Nhóm con tối đại của một nửa nhóm và ngôn ngữ thử được địa phương

Trong [1], [5], [6], [7] các tác giả đã nghiên cứu các ngôn ngữ hình thức mà vị nhóm cú pháp của nó là một nhóm và đã thu đợc một số kết quả đáng quan tâm Trong luận văn này, chúng tôi

Bộ giáo dục và đào tạoTrờng đại học vinh

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học vinh

Nguyễn thị mỹ vinh

nhóm con tối đại của một nửa nhóm

Mở đầu

Nghiên cứu, tìm hiểu về lý thuyết ngôn ngữ hình thức là một điều thú vị,

nó thực sự hấp dẫn nhiều ngời làm toán vì bằng công cụ đại số ngời ta đã đa

đ-ợc những kết quả có ứng dụng trong thực tiễn - một điều không phải bao giờ cũng thực hiện đợc

Trong [1], [5], [6], [7] các tác giả đã nghiên cứu các ngôn ngữ hình thức mà vị nhóm cú pháp của nó là một nhóm và đã thu đợc một số kết quả

đáng quan tâm

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một lớp ngôn ngữ thử đợc địa

ph-ơng, đó là ngôn ngữ mà vị nhóm cú pháp của nó không phải là nhóm và các nhóm con tối đại của vị nhóm cú pháp là tầm thờng và thu đợc nhiều kết quả

đáng chú ý về dáng điệu ngôn ngữ , vị nhóm cú pháp , ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ đó

Luận văn gồm : Phần mở đầu, Chơng 1, Chơng 2 và Phần kết luận Chơng 1 : Trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm con tối

đại và lý thuyết tơng đẳng trên nửa nhóm để làm cơ sở cho việc trình bày các chơng sau Trong tiết 1, chúng tôi đa ra các kết quả về nhóm con tối đại của nửa nhóm với các kết quả đáng chú ý trong mệnh đề 1.1 và mệnh đề 1.2 Trong tiết 2 chúng tôi nhắc các kiến thức liên quan đến tơng đẳng và ngôn ngữ hình thức là tơng đẳng Đuybrây và tơng đẳng Kroadô( Định nghĩa 1.8 và định nghĩa 1.19) Tiết 3 trình bày các vấn đề liên quan đến nửa nhóm tự do, với kết quả

đáng lu ý là tiêu chuẩn để một nửa nhóm con của nửa nhóm tự do là nửa nhóm

tự do ( Mệnh đề 1.35).

Trong chơng 2 : Tiết 1 chúng tôi nêu những tính chất đáng chú ý về

ôtômát - văn phạm và vị nhóm của ngôn ngữ hình thức tổng quát và lớp ngôn ngữ phi ngữ cảnh( Xem định nghĩa 2.14), đồng thời nêu đợc mối liên hệ giữa lớp ngôn ngữ chính qui và lớp ngôn ngữ phi ngữ cảnh ( Mệnh đề 2.15) Tiết 2

nghiên cứu về ngôn ngữ thử đợc địa phơng trên 3 phơng diện : Dáng điệu ngôn ngữ, vị nhóm cú pháp , và ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ đó (thể hiện chủ yếu trong định lý 2.17) Việc khảo sát văn phạm của lớp ngôn ngữ này là một bài toán mở mà sẽ có nhiều hứa hẹn

Một phần kết quả đó là Ngôn ngữ thử đ“Ngôn ngữ thử đ ợc địa phơng đã gửi đăng” đã gửi đăng

trong Tạp chí khoa học của Đại học Vinh Các ký hiệu dùng trong luận văn là

ký hiệu thông thờng và các kết quả trình bày theo thứ tự chơng – thứ tự kết thứ tự kết quả Ví dụ định lý 1.3 là chơng 1, định lý thứ 3.

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tâm, nhiệt tình của thầy giáo PGS - TS Lê Quốc Hán

Nhân dịp này, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy -

ng-ời đã đặt bài toán và dành cho tác giả sự giúp đỡ tận tình, chu đáo

Tác giả cũng rất biết ơn PGS Ngô Sỹ Tùng, TS Nguyễn Thành Quang,

GS Nguyễn Quốc Thi , PGS Nguyễn Quý Di, các thầy giáo, cô giáo trong tổ

Đại số đã giúp đỡ động viên, chỉ bảo tác giả hoàn thành luận văn này

Cũng nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu nhà tr ờng , Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học và các phòng ban liên quan

-đã tạo điều kiện cho tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trờng Đại học Vinh

Tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn

Vinh, tháng 11/2003

Tác giả

Chơng I

nhóm con tối đại và tơng đẳng của các nửa nhóm

Đ1.Nhóm con tối đại trong nửa nhóm

Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị 1 Nếu p và q là các phần tử

thuộc S sao cho pq=1, thì ta gọi p là nghịch đảo bên trái của q , còn q là nghịch

đảo bên phải của p.( Ta bỏ từ “Ngôn ngữ thử đđối với 1” đã gửi đăng ) Phần tử khả nghịch bên phải [trái]

thuộc S đợc định nghĩa là phần tử thuộc S có một nghịch đảo bên phải [ trái]thuộc S Vậy nếu pq=1 thì p khả nghịch bên phải , còn q khả nghịch bên trái ,

phần tử khả nghịch thuộc S là một phần tử vừa khả nghịch bên trái vừa khả

nghịch bên phải

Mệnh đề 1.1 Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị 1

i) Tập P |Q| tất cả các phần tử khả nghịch bên phải |trái| của S là

một nửa nhóm con với luật giản ớc phải | trái | và chứa 1.

ii) Tập U tất cả các phần tử khả nghịch thuộc S là một nhóm con của

ii) Hiển nhiên U= P Q và vì vậy U là nửa nhóm con của nửa nhóm

S Nếu uU thì tồn tại các phần tử x, yS sao cho xu=uy=1 Giả

sử x và y là các phần tử tuỳ ý nh vậy thuộc S Thế thì x = x1 = xuy

= 1y = y Do đó mọi phần tử nghịch đảo bên trái của u’ bằng phần

tử nghịch đảo bên phải tuỳ ý , và vì vậy u có phần tử nghịch đảohai phía duy nhất u’ và không có các phần tử nghịch đảo bên phải

và bên trái khác Từ các đẳng thức uu’ = u’u = 1 suy ra u’U,thành thử U là một nhóm

iii) Giả sử G là một nhóm con tuỳ ý của nửa nhóm S, chứa 1 và aG

Giả sử a-1 là phần tử nghịch đảo của a thuộc G Từ các đẳng thức

aa-1 = a-1a = 1 suy ra aU, vì vậy G U

Một nửa nhóm không phải bao giờ cũng chứa các nhóm con Chẳng hạn,nửa nhóm xiclic vô hạn không chứa nhóm con nào Dễ thấy rằng nửa nhóm Schứa nhóm con trong và chỉ trong trờng hợp nó chứa một luỹ đẳng Nếu e làmột luỹ đẳng của một nửa nhóm S thì eS gồm tất cả các phần tử a thuộc S nhận

e làm đơn vị trái , tức là ea = a Thật vậy, nếu a= ex với x nào đó thuộc S, thì ea

= e2x = ex = a Mệnh đề đảo là hiển nhiên Tơng tự , Se gồm tất cả các phần tử

thuộc nửa nhóm S nhận e làm đơn vị phải và eSe là tập tất cả các phần tử thuộcnửa nhóm S nhận e làm đơn vị hai phía Dễ thấy rằng

eSe = eS Se

Ngoài ra, eS [Se] là iđêan chính phải [ trái] của nửa nhóm S , sinh bởi e

Đặc biệt eS và Se là các nửa nhóm con của nửa nhóm S và do đó giao eSe củachúng cũng là nửa nhóm con Hơn nữa , eSe có đơn vị e , vì vậy ta có thể nói

về nhóm các phần tử khả nghịch trong nửa nhóm eSe , nhóm đó ta kí hiệu là He

Mệnh đề 1.2 Giả sử e là một luỹ đẳng tuỳ ý của nửa nhóm S và H e là nhóm các phần tử khả nghịch trong nửa nhóm eSe Thế thì H e chứa mỗi nhóm con G của nửa nhóm S, mà G giao với H e

Chứng minh : Giả sử f là đơn vị của nhóm G Trớc hết ta chứng tỏ rằng f = e.

Theo giả thiết G  H   Giả sử a là một phần tử thuộc giao đó

Nếu b và e là các phần tử nghịch đảo của a tơng ứng trong các nhóm G và He

Từ mệnh đề 1.2 cũng suy ra rằng , nếu e và f là các luỹ đẳng khác nhaucủa nửa nhóm S, thì He và Hf không giao nhau Ta có thể tởng tợng các nhómcon tối đại của nửa nhóm S nh các đảo trong biển cả

Đ2.Tơng đẳng Tơng đẳng Đuybrây và tơng đẳng

Kroadô trên nửa nhóm

Tiết này, ta nhắc lại định nghĩa tơng đẳng, nửa nhóm thơng, định lý về

đồng cấu, định nghĩa tơng đẳng Đuybrây, tơng đẳng Kroadô cùng các định lýkhác

Định nghĩa 1.3 Ta nói quan hệ  trên nửa nhóm S là ổn định bên phải (trái)

nếu ab (a,bS) kéo theo ac  bc ( ca  cb) với mỗi cS

Một quan hệ tơng đơng ổn định bên phải ( trái ) ta sẽ gọi là tơng đẳngbên phải ( bên trái ) trên S

Tơng đẳng trên S là quan hệ tơng đơng vừa là tơng đẳng bên trái, vừa làtơng đẳng bên phải

Ta ký hiệu a (aS) là lớp tơng đơng theo mod chứa a

Vì vậy : a o b = (ab) với a,bS Nếu ký hiệu  là ánh xạ tự nhiên từnửa nhóm S lên S/ ta đợc a =(a) với aS và vì vậy (a)o (b) = (ab) Vậy

Định lý sau đây chứng tỏ rằng, đảo lại, mỗi ảnh đồng cấu của nửa nhóm

S đẳng cấu với một nửa nhóm thơng nào đó của nó

Định lý 1.5 Giả sử  là một đồng cấu từ nửa nhóm S lên nửa nhóm S và giả’

sử  = -1

o  tức là ab (a, bS)  (a) = (b) Thế thì  là một tơng đẳng trên

S và tồn tại đẳng cấu  từ nửa nhóm S/ lên S sao cho ’  = , trong đó  là

đồng cấu tự nhiên từ S lên S/ .

Chứng minh :

Nếu ab và cS thì :(ac) = (a)(c) = (b)(c) = (bc), từ đó acbc

Tơng tự cacb Mà  hiển nhiên là một quan hệ tơng đơng trên S nên nó

là tơng đẳng

Đối với mỗi phần tử AS/, ta đặt (A) = (a1) trong đó a1A Để

chứng tỏ  là một ánh xạ ( từ S/ vào S’ ) ta chú ý rằng nếu a2A thì a1a2và do

đó (a1) = (a2) vì  là ánh xạ S lên S’ nên  là ánh xạ S/ lên S’

Ta chứng tỏ  là đồng cấu Giả sử A,B S/ và aA, bB

Thế thì abAoB do vậy (AoB) = (ab) = (a)(b) = (A)(B)

 là ánh xạ một - một Thật vậy giả sử (A) = (B) và ta lấy aA, bB Thếthì (a) = (A) = (B) = (b)

Từ đó ab và vì vậy a=b

Vậy  là đẳng cấu từ S/ lên S’

Nếu aAS/ thì (a) = A Thành thử (a) = (A) = [(a)] =()(a) Điềunày đúng với mọi aS nên ta kết luận  = 

Định lý 1.6 ( Định lý về đồng cấu cảm sinh ) Giả sử  1 , 2 là các đồng cấu từ nửa nhóm S tơng ứng lên các nửa nhóm S 1 , S 2 sao cho 1 -1 o1   2 -1 o2 Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất  từ nửa nhóm S 1 , lên nửa nhóm S 2 sao cho

1 = 2

Chứng minh:

Giả sử a1S1 và a là một phần tử thuộc nửa nhóm S sao cho 1(a) = a1

Đặt (a1) = 2(a), nếu 1(b) = a1, (bS) thì (a,b) 1-1o1  2-1o2 suy ra (a,b)

 2-1o2 Từ đó 2(a) = 2(b) thành thử  là một ánh xạ ( đơn trị ) Hiển nhiên

1 =2

Ta chứng tỏ  là đồng cấu :

[1(a)1(b)] = [1(ab)] = 2(ab) = 2(a)2(b) = [1(a)]  [1(b)]

Tính duy nhất của  là hiển nhiên Thật vậy, nếu  thỏa mãn hệ thức 1 = 2

thì buộc phải xác định  nh đã làm ở trên

Hệ quả 1.7 [2] Nếu  1 , 2 là các tơng đẳng trên nửa nhóm S sao cho 1   2 thì S/1 S/ 2

Định nghĩa 1.8 Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý và H là một tập con của S ,

với a S ( a tuỳ ý ) ta định nghĩa a[-1]H và Ha[-1] nh sau :

H là một tơng đẳng phải trên S , gọi là tơng đẳng phải chính trên S xác

định bởi tập H hay còn gọi là tơng đẳng Đuybrây *

H là tơng đẳng phải bộphận trên S mà ta còn gọi là tơng đẳng phải bộ phận chính trên S xác định bởitập H Bằng cách đối ngẫu , một tơng đẳng trái chính trên S xác định bởi tập Hcho bởi công thức H = {(a,b) S S | Ha[-1] = Hb[-1]}

Định nghĩa 1.9 Đặt WH = {x S | x[-1] H=} Khi đó WH gọi là thặng d phải của tập H

Đặt HW = {x S | Hx[-1] =}.Khi đó HW gọi là thặng d trái của tập H

Chú ý : S\W H là miền xác định của quan hệ H * và H * trùng với cái thu hẹp của H trên S\W H

Định nghĩa 1.10 Tập con H của S gọi là tập con mạnh của S nếu với mọi a,

b S, a[-1]H  b[-1]H   kéo theo a[-1]H = b[-1]H

Định nghĩa 1.11 Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý và U là một tập con của S, ta

nói U cô lập bên trái ( bên phải ) trong S nếu từ u U và uxU( xu U ) đốivới x S, suy ra x  U

Ta nói tập con U cô lập trong S nếu nó cô lập cả bên trái và bên phải

Bổ đề 1.12 [2] Nếu H là tập con của một nửa nhóm S và W H   thì W H là một H - lớp và là iđêan phải của H.

Bổ đề 1.13.[2] Giả sử H là tập con của nửa nhóm S Thế thì các điều kiện sau

đây tơng đơng :

A/ H là một tập con mạnh

B/ Với mọi a, b, c, x, y, S, nếu ba trong bốn phần tử ax, bx, ay, by thuộc

H thì phần tử thứ t cũng thuộc H

C/ Với mọi a, b S nếu Ha [-1]  Hb [-1]   kéo theo Ha [-1] = Hb [-1]

Bổ đề 1.14 [2] Giả sử H là một nửa nhóm con mạnh của nửa nhóm S, thế thì

H - lớp U H chứa H, là một nửa nhóm cô lập bên phải của S Ngoài ra H = U H khi và chỉ khi H cô lập trên S

Mệnh đề 1.15.[2] Nếu H là một tập con mạnh của nửa nhóm S thì  H là một

t-ơng đẳng phải với luật giản ớc phải bộ phận đối với thặng d W H

Đảo lại, giả sử  là một tơng đẳng phải với luật giản ớc phải bộ phận

đối với thặng d W, còn H là một lớp tơng đơng khác W của nó , thế thì    H

và cái thu hẹp của  trên S\W H trùng với *

H

Bổ đề 1.16.[2] Giả sử H là một nửa nhóm con cô lập bên trái của nửa nhóm S.

nếu h H và a S thì (ha, a) H

Ngoài ra nếu a  S\W H và b  S thì tồn tại một c S sao cho (ac,b) H

Bổ đề 1.17.[2] Giả sử  là một tơng đẳng phải trên một nửa nhóm S và H là

một lớp tơng đơng của nó , thế thì    H

Mệnh đề 1.18 Giả sử U là một nhóm con cô lập mạnh của nửa nhóm S Thế thì

 = U là một tơng đẳng phải trên S Ký hiệu : W=W U là thặng d của tập U Thế thì hoặc W=  hoặc U là iđêan phải thực sự của S, trùng với một trong các

 - lớp, ngoài ra :

(i) Nếu ac, bc  S\W và (ac, bc) thì (a,b) .

(ii) Tồn tại một u S sao cho (ua,a) với a S.

(iii) Nếu a S\W và bS thì tồn tại một c S sao cho (ac,b) .

Đảo lại, nếu  là một tơng đẳng phải trên S thoả mãn các điều kiện (i),

(ii),(iii) và hoặc W=  hoặc W là một  - lớp và là một iđêan phải thực sự của

S thì tập U gồm tất cả các u S thoã mãn điều kiện (ii) sẽ là một nửa nhóm cô

S, thỏa mãn các điều kiện đã trình bày Giả sử U là một tập các uS thỏa mãn

điều kiện (ii) và u1, u2 S Thế thì (u1(u2a), (u2a)) và (u2a,a) với mọiaS Từ đó ((u1u2)a, a) với mọi aS , do đó u1u2U , tức là U là một nửanhóm con của S

Giả sử uU và uxU Vì uxU nên với mọi aS, ta có (uxa,a) VìuU nên với mọi aS ta có :(u(xa),xa) Từ đó (xa,a) với mọi aS tức làxU Vậy U cô lập trái

Bây giờ ta chứng minh UW =  Giả thiết trái lại , tồn tại uUWThế thì (ua, a) với mọi aS Theo giả thiết W  S vậy S\W  Lấy bS\

W, vì W là một iđêan phải nên ub W Do W là một  - lớp nên (ub, b) kéotheo bW Điều đó mâu thuẫn với việc chọn phần tử b Vậy UW = 

Giả sử uU và (x,u)  Thế thì, vì trong là một tơng đẳng phải nên (xa,ua)  với mọi aS Do uU nên ta có (ua,a) với mọi aS Do đó (xa,a) với mọi aS , tức là xU Hơn nữa giả sử u1, u2U, lấy cS\W thế thì(u1c, c) và (u2c, c), từ đó (u1c, u2c) Vì W là một  - lớp nếu nó khôngrỗng nên u1c, u2c S\W Do đó theo tính chất (i) ta đợc (u1, u2)  Vậy ta đãchứng minh U là một -lớp

Ta ký hiệu WH là thặng d phải của tập U Ta giả thiết rằng aS\W vàuU Do tính chất (iii) tồn tại một x S sao cho (ax, u) Vì U là một -lớp Nên từ đó suy ra ax U, do đó aWU Nh thế ta đã chứng đợc WU  W

Đảo lại, giả sử aW Nếu aWU thì axU đối với một x nào đó thuộc S.Mặt khác, axW vì W là một iđeal phải Điều đó trái với UW =  Do đóWWU

Gộp các bao hàm thức đã chứng minh Ta có W = WU

Vì U là một  - lớp nên theo bổ đề 1.17   U Nếu (a,b) U và a,b 

WU thì (a,b) nh ta vừa chứng minh Trong trờng hợp trái lại , (a,b)RU kéotheo ax, bxU đối với một x nào đó thuộc S Lấy cS\W, khi đó (axc, c) và(bxc, c), từ đó(axc, bxc) và vì W là một  - lớp nếu nó không rỗng , nên

ta có axc, bxc  S\W Do tính chất (i) ta thu đợc (a, b) Vậy U  và từ đó

 = U

Ta chứng minh U là một tập con mạnh Ta xét ax, bx, by U Vì U làmột - lớp nên ( ax,bx)  Do tính chất (i) và do UW =  nên từ đó suy ra(a,b), mặt khác U là một -lớp nên từ đó ta đợc ayU

Vậy dựa vào bổ đề 1.13, U là một tập con mạnh

Mệnh đề cuối cùng của định lý về nửa nhóm con U - tức là U cô lập bênphải ( U cô lập bên trái đã đợc chứng minh ở trên ) - đợc suy ra từ bổ đề 1.14

Mệnh đề tơng ứng giữa các nhóm con cô lập, mạnh U và các tơng đẳngphải chính U là một - một sẽ đợc chứng minh nếu ta chứng tỏ đợc rằng mộtnửa nhóm con bất kỳ nh thế gồm tất cả các phần tử xS mà (xa,a)U với mọiaS Do bổ đề 1.16 nên ta biết rằng mỗi phần tử thuộc U đều có tính chất đó Nếu (xa,x) RU đối với uU đều có tính chất đó Nếu (xa,a)U với mọi aSthì đặc biệt (xu,u) U đối với uU

Dựa vào bổ đề 1.14, U là một U - lớp do đó xuU Khi đó do nửa nhóm

U cô lập bên phải nên xU Điều đó kết thúc chứng minh định lý

Định nghĩa 1.19 Với mỗi tập con bất kỳ H của nửa nhóm S, một phần tử bất

kỳ aS ta đặt tơng ứng với tập H a cho nh sau:

H a = {(x, y) SS | xay H}

Đặt H = {(a, b) SS | H a = H b}

H là một tơng đẳng trên S gọi là tơng đẳng chính trên S tơng ứng với tập con H

hay còn gọi là tơng đẳng Kroadô sinh bởi H

Định nghĩa 1.20 Ta gọi thặng d kép W của tập H là tập :

W= {a S | H a =}

Định nghĩa 1.21 Một tập con H của S đợc gọi là tập con mạnh kép ( trong S)

nếu mọi a, bS thì từ (H a)  (H b)   suy ra H a = H b

Định nghĩa 1.22 Ta nói rằng một tập con H của nửa nhóm S là tập con đối

xứng nếu WH = HW và H = H, trong trờng hợp đó H là một tơng đẳng trên

S

Định nghĩa 1.23 Một tập con H của nửa nhóm S đợc gọi là tập con phản xạ

nếu nó thoã mãn điều kiện :abH khi và chỉ khi baH với mọi a,bS Tức là

a[-1]H = Ha[-1] với mọi aS

Mệnh đề 1.24[2] Giả sử H là một nửa nhóm con mạnh và phản xạ (do đó đối

xứng) của nửa nhóm S Đặt  =  H = H  Thế thì hoặc W H   nếu S/ là một

nhóm với phần tử không W H và đơn vị U H hoặc W H =  nếu S/ là một nhóm với

đơn vị U H Tập U= U H là một nửa nhóm con mạnh, phản xạ và cô lập của S và

 =  U

Đảo lại, giả sử  là một tơng đẳng trên S sao cho S/ hoặc là một nhóm

hoặc là một nhóm với phần tử không và U là đơn vị của nhóm thơng S/  Thế

thì U là nửa nhóm con mạnh, phản xạ và cô lập của S và  = U Ngoài ra, W U

  khi và chỉ khi S/ có phần tử không Trong trờng hợp đó, W U là phần tử không của nhóm S/ .

Mệnh đề 1.25[2] Giả sử H là một tập con mạnh kép của nửa nhóm S và X là

một H - lớp khác thặng d kép W của tập con H Ký hiệu W X là thặng d kép của tập X Thế thì X là một tập con mạnh kép và W  W X và H   X

Cái thu hẹp của các quan hệ H và X trên X

W

S trùng nhau Ngoài ra nếu H  X thì  H =X

Định nghĩa 1.26 Một tập con không rỗng H của nửa nhóm S đợc gọi là hoàn

thiện kép nếu nó là mạnh kép và đợc chá trong mộtH - lớp nào đó khác vớithặng kép của tập H

Bổ đề 1.27 [2] Một nửa nhóm con mạnh kép thì hoàn thiện kép.

Mệnh đề 1.28 Giả sử H là một nủa nhóm con mạnh kép của nửa nhóm S và

thặng d của nó rỗng Thế thì H đợc chứa trong một H -lớp U nào đó và U là một nửa nhóm con cô lập mạnh kép của S với thặng d rỗng

Đẳng thức H = U thỏa mãn khi và chỉ khi H cô lập Ngoài ra H =U =

U và





S là một nhóm

Đảo lại, nếu  là một tơng đẳng trên S sao cho : S/ là một nhóm và U là

đơn vị của nhóm S/  thì U là một nửa nhóm con cô lập, mạnh kép với thặng d

H và (v,h) H với hH Vì H là một tơng đẳng nên từ đó suy ra ( uv,h2) 

H Do h2H nên ta đợc uvU Do đó U là một nửa nhóm con

Giả sử uU , xuU Tồn tại (a,b)  H (xu), từ đó (a,ub) H x Hơn nữaH (xu) = H (u’u) đối với u’U, vì U là một nửa nhóm con và là H – thứ tự kết lớp

Do đó (a, b) H (u’u) tức là (a, ub)  H u’ Vậy (H x)  (H u’)  , từ đó

do H mạnh kép nên xU Điều đó chứng tỏ rằng nửa nhóm con U cô lập bênphải Tơng tự, U cô lập bên trái Từ chỗ H  U suy ra ngay rằng U có mộtthặng d kép rỗng Dựa vào mệnh đề 1.25, U là mạnh kép Giả thiết rằng H côlập Giả sử uU, tức là H u = H h   đối với hH Khi đó huh H, vì

h3H Do H cô lập, nên từ h(uh) thuộc H suy ra uhH, từ đó đến lợt nó ta đợcuH Vậy H = U khi và chỉ khi H cô lập Dựa trên mệnh đề 1.25, H =U.

Bây giờ ta xét nửa nhóm thơng

Đảo lại, giả sử rằng U là đơn vị của nhóm S/ Rõ ràng, U là một nửanhóm con cô lập của S( mệnh đề 1.24) Vì S/ là một nhóm nên U có thặng dkép rỗng

Giả sử (x,y) (U a)  (U b) Khi đó XAY = U = XBY, trong đó cácchữ lớn ký hiệu là -lớp, tơng tự nh đã làm ở trên đối với các U-lớp Giả sử(p,q)  U a khi đó PAQ = U, từ đó pbq U, tức là (p,q)  U b Điều đóchứng tỏ rằng U a  U b Do lý luận đối xứng nên ta suy ra rằng U là mộtnửa nhóm con mạnh kép

Thêm nữa, (a,b) , tức là A=B, khi và chỉ khi tồn tại X,Y sao cho (x, y)

(U a)  (U b), tức là khi (a,b) U vậy  = U

Rõ ràng, tơng ứng mà ta đã thiết lập giã các nửa nhóm con cô lập mạnh

kép với các thặng d rỗng và các tơng đẳng  trên S sao cho S/ là nhóm, là

định nghĩa tích của chúng bằng cách ghép chúng lại:

(x1, ,xm).(y1, ,yn) = (x1, ,xm,y1, ,yn)Khi đó Jx trở thành một nửa nhóm mà ta gọi là nửa nhóm tự do trên tập

X, các phần tử thuộc Jx ta gọi là các từ Nếu ta đồng nhất phần tử xX với dãy(x) độ dài 1, thì theo định nghĩa của tích trong Jx ta đợc :