bài tập hàm phức có đáp án

Chứng minh rằng u là hàm điều hòa.. Lời giải a, Chứng minh rằng u là hàm điều hòa.. Suy ra u là hàm điều hòa... Chứng minh rằng u là hàm điều hòa.. Lời giải a, Chứng minh rằng u là hàm

Đề: 01

Câu 1: Cho hàm  

3 3

3

x y x iy

z

z









 Chứng minh rằng hàm f không có đạo hàm tại z0

Lời giải

Xét giới hạn

3 3

3

3

0

0

x y x iy







+ Xét trên trục thực, ta có

3 3

0

x y

x

x y



+ Xét trên trục ảo, ta có

3 3

0

x y

y

x y



+ Xét trên đường thẳng x y, ta có

1 1

x

x y



Ta thấy các giới hạn khác nhau Suy ra giới hạn    

3 3 3

0

0





Vậy hàm f không có đạo hàm tại z0

Câu 2 : Cho hàm   4 2 3 5 3 3 2

u x y  x y x y y x yxy e y

a Chứng minh rằng u là hàm điều hòa

b Tìm hàm v liên hợp điều hòa với u sao cho hàm f z  f x iy    u x y, iv x y , là hàm giải tích

Lời giải

a, Chứng minh rằng u là hàm điều hòa

Ta có u x 20x y3 20xy33x y2 y32e2xsin 2yu xx 60x y2 20y36xy4e2xsin 2 y

u  x  x y  y x  xy  e yu   x y y  xy e y

Suy ra u xxu yy 0 Suy ra u là hàm điều hòa

b Tìm hàm v liên hợp điều hòa với u sao cho hàm f z  f x iy    u x y, iv x y , là hàm giải tích

Vì hàm v phải thỏa mãn phương trình Cauchy – Riemann

,

  



  



Ta có v u 20x y3 20xy3 3x y2 y3 2e2xsin 2 y

Và v u 5x4 30x y2 2 5y4 x3 3xy2 2e2xcos 2 y

v

y



 

3

x

x



Suy ra v 30x y2 2 5y4 3xy2 2e2xcos 2y h

v

x





ta suy ra h 5x4 x3

x

   

4 5

5

, 4

x

   



ở C đây là hằng số Vậy hàm

x

Câu 3 : Tính tích phân

2 3

z

C

e



a C là hình tròn z 1 1;

b C là hình tròn z 2 1

Lời giải

a, Với C là đường tròn z 1 1 Từ   3 1

2

  





Vì

3 2

3

2 , 1

z

e z e

z







2 0

2

z

e

z

 Theo công thức tích phân Cauchy, ta có

a, Với C là đường tròn z 2 1 Từ   3 1

2

  





Vì

2 2

z z

e





1

z

e

z

 

Theo công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm, ta có

0

2 3 2

0 3

0

2

2 1

2

27

z z

z

e z e

z

z z

z









2 2

0

0

0

2 1

2!

27

z z

e

if z

z









Đề: 02

Câu 1: Cho hàm    

3

3

xy x iy

z

z





 

 Chứng minh rằng hàm f không có đạo hàm tại z0

Lời giải

Xét giới hạn

3

3

xy x iy



+ Xét trên trục thực, ta có

3

0

3

xy



+ Xét trên trục ảo, ta có

3

0

xy



+ Xét trên đường thẳng x y, ta có



Ta thấy các giới hạn khác nhau Suy ra giới hạn     3

0





Vậy hàm f không có đạo hàm tại z0

Câu 2: Cho hàm   4 2 3 5 4 4 2 2 2

u x y  x y x y y x y  x y e y

a Chứng minh rằng u là hàm điều hòa

b Tìm hàm v liên hợp điều hòa với u sao cho hàm f z  f x iy    u x y, iv x y , là hàm giải tích

Lời giải

a, Chứng minh rằng u là hàm điều hòa

Ta có

Và

4 2 2 4 3 2 2

x y

x yy

Suy ra u xxu yy 0. Suy ra u là hàm điều hòa

b Tìm hàm v liên hợp điều hòa với u sao cho hàm f z  f x iy    u x y, iv x y , là hàm giải tích

Vì hàm v phải thỏa mãn phương trình Cauchy – Riemann

,

  



  



Ta có v u 20x y3 20xy3 4x3 12xy2 2e2xcos 2 y

Và v u 5x4 30x y2 2 5y4 4y3 12x y2 2e2xsin 2 y

Từ v 20x y3 20xy3 4x3 12xy2 2e2xcos 2y

y



 

x

x



Suy ra v 30x y2 2 5y4 12x y2 4y3 2e2xsin 2y h

v

x





ta suy ra h 5 x4

x

  

ở C đây là hằng số Vậy hàm

v x y  x y  xy  x y xy e y x C

Câu 3: Tính tích phân

3

3

z

C

e



a C là hình tròn z 1 1;

b C là hình tròn z 2 1

Lời giải

a, Với C là đường tròn z 1 1 Từ   3  1

2

 





Vì

3

z

e





2

z

e

z

 

Theo công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm, ta có

b, Với C là đường tròn z 2 1 Từ   3  1

2

 





Vì

3 3 3

3

1 , 2

z z

e z e

z







3 0

1

z

e

z

Theo công thức tích phân Cauchy, ta có

0

3 3 3

0 3

0

1

2 2

2

27

z z

z

e z e

z

z









3 3

0

0

0

0

2 2

2!

27

z z

e

if z

z







