Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K quỹ đạo chiều cực đại của các MD5 nhóm liên thông tương ứng

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K quỹ đạo chiều cực đại của các MD5 nhóm liên thông tương ứng tập trung tìm hiểu về lớp các MD nhóm và MD đại số; lớp con các MD5 đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều và bức tranh hình học các K quỹ đạo của các MD5 nhóm liên thông đơn liên tương ứng.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Dương Minh Thành

VỀ MỘT LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ

VÀ PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ

ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG TƯƠNG ỨNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2006

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi dưới

sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lê Anh Vũ Những kết quả trong luận văn này mà

không được trích dẫn là những kết quả tôi đã nghiên cứu được

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa 1

Lời cam đoan 2

Mục lục 3

Danh mục các ký hiệu 5

MỞ ĐẦU 6

Chương 1 – LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ 1.1 Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie 13

1.2 Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie 14

1.3 Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie 19

1.4 Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số 22

Chương 2 – LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 3 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG 2.1 Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo 26

2.2 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều 29

2.3 Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét 37

Chương 3 – KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD-NHÓM ĐÃ XÉT 3.1 Phân lá – Phân lá đo được 48

3.2 Các MD5-phân lá liên kết với các MD5-nhóm đã xét 53

KẾT LUẬN 57

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

PHỤ LỤC 63

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V

AutG : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G

B: tập hoành Borel

C : trường số phức

( )

C V∞ : không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V

End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V

exp : ánh xạ mũ exp

G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G

GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực

( )

J F : ideal các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F

Lie(G) : đại số Lie của nhóm Lie G

Ω : quỹ đạo Kirillov qua F

∧ : độ đo hoành (đối với phân lá)

MỞ ĐẦU

Lý thuyết biểu diễn là một trong những lĩnh vực quan trọng, đóng vai trò cốt yếu trong nhiều hướng nghiên cứu của toán học và vật lý học hiện đại: giải tích điều hòa trừu tượng, lý thuyết số, nhóm đại số, cơ học lượng tử, vật lý hạt cơ bản, lý thuyết trường lượng tử, hình học đại số, nhóm lượng tử, … Một cách tự nhiên, bài toán quan trọng nhất của lý thuyết biểu diễn chính là bài toán phân loại biểu diễn hay còn gọi là bài toán về đối ngẫu unita Tức là cho trước một nhóm G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một đẳng cấu)

Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số Lie Nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie cho ta những thông tin về chính nhóm đó và của các đại số nhóm tương ứng Để giải quyết bài toán này, A.A.Kirillov (xem [Ki]) đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo và nhanh chóng trở thành một công cụ đắc lực của lý thuyết biểu diễn Phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ các K-quỹ đạo nguyên của nó Trong khoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov được nhiều nhà toán học trên thế giới như L.Auslander, B Kostant, Đỗ Ngọc Diệp, … nghiên cứu, cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillov chính là các K-quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn) Do đó, việc mô

tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông giải được,

có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie

Nhờ phương pháp quỹ đạo của Kirillov, năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực giải được đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo (tức là quỹ đạo Kirillov) Đó là lớp các MD-nhóm và MD-đại số Một nhóm Lie thực giải được mà các K-quỹ đạo của nó hoặc là 0-chiều hoặc là có chiều cực đại được gọi là MD-nhóm Khi

số chiều cực đại bằng số chiều của nhóm thì nhóm đó được gọi là MD-nhóm Đại số Lie của một MD-nhóm (tương ứng, MD-nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD-đại số)

Năm 1982, Hồ Hữu Việt (xem [So-Vi]) đã liệt kê và phân loại triệt để lớp các MD-đại số Lớp này chỉ bao gồm các đại số Lie giao hoán n-chiều n (n≥ 1),

đại số Lie 2-chiều aff và đại số Lie 4-chiều aff

Việc phân loại các MD-đại số đến nay vẫn là một bài toán mở Để đơn giản,

ta phân nhỏ lớp các MD-nhóm và MD-đại số theo số chiều Khi đó ta có thể kí hiệu MDn-nhóm và MDn-đại số là các MD-nhóm và MD-đại số có số chiều là n Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) đã liệt kê, nhưng chưa phân loại, toàn

bộ lớp các MD4-đại số Phải đến năm 1990, trong các bài báo và luận án tiến sĩ của mình, Lê Anh Vũ ((xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]) đã phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số này Chú ý rằng, trong các công trình đó, Lê Anh Vũ còn chứng minh được rằng họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của tất cả các MD4-nhóm liên thông bất khả phân đều tạo thành phân lá đo được theo nghĩa của Connes Và tác giả gọi các phân lá này là MD4-phân lá Thêm vào đó, Lê Anh Vũ còn phân loại tôpô triệt để, cho thêm một phép mô tả chúng

bởi tác động của nhóm Lie giao hoán R2, đồng thời đặc trưng các C*- đại số tương ứng với các MD4-phân lá đó bằng phương pháp KK-song hàm tử Với

những kết quả sâu sắc như vậy, ta có thể coi lớp các MDn-nhóm và MDn-đại số

đã được giải quyết triệt để trong trường hợp n≤ 4 Do đó ta chỉ xét bài toán này trong trường hợp n≥ 5 Cụ thể là hiện nay với n = 5 thì bài toán vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn

Về phương diện hình học, không gian các K-quỹ đạo của mỗi MD-nhóm khá đơn giản Theo số chiều, mỗi MD-nhóm chỉ gồm 2 tầng các K-quỹ đạo: tầng các quỹ đạo 0-chiều và tầng các quỹ đạo chiều cực đại Xét riêng tầng các quỹ đạo chiều cực đại của một MD-nhóm liên thông thì ta thu được các quỹ đạo là các đa tạp liên thông đôi một rời nhau cùng số chiều, điều này cho ta một liên tưởng đến một phân lá

Các phân lá đầu tiên xuất hiện khi khảo sát các lời giải của hệ khả tích các phương trình vi phân thường Tuy nhiên, phải đến khi các công trình của Reeb (xem [Re]) ra đời năm 1952 thì các phân lá mới thực sự trở thành đối tượng nghiên cứu mang tính chất hình học và nhanh chóng phát triển thành một ngành mạnh của hình học vi phân, đó là lý thuyết tôpô phân lá

Năm 1982, Connes (xem [Co]) đưa ra khái niệm độ đo hoành đặc biệt thích hợp với việc nghiên cứu các phân lá, nhất là các phân lá định hướng được Khi trang bị một độ đo hoành, phân lá được gọi là phân lá đo được

Trong những năm gần đây, Lê Anh Vũ tiếp tục nghiên cứu bài toán với n=5 Mặc dù phương pháp và công cụ nghiên cứu cho trường hợp MD5 về cơ bản vẫn như trường hợp MD4 nhưng vì số chiều tăng lên 1 đơn vị nên mọi tính toán đều trở nên phức tạp hơn rất nhiều Do đó, trong một khoảng thời gian khá dài từ năm 1990 đến năm 2003, không một MD5-đại số bất khả phân nào được biết đến

Thật ra có rất nhiều các MD5-nhóm và MD5-đại số khả phân, nhưng việc xét chúng được quy về xét các MDn-nhóm và MDn-đại số với n≤ 4 Điều này được khẳng định và minh họa trong [Vu7] Do đó ta chỉ xét các MD5-đại số bất khả phân Nếu không sợ lầm lẫn thì ta dùng thuật ngữ MD-đại số thay cho MD-đại số bất khả phân

Để đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (với k<5) và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng Trong các năm 2003 và 2004, Lê Anh Vũ cùng học trò của mình là Nguyễn Công Trí (xem [Vu8] và [Vu-Tri]) đã liệt kê và phân loại triệt để lớp con các MD5-đại số

có ideal dẫn xuất giao hoán không quá 2 chiều Đồng thời các tác giả cũng chứng minh được rằng, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông tương ứng với các MD5-đại số đó đều tạo thành phân lá đo được theo nghĩa của Connes và gọi đó là các MD5-phân lá, tôpô của các MD5-phân lá này cũng đã được mô tả chi tiết Những kết quả này ngay lập tức đã được mời báo cáo tại các hội nghị quốc tế về toán học như Hội nghị quốc tế về Đại số - Tôpô - Hình học ở Bangkok, Thái Lan tháng 12/2003, Hội nghị Toán học quốc tế ở Trùng Khánh, Trung Quốc tháng 10/2004, Hội nghị Toán học toàn Châu Á lần thứ 4 ở Singapore tháng 7/2005

Cuối năm 2005, Lê Anh Vũ (xem [Vu9] ở phụ lục 1) tiếp tục liệt kê và phân loại lớp con các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều Lớp này bao gồm 2 đại số Lie và 6 họ vô hạn các đại số Lie không đẳng cấu với nhau Dựa trên kết quả này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu và đạt được những kết quả sau đây:

1) Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã liệt kê

2) Chứng minh họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm đó tạo

thành phân lá đo được theo nghĩa của Connes

Các kết quả thu được là nội dung chính của bản luận văn Bởi thế, luận văn

này được mang tên “Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông tương ứng ”

Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận và phần phụ lục Cụ thể:

Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu

Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về nhóm Lie, đại số Lie, K-biểu

diễn của nhóm Lie và lớp các MD-nhóm, MD-đại số Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán đang xét

Chương 2 và Chương 3: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với đầy

đủ những chứng minh chặt chẽ Bao gồm việc mô tả chi tiết bức tranh hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều đã được Lê Anh Vũ liệt kê, đồng thời chứng minh họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng lập thành phân lá đo được theo nghĩa của Connes

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục

nghiên cứu

Phần phụ lục: Trích dẫn bài báo “On a Subclass of 5-dimensional

Solvable Lie Algebras Which Have 3-dimensional Commutative Derived Ideal” của Lê Anh Vũ đăng trên tạp chí

East – West Journal of Mathematics, Vol 7 (1), pp 13 – 22,

và bài báo “The Geometry of K-orbits of a Subclass of Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits”

MD5-của tác giả chung với Lê Anh Vũ đăng trên tạp chí Contributions

in Mathematics and Applications (Proceedings of the International Conference in Mathematics and Applications,

chính là các kết quả được trình bày trong luận văn này Cả hai bài báo đều được đăng vào năm 2006

Các nghiên cứu đạt được dựa trên các tính toán thuần túy đại số và giải tích với sự trợ giúp của máy tính Nhiều kết quả nêu ra nhưng không chứng minh vì phương pháp chứng minh đã được trình bày trong các tài liệu trích dẫn Nội dung chính của luận văn này cũng đã được mời báo cáo tại Hội nghị Đại số - Hình học

- Tôpô, Tp.HCM tháng 11/2005 và Hội nghị quốc tế về Toán học và Ứng dụng tại Bangkok, Thái Lan tháng 12/2005

Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu) Để trích dẫn một kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc Chẳng hạn, xem [So-Vi, Theorem 4] nghĩa là xem định lý 4 trong tài liệu [So-Vi]

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Lê Anh

Vũ, người thầy vô cùng tận tâm và nghiêm khắc Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính yêu đã từng bước hướng dẫn tác giả làm quen với lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, lý thuyết tôpô phân lá để tiến tới nắm vững các lý thuyết đó và tự giải quyết bài toán của mình Xin gửi lời cảm ơn đến Tiến sĩ Nguyễn Văn Sanh, Đại học Mahidol, Bangkok, Thái Lan đã có những lời động viên và góp ý quý báu cho tác giả Xin chân thành cám ơn các thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh đã giúp

đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành chính, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Chương 1 LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ

Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD-nhóm và lớp các MD-đại số mà chúng ta quan tâm Trước hết, ta sẽ nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ bản nhất về nhóm Lie và đại số Lie (thực)

Nhiều mệnh đề được phát biểu nhưng không chứng minh Độc giả nào quan tâm đến các chứng mình hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin xem các tài liệu [Bo], [Ki], [Ha-Sch]

1.1 Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie

1.1.1 Định nghĩa

Tập hợp G được gọi là l nhóm Lie (thực) nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) G là một nhóm

(ii) G là đa tạp thực khả vi

(iii) Phép toán nhóm G x G → G , (x,y) xy− 1 khả vi

Ta không cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G, vì rằng theo định lý Gleason-Montgomery-Zippin, trên mọi nhóm Lie lớp C0 (tức là đa tạp tôpô) có thể đưa vào cấu trúc đa tạp lớp C∞ tương thích với cấu trúc nhóm

Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán

Vì nhóm Lie vừa có cấu trúc nhóm, vừa là đa tạp khả vi nên ta có thể đưa nhiều công cụ của đại số, giải tích, tôpô, hình học vi phân, để nghiên cứu cấu trúc của nhóm Lie

1.1.2 Các ví dụ

a Đường thẳng thực với phép toán (+) thông thường là một đại số Lie giao hoán

b Đường tròn đơn vị S1 với phép toán (.) (có thể xem S1 là tập hợp các số

phức có mođun bằng 1) là một nhóm Lie giao hoán

c Tập hợp GL n( , ) các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép toán nhân ma trận cũng là một nhóm Lie (không giao hoán khi n≥ 2) Đặc biệt, khi n= 1 thì GL(1, ) = *

d Nếu G G1, 2 là các nhóm Lie thì tích G G1× 2 cũng là một nhóm Lie Tương tự cho tích của nhiều nhóm Lie Những trường hợp đặc biệt thường gặp là các nhóm Lie với phép cộng n = × × × , xuyến n-chiều

Giả sử K là một trường đặc số khác 2 Một đại số Lie G trên trường K hay

K -đại số Lie là một không gian vectơ trên trường K được bổ sung một phép

toán, kí hiệu là [ , ] (được gọi là móc Lie hay hoán tử) có tính chất song tuyến tính, phản xứng và thoả mãn đồng nhất thức Jacobi:

[[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0 , ∀x,y,z∈ G

Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G

Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường K Giả sử số chiều của

G là n Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở {e e1 , , , 2 e n} đã chọn trước trên G như sau:

k ij 1

c ≤ ≤ được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie G

Khi trường K là trường số thực thì G được gọi là đại số Lie thực Nội

dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu không

sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực

1.2.2 Các ví dụ

a Không gian n với móc Lie [ ]x y, ≡ 0 (tầm thường) hiển nhiên là một đại

số Lie Đại số Lie mà móc Lie tầm thường thì được gọi là đại số Lie giao hoán

b Không gian 3 với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực chiều

3-c Cho A là một đại số kết hợp trên trường K Với mọi cặp ( )x y, ∈ A , ta định nghĩa [ ]x y, =xy yx− , khi đó A trở thành một đại số Lie Nói riêng ta

có đại số Lie Mat(n,K) các ma trận vuông cấp n trên K là một đại số Lie

với móc Lie [A B, ]=AB BA− ; ∀A B Mat n K, ∈ ( , )

d Đặc biệt, xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K-không gian vectơ

V Khi đó, End(V) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác định như sau: [A B, ]=A B B A−

e Cho A là một đại số (không nhất thiết kết hợp) trên trường K Toán tử

tuyến tính D : A →A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu:

( , )x y = ( )x y x− ( )y

Kí hiệu Der A( ) là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A Khi đó ( )

Der A trở thành 1 đại số kết hợp trên K Der A( ) sẽ trở thành một đại số

Lie trên K với móc Lie được định nghĩa là: [D D1 , 2]=D1 D2 −D2 D1

1.2.3 Đồng cấu đại số Lie

Cho G1 và G2 là hai K-đại số Lie Đồng cấu đại số Lie là ánh xạ K-tuyến

tính ϕ: G1 ⎯⎯ →G2 sao cho ϕ bảo toàn móc Lie, tức là :

([ , ]) [ ( ), ( )] (ϕ x y = ϕ x ϕ y ∀x y, ∈G1 )

Nếu ϕ là đẳng cấu tuyến tính thì ϕ được gọi là đẳng cấu đại số Lie

Các đại số Lie trên trường K lập thành một phạm trù với các cấu xạ chính

là các đồng cấu đại số Lie

Mỗi đồng cấu đại số Lie ϕ: G1 ⎯⎯ →G2 còn được gọi là biểu diễn của G1

trong G2 Nói riêng, nếu G2 = End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V thì đồng cấu đại số Lie ϕ: G1 ⎯⎯ → End(V) được gọi là biểu

dùng thuật ngữ "biểu diễn" thay cho thuật ngữ "biểu diễn tuyến tính"

Khi ϕ là một đơn cấu thì ϕ được gọi là biểu diễn khớp

Định lý 1.1 (định lý Ado)

Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp hữu hạn chiều

Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thể quy tất cả các phép chứng minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận,

1.2.4 Biểu diễn chính quy của đại số Lie

Cho G là đại số Lie Với mỗi x ∈ G, kí hiệu ad x là toán tử trong L được xác định bởi:

Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G Hạt nhân của biểu

diễn này là Ker ad( )={x∈G/ad x ≡0} chính là tâm của G

Ví dụ: Xét đại số Lie G = 3 với móc Lie là tích có hướng thông thường

Khi đó biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau:

000

Dể thấy rằng, tâm của G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp

Nói cách khác, đại số Lie G = 3 với móc Lie là tích có hướng thông thường đẳng cấu với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3

1.2.5 Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh

Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G Ta bảo

M là đại số con của G nếu [M M, ]⊂ M

Ta bảo M là ideal của G nếu [G M, ]⊂ M

Trong đó ký hiệu:

[M M, ] [ ]={ x y x y, / , ∈M},[G,M ] [ ]={ x y x, / ∈G,y∈M}

Khi M là một ideal thì không gian thương G/M trở thành một đại số Lie

với móc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên

Cho G là K-đại số Lie Đặt :

Đại số Lie G được gọi là giải được nếu G∞ = {0}, G được gọi là lũy linh nếu

G∞ = {0} Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G

Ví dụ:

( )

giác trên) là một đại số Lie giải được

biểu diễn tam giác trên, tức là ( )ϕ x =T n K( , ), ∀ ∈ G x

Hệ quả 1.4

Định lý 1.5 (Định lý Engel)

linh (tức là tồn tại n∈ * sao cho ( )ad x n = 0

Đại số Lie giải được mặc dù có cấu trúc không quá phức tạp nhưng cho đến nay thì việc phân loại chúng vẫn là một bài toán mở

1.3 Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie

1.3.1 Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho

Cho G là một nhóm Lie Ta ký hiệu T G là không gian tiếp xúc của G tạo e

thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau:

[X Y, ]= XY YX− , ∀X Y, ∈ G

gọi là đại số Lie của (hay tương ứng với) G

Gọi X(G) : đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G Khi đó :

gian tiếp xúc T(G) của G

Gọi G = { X ∈ X(G) / X là trường vectơ bất biến trái }, thì G là đại số Lie

vectơ) (lẫn đại số Lie )

1.3.2 Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie

Với cách xây dựng như trên thì ta thấy, mỗi nhóm Lie sẽ xác định một đại

số Lie duy nhất Ngược lại thì ta có định lý sau:

Định lý 1.6:

(i) Cho G là đại số Lie thực bất kì Khi đó luôn tồn tại duy nhất nhóm Lie

liên thông đơn liên G~ sao cho đại số Lie của G~ chính là G

(ii) Nếu G là một nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie thì tồn tại

nhóm con chuẩn tắc rời rạc D của G~sao cho G = G~D

của nó là giải được (tương ứng, lũy linh)

Định lý 1.8: (về tính chất của ánh xạ exp)

(i) Ánh xạ exp là vi phôi địa phương

(ii) Ánh xạ exp có tính tự nhiên :

G 1 ⎯f⎯ (dong⎯cau ⎯nhom⎯Lie)⎯→ G 2

exp exp f exp exp f= *

1.4 Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số

1.4.1 K-biểu diễn của một nhóm Lie

1 * ( ) ( g g ) :

Ad g = L R − G⎯⎯ →G, ∀ ∈g G

hợp của G trong G

1

< >=< > ∀ ∈G, ∀ ∈G*F , ∀ ∈g G

Ở đây ta ký hiệu <F X, >, F∈G* , X∈G là chỉ giá trị của dạng tuyến

K-biểu diễn hay K-biểu diễn đối phụ hợp của G trong G* Mỗi quỹ đạo ứng với

Mỗi K-quỹ đạo của G luôn là một G-đa tạp vi phân thuần nhất với số chiều chẵn và trên đó có thể đưa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên tương thích với tác động của G

Ký hiệu O(G) là tập hợp các K-quỹ đạo của G và trang bị trên đó tôpô

có thể không tách, thậm chí không nửa tách

1.4.2 Các MD-nhóm và MD-đại số

Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu các K-quỹ đạo

của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại Trường hợp số chiều cực

đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xem xét năm 1982 Hồ Hữu Việt đã

đại số Lie của các nhóm biến đổi affine của đường thẳng thực hoặc phức (xem

[So-Vi, Théorème 1]) Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để một đại

số Lie thực giải được là MD-đại số

Mệnh đề 1.10 (xem [So-Vi, Théorème 4]):

Giả sử G là một MD-đại số Khi đó G2 = [[G, G], [G, G]] là một

đại số con giao hoán trong G

Như đã nói ở phần mở đầu, toàn bộ lớp các MD4-đại số đã được liệt kê đầy

đủ vào năm 1984 bởi Đào Văn Trà (xem[Tra]), tuy nhiên tác giả mới chỉ dừng lại ở liệt kê thô mà không xét đến tính đẳng cấu giữa các đại số Lie Phải đến năm 1990, Lê Anh Vũ mới phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số đó (xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]) Nói một cách vắn tắt là bài toán liệt kê và phân loại các MD4-đại số coi như đã giải quyết trọn vẹn

Tuy nhiên khi n = 5 thì mọi tính toán đều trở nên phức tạp hơn rất nhiều Để đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (với k<5) và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng Năm 2003, Lê Anh Vũ và học trò của mình là Nguyễn Công Trí (xem [Vu8] và [Vu-Tri]) đã liệt

kê và sau đó năm 2005, Lê Anh Vũ [xem Vu9] cũng đã phân loại triệt để lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán không quá 2 chiều Đồng thời các tác giả cũng chứng minh được rằng, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông tương ứng với các MD5-đại số đó đều tạo thành phân lá

đo được theo nghĩa của Connes và gọi đó là các MD5-phân lá, tôpô của các

MD5-phân lá này cũng đã được mô tả chi tiết

Cuối năm 2005, Lê Anh Vũ (xem [Vu9] ở phụ lục 1) tiếp tục liệt kê và phân loại lớp con các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều Trong các chương sau, chúng ta sẽ giới thiệu kết quả này đồng thời mô tả bức

tranh các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng và xem xét không gian phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm này

Chương 2 LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO

HOÁN 3 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG

Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại định lý phân loại các MD5-đại số

có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều của Lê Anh Vũ, đồng thời mô tả bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD-đại số đó Nhưng trước hết chúng ta sẽ nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của nhóm Lie đã được đưa ra trong [Vu2]

2.1 Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo

2.1.1 Nhắc lại khái niệm K-quỹ đạo của nhóm Lie

Ký hiệu expG : G⎯⎯ →G là ánh xạ mũ của G và exp: EndRG⎯⎯ →AutRG là ánh xạ mũ của nhóm Lie AutRG các tự đẳng cấu -tuyến tính của G

Nhắc lại rằng vi phân Ad* = ad: G⎯⎯ →EndRG của biểu diễn phụ hợp của

G trong G được xác định bởi công thức:

Một điều kiện đủ để đẳng thức trên xảy ra là ánh xạ expG là toàn ánh

Thực ra trong nhiều trường hợp thì có một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh của expG cũng đủ để có đẳng thức ΩF( )G ⊂ ΩF Cụ thể ta có khẳng định dưới đây:

2.1.3 Bổ đề 2.2

Chứng minh:

Vì G liên thông nên mỗi K-quỹ đạo ΩF cũng liên thông (trong G*) Chú

rằng, các K-quỹ đạo lập thành một phân hoạch trong G* Giả thiết rằng có

F∈G* để ΩF( )G ≠ ΩF Khi đó tồn tại họ { }F i i I∈ các phiếm hàm trong G* chứa F

và có nhiều hơn một phần tử sao cho F F i( )

i I∈

Ω =∪Ω G Vì hợp này gồm các tập cùng mở (hoặc cùng đóng) khác ∅ rời nhau trong ΩF nên không thể liên thông Mâu thuẩn này chứng tỏ ΩF (G)= ΩF, ∀ ∈G* F □

2.1.4 Mệnh đề 2.3

Giả sử G là nhóm Lie thực giải được, đơn liên, hữu hạn chiều và G là đại

số Lie của nó Khi đó các khẳng định sau đây tương đương:

exponential)

(ii) ∀ ∈X G, ad X không có giá trị riêng (trong ) thuần ảo nào

2.1.5 Hệ quả 2.4

Nếu G là nhóm Lie thực giải được, liên thông hữu hạn chiều với đại số Lie

toàn ánh

2.2 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều

Từ đây về sau, G luôn là ký hiệu để chỉ nhóm Lie liên thông 5 chiều và G

là đại số Lie của G Lúc đó với tư cách là một không gian vectơ 5 chiều, G≡R5

Ta chọn trước một cơ sở ( ,X X X X X1 2, 3, 4, 5) cố định trong G Không gian đối

ngẫu của G được ký hiệu là G* Và ta cũng có G* ≡R5 và có cơ sở đối ngẫu tương ứng 1* * 3* 4* 5*

2

(X X X X X, , , , ) với cơ sở ( ,X X X X X1 2, 3, 4, 5) trong G

2.2.1 Định lý 2.5 (xem [Vu9, Theorem 2.1] trong phụ lục 1)

Cho đại số Lie: G=< X X X X X1, 2, 3, 4, 5 > là một MD5-đại số và G 1≅R3 (đại số Lie giao hoán 3 chiều):

• Nếu G khả phân thì nó có dạng G = h⊕R , ở đó h là một MD4-đại

Để chứng minh định lý 2.5, ta cần có một số bổ đề sau đây :

Bổ đề 2.7 (xem [Di] và [So-Vi])

Chứng minh :

Giả sử ΩF không có chiều cực đại, tức là dim Ω =F 0 Suy ra :

dimG F = dimG− dim Ω =F dimG