani l  mët nûa nhâm sè,

a ∈ H\ {0} Khi â

1 F (H) = maxAp (H, a) − a;

2 P F (H) = {ω − a |ω ∈ max≤ HAp (H, a)}

Chùng minh

1 Chùng minh F (H) = maxAp (H, a) − a Theo ành ngh¾a

maxAp (H, a) ∈ Ap (H, a) ta suy ra maxAp (H, a) − a /∈ H

Do â maxAp (H, a) − a ≤ F (H) hay F (H) + a ≥ max Ap (H, a).Gi£ sû F (H) + a > maxAp (H, a)

Ta câ a > 0, F (H) + a ∈ H m  F (H) + a − a /∈ H suy ra

F (H)+a ∈ Ap (H, a), i·u n y m¥u thu¨n vîi ành ngh¾a maxAp (H, a).Vªy F (H) = maxAp (H, a) − a

2 Chùng minh P F (H) = {ω − a | ω ∈ max≤ HAp (H, a)}

Vîi måi x ∈ P F (H) ta chùng minh x ∈ {ω − a | ω ∈ max≤ HAp (H, a)}.Thªt vªy, ta câ x + a ∈ H v  (x + a) − a /∈ H n¶n x + a ∈ Ap (H, a)

°t ω = x + a ∈ Ap (H, a) Hìn núa gi£ sû tçn t¤i w ∈ Ap (H, a) saocho ω ≤H w suy ra w − ω ∈ H suy ra w − x − a ∈ H

N¸u w − x − a > 0 th¼ x + (w − x − a) ∈ H hay w − a ∈ H, i·u n y

m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t w ∈ Ap (H, a)

Do â w = x + a = ω hay ω ∈ max≤ H Ap (H, a) v  x = ω − a

Ng÷ñc l¤i, vîi måi ω ∈ max≤ H Ap (H, a), ta c¦n chùng minh

Vªy P F (H) = {ω − a |ω ∈ max≤ HAp (H, a)}

V½ dö 1.4.10 Cho H h4, 7, 9i Khi â ta câ

Tªp Ap²ry cõa H ùng vîi 7 l 

Ap(H, 7) = {0, 4, 8, 9, 12, 13, 17} ,

v  tªp

max≤HAp(H, 7) = {12, 17}

Do â P F (H) = {5, 10}

Nûa nhâm sè èi xùng v  nûa nhâm sè gi£ èi xùng l  c¡c èi t÷ñngr§t quan trång trong vi»c nghi¶n cùu v· nûa nhâm sè Trong ph¦n ti¸ptheo tæi ÷a ra ành ngh¾a v  mët sè t½nh ch§t cõa hai lo¤i nûa nhâm sè

n y

1.5 Ph¥n lo¤i nûa nhâm sè

1.5.1 Nûa nhâm sè èi xùng

ành ngh¾a 1.5.1 Cho H l  mët nûa nhâm sè ta nâi H l  èi xùngn¸u vîi måi x ∈ Z th¼ x ∈ H ho°c F (H) − x ∈ H

Nhªn x²t 1.5.2 N¸u H l  èi xùng th¼ F (H) l´ Thªt vªy, gi£ sû

(1) H èi xùng

(2) wi+ wa−i+1 = wa vîi 2 ≤ i ≤ a − 1

(3) t (H) = 1

(4) P F (H) = {F (H)}

2g (H) = F (H) + 1.

(3) ⇔ (4) i·u n y l  hiºn nhi¶n

V½ dö 1.5.4 Cho H = h4, 5, 6i

Ta câ P F (H) = {7} Khi â H l  èi xùng

1.5.2 Nûa nhâm sè gi£ èi xùng

ành ngh¾a 1.5.5 Cho H l  mët nûa nhâm sè, ta nâi H l  gi£ èixùng n¸u F (H) ch®n v  vîi måi x ∈ Z\H, x 6= F (H)

2 th¼ F (H) − x ∈

H

M»nh · 1.5.6 Cho H l  mët nûa nhâm sè, F (H) ch®n v 

a ∈ H \ {0} Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng t÷ìng

Chùng minh.

(1) ⇒ (2) Gi£ sû H l  gi£ èi xùng

Ta ch¿ ra F (H)

2 + a ∈ Ap (H, a).N¸u F (H)

V¼ vªy ta câ thº vi¸t

Ap (H, a) = {0 = w0 < w1 < < wa−2 = F (H) + a} ∪ F (H)

2 + a



Chùng minh wi+ wa−i−2 = wa−2, 0 ≤ i ≤ a − 2

Vîi måi 0 ≤ i ≤ a − 2, ta câ wa−2− wi = F (H) + a − wi

tü trong m»nh · 1.5.3 ta suy ra j = a − i − 2

(2) ⇒ (1) Vîi måi x ∈ Z\H, x 6= F (H)

2 ta s³ ch¿ ra F (H) − x ∈ H.Tªp Ap (H, a) l  mët h» th°ng d÷ ¦y õ mæ un a, do â tçn t¤i

w ∈ Ap (H, a)sao cho w −x a, suy ra tçn t¤i k ∈ Z sao cho w = x+ka

Do â F (H) − x =  F (H)

2 + a

+ (k − 2) a ∈ H

2 ∈ P F (H).Gi£ sû tçn t¤i h 6= 0 ∈ H sao cho F (H)

2 − h ∈ H

Suy ra  F (H)

2 − h

+ h ∈ H hay F (H)

2 ∈ H, i·u n y l  m¥u thu¨n

Do â gi£ sû sai, tùc l  vîi måi h 6= 0 ∈ H th¼ F (H)

2 + h ∈ H.Vªy F (H)

2 ∈ P F (H)

Ta s³ ch¿ ra vîi måi x ∈ P F (H) , x 6= F (H) th¼ x = F (H)

2 Thªt vªy,gi£ sû x 6= F (H)

2 , do x /∈ H suy ra F (H) − x ∈ H

V¼ x 6= F (H) n¶n F (H) − x > 0

Do x ∈ P F (H) n¶n x + (F (H) − x) ∈ H hay F (H) ∈ H, i·u n y l m¥u thu¨n

(3) ⇒ (1) Vîi måi x ∈ Z\H, x 6= F (H)

2 ta s³ ch¿ ra F (H) − x ∈ H.V¼ x ∈ Z\H n¶n tçn t¤i y ∈ max≤ H (Z\H) sao cho x ≤H y m max≤H (Z\H) Do â

y = F (H) ,ho°c

y = F (H)

2 .N¸u y = F (H) th¼ x ≤H F (H) suy ra F (H) − x ∈ H

V¼ H l  gi£ èi xùng n¶n trong tªp A \ F (H)

2

s³ câ F (H)

2 ph¦n tûkhæng thuëc H

Do â g(H) = F (H)

2 + 1(4) ⇒ (1) Ta câ g(H) = F (H)

2 + 1

Ta th§y vîi måi 1 ≤ x ≤ F (H)

2 th¼ F (H)

2 + 1 ≤ F (H) − x ≤ F (H) − 1.Hìn núa x v  F (H) − x khæng còng thuëc H Do â

g(H) ≥ F (H)

2 − 1

Nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû

Trong ch÷ìng n y chóng tæi nghi¶n cùu v· i¶an ành ngh¾a trong v nhnûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tû v  gièng cõa nûa nhâm sè sinh bði baph¦n tû

2.1 I¶an ành ngh¾a cõa v nh nûa nhâm sè sinh

deg X = a, deg Y = b, deg Z = c, deg ξ = 0 vîi måi ξ ∈ k

°t ϕ : S → R, X 7−→ ta, Y 7−→ tb, Z 7−→ tc l  to n c§u ph¥n bªc

°t K := Kerϕ ÷ñc gåi l  i¶an ành ngh¾a cõa R

ành lþ 2.1.2 Gi£ sû H khæng èi xùng Khi â tçn t¤i α, β, γ, α0, β0, γ0

l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng sao cho

°t

α1 = α + α0 = min {d > 0 | da ∈ hb, ci} ;

β1 = β + β0 = min {d > 0 | db ∈ ha, ci} ;

γ1 = γ + γ0 = min {d > 0 | dc ∈ ha, bi}

v  α1a = α2b + α3c, β1b = β2c + β3a, γ1c = γ2a + γ3b

°t F1 = Xα1 − Yα 2Zα3, F2 = Yβ1 − Zβ 2Xβ3, F3 = Zγ1 − Xγ 2Yγ3.Khi â K = (F1, F2, F3)

Chùng minh

Hiºn nhi¶n I := (F1, F2, F3) ⊆ K

Gi£ sû I K V¼ K l  i¶an ph¥n bªc n¶n tçn t¤i ph¦n tû thu¦n nh§t

h ∈ K\I, ta câ thº chån h l  ph¦n tû câ bªc nhä nh§t

Ta th§y vîi måi (α0, β0, γ0) ∈ Λn th¼

0 = 0v  β0 = 0ho°c β0

0 = 0

v  γ0 = 0 ho°c γ0

0 = 0.Thªt vªy, n¸u α0, α00 > 0 th¼

Yβ0Zγ − Xα−α1Yα2Zα3 ∈ K,hay

Yβ0Zγ − Xα−α1Yα2Zα3 ∈ K ∩ Sn.Hìn núa,

Xα−α1(Xα1 − Yα2Zα3) + Xα−α1Yα2Zα3 − Yβ0 = Xα− Yβ0 = h /∈ I.

Suy ra

Xα−α1Yα2Zα3 − Yβ0 ∈ I,/hay

Yβ0−β1 Yβ1 − Zβ2Xβ3
+ Yβ0−β 1Zβ2Xβ3 − Xα1 = Yβ0 − Xα1 ∈ I./

Suy ra

Yβ0−β1Zβ2Xβ3 − Xα1 ∈ I./Vªy Yβ0−β 1Zβ2Xβ3 − Xα 1 ∈ (K ∩ Sn) \I

Do α1 > 0 n¶n β3 = 0 Suy ra

Yβ0−β1Zβ2 − Xα1 ∈ (K ∩ Sn) \I

N¸u β2 > 0 v  β−β1 > 0 th¼ ta ÷a v· tr÷íng hñp 1, d¨n ¸n m¥u thu¨n.Suy ra β2 = 0 ho°c β0 = β1 Tø β2 = 0 ta suy ra bβ1 = cβ2 + aβ3 = 0n¶n β1 = 0, i·u n y l  m¥u thu¨n

Do â β0 = β1 Suy ra

Zβ2 − Xα1 ∈ (K ∩ Sn) \I (2.2)

Ta câ α = α1, β = β1 n¶n

h = Xα− Yβ0 = Xα1 − Yβ1 ∈ I (2.3)Theo (2.1), do β0 = β1, α = α1 n¶n

Zβ2 − Zα3 ∈ (K ∩ Sn) \I,

ϕ Zα3 − Zβ2
= 0

Suy ra c (α3 − β2) = 0 Do â α3 = β2 Suy ra 0 /∈ I, i·u n y l  m¥uthu¨n

Vªy gi£ sû sai n¶n K = I = (F1, F2, F3)

2.2 Gièng cõa nûa nhâm sè sinh bði ba ph¦n tûTrong möc 2.2 n y ta ch¿ x²t H l  nûa nhâm sè khæng èi xùng

ành lþ 2.2.1 Cho H l  nûa nhâm sè x¡c ành nh÷ tr¶n

(1) N¸u β0b > αa th¼ 2g (H) − (F (H) + 1) = αβγ

(2) N¸u β0b < αa th¼ 2g (H) − (F (H) + 1) = α0β0γ0

Ta chùng minh ành l½ 2.1.2 tr¶n thæng qua c¡c m»nh · sau

M»nh · 2.2.2 N¸u H = ha, b, ci l  khæng èi xùng th¼

(1) (α + α0) a = β0b + γc v  α + α0 = min {n | an ∈ hb, ci} ;

(2) (β + β0) b = γ0c + αa v  β + β0 = min {n | bn ∈ ha, ci} ;

(3) (γ + γ0) c = α0a + βb v  γ + γ0 = min {n | cn ∈ ha, bi}

Chùng minh Tø ành l½ 2.1.2 ta suy ra ÷ñc i·u ph£i chùng minh trongm»nh · n y

M»nh · 2.2.3 (Xem [1]) N¸u H = ha, b, ci l  khæng èi xùng th¼

P F (H) = {f, f0}, trong â

(2) N¸u β0b < αa ho°c t÷ìng ÷ìng f0 < f th¼:

Suy ra

Xα−p+u−Yβ+q−v ∈ DZγ+γ0 − Xα0Yβ, Xα+α0 − Yβ0Zγ, Yβ+β0 − Zγ0Xα

E,

i·u n y l  m¥u thu¨n v¼ r − w < γ Vªy gi£ sû sai

Gi£ sû β0b > αa khi â F (H) = f0.

Ta câ vîi måi h ∈ H, f − h /∈ f0 − H khi v  ch¿ khi f0 − (f − h) /∈ H.Thªt vªy, Vîi måi h ∈ H sao cho f − h /∈ f0 − H

Gi£ sû f0 − (f − h) ∈ H tø â tçn t¤i x ∈ H sao cho f0 − (f − h) = x.Suy ra f − h = f0 − x ∈ f0 − H, i·u n y l  m¥u thu¨n

Ng÷ñc l¤i, n¸u vîi måi h ∈ H sao cho f0− (f − h) /∈ H

Ta gi£ sû f − h ∈ f0 − H tø â tçn t¤i x ∈ H sao cho f − h = f0 − x.Suy ra f0− (f − h) = x ∈ H, i·u n y l  m¥u thu¨n

Do â

Card [(f − H) ∩ N\ (f0 − H)] = Card {h ∈ H|f0 − f + h /∈ H} Theo m»nh · 2.2.4 th¼

g (H) = Card [(f0 − H) ∩ N] + Card [[(f − H) ∩ N] \ (f0 − H)]

Tø â

g (H) = (F (H) + 1 − g (H)) + αβγ

vîi α, α0, β, β0, γ, γ0 l  nhúng sè nguy¶n d÷ìng ÷ñc t¼m tø h» ph÷ìngtr¼nh

β + β0 = min {n | bn ∈ ha, ci} ;(γ + γ0) c = α0a + βb;

γ + γ0 = min {n | cn ∈ ha, bi}

g(H) = αβγ + F (H) + 1

2 = 7.

Tr¶n ¥y l  to n bë nëi dung kho¡ luªn v· · t i Nûa nhâm sè sinhbði ba ph¦n tû Trong khâa luªn n y, tæi ¢ kh¡i qu¡t l¤i nhúng nëidung cì b£n v· nûa nhâm sè, tø â tr¼nh b y mët sè °c tr÷ng cõa nûanhâm sè sinh bði ba ph¦n tû.

M°c dò ¢ h¸t sùc cè g­ng song do h¤n ch¸ v· thíi gian, ki¸n thùc v kinh nghi»m n¶n khâa luªn khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât Tæi r§tmong nhªn ÷ñc sü quan t¥m v  âng gâp þ ki¸n cõa Th¦y, Cæ v  c¡cb¤n º khâa luªn n y ÷ìc ¦y õ v  ho n thi»n hìn

Tr÷îc khi k¸t thóc khâa luªn n y, mët l¦n núa tæi xin b y tä lángbi¸t ìn s¥u s­c èi vîi c¡c Th¦y, Cæ gi¡o trong Khoa To¡n, °c bi»t l th¦y gi¡o ThS é V«n Ki¶n ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n v  gióp ï tæi

ho n th nh khâa luªn n y Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

Nûa nhâm số sinh bi ba phƯn tỷ

Trong chữỡng ny chúng tổi nghiản cựu và iảan nh nghắa vnhnỷa nhõm số sinh bði ba ph¦n tû v  gièng cõa nûa nhâm số sinh bi baphƯn tỷ

2.1 Iảan... nûa nhâm số giÊ ối xựng l cĂc ối tữủngrĐt quan trồng viằc nghiản cựu và nỷa nhõm số Trong phƯn tiáptheo tổi ữa nh nghắa v mởt số tẵnh chĐt cừa hai loÔi nỷa nhõm số< /p>

ny

1.5 PhƠn... \I

Do α1 > n¶n β3< /small> = Suy ra

Yβ0−β1Zβ2