CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT I HỆ THỐNG LÝ THUYẾT Hàm số lượng giác Phương trình lượng giác ( cơ bản, thường gặp) II HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Hàm số lượng giác Phương trình lượng giác (cơ bản, thường gặp) III BÀI TOÁN THỰC TẾ NỘI DUNG CỤ THỂ I HỆ THỐNG LÝ THUYẾT Lý thuyết về hàm số lượng giác Hàm số sin và hàm số cosin Hàm số tan và hàm số cotang Lý thuyết về phương trình lượng giác Phương trình lượng giác cơ bản Phương trình sinx=a Trường hợp |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (1) có các nghiệm là + Nếu số thực α thoả mãn điều kiện Tổng quát: + sin f(x) = sin g(x) + sin x = sin β° 2.1.2. Phương trình cosx=a Trường hợp |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (2) có các nghiệm là x = ±α + k2π, k ∈ Z. + Nếu số thực α thoả mãn điều kiện: Tổng quát: + cos f(x) = cos g(x) ⇔ f(x) = x = ±g(x) + k2π, k ∈ Z. + cos x = cos β° ⇔ x = ±β° + 360°, k ∈ Z. 2.1.3 Phương trình tanx=a Điều kiện của phương trình là x ≠ π2 + kπ, k ∈ Z. Nghiệm của phương trình tan x = a là: x = arctan α + kπ, k ∈ Z. Tổng quát: + tan f(x) = tan g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z. + tan x = tan β° ⇔ x = β° + k180°, k ∈ Z. 2.1.4 Phương trình cotx=a Điều kiện của phương trình là x ≠ kπ, k ∈ Z. Nghiệm của phương trình cot x = a là: x = arccot α + kπ, k ∈ Z. Tổng quát: + cot f(x) = cot g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z. + Phương trình cot x = cot β° có các nghiệm là x = β° + k180° , k ∈ Z. Lý thuyết về phương trình lượng giác thường gặp Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác Có dạng: at+b=0 ( trong đó: a,b là hằng số t là một trong các hàm số lượng giác ) Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác Có dạng: asin2⁡〖x+bsinx+c=0(a≠0)〗 acos2⁡〖x+bcosx+c=0(a≠0)〗 atan2⁡〖x+btanx+c=0(a≠0)〗 acot2⁡〖x+bcotx+c=0(a≠0)〗 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Có dạng: asinx+bcosx=c (a≠0,b≠0) II HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Hàm số lượng giác Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Phương pháp: tìm điều kiện của biến x để hàm số xác định và chú ý tới các tập xác định của hàm số lượng giác Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số: Giải Hàm số xác định: ⇔ sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z). – Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = R{kπ, k ∈ Z}. Dạng 2: Xác định hàm số là hàm chẵn, hàm lẻ Phương pháp: Để xác định hàm số y= f(x) là hàm chẵn hay hàm lẻ ta làm như sau: B1: Tìm tập xác định D của hàm số B2: Với x bất kỳ, x ∈D, ta chứng minh –x ∈ D B3: Tính f(x) Nếu f(x)=f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn Nếu f(x)=f(x) thì hàm số y= f (x) là hàm số lẽ Nếu f(x) ≠ f(x),f(x) thì hàm số không là hàm số chẵn, lẽ Ví dụ: Khảo sát tính chẵn lẽ của hàm số sau: y = tanx + 3sinx Giải: + Tập xác định: + Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có x ∈ D + Ta có: f(x) = tan(x) + 3sin(x) = tanx – 3sinx = (tanx + 3sinx) = f(x), ∀x ∈ D. ⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ. Dạng 3: Hàm số tuần hoàn, xác định chu kì tuần hoàn Phương pháp: Để chứng minh hàm số y= f(x) ( có tập xác định D) tuần hoàn, ta cần chứng minh T ∈ R sao cho: x±T∈ D, ∀x∈D f(x+T)=f(x) ∀x∈D Giả sử hàm số tuần hoàn, để tìm chu kì tuần hoàn ta cần tìm số dương T nhỏ nhất thỏa mãn i, ii. Ví dụ: Chứng minh hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kỳ π. Giải: – Hàm số y = f(x) = sin2x + TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x – π ∈ D, ∀x ∈ D. + Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x). ⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn. + Giả sử có a, với 0 < a < π sao cho: f(x+a) = f(x), ∀x ∈ D, tức là: sin2(x+a) = sin2x, ∀x ∈ D. – Chọn x = 0, ta có: sin2a = 0 ⇒ 2a = kπ (k ∈ Z) ⇒a=kπ2 (kϵZ) – Do 0< a x=k2π( k∈Z) Với Loại 2.6: Phương trình thường gặp có dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx 〖asin〗2⁡〖x+bsinxcosx+ccos2 x=0〗 ( trong đó: a,b,c ≠0 là các hằng số) Phương pháp: Cách 1: Đưa về dạng phương trình bậc hai đối với tanx bằng cách chia phương trình cho cosx ( cosx≠0). Cách 2: Đưa về dạng phương trình bậc hai đối với cotx bằng cách chia phương trình cho sinx ( sinx≠0). Ví dụ: Giải phương trình sau: 〖2sin〗2⁡〖x+sinxcosx3cos2 x=0〗 (1) Giải: + Xét cosx=0 => sin2⁡〖x=1cos2⁡〖x=1.〗 〗 Phương trình trở thành 2=0 ( loại) + Xét cosx≠0. Chia hai vế cho cos2⁡x Dạng 7: Phương trình thường gặp có dạng phương trình đối xứng với hàm sinx và cosx a(sinx+cosx)+bsinx.cosx+c=0 (a,b≠0) Phương pháp: B1: Đặt t=sinx+cosx. Khi đó sinx.cosx= (t21)2 thay vào phương trình ta được: bt2+2at+2cb=0 ( điều kiện √2≤t t=1 hoặc t=2( loại). sinx+cosx=1, √2 sin⁡(x+π4)=1=>sin⁡(x+π4)=1√2 x=π2+2kπ hoặc x=π+2kπ (k∈Z) III BÀI TOÁN THỰC TẾ Bài toán 1: Trong cuốn tiểu thuyết kinh điển Don Quixote, nhân vật nổi tiếng trong trận chiến với cốt xay gió. Trong bài toán này, chúng ta sẽ mô hình hóa những gì sẽ xảy ra khi Don Quixote đấu với cối xay gió và cối xay gió chiến thắng. Giả sử tâm của cối xay gió cách mặt đất 20 m, và các cánh buồm dài 15 m. Don Quixote bị kẹt trên một đầu của một trong những cánh buồm. Các cánh buồm đang quay với tốc độ một vòng quanh ngược chiều kim đồng hồ cứ sau 1 phút. Hãy mô hình hóa độ cao của Don Quixote so với mặt đất như một hàm thời gian.Gọi t=0 là thời điểm người đó ở gần mặt đất nhất. Bài toán 2: Một chiếc đu quay có đường kính 17 m. Bạn lên ở dưới cùng của vòng đu quay từ bệ cách mặt đất 2m. Nếu mất 25 giây để đạt được trên cùng, xác định một phương trình cho chiều cao cuả người lái theo thời gian. Bài toán 3: Một nhóm học sinh đang theo dõi một người đang chơi đu quay. Họ biết rằng người đó đạt chiều cao tối đa 11 m ở 10 giây và sau đó đạt chiều cao tối thiểu 1 m ở 55s. Xây đựng phương trình của một hàm hình sine mô hình độ cao của người đó so với mặt đất để xác định chiều cao của anh ta ở tuổi 78.

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT

I/ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT

1 Hàm số lượng giác

2 Phương trình lượng giác ( cơ bản, thường gặp)

II/ HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Hàm số lượng giác

2 Phương trình lượng giác (cơ bản, thường gặp)

III/ BÀI TOÁN THỰC TẾ

NỘI DUNG CỤ THỂ I/ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT

1 Lý thuyết về hàm số lượng giác

1.1 Hàm số sin và hàm số cosin

1.2 Hàm số tan và hàm số cotang

2 Lý thuyết về phương trình lượng giác

2.1 Phương trình lượng giác cơ bản

2.1.1 Phương trình

- Trường hợp |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

- Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (1) có các nghiệm là

+ Nếu số thực α thoả mãn điều kiện

Tổng quát:

2.1.2 Phương trình

- Trường hợp |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

- Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (2) có các nghiệm là

x = ±α + k2π, k ∈ Z

+ Nếu số thực α thoả mãn điều kiện:

Tổng quát:

+ cos f(x) = cos g(x) ⇔ f(x) = x = ±g(x) + k2π, k ∈ Z + cos x = cos β° ⇔ x = ±β° + 360°, k ∈ Z

2.1.3 Phương trình

- Điều kiện của phương trình là x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z

- Nghiệm của phương trình tan x = a là:

x = arctan α + kπ, k ∈ Z.

Tổng quát:

+ tan f(x) = tan g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z

+ tan x = tan β° ⇔ x = β° + k180°, k ∈ Z

2.1.4 Phương trình

- Điều kiện của phương trình là x ≠ kπ, k ∈ Z

- Nghiệm của phương trình cot x = a là:

x = arccot α + kπ, k ∈ Z

Tổng quát:

+ cot f(x) = cot g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z

+ Phương trình cot x = cot β° có các nghiệm là x = β° + k180° , k ∈ Z

2.2 Lý thuyết về phương trình lượng giác thường gặp

2.2.1 Phương trình bậc nhất đối với hàm số

lượng giác

Có dạng:

( trong đó: a,b là hằng số

t là một trong các hàm số lượng giác )

2.2.2 Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

Có dạng:

2.2.3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Có dạng:

II/ HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Hàm số lượng giác

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Phương pháp: tìm điều kiện của biến x để hàm số xác định

và chú ý tới các tập xác định của hàm số lượng giác

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số:

Giải

Hàm số xác định:

⇔ sinx ≠ 0

⇔ x ≠ kπ, (k ∈ Z)

– Kết luận: Tập xác định của hàm số là D = R{kπ, k ∈ Z}

Dạng 2: Xác định hàm số là hàm chẵn, hàm lẻ

Phương pháp: Để xác định hàm số y= f(x) là hàm chẵn hay

hàm lẻ ta làm như sau:

B1: Tìm tập xác định D của hàm số

B2: Với x bất kỳ, x D, ta chứng minh –x D

B3: Tính f(-x)

Nếu f(x)=f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn

Nếu f(x)=-f(x) thì hàm số y= f (x) là hàm số lẽ

Nếu f(x) f(-x),-f(x) thì hàm số không là hàm số chẵn, lẽ

Ví dụ: Khảo sát tính chẵn lẽ của hàm số sau: y = tanx + 3sinx

Giải:

+ Với x bất kỳ: x ∈ D, ta cũng có -x ∈ D + Ta có: f(-x) = tan(-x) + 3sin(-x) = -tanx – 3sinx = -(tanx +

3sinx) = -f(x), ∀x ∈ D.

⇒ y = tanx + 3sinx là hàm số lẻ

Dạng 3: Hàm số tuần hoàn, xác định chu kì tuần hoàn

Phương pháp: Để chứng minh hàm số y= f(x) ( có tập xác

định D) tuần hoàn, ta cần chứng minh T sao cho:

i) xT D,

ii) f(x+T)=f(x)

Giả sử hàm số tuần hoàn, để tìm chu kì tuần hoàn ta cần tìm

số dương T nhỏ nhất thỏa mãn i, ii

Ví dụ: Chứng minh hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu

kỳ π

Giải:

– Hàm số y = f(x) = sin2x

+ TXĐ: D=R; x + π ∈ D, x – π ∈ D, ∀x ∈ D

+ Ta có: f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x)

⇒ Hàm số y = sin2x là hàm số tuần hoàn

+ Giả sử có a, với 0 < a < π sao cho: f(x+a) = f(x), ∀x ∈ D, tức là:

sin[2(x+a)] = sin2x, ∀x ∈ D

– Chọn x = 0, ta có: sin2a = 0 ⇒ 2a = kπ (k ∈ Z) ⇒

– Do 0< a <π , nên

– Thử lại: không đúng ∀x ∈ D

Chẳng hạn, khi: thì còn

Vì vậy, không phải chu kỳ của hàm số, chu kỳ của hàm số y

= sin2x là π

Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số, xác định khoảng đồng biến

và nghịch biến.

Phương pháp:

B1: Vẽ đồ thị của hàm số

B2: Dựa vào đồ thị vẽ các khoảng đồng biến và nghịch biến.

Ví dụ:Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, vẽ đồ thị của hàm số y = |sinx|

Giải:

+ Hàm số y = sinx

+ Hàm

⇒ Vậy từ đồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách:

– Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành (sin x > 0)

– Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành

⇒ Ta được đồ thị hàm số y = |sinx| là phần nét liền hình phía dưới

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác

Phương pháp: vận dụng tính chất

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN)

của các hàm số sau:

Giải:

Ta có:

⇒ GTNN của y = -4 đạt được khi:

⇒ GTLN của y = 6 đạt được khi

2 Phương trình lượng giác

Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp: dùng các công thức nghiệm tương ứng với

mỗi phương trình

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Giải:

Dạng 2: Giải một số phương trình thường gặp đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Loại 2.1: Phương trình thường gặp có dạng phương trình thuần nhất :

Phương pháp: dùng các công thức biến đổi đưa phương

trình lượng giác đã cho về phương trình lượng giác cơ bản như Dạng 1

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Giải:

Loại 2.2: Phương trình thường gặp có dạng phương trình không thuần nhất :

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng công thức biến đổi

Đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản

hoặc

Cách 2: Sử dụng công thức tính sinx và cosx theo

Trong đó: và đưa phương trình trên về phương trình bậc 2 đối với t

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Giải:

Loại 2.3: Phương trình bậc nhất có ẩn là hàm số lượng giác

Phương pháp: : dùng các công thức biến đổi đưa phương

trình lượng giác đã cho về phương trình lượng giác cơ bản như Dạng 1

Ví dụ:Giải phương trình sau:

Giải: Điều kiện Từ phương trình trên chuyển vế ta có : Vì

nên phương trình dã cho vô nghiệm

Loại 2.4: Phương trình bậc hai có ẩn là hàm số lượng giác

Phương pháp:

B1:Đặt hàm số lượng giác chứa ẩn phụ ta đưa được phương

trình về dạng một phương trình bậc hai

B2:Giải phương trình bậc hai này

B3: (áp dụng cho trường hợp phương trình có nghiệm): thế

giá trị của nghiệm tìm được trở lại phép đặt

B4: Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Giải: Đặt t=cosx ( Phương trình trên trở thành

Với

Với

Loại 2.6: Phương trình thường gặp có dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

( trong đó: a,b,c là các hằng số)

Phương pháp:

Cách 1: Đưa về dạng phương trình bậc hai đối với tanx bằng

cách chia phương trình cho cosx (

Cách 2: Đưa về dạng phương trình bậc hai đối với cotx bằng

cách chia phương trình cho sinx (

Ví dụ: Giải phương trình sau: (1)

Giải:

+ Xét cosx=0 => Phương trình trở thành 2=0 ( loại)

+ Xét Chia hai vế cho

Dạng 7: Phương trình thường gặp có dạng phương trình đối xứng với hàm sinx và cosx

Phương pháp:

B1: Đặt t=sinx+cosx Khi đó sinx.cosx= thay vào phương

trình ta được:

( điều kiện vì

B2: Tìm nghiệm t của phương trình trên và đối chiếu với điều

kiện của t

B3: Thế giá trị t tìm được trở lại phép đặt

B4: Giải phương trình

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Giải:

Đặt sinx+cosx=t Điều kiện => sinx.cosx=

Khi đó phương trình có dạng : => hoặc( loại)

 ,

 hoặc (

III/ BÀI TOÁN THỰC TẾ

Bài toán 1: Trong cuốn tiểu thuyết kinh điển Don Quixote,

nhân vật nổi tiếng trong trận chiến với cốt xay gió Trong bài toán này, chúng ta sẽ mô hình hóa những gì sẽ xảy ra khi Don Quixote đấu với cối xay gió và cối xay gió chiến thắng Giả sử tâm của cối xay gió cách mặt đất 20 m, và các cánh buồm dài

15 m Don Quixote bị kẹt trên một đầu của một trong những cánh buồm Các cánh buồm đang quay với tốc độ một vòng quanh ngược chiều kim đồng hồ cứ sau 1 phút Hãy mô hình hóa độ cao của Don Quixote so với mặt đất như một hàm thời gian.Gọi t=0 là thời điểm người đó ở gần mặt đất nhất

Bài toán 2: Một chiếc đu quay có đường kính 17 m Bạn lên ở

dưới cùng của vòng đu quay từ bệ cách mặt đất 2m Nếu mất

25 giây để đạt được trên cùng, xác định một phương trình cho chiều cao cuả người lái theo thời gian

Bài toán 3: Một nhóm học sinh đang theo dõi một người đang

chơi đu quay Họ biết rằng người đó đạt chiều cao tối đa 11 m ở

10 giây và sau đó đạt chiều cao tối thiểu 1 m ở 55s Xây đựng phương trình của một hàm hình sine mô hình độ cao của người

đó so với mặt đất để xác định chiều cao của anh ta ở tuổi 78