Một số vấn đề về các phủ và các không gian đặc biệt

Cho P là phủ điểm - đếm đợc của không gian tôpôX, khi đó P là p -k-lới khi và chỉ khi P là p-wcs*-lới và mỗi tập con compact của X là compact dãy.. Khi đó P là một k- lới đếm đợc của khô

Giả sử K là tập compact của X và U là lân cận mở bất kỳ của x chứa K (K ⊂ U), khi đó ta có: Nếu K là tập hữu hạn thì từ P là wcs* -lới, suy ra tồn tại

ℱ∈ P <ω thoả mãn K ⊂ ∪ℱ ⊂ U; Nếu K là tập vô hạn thì giả sử rằng không

tồn tại ℱ ∈P <ω thoả mãn

K ⊂∪ℱ ⊂ U (1)

Đặt P = ∪{ Px : x ∈ X}, trong đó Px = {P ∈ P : x ∈ P}

Do P là phủ điểm - đếm đợc nên có thể ký hiệu

Px = {Pn(x) : n ∈ ℕ}

Ta xây dựng dãy {xn} trên K nh sau: Lấy x1 ∈ K và P1(x1) ⊂ U

Theo (1) thì K\ P1(x1) ≠ ∅, nên ta có thể lấy x2 ∈ K\P1(x1) Khi đó tồn tại

P1(x2) ∪P2(x2) ⊂ U

Lặp đi lặp lại quá trình nh vậy, ta có dãy {xn} mà

x n∈ K \∪{Pi(xj) : 1 ≤ i, j < n } (2)

Do K là tập compact nên tồn tại dãy con { }x n k của dãy {xn} mà { }x n k hội tụ

về điểm y nào đó (vì khi đó K là tập compact dãy theo giả thiết)

Theo giả thiết P là wcs*-lới nên tồn tại P ∈ P sao cho có một dãy con {

i

k

n

x : i ∈ℕ} của {x n k : k ∈ℕ} mà

{x n k i : i ∈ ℕ} ⊂ P ⊂ U (3) Vậy nên x n1 ∈ P hay tồn tại m1 ∈ ℕ sao cho:

P = P m1(x n1 )

Đặt M = Max{m1, n k1} Khi đó theo (2) thì ∀m > M thì xm ∉ P m1(x n1 ) hay ∀m > M thì xm ∉ P điều này mâu thuẫn với (3)

Vậy giả thiết giả sử là sai Do đó tồn tại ℱ ∈P <ω thoả mãn

K ⊂∪ℱ ⊂ U

Từ đó suy ra P là k - lới điểm - đếm đợc của X

1.2.2.18 Mệnh đề Cho P là phủ điểm - đếm đợc của không gian tôpô

X, khi đó P là p -k-lới khi và chỉ khi P là p-wcs*-lới và mỗi tập con compact của X là compact dãy.

Chứng minh

Điều kiện cần: Theo kết quả mệnh đề 1.2.2.12 thì một k-lới là một

p-wcs*-lới, do đó nếu P là p-k-lới thì P là một p-wcs*-lới Theo bổ đề 1.1.2.7 thì

mọi không gian compact với một p- k- lới điểm - đếm đợc là mêtric hoá đợc

Do vậy, mọi tập compact K của X là metric hoá đợc Ta suy ra K là tập compact dãy

Điều kiện đủ: Việc chứng minh giống nh đã chứng minh ở mệnh đề 1.2.2.17 với chỉ việc thay U bởi X \{y} là đợc

1.2.3 Một số ví dụ.

1.2.3.1 Ví dụ về k- lới.

Xét X =  với tôpô thông thờng Đặt P = {(a, b) : a ∈ ; b ∈ }

Khi đó P là một k- lới đếm đợc của không gian tôpô X

Thật vậy, giả sử K là một tập compact trong X vì {(-n; n) : n ∈ ℕ+}

là một phủ mở của X, nên nó là một phủ mở của K Do K là tập compact nên

có một phủ con hữu hạn {(-ni ; n i) : i = 1, , m} Đặt N = imax 1 , ,m

= {ni} Ta có

K ⊂ m

i 1= (-ni ; n i) = (-N, N)

Do vậy K là tập bị chặn

Giả sử U là một tập mở bất kỳ chứa K Khi đó với mỗi x ∈ K thì x ∈ U và

x là hữu hạn Do đó tồn tại (a x , b x) sao cho x ∈ (ax , b x) ⊂ U và ax , b x ∈ 

Đặt U = {(ax , b x) : x ∈ K}, thì ta có U là một phủ mở của tập compact K

Do đó tồn tại một phủ con hữu hạn { a b i n}

i

i x

K ⊂ n

i 1=

) , (a x i b x i ⊂ ∪ U ⊂ U

Mặt khác, vì (a x i,b x i)∈P, i = 1, , n, nên P là một k- lới

Hiển nhiên P là đếm đợc

Nhận xét: Do P là tập đếm đợc nên P là một k- lới điểm-đếm đợc của không gian tôpô 

1.2.3.2 Ví dụ về p-k-lới.

Xét không gian X =  , với tôpô thông thờng

Đặt P = {(-∞, a) : a ∈ }∪{(b, +∞) : b ∈ }

Khi đó do  là tập đếm đợc nên P là phủ điểm- đếm đợc Giả sử K là tập compact trong  Khi đó K là một tập đóng và bị chặn

Vì K đóng, nên với ∀y ∉ K thì y ∈ X\ K mở Do đó tồn tại Uy = (α, β) sao cho y ∈ (α, β) ⊂ X \K

Mặt khác  là tập trù mật trong X nên tồn tại ay∈  ∩ (α, y) và by ∈

 ∩ (y, β) Khi đó dễ thấy K ⊂ (-∞, ay) ∪(by +∞) ⊂ X \{y}

Vậy P là một p- k- lới điểm- đếm đợc

1.2.3.3 Ví dụ về cs*-lới.

Trong không gian X =  với tôpô thông thờng

Đặt P = { [a, b) : a, b ∈ }

Giả sử {xn} là một dãy trong , hội tụ tới x và U là tập mở chứa x Có thể giả thiết U = (α, β) ∋ x Khi đó, tồn tại ax , b x ∈  sao cho

x ∈ (ax , b x) ⊂ [ax, bx) ⊂ (α, β)

Vì [ax, bx) ∈ P và ∃n0 sao cho {xn : n > n0} ⊂ (ax, bx) nên P là cs* -lới Do

P đếm đợc nên P là cs* - lới điểm - đếm đợc.

1.2.3.3’ Nhận xét Xác định x0∈ , khi đó đặt

P = {(a, b) : a, b ∈  ∩ (-∞; x0)} ∪ {(a, b) : a, b ∈  ∩ (x0,+∞)} ∪ ∪ {(a, x0] : a ∈ } ∪ {[x0, b) : b ∈ } thì P là một cs*-lới của không gian tôpô X, nhng nó không là sn-lới

1.2.3.4 Ví dụ về wcs*-lới nhng không là cs * - lới.

Cho X = ℕ, với tôpô T = { φ; {1, 2}, X }

Đặt P = { {1}; {2}; ℕ\ {1, 2} }

Khi đó P là một wcs*-lới điểm-đếm đợc.

Thật vậy, với mọi dãy {xn} hội tụ về x trong X, ta có

+ Nếu x ∈ {1, 2} thì {1, 2} sẽ là lân cận bé nhất của x, do đó trong {xn}

có dãy con { }∞

=n0 n n

x , n0 ∈ℕ nằm trong {1, 2} Từ đó ắt có một dãy con {x n k} của { }∞

=n0

n

n

x mà x n k = 1, với ∀k ∈ ℕ, hoặc là x n k = 2, với ∀k ∈ ℕ Khi đó, tồn tại P = {1} hoặc P = {2} chứa dãy con {x n k} của {xn} và với mọi lân cận

U của x thì P ⊂{1, 2}⊂ U

+ Nếu x ∉ {1, 2} thì X là lân cận duy nhất của x Khi dó mọi dãy trong X

đợc phân bố trong ba thành phần của P, do vậy ắt có P ∈P sao cho có một dãy con {x n k : k ∈ℕ} của {xn} mà {x n k : i ∈ℕ}⊂ P ⊂ X

Vậy nên P là một wcs*-lới điểm-đếm đợc

Tuy nhiên, P không là wcs*-lới Thật vậy, lấy dãy {xn} thoả mãn xn = 2,

∀n ∈ ℕ Ta có {xn} hội tụ về 1, nhng không tồn tại P ∈ P mà có dãy con {x n k

: k ∈ ℕ} của {xn} sao cho {x n k: k ∈ ℕ} ∪ {1} = {1, 2} ⊂ P Do vậy P không phải là cs*-lới

1.2.3.4’ Nhận xét: ở trên ta lấy ví dụ về X là không gian tôpô không là

T1-không gian và không chính quy Ta có thể lấy ví dụ về phủ có tính chất nh trên trong T1-không gian chính quy nh sau:

Lấy X = , với tôpô thông thờng, là T1-không gian, chính quy x0 là điểm xác định trong X

Đặt

P = {(a, x0) : a ∈ }∪{(x0, b): b ∈ }∪{{x0}}∪

∪{(a, b) : a, b ∈  ∩ (-∞, x0)}∪{(a, b) : a, b ∈  ∩ (x0, +∞)}

P là một wcs*- lới điểm- đếm đợc, nhng P không phải là một cs*-lới

1.2.3.5 Ví dụ về p-wcs*-lới.

Giả sử X = , với tôpô thông thờng Khi đó đặt:

P = {X \y : y ∈ X}.

Dễ dàng thấy rằng P là một p-wcs*-lới, nhng nó không là wcs*-lới

1.2.3.5’ Nhận xét Theo mệnh đề 1.2.2.13, không gian tôpô X là T1 -không gian khi và chỉ khi nó có một p- wcs*- lới Và theo nhận xét 1.2.2.9(ii), trong T1- không gian thì một wcs*- lới là một p - wcs* - lới Vậy có chăng một wcs*-lới của một không gian tôpô X mà không là p-wcs * - lới Ví dụ sau đây

trả lời câu hỏi vừa nêu

Cho X = ℕ, với tôpô T = {φ; {1, 2}; {1, 2, 3}; ; {1, 2, , n}; ; X}, và

P = {{a} : a ∈ X } là phủ rời rạc của X.

Với mọi dãy {xn} hội tụ về m ∈ X thì tồn tại n0 ∈ ℕ sao cho { }∞

=n0

n n

{1, 2, , m}, vì {1, 2, , m } là một lận cận của m Do vậy ắt tồn tại a ∈ {1, 2, ., m} và một dãy con {x n k : k ∈ ℕ} của { }∞

=n0 n n

x sao cho x n k = a, ∀k Chọn

P = {a} thì { x n k : k ∈ ℕ} ⊂ P ⊂ U, với U là lân cận bất kỳ của m Vậy P là một wcs*-lới điểm hữu hạn của X Và rõ ràng P không thể là p-wcs*- lới vì X không là T1 - không gian

1.2.2.6 Ví dụ về lân cận dãy.

ở nhận xét 1.2.2.14, ta đã biết nếu P là một lân cận của x thì nó là lân

cận dãy của x

Bây giờ, ta lấy một ví dụ về lân cận dãy của x nhng không là lân cận của

x.

Giả sử X một tập quá đếm đợc (chẳng hạn X ∈ ) và tôpô

T = { φ; X; A ⊂ X sao cho X\ A là tập hữu hạn hoặc đếm đợc } (chúng ta có thể kiểm tra đợc T đúng là một tôpô trên X )

Khi đó, nếu {xn} là dãy hội tụ về x trong X, thì tồn tại n0 ∈ ℕ mà x n = x,

∀n ≥ n0 Thật vậy, giả sử điều đó không đúng Khi đó sẽ tồn tại dãy {x n k} của {xn} mà x n k ≠ x, ∀k ∈ℕ

Chọn U = X \{x n k } thì U là một lân cận của x Mặt khác {x n k} là dãy con của {xn} nên {x n k} hội tụ về x Điều này mâu thuẫn vì {x n k } ⊂ X \ U.

Vậy ắt phải tồn tại n0 để xn = x, với ∀n ≥ n0 Từ đó, ta dễ thấy P = {x} chính là một lân cận dãy của x, nhng không là lân cận của x

1.2.3.6’ Nhận xét Trong ví dụ trên X là T1- không gian chính quy Sau đây là một ví dụ mà X là T1 - không gian chính quy

1.2.3.7 Cho X = {(m, n) : m, n ∈ℤ } và tôpô T đợc xây dựng từ cơ sở: + {(m, n)} là tập mở nếu m2 + n2 > 0

+ U là lân cận của (0, 0) nếu

Tập Am = {n : (m, n) ∉ U} là tập hữu hạn với mỗi m ∈ ℤ trừ đi một

số hữu hạn phần tử Khi đó X là T1- không gian vì

Với mọi a,b ∈ X (a ≠ b), nếu a ≠ (0,0) thì {a} là tập mở nên ∃U = {a} là lân cận của a mà b ∉ U

Nếu a = (0, 0) thì U = X \ {b} là lân cận của a mà b ∉ U

X là không gian chính quy

Thật vậy, giả sử F đóng trong X và a ∈ X \ F

Nếu a ≠ (0, 0) thì U = {a} là lân cận của a và V = {X \ a} là một tập mở trong X mà X \ {a}⊃ F

Ta có U ∩ V = ∅

Vậy X là T1 - không gian chính quy

Khi đó nếu {xn} là dãy trong X hội tụ về (0, 0) thì tồn tại n0 ∈ ℕ sao cho

x n = (0, 0) với ∀n ≥ n0

Thật vậy, giả sử khẳng định trên không đúng Khi đó tồn tại dãy con

{ }x n k của {xn} mà x n k ≠ (0, 0) ∀k ∈ ℕ Do {xn} là dãy hội tụ về (0, 0) nên {

k

n

x : k∈ℕ} cũng là dãy hội tụ về (0, 0)

Ta lại có V = X \ {x n k: k ∈ ℕ} là một lân cận của (0, 0) theo cách định nghĩa lân cận của (0, 0) ở trên Do đó {x n k: k ∈ ℕ} là một dãy nằm ngoài lân

cận V của (0, 0) mà lại hội tụ về (0, 0), mâu thuẫn Điều này chứng tỏ khẳng

định trên là đúng

Vậy mọi dãy {xn} hội tụ về (0,0) thì tồn tại n0∈ ℕ mà x n = (0,0) ∀n >n0

Từ đó suy ra P = {(0, 0)} là một lân cận dãy của (0, 0) Nhng rõ ràng P không phải là một lân cận của (0, 0)

***