BÀI TOÁN TÌM XÂU TRONG CHUNG CỰC ĐẠI CỦA 2 XÂU CHO TRƯỚC

Nêu bài toán Định nghĩa xâu trong: S là xâu trong của T nếu S nhận được bằng cách xoá đi một số ký tự nào đó của T.. Ví dụ: ‘ABC’ là xâu trong của ‘GAHEBOOC’ bằng cách xóa đi các ký tự G

Bài 3: bài toán tìm xâu trong chung cực đại của 2 xâu cho trước

3.1 Nêu bài toán

Định nghĩa xâu trong: S là xâu trong của T nếu S nhận được bằng cách xoá đi một số ký tự nào đó của T

Ví dụ: ‘ABC’ là xâu trong của ‘GAHEBOOC’ bằng cách xóa đi các ký tự GHEOO của xâu

‘GAHEBOOC’

Bài toán: Cho 2 xâu T1, T2 Tìm một xâu S là xâu trong chung của T1 và T2 có độ dài cực đại

Ví dụ: T1=‘ABCDAE’ và T2=‘XYACADK’ có xâu ‘ACD’ là xâu trong chung với độ dài cực đại

Ta có thông tin vào và thông tin ra của bài toán là:

+ Input: Hai xâu T1,T2

+ Output: Độ dài cực đại của xâu của xâu con chung và xâu con chung S.

3.2 Phương pháp thực hiện, sử dụng phương pháp quy hoạch động với 4 bước là:

Bước 1: Phân tích bài toán

Giả sử ta có:

Xâu T1 = “a1a2…am”, chiều dài: m

Xâu T2 = “b1b2…bn”, chiều dài: n

Gọi L(r,s) là bài toán xâu con chung cực đại, với

r ∈ N: Độ dài dãy a1a2…am( r ≤ m )

s ∈ N: Độ dài dãy b1b2…bn (s ≤ n) (Bài toán ban đầu là L(m, n))

Các giá trị cần tìm:

L[r,s]: độ dài cực đại của xâu con chung của bài toán L(r, s).

S: xâu con chung của bài toán L(r,s)

Bước 2: Giải pháp đệ quy

- T/h 1:Khi (r=0) hoặc (s=0)

L(r,s)=0 {Một trong hai xâu đã cho là rỗng thì độ dài xâu chung cực đại bằng 0}

- T/h 2: Khi (r>0) và (s>0) và (ar<> bs)

L(r,s) = Max(L(r-1,s), L(r,s-1))

- T/h 3: Khi (r>0) và (s>0) và (ar=bs)

L(r,s)= 1 + L(r-1,s-1)

Bước 3: Lập bảng

Nhận xét:

- Ta nhận thấy nếu T1r=T2s, lúc xâu con chung cực đại S của T1 và T2 có thể tính bằng xâu con chung cực đại S’ của Tr-1 và Ts-1, đồng thời nối ai vào cuối, tức S = S’+ ar

- Nếu T1<>T2s, lúc này cho S1 là độ dài xâu chung cực đại xâu của Tr-1 và Ts, và S2 là độ dài xâu chung cực đại của Tr và Ts-1 S sẽ là giá trị lớn nhất trong 2 giá trị S1 và S2

L[r,s] =

1 + L[r -1, s – 1] nếu T1i = T2j Max(L[r -1, s], L[r, s -1]) nếu T1r <> T2s

Độ phức tạp tính toán là: O(m*n)

Procedure Lapbang;

var r,s:integer;

begin

n:=length(T1); m:=length(T2);

for r:=0 to m do

for s:=0 to n do

if (r=0)or(s=0) then

Begin l[r,s] := 0; u=‘’; end else if T1[r]=T2[S] then

l[r,s] := l[r-1,s-1]+1; u:=T1[r];

End

else

l[r,s]:= Max(l[r-1,s],l[r,s-1]);

End;

Bước 4: Tổng hợp kết quả

Để tìm xâu kết quả S: Ta đi ngược từ ô L[m,n] hướng về ô L[0, 0]

- Nếu ar= bs thì đặt ai hoặc bj vào bên trái dãy S (ở đầu xâu) và về ô L[r-1,s-1]

- Nếu ar <> bs thì

+ lùi về L[r - 1, s] trong trường hợp L[r - 1, s] > L[r, s - 1]

+ ngược lại, lùi về L[r, s – 1] trong trường hợp L[r - 1, s] ≤ L[r,s – 1]

Procedure THKQ;

Begin

u:=’’; r:= n; s := m;

While (r > 0) And (s >0) Do

Begin

If T1[r] = T2[s] Then

Begin

u := u+T1[r]; dec(r); dec(s);

End Else If L[r - 1, s] > L[r, s - 1] then dec(r)

Else dec(s);

End;

Writeln(f,‘Do dai xau chung cuc dai là: ’, length(u));

Writeln(f,‘Xau chung cuc dai là:’, u);

Close(f);

End;

Độ phức tạp: O(max(n,m))

CHƯƠNG TRÌNH CHÍNH

CLRSCR;

Nhapdl;

Lapbang;

Tonghopketqua;

END.

CHƯƠNG TRÌNH MÔ PHỎNG TÌM XÂU CON CHUNG CỰC ĐẠI BẰNG NNLT PASCAL

Uses crt;

Const f1='XAU.INP'; f2='KETQUA.OUT';

Var n,m,r,s:integer;

T1,T2:String;

x:Array[1 10] of string;

l:Array[1 10,1 10] of integer;

u:String;

f:text;

Procedure NhapDL;

Begin

assign(f,f1); reset(f);

readln(f,T1); readln(f,T2);

close(f);

assign(f,f2); rewrite(f);

End;

Function max(x,y:integer):integer;

Begin

If x>y Then max:=x Else max:=y;

End;

Procedure lapbang;

m:=length(T1); n:=length(T2);

{FillChar(L, SizeOf(L), 0);}

For r:=1 To m Do

For s:=1 To n Do

If T1[r] = T2[s] Then

L[r,s]:= 1 + L[r-1,s-1]

Else

L[r,s]:= max (L[r,s-1] , L[r-1,s]); End;

Procedure tonghopketqua;

Begin

r:=m; s:=n; u:='';

While (r>0) and (s>0) Do

Begin

If T1[r]=T2[s] Then

Begin

Insert(T1[r], u, 1);

Dec(r);

Dec(s);

End

Else

Begin

If L[r, s]= L[r-1, s] Then Dec(r) Else Dec(s);

End;

End;

Writeln(f,'Do dai xau chung cuc dai la: ', length(u));

Writeln(f,'Xau chung cuc dai la: ',u);

Writeln(f,'Bang phuong an toi uu.');

For r:=1 To m Do

Begin

For s:=1 To n Do

write(f,l[r,s]:4);

writeln(f);

End;

Close(f);

End;

BEGIN

nhapDL;

lapbang;

tonghopketqua;

END.

Giả sửa file XAU.INP khi chạy chương trình trên ta được file KETQUA.OUT như sau:

ABCDAE

XYACADK

Do dai xau chung cuc dai la: 3 Xau chung cuc dai la: ACD Bang phuong an toi uu

0 0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

0 0 1 2 2 2 2

0 0 1 2 2 3 3

0 0 1 2 3 3 3

0 0 1 2 3 3 3

Bài 4: bài toán Du lịch

4.1 Nêu bài toán

Một người đi từ thành phố 0 đến thành phố n và có thể đi qua (hoặc không đi qua) các thành phố khác 1, 2, , n-1, theo lộ trình:

0 → i1→ i2 … → ik → n Trong đó: 0 < i1 < i2 < …< ik < n,

Giá vé của xe đi từ thành phố i đến thành phố j là c[i,j] (với i < j) Tìm một lộ trình từ thành phố 0 đến thành phố n sao cho tổng chi phí về giá vé đạt cực tiểu

Từ bài toán đã nêu, ta có thông tin đầu vào và đầu ra của bài toán như sau:

+ Input: + n là thành phố cần đến

+ C[i, j] là ma trận về vé xe để đi từ thành phố i đến thành phố j (i, j =0 n)

+ Output: Đường đi đến thành phố n sao cho chi phí nhỏ nhất

4.2 Phương pháp thực hiện, sử dụng phương pháp quy hoạch động theo 4 bước sau:

Bước 1 Phân tích bài toán

- Gọi ρ(s) là bài toán du lịch, với: s N là thành phố cần đến.

- Bài toán ban đầu là ρ(n)

- Các giá trị cần tìm:

o l[s]: chi phí nhỏ nhất để đi từ thành phố 0 → s của bài toán ρ(s)

o u[s]: đỉnh kế cuối trên đường đi từ thành phố 0 → s của bài toán ρ(s)

Bước 2 Giải pháp đệ quy

- Khi s = 0 thì

o l[s] = 0

o u[s] = -1 ( vì không có đỉnh kế cuối)

- Khi s > 0 :

o l[s] = min (l[k] + c[k,s]) (0≤k<s)

= l[k’] + c[k’,s]

(với k’ là chi phi đi từ đỉnh 0 đến đỉnh kế cuối nhỏ nhất)

o u[s] = k’

Bước 3 Lập bảng

Procedure Lapbang;

Begin

for s:= 0 to n do

if (s = 0) then Tính l[0] và u[0]

else Tính l[s] và u[s]

End;

 Độ phức tạp tính toán: O(n 2 )

Bước 4 Tổng hợp kết quả

Procedure Tonghop;

Var i, s : byte;

Begin

s := n; {Xuất phát từ thành phố s cuối cùng, ta đi ngược trở lại để tìm các điểm đã đi qua} i:=0; {mảng X[i] dùng để lưu dấu vết các địa điểm thành phố đã đi qua}

while ((s>=0) do {Max la so lon nhat neu khong co duong di qua 1 cap dinh}

Begin

i := i+1;

X[i] := s;

s := u[s];

End;

Writeln(‘Chi phi nho nhat cua duong di la: ’, L[n]);

Write('Duong di voi chi phi nho nhat: ');

for s := i downto 1 do write(x[s],’ ‘);

End;

End;

• Độ phức tạp tính toán: O(n)

CHƯƠNG TRÌNH MÔ PHỎNG BÀI TOÁN DU LỊCH BẰNG NNLT PASCAL

Bài 5: Bài toán sinh viên ôn thi

5.1 Nêu bài toán:

Một sinh viên cần ôn thi n môn trong m ngày Theo kinh nghiệm của anh ta, nếu ôn môn i trong j ngày thì

được điểm là a[i,j] Giả sử cho biết các a[i,j] (với a[i,j] ≤ a[i,j+1])

Tìm bộ x[i] (số ngày ôn môn i, với i =1 n) sao cho Σx[i] = m và sinh viên đạt tổng điểm lớn nhất (hay:

Σa[x[i], i] → max)

Từ nội dung bài toán, ta thấy thông tin vào và ra của bài toán như sau:

+ Input: n: số môn thi

m: số ngày ôn thi a[i,j]: ma trận thể hiện điểm môn i nếu ôn trong j ngày (i: 1 n , j: 1 m)

+ Output: x[i] là số ngày ôn thi của môn i (i = 1 n) sao cho Σa[x[i], i] → max)

n-1

n

Số ngày ôn thi (x[i])

5.2 Phương pháp thực hiện, sử dụng phương pháp quy hoạch động theo 4 bước sau:

B1: Phân tích bài toán

Gọi P(r,s) là bài toán sinh viên ôn thi s môn trong r ngày

=>Bài toán ban đầu: P(m,n)

Các giá trị cần tìm:

l[r,s]: số điểm cực đại

u[r,s]: số ngày tối ưu để ôn môn s

B2: Phương pháp đệ quy

• s>1

l[r,s] = Max(l[r-k,s-1] + a[k,s])

0=<k<=r

u[r,s]=k

• s=1

l[r,s] = a[r,s]

u[r,s] = r

B3: Lập bảng

Procedure LapBang

Begin

For s:=1 to n do

Begin

l[0,s]=0;

u[0,s]=0;

End;

For s:=1 to n do

For r:=1 to m do

Tinh;

End;

Procedure Tinh

Begin

If s=1 then

Begin

l[r,s]:= a[r,s]

u[r,s]:= r;

End

Else

Begin

k1:=0; Max:=l[r,s-1];

For k:=1 to r do

Begin

tam:=a[k,s] + l[r-k,s-1];

If tam>Max then

Begin

Max:=tam; k1:=k; End;

End;

l[r,s]:= Max;

u[r,s]: = k1;

End;

End;

Procedure TongHop

Begin

S:=n; r:=m;

For s:=n downto 1 to

Begin

x[s]:= u[r,s];

r:=r – x[s];

End;

End;

Ví dụ:

Số điểm cao nhất: 10 Môn 1: 3 ngày

Môn 2: 3 ngày Môn 3: 1 ngày

3 7

1 2 2

2 3 3

3 5 4

4 6 5

5 7 6

6 8 7

7 9 8

CHƯƠNG TRÌNH MÔ PHỎNG BÀI TOÁN SINH VIÊN ÔN THI BẰNG NNLT PASCAL

Uses crt;

Const fname='onthi.in';

Var n,p,m:integer;

x:array[1 10] of integer;

a,u,l:array[0 10,0 10] of integer;

f:Text;

Procedure NhapDL;

Var i,j:integer;

Begin

Assign(f,fname);

reset(f);

Readln(f,n,m); {n mon, m ngay}

for i:=1 to m do

Begin

For j:=1 to n do

Read(f,a[i,j]);

End;

Close(f);

End;

Procedure LapBang;

Var r,s,k1,Max,tam,k:integer;

Begin

For s:=1 to n do

Begin

l[0,s]:=0;

u[0,s]:=0;

End;

For s:=1 to n do

For r:=1 to m do

If s=1 then

Begin

u[r,1]:= r;

l[r,1]:= a[r,1];

End

Else

Begin

k1:=0;

Max:=l[r,s-1];

For k:=1 to r do

Begin

tam:= a[k,s] + l[r-k,s-1];

If tam>Max then

Begin

Max:=tam;

k1:=k;

End;

End;

l[r,s]:=Max;

u[r,s]:=k1;

End;

End;

Procedure TongHop;

Var s,r,i:integer;

Begin

s:=n;

r:=m;

For s:=n downto 1 do

Begin

x[s]:=u[r,s];

r:=r - x[s];

End;

Writeln('Diem toi da:',l[m,n]); For i:=1 to n do

Writeln('Mon ',i,':',x[i],' ngay'); End;

Procedure XuatMang;

Var i,j:integer;

Begin

For i:=1 to m do

Begin

For j:=1 to n do

Write(a[i,j],' ');

Writeln;

End;

End;

BEGIN

Clrscr;

NhapDL;

{ Xuatmang;} LapBang; TongHop; Readln; END.