bài tập LÝ THUYẾT NHÓM có đáp án

Bài tập 1.2/ Trong các phép toán hai ngôi cho sau đây trên tập hợp được chỉ ra, hãy kiểm tra tính kết hợp, giao hoán và tìm phần tử đơn vị nếu có... Vậy ,* không có tính giao hoán.. Vậy

LÝ THUYẾT NHÓM

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Thanh Tùng

Nhóm trình bày

Bài tập 1.2 c :

Bài tập 1.2 d :

Bài tập 1.8 :

Bài tập 1.9 :

Bài tập 1.13 :

Bài tập 1.14 :

Bài tập 1.2/ Trong các phép toán hai ngôi cho sau đây trên tập hợp

được chỉ ra, hãy kiểm tra tính kết hợp, giao hoán và tìm phần tử đơn vị nếu có.

c tập với phép toán (x,y,z)* (x’,y’,z’) = (xy’,yy’,yz’);

+ Tính kết hợp:

A(a’,a’’,a’’’), B(b’,b’’,b’’’), C(c’,c’’,c’’’)

(A*B)*C= (a’b’’,a’’b’’,a’’b’’’)*(c’,c’’,c’’’)

= ( a’b’’c’’,a’’b’’c’’,a’’b’’c’’’)

A*(B*C)= (a’,a’’,a’’’)*(b’c’’,b’’c’’,b’’c’’’)

= (a’b’’c’’,a’’b’’c’’,a’’b’’c’’’)

=> (A*B)*C = A*(B*C) Vậy ,*) có tính kết hợp

+ Giao hoán

A(a’,a’’,a’’’), B(b’,b’’,b’’’)

A*B= (a’b’’,a’’b’’,a’’b’’’)

B*A= (b’a’’, b’’a’’, b’’a’’’)

=> A*BB*A Vậy ,*) không có tính giao hoán

+ Phần tử đơn vị

Gọi e(e’,e’’,e’’’) là dạng tổng quát của phần tử đơn vị A(a’,a’’,a’’’)

e*A= (e’a’’, e’’a’’,e’’a’’’)

A*e= (a’e’’, a’’e’’, a’’e’’’)

=> e*A A Vậy ,*) không tồn tại phần từ đơn vị e

d tập M không có ít hơn 2 phần tử, với phép toán a  b = b

+ Tính kết hợp

a,b,c M

Ta có :(a  b)  c= b  c=c và a  (b  c)=a  c=c

=> (a  b)  c= a  (b  c) Vậy (M,  ) có tính kết hợp

+ Giao hoán

a,b  M

Ta có (a  b)=b và (b  a)=a

=> (a  b) (b  a) Vậy (M,  ) không có tính giao hoán

+ Phần tử đơn vị e

a  M

Ta có (a  e) e mà (e  a)=a => e=a( loại) Vậy (M,  )không tồn tại phần tử đơn vị e

Bài tập 1.8 Giả sử X là tập gồm các cặp số thực (a,b) trong đó a, ta

định nghĩa phép toán * sau:

(a,b)*(c,d)= (ac,bc+d)

Chứng minh rằng X là một nhóm và X không Abel  

i) Vì (1,2) X=> X

ii) Rõ ràng (a,b),(c,d) X(a,b,c,d , athì (ac,bc+d) X

Þ (a,b)*(c,d) X Vậy phép toán * trên X là phép toán 2 ngôi.

iii) A(a,b), B(c,d), C(e,f) X , ta có:

(A*B)*C= (ac,bc+d)*(e,f)= (ace, bce+de+f)

A*(B*C)= (a,b)* (ce,de+f)=(ace, bce+de+f)

Vậy ( X,*) có tính kết hợp ((A*B)*C=A*(B*C))

iv) Gọi e(e’,e’’) là phần tử đơn vị của (X,*)

A(a,b) X thì

Vậy e(1,0) là phần tử đơn vị

v) Gọi A’(a’,b’) là phần tử nghịch đảo của (X,*) A(a,b) X thì

Vậy A’(,là phần tử nghịch đảo

X là nhóm

vi) Giao hoán

A(a,b), B(c,d) X , ta có:

A*B= (ac,bc+d)

B*A = (ca, da+b)

A*BB*A Vậy (X,*) không có tính giao hoán

X là nhóm không Abel

Bài tập 1.9 Chứng minh rằng tập hợp G={(a,b): a,b, bcùng với phép

toán * xác định bởi

là một nhóm.

Chứng minh rằng i) Vì (2,3) G => G H={ (a,1): alà một nhóm con của G  

ii) Rõ ràng (a,b),(a’,b’) G (a,b,a’,b’ , b,b’ thì

() G

Þ (a,b)*(a’,b’) G Vậy phép toán * trên G là phép toán 2 ngôi

iii) A(a,b), B(a’,b’), C(a’’,b’’) G , ta có:

(A*B)*C= (ab’+a’,bb’)*(a’’,b’’)= (abb’’+a’b’’+a’’,bb’b’’)

A*(B*C)=(a,b)* (a’b’’+a’’,bb’’)= (abb’’+a’b’’+a’’,bb’b’’)

Vậy (G,*) có tính kết hợp ((A*B)*C=A*(B*C))

iv) Gọi e(e’,e’’) là phần tử đơn vị của (G,*)

A(a,b) G thì

Vậy e(0,1) là phần tử đơn vị

v) Gọi A’(a’,b’) là phần tử nghịch đảo của (G,*) A(a,b) G thì

Vậy A’(,là phần tử nghịch đảo

(G,*) là nhóm

i’)Vì (2,1) H => H

a,b, b

(a,1)(a,b) mà (a,1) H và (a,b) G

=> H là con của G

i’’) A(a,1) và B(b,1) H ( a,b R)

Ta có A*B= (a,1)*(b,1)= (a+b,1) H

A(a,1) H ( a R)

Ta có A*A’= (a,1)*(a’,1)=(a+a’,1)= (0,1)

=> a’=-a => A’(-a,1) H

H G

Bài tập 1.13 Giả sử X là nhóm với phần tử đơn vị là e Chứng minh

rằng nếu với mọi aX, ta có =e thì X là nhóm Abel  

i) Vì e X => X

ii) a,b X

= abab = aabb = mà =e và =e => =e.e=e X

Vậy phép toán trên X là phép toán hai ngôi

iii) a,b,c X ta có =e, =e, =e

= e = ee==e

= e = ee==e

=>= Vậy X có tính kết hợp

iv) Rõ ràng e là phần tử đơn vị của X

v) a X thì =e

aa’=a’a=e mà e==aa => aa’=a’a=aa => a’=a

Vậy a’=a là phần từ nghịch đảo

X là nhóm

vi) a,b X

= ab.ab=e

=> ab = =

= ba.ba=e

=> ba= =

Vậy X có tính giao hoán (ab =ba)

X là nhóm Abel

Bài tập 1.14 Chứng minh rằng tập con khác rỗng A của nhóm cộng

các số nguyên Z là nhóm con của Z khi và chỉ khi A=mZ với mZ  

Chứng minh : A=mZ với m Z thì A Z.

i) Rõ ràng tập A=mZ ( m là con của tập Z

0.m mZ => mZ hay A

ii) A,B mZ

n’,n’’ : A=mn’ và B= mn’

A+B= mn’+mn’’=m(n’+n’’) mZ

A’= -mn’=m(-n’) mZ

Vậy A Z

Chứng minh Athì A=mZ ( m Z)

+ A= A= 0Z ( m=0)

+A:

a A là các số nguyên khác 0 :

=> mZ là con của A ( m A) Do đó A=mZ

a A là một số nguyên

Ta có: a= mq+r (1) với r=0 hoặc

Từ (1) => r=a-mq A Khi r=0 thì a=mq A Vậy A là con của mZ

Tóm lại A=mZ