Một số tính chất của mảng độc lập theo hàng

Lời nói đầuKhoá luận này nghiên cứu một số tính chất của mảng độc lập theo hàng cóliên quan mật thiết đến khái niệm hội tụ đầy đủ.. Hội tụ đầy đủ là một khái niệnquan trọng trong lí thuy

Lời nói đầu

Khoá luận này nghiên cứu một số tính chất của mảng độc lập theo hàng cóliên quan mật thiết đến khái niệm hội tụ đầy đủ Hội tụ đầy đủ là một khái niệnquan trọng trong lí thuyết xác suất đợc P.L Hsu và H Robbins xây dựng năm

1947 với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Một trong những ớng phát triển hiện nay của lí thuyết xác suất đó là dựa trên các tính chất củakhái niệm hội tụ đầy đủ để nghiên cứu sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

h-độc lập mà không cần thiết phải cùng phân phối và của một mảng các biến ngẫunhiên độc lập theo hàng với những điều kiện khác nhau Các kết quả mới nhất

về lĩnh vực này thuộc về các tác giả nh A.I Volodin, T.–C Hu, S.H Sung, A.Rosalsky, D Szynal, A Gut, …

Trong khoá luận trình bày một số tính chất của mảng độc lập theo hàng vàứng dụng nó để chứng minh định lí của Hsu và Robbins về sự hội tụ đầy đủ củadãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối khi xem dãy là một trờng hợp

đặc biệt của mảng Khoá luận đợc trình bày thành ba phần :

Phần I Đa ra một số kiến thức cơ bản gồm các định nghĩa, mệnh đề, bổ đềcần thiết cho các kết quả đợc đa ra ở phần II

Phần II Đa ra một số tính chất của mảng độc lập theo hàng

Phần III Đa ra một số áp dụng các tính chất của mảng cho dãy các biếnngẫu nhiên cùng phân phối

Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thiện tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớngdẫn và sự chỉ bảo tận tình của Thầy giáo PGS – TS Nguyễn Văn Quảng Nhândịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – Trờng Đại họcVinh và xin cảm ơn anh Lê Văn Thành – CH9 Toán – Trờng Đại học Vinh,một số bạn bè trong tập thể lớp 41A2 Toán đã góp ý, giúp đỡ và tạo điều kiệncho khoá luận này đợc hoàn thành

Do thời gian, điều kiện và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên khoáluận không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong sự đánh giá góp ý của cácthầy cô giáo và các bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn

Vinh, ngày 25 tháng 4 năm 2004.

Ngời thực hiện

Vũ Đình Lợi.

Phần I một số kiến thức chuẩn bị

I Các kiến thức cơ sở

1 Không gian xác suất.

Định nghĩa Giả sử Ω là tập khác rỗng; F là một σ-đại số các tập con của

Ω P: F → R là độ đo chuẩn hoá ( P(Ω) = 1) Khi đó bộ ba ( Ω ,F,P) đợc gọi

2 Biến ngẫu nhiên:

Hàm thực X = X( ω )xác định trên Ω lấy giá trị trên R gọi là hàm F −đo

đợc hay biến ngẫu nhiên suy rộng nếu {ω ,X( ω ) ∈B} = X−1(B) ∈F với mỗi

)

(R

B

B∈ ( ở đây B (R) là σ-đại số các tập Borel của trục thực R ) Nếu : X :

Ω → R = (-∞ ; +∞) thì đợc gọi là biến ngẫu nhiên

3 Tính độc lập : Giả sử ( Ω ,F,P) là không gian xác suất cố định.

Định nghĩa Họ hữu hạn {F i,i ∈ I} các σ - đại số con của F đợc gọi là độc

P  đối với A i ∈F i, (i ∈I) bất kì

Họ vô hạn {F i,i ∈ I } các σ - đại số con của F đợc gọi là độc lập nếu mỗi

họ con hữu hạn của nó độc lập

Họ các biến ngẫu nhiên X i,i∈ I đợc gọi là độc lập nếu họ các σ - đại số sinhbởi chúng {F( )X i ,i ∈ I} là độc lập

Họ các biến cố {A i,i∈ I} ⊂ F đợc gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên {

b) Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy nếu biến ngẫu nhiên X có hàm phânphối là F(x) và tồn tại kì vọng thì

) (

Thật vậy, theo định nghĩa và giả thiết ta có =+∫∞ < ∞

∞

−

) (x dF x

không âm nên = +∫∞ < ∞

0

) (x dF x

EX p p

Ta lại có : x p dF(x) =d(x p F(x)) −F(x)dx p

Suy ra: ∞∫ =∞∫ −∞∫

0 0

0

) ( ))

( ( )

p dF x d x F x F x dx x

= ∞∫ − ∞∫

0 0

= ∞∫ − − = ∞∫ − ( ≥ )

0

1 0

) (

Dãy các biến ngẫu nhiên (X n)đợc gọi là hội tụ theo xác suất tới biến ngẫunhiên X nếu : Với ε > 0 bất kì thì:

b).Hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c):

Dãy biến ngẫu nhiên (X n) đợc gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫunhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho :

c) Hội tụ trung bình

Dãy biến ngẫu nhiên (X n) đợc gọi là hội tụ theo trung bình bậc p (0

< p < ∞ ) đến biến ngẫu nhiên X nếu :

− p→ 0

n X X

E Khi n → ∞

Kí hiệu: X L p X

n → Nhận xét, từ bất đẳng thức Markov ta thấy nếu (X n) hội tụ theo trung bìnhbậc p thì (X n) hội tụ theo xác suất

d) Hội tụ đầy đủ :

Dãy biến ngẫu nhiên (X n) đợc gọi là hội tụ đầy đủ đến biến ngẫu nhiên Xnếu :

∑∞ ( − > ) < ∞

= 1

X X

) (

) (

) ( ) (

Y Y X X P Y

X Y X

X

Suy ra

Y X

X P

λ

ε ε

λ

Suy ra: λX n  → c λX

Mệnh đề Nếu dãy biến ngẫu nhiên (X n) hội tụ đầy đủ về biến ngẫu nhiên

X thì (X n) hội tụ hầu chắc chắn về biến ngẫu nhiên X

X

P ε khi n → ∞ Suy ra (X n) hội tụ hầuchắc chắn về biến ngẫu nhiên X

7 Một số tính chất khác của không gian xác suất và các dạng hội tụ.

a Mệnh đề 1.1 A, B là 2 biến cố bất kì thì ta luôn có :

P( )AB ≥ P( )A − P( )B (1)

Chứng minh Ta có: P( )AB = P( )A + P( )B − P(A∪ B)

( ) ( )

( )A P( )B P

B P A P

−

=

− +

a X P t X P t m X

) ( 2

0

~

; 2

0

~ 2

t X P

t m X m X P

m X t m X P

t m X P m X P

t a X P t a X P

t m

X P

t A X

t X P t A X

P n n n s Suy ra(A − m > t) → 0

P n n khi n → ∞ Do đó −   →P 0

n

n m

A hay A n − m n → 0 khi n → ∞

e Định lý ba chuỗi của Kolmogorov.

Giả sử {X n,n ≥1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó nếu chuỗi

f+′ là đạo hàm phải của f tại x0

Thay x bởi X , và x0 bởi EX vào biểu thức trên ta đợc

E X

(

s s t t

X E X

⇔ hay X s ≤ X t

EXI ≤ δ ≤ δ 1− (5)Chứng minh

I X X X

I

δ δ

δ

Suy ra EXI{X > δ} ≤E X I{| X | > δ}

q q

X E

n X P n X

Định nghĩa 2: Mảng các biến ngẫu nhiên { (X nk 1,≤ k ≤ k n),n ≥ 1} đợc gọi là

độc lập theo hàng nếu với mỗi n ≥ 1 thì các biến ngẫu nhiên X nk , 1≤ k ≤ k n

độc lập với nhau

Định nghĩa 3 Mảng các biến ngẫu nhiên { (X nk1,≤ k ≤ k n),n ≥ 1} đợc gọi làmảng đối xứng nếu X nk có phân bố đối xứng với ∀k: 1≤ k ≤ k n và n ≥ 1.

Định nghĩa 4 Mảng các biến ngẫu nhiên { (X nk1,≤ k ≤ k n),n ≥ 1} đợc gọi làmảng vô cùng bé nếu với mọi ε > 0 thì ta có :

Nhận xét : Nếu mảng các biến ngẫu nhiên { (X nk1,≤ k ≤ k n),n ≥ 1}bị chặn bởi

biến ngẫu nhiên X thì mảng { (X nk1,≤ k ≤ k n),n ≥ 1} bị chặn Cesàro

Định nghĩa 6 Ta gọi mảng gồm các số thực {a nk,k,n ≥ 1} là dãy Toeplitznếu lim→∞ nk = 0

n a với ∀k và ∑k a nk ≤ C với ∀n trong đó C là một hằng số

d-ơng

Phần II Một số tính chất của mảng độc lập

theo hàng

Trong các tính chất đợc trình bày ở đây thì ta luôn gọi { (X nk 1,≤ k ≤ k n),n ≥ 1}

là mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo hàng và kí hiệu ∑

=

= k n

k nk

1

2 2

(6)

2.Mệnh đề 2.2 (Bất đẳng thức Hoffmann-Jorgensen) Nếu mảng các biến

ngẫu nhiên { (X nk1,≤ k ≤ k n),n ≥ 1}độc lập theo hàng, đối xứng thì với mọi n ≥ 1 ,

C t S

k k j j n

2 1

S

k k n

1

8

ε ε

n

n k

S P X

X I X P S

P

1 2

1

δ

ε δ

ε ε

δ ε

nk k k n

nk k k n

X P

S P

X S

P

n n

1

1

sup

sup ,

Suy ra : ( ′ ≥ε ) ≤ ( ≥ε )+ ≤ ≤ nk >δ 

k k n

S P

1

δ ε

X

P nk nk s (8) ii) NÕu {Y n,n ≥1} lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn víi   →P 0

1

0

~

; 2 2

0

~ 2 2

s nk

nk nk

mk nk nk

nk

nk nk nk

nk

X P

t X X

P

m X t m X P

m X P t m X P

t t Y P t Y

( )

0

~

; 2 2

0

~ 2 2

2

2

1 2

n

n n n

n

n n

m Y t m Y P

m Y P t m Y P

t m Y P

3 0 0

sup )

(

4

3

3 3

nk k k n

A n

A

n

dt t X P

dt t S P

dt t S P dt

t S

≥+

≥+

ε

ε

ε ε

2

sup3

24

11212

sup3

1212

dt t X

P dt

t S P dt

dt t X

P dt

t S P dt

t S P

nk k k

A

n

A

nk k k

A

n n

2

1

k k

A n

dt t S

k k

A n

k

1

max sup

≤ 2P(S n ≥ t)

Bởi vậy cho nên : ∫ ( ( ≥ ) ) ≤ ε + δ∫ ( ≥ )

0 0

12

dt t S

dt t S P S

ε

24 sup

∞

Do ε > 0 tuỳ ý nên suy ra E S n → 0 khi n → ∞

8 Mệnh đề 2.8 Nếu mảng các biến ngẫu nhiên { (X nk1,≤ k ≤ k n),n ≥ 1}độc lập

theo hàng, đối xứng và giả sử ∃δ> 0 sao cho : |X nk| ≤δ hầu chắc chắn với mọi

ε δ

p n

Ta có : { > } =∞∫ ( ≥ ) { > }

0

p n

n n

ε ε

ε

ε ε

ε ε

ε

ε ε

ε ε

n

p n

p n

n

p n

n

p n

n

S P dt

S I t S P

dt S

P dt

S I t S P

dt S

I t S P dt

S I t S P

Với A cố định , ta có : ( ) A ( ) ( )p

n p

A

n t dt P S u d u S

3 3

∫

ε ε

3 3

k k

A

p n

≥ +

ε ε ε

δ ε ε

δ ε ε

3 13

2

1 2

1

sup 3

2

1

sup 3

8

k k

p p n

A

p n

p nk

k k p

A

p n

p nk

k k p

A

p n

p

p

dt t X P

dt t S P dt

t S

P

dt t X P

dt t S

P

dt t X P

dt t S P

n n

ε

sup 3

.

k k

p p

n p

ε 3

δ

3 1

ε 3

3

ε sup

3 2 3

ε

3

ε sup

3 2 3

ε

ε ε

ε ε

p nk

k k

p p

n

p nk

k k

p p

n

dt X

P dt

S P

dt X

P dt

S P

n n

nk p

p n

p

p nk

k k

p n

p

X P S

P

dt X

P S

P

1

0 1

3

ε δ

3 2 3

ε ε

3

ε sup

3 2 3

ε ε

p p

ε δ

ε ε

ε

Từ đó suy ra:

3 2 3

S P

n n

S P

n

1

sup ,

=  ′ − ≥ε ≤ ≤ nk ≤δ 

k k n

S P

S P

n

1

sup (áp dụng mệnh đề 1.1)

n n

S P

S P

1

δ

10 Định lí 2.1 Cho mảng các biến ngẫu nhiên { (X nk 1,≤ k ≤ k n),n ≥ 1}độc

lập theo hàng Giả sử rằng với mọi ε > 0 và với δ > 0 nào đó các điều kiện sau

nk n

n

X P

c ε (13)

ii) ∃ J ≥ 2 sao cho:

X P

j

3 2 : min , 1 log max 2 trong đó [ ] là hàm phần nguyên

J j

s n j j

s nk kk

J j

s n j

k

s nk

J j

s n j

k

nk j

J j

s n j

k

s nk j

SP D XP

C

SP D XP

3.2

2 3.2 2

1

1

ε ε

ε ε

( Mệnh đề 1.2 ii) Bây giờ ta sẽ đánh giá ( ) SP n s ε≥′

2 2

Y Y

E A

1

2 2

1

2 2

2

8

~ 2

1

2

( C : const ) (16)

X P S

P c S

j n

J j n

k

k nk j n

j

n n

Y E c C D X

P c

n

p n

n (ii') ∃ J ≥ 2 sao cho:

p nk

2 2 δ

(iii') { . } 0

1

1 1

p nk

nk I X n EX

n

r n

k

q nk q

J J n

k nk nk

X E n n

X I EX

q p

n

k nk nk

X E n

X I

q

1

1 1

δ δ

Do vËy ë ®©y ta chØ cÇn chøng minh  < ∞

k

q nk

n

J n

k

q nk

r n E X n n D n E X

q p

2 1

2

n r rp

J n

rp r

p

J

2

) 2 (

1

2 1

n

J r J n

−

p p

a r

p r

p J

2

) 2 ( 2 2

a r

−

2

) 2 ( 2

−

1 1

) 1 (

n

a n

J r

n

Tiếp theo ta đánh giá (E X 2)J Do rp > 2 nên áp dụng bất đẳng thứcLiapunov ta có

rp

rp

X E X

1

2 1

n

J r J n

Chọn r = 2 và p = t trong hệ quả 1 ta sẽ suy ra ngay kết quả.

Hệ quả 2.3 Cho một mảng các biến ngẫu nhiên {X nk,k,n ≥ 1} độc lậphàng có EX nk = 0 với mọi k,n ≥ 1 Mảng bị chặn bởi biến ngẫu nhiên X và dãycác hằng số dơng {a nk,k,n ≥1} là dãy Toeplitz Nếu :

i) max nk ( r)

k a =O n− với r > 0 nào đó

ii) + < ∞

r X

r nm J

J

J b

)()

(#

n j

r nj

n j

r nj

nj X

P I D

nj X

P I D

I k

X k P D

k X

k P I

D

1 1

1

1 1

1

)(#

1

1)

r

n k n k X

k P D

J k

X k P D

) 1 (

1

) (#

1

1

1 1

1

+ +

k P

n k n

r r

∞

= +

r r r

k

r r

r

k n k

r r

r

X DE X

DE

k X

k P k D

k X

k P k D

1 1 1

1 1

1 1

1 1

1

2 2

1 2

1 1 2

r nk

r nk k

J

r nk r

1 1 1

1 1 1

r n X

1 1 2 2

max

+ +

1 1

2 ( do 1 + 1 > 2

r nên theo bổ đề 11 thì ( )+ ≤ +  < ∞

2 1 1 1

1 2

r

r E X X

12 Mệnh đề 2.10 Cho một mảng các biến ngẫu nhiên { (X nk 1,≤ k ≤ k n),n ≥ 1}

độc lập theo hàng và p ≥ 1 Mảng là mảng vô cùng bé và tồn tại dãy các số thực{A n,n ≥1} trong R sao cho −   →P 0

n n

p n

n A P X S

nk nk

k

k

X P X

P

1 1

ε ε

16 2

ε

ε

s n

s n S P

S P

k k

S P X

P

n

sup lim

S

P Từ mệnh đề 2.6 và bất đẳng thứcEtemadi ta có

s n S P

S P

n

p n

n A P S A t dt S

ε )δ3(2

1

s n p k

k

s nk

s n

( ){ } ( ) s pp n

ps n

s n

dttSP

dtSIt SP

ε 0

c (17)

ii) ∑∞ ′ − { ′ − > } < ∞

n n

A S I A S E c

hội tụ hầu chắc chắn

Với δ > 0 theo (11) và bất đẳng thức Markov ta có :

n n

p n

S E

X P X

P

1

ε ε

1

16 2

ε

ε

s n

s n S P

S P

1

32 4

ε

ε

s n

n n S P

A S P

= 1

n n

c suy ra P(S n − A n > ε) → 0 khi n → ∞theo mệnh đề 1.3 suy ra ( s > ε)→ 0

n n

n n

n

p n

n A t I S A dt S

p n

n n

§Æt u t t 2u

2 ⇔ =

=

⇒ ( ) ( ) s ( ) p

n

p n

p s

2 6

p

1

1 1

12 2

2 12 2

p

1

4 3

12

2 12 3

p

1

4 3

12

2 12 3

p nk

⇒ ∑∞ ′ − { ′ − > ε} < ∞

p n n

n n

A S I A S E c

1

1 4

nα α λ ε với mọi ε > 0.Trong đó λ > max{(1−α);0}

.

n n

n

n X P n X

1

1 3

) 2 ( 4

3 ) 2 ( 4 4 3

1

n X

E

C

ααλ α

α α

+

++

1

1 3

) 2 ( 4

3 ) 2 (

.

n n X

2

2 2

+

+ +

n

n k n

n

k

k k

n

EX n

n

n X I EX

λ α

α α

1 3

2 2

n

n n EX n

n n

( )≤ +  + < ∞

+ 2 ( 32 )

3 ) 2 ( 4

+

+ +

k k n

k

k k

n

n X I X E

n

n X I EX

1

4 4

4

λ α

λ α

λ α

λ α

. . 1 0

4

1 4

≤ α+ +λ α− +λ

n

X E n

n X E

khi n → ∞ ( Do E X ≤( )EX212 < ∞)

1

1 4 3

P

Ta thÊy do d·y {X,X n,n ≥ 1} cïng ph©n phèi nªn ta cã P(X k ≤ x) (= P X ≤ x)suy ra {X n,n ≥1} bÞ chÆn bëi X , suy ra {X n,n ≥1} bÞ chÆn Cesµro hay( X x) nP(X x)

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] Y S Chow – H Teicher Probability Theorem ( Springer – Verlag,New York 1997 )

[2] P.L Hsu – H Robbins (1947) Complete convergence and the law of

large numbers Proc Nat Acad USA 33, p 25 – 31

[3] T – C Hu – D Szynal – A I Volodin A note complete convergence

for array Statist Probab Lett (1998)

[4] T –C Hu – A I Volodin Complete convergence criterion for array of

Banach space valued random elements Statist Probab Lett Vol 38

N1(1998) p 27 – 31

[5] T – C Hu – A Rosalsky – D Szynal – A I Volodin On complete

convergence for arrays of rowwise independent random elements in Banach spaces Stochastic Anal Appl., Vol 17, N6(1999), p 963 – 992.

[6] M LoÌve Probability Theorem ( Moscow 1962 )

[7] NguyÔn V¨n Qu¶ng Lý thuyÕt x¸c suÊt – §H Vinh 2000

[8] NguyÔn Duy TiÕn – Vò ViÖt Yªn Lý thuyÕt x¸c suÊt – NXBGD 2000