Nhóm con compact cực đại của nhóm tôpô

Nhóm hữu hạn và nhóm hữu hạn sinh là hai lớp nhóm quan trọng trong lý thuyết nhóm trừu tượng, đó là các lớp nhóm được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học.. Trong Lý thuyết nhóm

Lời nói đầu

Lý thuyết nhóm là một trong những lý thuyết quan trọng nhất của toán học hiện đại, vì nó đặt nền móng cho việc nghiên cứu các lĩnh vực tiếp theo của toán học Ngoài ra, các hiểu biết sâu sắc về lý thuyết nhóm sẽ góp phần cho chúng ta hiểu sâu sắc hơn các lớp nhóm quan trọng

Nhóm hữu hạn và nhóm hữu hạn sinh là hai lớp nhóm quan trọng trong

lý thuyết nhóm trừu tượng, đó là các lớp nhóm được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học Nó còn là công cụ để nghiên cứu các lớp nhóm khác vì khi nghiên cứu mọi lớp nhóm người ta tìm cách để đưa về được hai lớp nhóm nói trên để nghiên cứu

Trong Lý thuyết nhóm tôpô có hai lớp nhóm cũng giữ vị trí như nhóm hữu hạn và nhóm hữu hạn sinh, đó là lớp nhóm compact và lớp nhóm compact sinh ra Hiển nhiên trong lý thuyết nhóm tôpô, lớp nhóm hữu hạn và lớp nhóm hữu hạn sinh cũng là nhóm compact và nhóm compact sinh ra và trong nhóm tôpô nếu ta lấy tôpô rời rạc thì nhóm compact và nhóm compact sinh ra lại là lớp nhóm hữu hạn và lớp nhóm hữu hạn sinh

Với những lý do đó, chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài nghiên cứu về “ Nhóm con compact cực đại của nhóm tôpô” Theo chúng tôi đề tài này mang một ý nghĩa khoa học có tính thời sự và thiết thực đối với sự phát triển toán học Chúng tôi không có tham vọng chứng minh các tính chất lớn bởi vì đây là một công việc khó khăn và lâu dài Trong chừng mực nhất định, chúng tôi muốn góp phần làm sáng tỏ một số vấn đề Điều đó mở ra một con đường nhiều hy vọng để thu được các kết quả có ý nghĩa hơn Luận văn được chia thành 02 chương cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo Các tài liệu trích dẫn được đánh

số theo qui định hiện hành, các ký hiệu dùng trong luận văn là ký hiệu thông thường Các kết quả trình bày theo số thứ tự chương- bài- mục

Chương I: Nhóm compact và nhóm compact sinh ra.

Trong chương này giới thiệu một số khái niệm, một số tính chất cơ bản của nhóm compact, nhóm compact sinh ra và làm rõ vị trí của nó trong lý thuyết nhóm tôpô, đặc biệt là khái niệm đồng cấu các nhóm tôpô và khái niệm tích trực tiếp của các nhóm tôpô, là tiền đề để nghiên cứu các nội dung tiếp theo

Chương II: Nhóm con compact cực đại của nhóm tôpô.

Nội dung của chương II chúng tôi đã chỉ ra được một lớp nhóm compact cực đại và làm rõ vị trí của nó trong một nhóm tôpô Chương II là chương trọng tâm của luận văn và nội dung chương II gồm:

1) Nhóm con compact cực đại của nhóm Lie.

2) Nhóm con compact cực đại của nhóm compact địa phương

3) Sự tồn tại nhóm con compact cực đại trong nhóm tôpô

4) Nhóm con compact cực đại của một số lớp nhóm tôpô

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm của Thầy giáo – GS.TS Nguyễn Quốc Thi Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy- Người đã đặt bài toán và dành cho tác giả sự giúp đỡ tận tình, chu đáo, giúp tác giả mạnh dạn và vững tin trong quá trình nghiên cứu

Cũng trong dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau đại học của Trường Đại học Vinh đã giúp đỡ, động viên và luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận được nhiều sự góp ý, trao đổi chân thành của bạn bè, đồng nghiệp Tác giả rất biết ơn và ghi nhận về những sự giúp đỡ quý báu đó

Cuối cùng, tác giả xin được nhận sự góp ý chân tình của các Thầy, Cô giáo cùng bạn bè

Vinh, tháng 11/2008.

Tác giả

Chương I

NHÓM COMPACT VÀ NHÓM COMPACT SINH RA

1.1 Định nghĩa và tính chất

1.1.1 Định nghĩa

Nhóm tôpô G được gọi là compact (compact địa phương) nếu không

gian tôpô G là không gian compact (compact địa phương).

Giả sử G là nhóm compact địa phương hoàn toàn không liên thông và

U là một lân cận của đơn vị của G Khi đó tồn tại một nhóm con compact

mở H sao cho H ⊂U và G / H rời rạc.

Chứng minh Vì e là thành phần liên thông của G nên tồn tại một tập

mở compact P sao cho e∈P⊂U

Ký hiệu Q={q∈G:pq⊂P} và H =Q∩Q− 1 Khi đó H là nhóm con compact cần tìm Thật vậy, trước hết ta chứng minh Q mở

Giả sử q là điểm cố định thuộc Q và x∈P Vì x q∈P và P mở nên tồn tại các lân cận U x ∋x và V x ∋q sao cho U x V x ⊂P Các tập mở U x tạo thành phủ mở của P và Pcompact nên có phủ con hữu hạn U x ,U x , ,U x k

2 1

Giả sử r∈G/Q, vì P r không được chứa trong P nên tồn tại p∈P sao cho pr∉P Khi đó pr∈G/P nên tồn tại lân cận W ∋ r sao cho pW ⊂ G/P, nghĩa là

G/Q

W ⊂ Bởi vậy G / Q mở và do đó Q đóng

Vì e∈P nên y∈Q kéo theo y=ey∈P và bởi vậy Q⊂P Hơn nữa, vì

p

pe= nên e∈Q Vì P compact nên Q là compact mở do đó H =Q∩Q− 1

compact mở, hơn nữa H ∋e Giả sử h1,h2 ∈H , khi đó h1,h2∈Q và

1 2

1 2 1

1 2

Giả sử x∈G, vì x− 1ex∈H nên tồn tại các lân cận V x ∋e và W x ∋x sao cho -1V x x ⊂H

W Vì G compact nên từ phủ mở {Wx :x∈G} có thể tách ra phủ con hữu hạn {Wxi :i = 1 , ,n} Đặt V =V x ∩V x ∩ ∩V x n

2

1 , khi đó x− 1V x ⊂H

với x∈G Bởi vậy V ⊂N và do đó với mọi phần tử n∈N đều có V n ⊂N, suy

ra N mở Vì N mở nên G / N rời rạc, ta lại có G compact nên G / N

compact Do đó G / N hữu hạn 

1.2 Ánh xạ đồng cấu và đẳng cấu của nhóm compact và nhóm compact sinh ra

Một số tính chất của ánh xạ đồng cấu và đẳng cấu của nhóm trừu tượng nói chung không đúng đối với nhóm tôpô, nhưng riêng phần này chúng tôi trình bày một số tính chất đồng cấu vẫn đúng đối với nhóm compact và compact sinh ra

1.2.1 Định nghĩa

Giả sử N là ước chuẩn của nhóm tôpô G, ta đưa vào nhóm thương G/N của nhóm trừu tượng G một tôpô xác định như sau:

Giả sử B là một cơ sở của G, với mỗi U∈B, xét tập con U* = {Ng:g∈U}

của G/N Khi đó B* ={U* :U∈B} là cơ sở của không gian G/N.

Nhóm tôpô G/N đó được gọi là nhóm thương tôpô của nhóm tôpô G theo ước chuẩn N và được kí hiệu là G*

1.2.2 Định nghĩa

a) Ánh xạ g từ nhóm tôpô G vào nhóm tôpô G* được gọi là đồng

cấu, nếu thoả mãn hai điều kiện:

i) f là nhóm đồng cấu từ nhóm trừu tượng G vào nhóm trừu tượng

*

G

ii) f là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô G vào không gian tôpô G*

b) Ánh xạ f của nhóm tôpô G lên nhóm tôpô G* được gọi là đẳng

cấu, nếu thoả mãn hai điều kiện:

i) f là ánh xạ đẳng cấu từ nhóm trừu tượng G lên nhóm trừu tượngG*

ii) f là ánh xạ đồng phôi từ không gian G lên không gian tôpô G*

*) Nếu G =G* thì ánh xạ đẳng cấu f được gọi là tự đẳng cấu của nhóm G

*) Hai nhóm tôpô G và G* được gọi là đẳng cấu với nhau nếu có một

ánh xạ đẳng cấu từ G lênG*

c) Ánh xạ đồng cấu g từ nhóm tôpô G vào nhóm tôpô G* được gọi là

đồng cấu mở, nếu g là ánh xạ mở từ không gian tôpô G vào không gian tôpô G*

1.2.3.Mệnh đề

Giả sử G và G* là hai nhóm tôpô và g là ánh xạ đồng cấu từ nhóm trừu tượng G lên nhóm trừu tượng G* Để g liên tục hay mở, chỉ cần g liên tục hay mở tại đơn vị e của G

Chứng minh Giả sử g liên tục tại e , đơn vị của G , a∈G;a* =g(a)

và U* là lân cận mở nào đó của a* Khi đó U*a* − 1 là lân cận mở của e*- đơn vị của G* Vì g liên tục tại e nên tồn tại lân cận U' của e sao cho

( )U' ⊂U*a* − 1

g Tập mở U =U 'a chứa lân cận V của a , và ta có

*

* 1

*

* ' ) ( ) (

) ( )

Bởi vậy g liên tục

Lý luận tương tự, ta có g mở khi g mở tại e

Giả sử G là nhóm tôpô và N là ước chuẩn của G Khi đó ánh xạ

Nx x P N

Giả sử g:G→G* là ánh xạ toàn cấu mở từ nhóm tôpô G lên nhóm tôpô

*

G , khi đó:

i) N =Ker (g) là ước chuẩn tôpô của nhóm G

ii) Nhóm thương G / N đẳng cấu với G*.

Chứng minh Vì g:G→G* là liên tục và e* là tập đóng của G* nên N

- tạo ảnh toàn phần của e* là tập đóng trong G Mặt khác, N là ước chuẩn của nhóm trừu tượng G, do đó N là ước chuẩn của nhóm tôpô G

Giả sử x∈G*, thế thì g− 1 (x* ) =X là một lớp ghép của G theo N Đặt f(x* ) =X , khi đó f là đẳng cấu từ nhóm trừu tượng G* lên nhóm trừu tượng G / N

Cần chứng tỏ rằng f là ánh xạ đồng phôi từ không gian G* lên G / N Muốn vậy chỉ còn cần chứng tỏ f liên tục hai chiều

Giả sử a* ∈G* và f(a* ) =A

, ký hiệu U* là một lân cận cận nào đó của phần tử A trong không gian G / N U* = {Nx:x∈U} với U là lân cận xác định nào đó trong không gian G Giả sử a∈U, A=Na, vì g mở nên tồn tại lân cận

*

V ⊃ sao cho g( )U ⊃V* Do g( )a =a*, Từ đó suy ra f( )V* ⊂U* và do đó f liên tục

Giả sử A= Na∈G N , f− 1( )A =a* và U*là một lân cận nào đó của a*

Vì g liên tục nên tồn tại lân cận V của a sao cho g( )V ⊂U*, do g( )a =a*, ký hiệu V* = {Nx:x∈V}, khi đó V*là lân cận của A trong N G và 1( )* *

U V

Ta hãy chứng minh g (F)chứa một tập con mở của G* Giả sử g (F)

không chứa một tập mở nào của G*, thì mỗi tập hợp *

i

F không chứa tập mở nào của G* Chúng ta hãy chứng tỏ điều này không xảy ra

* 1

N = , khi đó tồn tại tương ứng một - một giữa các nhóm con của G*

với các nhóm con của G chứa N

Tương ứng một - một đó được thiết lập bằng cách sau:

Nếu H*là một nhóm con của G* thì H* được đặt tương ứng với nhóm con H = f− 1 (H* ) của G

Nếu H là một nhóm con của G chứa N thì H được đặt tương ứng cới nhóm con H* =f(H) của G*.

Sự tương ứng như vậy là một - một.

Ngoài ra, nếu H và H* là các ước chuẩn tương ứng với nhau thì các nhóm thương G*/ H* và G / H đẳng cấu.

Chứng minh Trước hết ta xét việc chuyển từ H* đến H Tạo ảnh toàn phần H của tập đóng H* là tập đóng chứa N

Mặt khác, H* là nhóm con của nhóm trừu tượng G* nên H là nhóm con của nhóm trừu tượng G Vậy H là nhóm con của nhóm tôpô G

Nếu H*là ước chuẩn củaG*và P:G* →G* /H*là toàn cấu chính tắc thì

f

P

h = là toàn cấu mở từ G lên G*/ H* và Ker(h) =H Do đó G/H ≅G* /H*

Bây giờ ta xét việc chuyển H lên H*, với H* =f(H)và H ⊃ N

Trước hết, ta chứng minh rằng tạo ảnh toàn phần của H*trong nhóm

G dưới ánh xạ f trùng với H Thật vậy nếu f(a) ∈H*thì tồn tại b∈Hsao cho f(a) = f(b) khi đó 1 *

) (ab e

và H ∩N là ước chuẩn của H Hơn nữa HN N ≅ H H∩ N .

Chứng minh Vì N là ước chuẩn của G nên HN =NH Do đó

( )HN HNN H HN

− 1 1 1 , nên HN là nhóm con của nhóm trừu tượng G

và do HN đóng nên HN là nhóm con của nhóm tôpô G Giả sử

do đó theo định lý 1.2.3 H KerP* ≅ HN N hay H H∩ N ≅ HN N 

1.3 Tích trực tiếp của các nhóm tôpô

Trong lý thuyết nhóm trừu tượng, khái niệm tích trực tiếp của các nhóm phân tích thành tích trực tiếp của các nhóm con Nhưng trong lý thuyết nhóm tôpô thì hai khái niệm đó không trùng nhau có nghĩa là một nhóm tôpô phân tích được thành tích trực tiếp của các nhóm con không đẳng cấu tôpô với tích trực tiếp của các nhóm con đó nhưng đặc biệt với nhóm compact định lý

đó vẫn đúng

1.3.1.Định nghĩa

Giả sử N1,N2, ,N m là một dãy hữu hạn các nhóm tôpô

Ký hiệu: G' là tích trực tiếp của các nhóm trừu tượng N1,N2, ,N m,

{ x x x x N i m}

Thế thì các phép toán nhóm có trong G' liên tục trong không gian đó và G'

được gọi là tích trực tiếp của các nhóm tôpô N1,N2, ,N m Ký hiệu

m

N N

N

G' = 1× 2 × ×

Chứng minh Chúng ta chứng tỏ rằng các phép toán nhóm có trong G'

là liên tục trong không gian tôpô G'

,

(z1 z2 z m

z = với z i =x i y i−1, (i = 1 , ,m) Hơn nữa, giả sử

) W , , W

e1, 2, , với G' là tích trực tiếp các nhóm tôpô đó Mỗi phần tử x i∈N i

được đặt tương ứng với phần tử f i(x) = (e1,e2, ,e i−1,x i,e i+1, ,e m) Thế thì

i

f là ánh xạ đẳng cấu từ nhóm tôpô N i lên ước chuẩn '

i

N nào đó của nhóm tôpô G' Khi đó G' phân tích được thánh tích trực tiếp (theo nghĩa đại số trừu tượng) các nhóm con ' '

Chứng minh Thật vậy, f i là đẳng cấu từ nhóm trừu tượng N i lên ước chuẩn của nhóm trừu tượng ( đã chứng minh trong lý thuyết nhóm)

m

U U

N tồn tại lân cận U i của đơn

vị e i trong nhóm N i sao cho ' ( )

i i

U = và ngược lại nếu U i là lân cận tuỳ

ý của đơn vị trong nhóm '

i

N , thì U i = f i(U i) là lân cận của đơn vị trong '

i

N ,

từ đó suy ra f i là mở và liên tục Vì f i là đồng cấu từ nhóm trừu tượng N i

lên nhóm trừu tượng '

Với mọi họ lân cận U1,U2, ,U m của đơn vị e trong các nhóm

m

N

N

N1, 2, , , tích (hiểu theo nghĩa nhóm) U1,U2, ,U m chứa một lân cận

nào đó của đơn vị e của G

Chứng minh Theo lý thuyết nhóm, ta có f là đẳng cấu từ nhóm trừu tượng G lên nhóm trừu tượng G và ff i là ánh xạ đồng nhất N i Cần phải chứng minh f là ánh xạ liên tục và mở tại đơn vị Trước hết ta chứng minh f liên tục

Giả sử U là lân cận tuỳ ý của đơn vị trong G và V là lân cận của đơn

vị trong G Cho V m ⊂U, đặt V i =N i ∩V Khi đó ' ( 1, 2, , )

m

V V V

Bây giờ giả sử ' ( 1, 2, , )

m

U U

U

U

f( ' ) = 1. 2 m ⊃ Bởi vậy f là ánh xạ mở ⇒ mệnh đề 1.3.4 được chứng minh 

1.3.5 Định lý

Giả sử G là nhóm compact địa phương và không gian của nó có thể phân tích thành hợp đếm được của các tập con compact, và N1,N2, ,N m là các ước chuẩn của G Nếu nhóm trừu tượng G phân tích được thành tích của các nhóm con N1,N2, ,N m thì nhóm tôpô G cũng phân tích được thành tích trực tiếp của các nhóm con N1 ,N2 , ,N m

Chứng minh Cần chứng minh rằng với các lân cận U1,U2, ,U m của đơn vị trong các nhóm N1,N2, ,N m; Tích U1.U2 U m chứa một lân cận nào đó của đơn vị trong nhóm G Dễ thấy rằng mỗi nhóm con N i có thể biểu diễn thành hợp của một số đếm được các tập con compact Hơn nữa nhóm G- tích trực tiếp của N1,N2, ,N m cũng có thể biểu diễn thành hợp đếm được các tập con compact nếu sử dụng kết quả đã biết Tích trực tiếp của các không gian compact là compact Vì mỗi nhóm N i là compact địa phương nên tích trực tiếp G' của chúng cũng compact địa phương Nếu đặt

x

x

f( ) = 1. 2 m ∈ thì f là ánh xạ liên tục từ không gian G' lên G, mà

vì f là đẳng cấu đại số, nên f là ánh xạ mở Bởi vậy, lân cận

) , , ,

'

m

U U

f G

I

) ( / :

*

và phép toán trong G* được xác định bởi: I

g f fg

( ).

i i

N

f − = và N i là nhóm tôpô, nên tồn tại các lân cận U i

và V i của f (N i) và g(N i) sao cho U i V i ⊂ W i Dễ thấy rằng các lân cận

) (

Nhóm tôpô G* được xác định trong mệnh đề 1.3.6 được gọi là tích

trực tiếp của các nhóm tôpô Gα, α ∈I

Khi đó ánh xạ: iα :Gα →G* ,iα(x) = fα,x là đơn cấu.

Ký hiệu * ( )

α α

G = thế thì *

α

G là ước chuẩn của G*.

Ký hiệu ξ *= { Gα*: α ∈ I } , ξ *\ Gα*, Kα* là ước chuẩn nhỏ nhất của nhóm tôpô

*

G chứa mọi ước chuẩn thuộc ξ *và N* : ={Kα* : α ∈I} Khi đó ước chuẩn nhỏ nhất của G* chứa mọi ước chuẩn thuộc ξ * sẽ đúng bằng G* và N* bằng đơn vị e* của G*.

Chứng minh Thật vậy, điều kiện iα là đơn cấu từ nhóm trừu tượng α

G vào nhóm trừu tượng G* và tính liên tục của nó được chứng minh tương

K là ước chuẩn nhỏ nhất của nhóm tôpô G chứa mọi ước chuẩn thuộc ∑α

và N = ∩{Kα : α ∈I} Khi đó ta nói rằng nhóm compact G phân tích được thành

tích trực tiếp của các ước chuẩn Nα; α ∈I nếu thoả mãn các điều kiện: ước chuẩn nhỏ nhất của nhóm tôpô G chứa mọi ước chuẩn thuộc ∑ đúng bằng

G và N =e

1.4 Điều kiện để một số nhóm là nhóm compact

1.4.1 Mệnh đề

Giả sử G là nhóm tôpô và H là ước chuẩn của G Khi đó

i) Nếu G compact thì H và G / H compact

ii) Nếu G compact địa phương thì H và G / H compact địa phương.

Chứng minh Giả sử G compact, thì ảnh G* =G/H của G qua ánh xạ

liên tục mở P ( phép chiếu tự nhiên G lên G*) cũng compact.

Giả sử G là compact địa phương và a∈G, A=P (a)và U là lân cận

bất kỳ của a sao cho U compact Khi đó P (U) compact

Mặt khác G* trong không gian Hausdorff nên P (U) đóng trong không gian G /H

Vì U ⊂U nên P(U) ⊂P(U) và do đó P(U) ⊂P(U) Bởi vậy P (U)

cũng compact

Mặt khác lân cận U* của phần tử A trong G* gồm tất cả các lớp ghép

có giao với U trùng với P (U), U* =P(U) 

1.4.2 Mệnh đề

Giả sử G là nhóm compact địa phương và compact sinh ra, khi đó trong G tồn tại lân cận đối xứng compact của đơn vị sinh ra G

Chứng minh Vì G là compact sinh ra nên tồn tại tập con compact H

sao cho G =< H > Mặt khác vì G compact địa phương nên tồn tại lân cận đối xứng compact V của đơn vị e của G Đặt D=HV ∪V , khi đó D và

Giả sử G là compact sinh ra, khi đó theo mệnh đề 1.1.4 tồn tại lân cận đối xứng compact V của đơn vị e sao cho G =< V > , nghĩa là

}

2 , 1 :

g∈ Khi đó tồn tại phủ con hữu hạn {g1V,g2V, ,g n V} của V2

Ký hiệu A = < g1, g2, , gn > khi đó V2 ⊆ AV Bằng qui nạp theo n, ta chứng minh được V n ⊆ AV Thật vậy, vì A là nhóm con của G nên

AV AV A AV V AV V V

0

/G U

K là nhóm con mở của G , nên trong G tồn tại lân cận compact U

của e sao cho U ⊂K Nhóm con Q =< U > compact sinh ra và Q / G0

compact

Giả sử g1,g2, ,g n∈G, khi đó nhóm con T = < g1, g2, , gn, Q > cũng là

nhóm compact sinh ra và T chứa Q

Vì H =G nên T∩H =T , vậy T∩H = L là nhóm con địa phương hữu hạn, trù mật trong T

Theo chứng minh trên, T compact sinh ra nên tồn tại lân cận đối xứng

V của e - đơn vị của T sao cho T =< V > , ta nói T =LV Thật vậy, với

T

t∈ thì tV là lân cận của t sao cho tV ∩L≠ Φ (vì L trù mật trong T ) Khi

đó tồn tại v∈V,l∈L sao cho t.v =l Suy ra t=lv− 1 ∈LV

Vì V compact nên V2 compact và do đó V2 có phủ hữu hạn

} , ,

,

{d 1V d2V d m V trong đó d j ∈V; j = 1 , 2 , ,m

Ký hiệu A = < d1, d2, , dm > , khi đó A⊆H và A compact, hơn nữa

Từ đó suy ra < g1, g2, , gn > ⊆ T là compact, do đó G là nhóm địa

phương hữu hạn tôpô.

Theo mệnh đề 1.4.3 - G compact 

1.4.5 Mệnh đề

Giả sử G là nhóm compact địa phương, compact sinh ra và G =R.H , trong đó H là ước chuẩn địa phương hữu hạn tôpô và R là nhóm compact Khi đó G compact.

Chứng minh Giả sử B là tập compact của ước chuẩn H

Ký hiệu M : =< rbr− 1: r ∈ R , b ∈ B > , khi đó ánh xạ f :RxB→H

1 ))

, ((r b =rbr−

tục

Vì R và B compact nên f(RxB) =M compact

Vì M* = < M > là nhóm compact sinh ra và M ⊂ H nên theo mệnh đề 1.1.5 ta có M* compact và rM*r− 1 ⊂ M* với r∈R Vậy RM* compact

Từ đó RH =G là compact địa phương và địa phương hữu hạn tôpô Theo mệnh đề 1.1.5 suy ra G =RH compact 

1.4.6 Mệnh đề

Giả sử G là nhóm Abel compact sinh ra và có tập con trù mật H gồm các phần tử compact Khi đó G compact

Chứng minh Vì G là nhóm compact sinh ra nên tồn tại lân cận đối

xứng V của đơn vị e∈G sao cho G = < V >

Vì V compact nên V2compact Do đó V2có phủ con hữu hạn

} , ,

,

{g1V g2V g n V trong đó có thể chọn g1,g2, ,g n ∈H Vì H trù mật trong G

Kí hiệu N : = < g1, g2, , gn > Khi đó G=NV

Kí hiệu Ai : = < gi > ; i = 1 , , n vì N Abel nên G=NV ⊆A1A2, ,A n V

.Vì G có nhóm con trù mật H gồm các phần tử compact nên A i compact , với i = 1 , ,n

Mặt khác V compact nên G compact 

1.4.7 Mệnh đề

Giả sử G là nhóm tôpô Abel với thương G / G0compact Khi đó, tập B gồm tất cả các phần tử compact của G là nhóm con bất biến compact của G

và nhóm thương G / B không có phần tử compact.

Chứng minh Trước hết ta chứng minh B là nhóm con bất biến , compact của G

Thật vậy, giả sử g1,g2 ∈B Khi đó 1 gg 2 <∈ g 1 g <> 2 > nên g1g2 là phần tử compact, do đó g1g2 ∈B Mặt khác, với mọi g∈B, ta có < g− 1 > = < g > nên

B

g− 1 ∈ Từ đó B là nhóm con của nhóm trừu tượng G

Mặt khác, B là nhóm con tối đại trong G nên B là nhóm con bất biến của G

Giả sử B0 là thành phần liên thông của đơn vị trong B, khi đó B0

compact sinh ra và có nhóm con trù mật B0 gồm các phần tử compact, nên theo mệnh đề 1.1.8 thì B0 compact Từ đó B=B0 nên B đóng và compact

Cuối cùng, giả sử p:G→G/B là đồng cấu tự nhiên và g* là phần tử compact của G / B

Khi đó {p− 1 (g* ),B} là nhóm compact của G chứa B Điều này trái với giả thiết B tối đại 

1.4.8 Định lý Giả sử G là nhóm compact địa phương, mở rộng của nhóm hữu hạn địa phương tôpô H bởi nhóm hữu hạn địa phương tôpô K Khi đó

G là nhóm hữu hạn địa phương tôpô.

Chứng minh Nhóm compact địa phương hoàn toàn không liên thông

0

/ G

G có nhóm con mở compact L / G0 với L là nhóm compact sinh ra Giả

sử B là nhóm compact tối đại của L, khi đó A=B.(L∩H) là nhóm hữu hạn địa phương tôpô

Nếu lấy g∈L∩H thì < g , B > = B1 là nhóm con sinh bởi tập compact và

A

B1 ⊂ nên B1 compact Từ cách chọn B ta suy ra L∩H ⊂ B

Vì L compact sinh ra nên LH H ≅ L L∩ H , trong đó LH H là nhóm

hữu hạn địa phương tôpô, do đó L L∩ H cũng là nhóm địa phương hữu hạn

tôpô Mặt khác L L∩ H compact sinh ra nên L L∩ H compact, ta lại có L∩H

compact nên L compact

Giả sử g1 ,g2 , ,g n là một tập hữu hạn bất kỳ củaG, ta chứng minh

>

<

= g g gn

M 1, 2, , là compact

Ta xét nhómMi = < M , L >, khi đó Γ =M1H là nhóm con mở trong G

Vì M1 là nhóm con mở, M1 compact sinh ra nên M M H ≅ ΓH

nhóm hữu hạn địa phương tôpô và compact sinh ra

Ký hiệu K =LH thì K là nhóm con mở nên Γ /H rời rạc và do đó

H

/

Γ hữu hạn, khi đó trong Γ tồn tại ước chuẩn P để Γ /P hữu hạn Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết các phần tử đại diện của lớp ghép của Γ theo P là các phần tử g1,g2, ,g n Giả sử g i g j =g kijωij;i, j = 1 ,n, khi

đó M n g t ij i j n

t

, ,2,1