dạng toán luyện thi đại học

các dạng toán luyện thi đại học có tóm tắt lý thuyết+bài tập.

CHỦ ĐIỂM 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1

VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng

a) y = | x | 2| x | 1+

+ b) y = | x 1|x 2

++ c) y = | x 1 |

x 2

++ d) y =

x 1

| x 2 |

++

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x2 3x 3

(m – 2).|x| - m = 0 trên đoạn [-1, 2] (ĐH QG TP HCM KD) Bài 4: Cho hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C) (ĐH KA – 2006)

Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:

y = 2|x|3 – 9x2 + 12|x| = m

VẤN ĐỀ 2:

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng

B BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 3m – 5

a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trịb) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó

Bài 2: Cho hàm số: y = – x3 + 3mx2 +3(1 - m2)x + m3 - m2 (Cm)

a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trịb)Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của (Cm)

(ĐH KA – 2002) Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3x2 - 9x + m

a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trịb) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó

Bài 4: Cho hàm số

2

x (m 1)x m 1y

x m

=

−a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT

b) Tìm m để yCĐ.yCT > 0c) Viết phương trình qua hai điểm CĐ và CT của đồ thị

VẤN ĐỀ 3:

MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM BẬC BA

A Phương pháp:

Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C), ta có các bài toán sau:

g(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ f (x)'

g(C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm: (C) tiếp xúc với Ox)

 có nghiệm (Điều kiện tiếp xúc)

g(C) cắt trục hoành tại 1 điểm ⇔

' '

f (x)

f (x) max min

Bài 2: Cho (Cm): y = 2x3 – 3(m + 2)x2 + 6(m + 1)x – 3m + 6

Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau

Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ đều dương

Bài 4: Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 4x3 - 3x + m = 0

Biến đổi PT thành dạng f(x) = g(m) (1) khi đó dùng một trong hai cách sau đây:

• Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của đồ thị hàm (C): f(x) với đường

thẳng (d): y = g(m) ( Chỉ cần lập BBT của f(x) )

Đặc biệt: PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số f(x).

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x + m = m x2 + 1

Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1) 3 + x + 6 − x − ( 3 + x )( 6 − x ) = m

2) x + 3 = m x2 +13) x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m

4) x4+ x + m +4x4+ x + m = 6

5) m( 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2 ) = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 (ĐH KB – 2004)

6) 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 (ĐH KA – 2007)7) x3 + 3x2 - 2 x +3x + m -1 = 03 2

• Cho y 0 : Giải phương trình y0 = f(x0) để có x0 rồi tính f’(x0)

• Cho hệ số góc k của tiếp tuyến:

Giải phương trình f’(x0) = k để có x0 rồi tính y0 = f(x0)

2 Tiếp tuyến của (C) đi qua (kẻ từ) điểm M(x 1 ,y 1 ) bất kỳ

( M(x 1 ,y 1 ) có thể thuộc hay không thuộc (C) )

 (I) ⇒ k rồi thay vào (1).

♦ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x0)

• Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0,y0) là:

y – f(x0) = f’(x0).(x – x0) (1)

• Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x1,y1) nên x1 và y1 nghiệm đúng (1):

y1 – f(x0) = f’(x0).(x1 – x0) (2)

• Giải (2) ta có x0 rồi thế x0 vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

3 Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x 1 ; y 1 ) kẻ được n tiếp tuyến

Phương pháp thông thường là bắt hệ (I) f(x) k(x x ) y' 1 1

Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H):

• Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì:

+ M là trung điểm của AB+ Tam giác AIB có diện tích không đổi

• Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 (C)

Viết phương trình tiếp tuyến (T) của (C) trong các trường hợp sau:

1) Tại điểm A(-2; 8), B(2; 8)2) Biết hoành độ tiếp điểm bằng -23) Biết tung độ tiếp điểm bằng 274) Biết (T) vuông góc với đường thẳng (d): y = -1

3x + 35) Biết (T) song song với đường thẳng (d): y = 9x - 26) Biết (T) đi qua (kẻ từ) điểm P(0, 1)

Bài 6: Cho hàm số y = 2x + 2

x 1− (H) Gọi M là một điểm thuộc đồ thị I là giao 2 tiệm cận của (H)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) 2) Chứng minh rằng:

a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số

c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên

1) M là trung điểm của PQ 2) Tam giác AIB có diện tích không đổi 3) IQ.IP không đổi.

CHỦ ĐIỂM 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

VẤN ĐỀ 1

ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT

A PHƯƠNG PHÁP:

• Dùng công thức tách, công thức vi phân… để cách biến

đổi các hàm dưới dấu tích phân sao cho có thể sử dụng trực tiếp bảng các nguyên hàm cơ bản

4) cos 2x dxsin x cos x

∫ + 5) ∫cot g x dx2 6) ∫t g x dx37) ∫sin x dx2 8) ∫cos x dx3 9) ∫sin x dx410) ∫t g x dx5 11) 4 3dx 5

sin x cos x

∫ 12) ln(ex) dx

1 x ln x

∫ +

13) I =

π 2 4 π 4

dxsin x

∫ 14)

π 4 4 0

dxcos x

3

sin x sin x

cotgx dxsin x

−

∫16)

dx

πcos x.cos(x )

4+

π 3

π 6

dx

πsin x.sin(x )

6+

Bài 3: Tính các tích phân sau:

xdx

(4x −4x 1) dx+

∫ 10) (2x 3) 2x 1 dx∫ + + 11) dx

A PHƯƠNG PHÁP

Tính I = f (x)dx∫ , ta có hai trường hợp sau:

• TH1: I = ∫f (x)dx =∫g[φ(x)].φ (x).dx'

Thì ta đặt: t = φ(x) ⇒ dt = φ (x).dx ' ⇒ I = g(t)dt∫

Tích phân này dễ dàng tính được

(Tức nếu ta thấy trong biểu thức f(x) có thừa số này là đạo hàm của thừa số kia thì ta đặt t = thừa số này)

• TH2: Theo các mẫu đã học ở SGK hay do đề bài hướng dẫn ta có thể đặt

x = φ(t) ⇒ dx = φ (t).dt ' ⇒ I = ∫f[φ(t)].φ (t).dt' =∫g(t)dt

Tích phân này dễ dàng tính được

Các mẫu cần nhớ: Nếu tích phân có chứa:

1) α2 +u2 hay 2 1 2

α +u , ( a > 0, Δ < 0): Đặt u = α tgt với

π2

− < t <π

22) α2 −u2 ( a < 0, Δ < 0): Đặt u = α sint với π

2

− ≤ t ≤π

23) uα2 − 2 ( a > 0, Δ > 0): Đặt u = α

1 x+

∫4) K =

2 4

x 1

dx

x 1

−+

1 8+

4 1

X 1

x dx

1 2

−∫ + (câu 7; 8: Đặt t = -x ; câu 7, ĐS: 1/5) HD: 3) Đặt x = tant ⇒ t = ln( 2 + 1)

4) Giả sử x ≠ 0, chia tử và mẫu cho x2

Sau đó đặt u = x + 1

x⇒ ĐS: K =

2 2

A PHƯƠNG PHÁP: Dùng phương pháp này để tính I = f (x)dx∫ khi:

• f(x) có chứa hàm lôgarit mà không có dấu hiệu để đặt ẩn phụ

• f(x) là tích của hai loại hàm khác nhau

Chú ý: Nếu f (x)dx∫ = ∫P x g x dx( ) ( ) (Tích hai loại hàm khác nhau)

∗ Mà: P(x) là đa thức, còn g(x) là hàm thuận như: sinu, cosu,eu

thì ta đặt u = P(x) , dv = g(x).dx = (sinu / cosu / e u )dx

∗ Mà: P(x) là đa thức, còn g(x) là hàm ngược như: log , lnu ua

thì ta đặt u = g(x) = log / lnu còn dv = P(x).dxu

1)

1

2 2x 0

e

2 1

e

ln x

dx(x 1)+

∫ (Đặt u = lnx , dv = 1 2

(1 x)+ .dx) 4)

2 2 1

ln x dxx

∫ 5)

1

2 0

x +1 dx

∫ (Đặt u = x2 +1, dv = dx) 6∗ )

π 4 3 0

dxcos x

∫ 6)

π 2

2 0

x.cos x dx

∫ 7)

π

2 0

x.sin x.cos x dx

∫ (Đặt u = x, dv = sin x.cos x dx ) 8) 2

π 2

1

e cos x dx

∫ 9)

1(2e 3)

dxcos x , ĐS:

2 1ln( 2 1)

2 + 2 +

VẤN ĐỀ 4TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:

1) I = 4x 3dx

2x 1

++

2

3

x 4x 2

dx(x 1)

2 0

2 0

2 1

− + + C 9) 3ln4 -

94

A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau đây:

Bài 1:

1) ∫ 3 (2x 3) dx+ 2 2) dx 3

(2x 3)+

∫ 3) ∫(x 2) 2x 3 dx+ + 4)

x 1

dx3x 1

++

0

xdx

1 e

dx

1 e

−+

∫ 10)

2 2

2 2

3 − 12)106

15 13)

81514) π

12 15)

1π( 1)

Bài 3: 1) ĐS: 3

t t[ t ln | t 1| ] C

2 + + − + Với t = 12x

2) ĐS: 6

t t[ t ln | t 1| ] C

3 − + +2 + + Với t = 6 x )

VẤN ĐỀ 6TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân

Bài 1:

π 2 5 1

0

I = ∫sin x dx (158 ) 2 2

dxI

sin x.cos x

sin x dxI

sin x.cos x

dxI

sin x.cos x

= ∫

dxI

sin x.cosx

sin x.cos xdxI

0

I = ∫cos 2x dx (3π16)

π 2 3 13

0

I = ∫sin x.cos x dx (ĐS: 14)

π

3 2

14 0

4sin x

1 cos x

=+

1 sin x

=+

dxI

sin x

= ∫

Bài 4:

π 2 1 π 6

2 0

I = ∫cos 2x(sin x cos x) dx + (→0)

π 3 3 0

4 0

A PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:

I1 =

1

2 0

π 4

I DẠNG 1: Giải phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình

- Tính giá trị biểu thức (Áp dụng công thức P , A , C n k n k n )

A PHƯƠNG PHÁP

- Nếu gặp phương trình thì ta thực hiện các bước sau đây:

• Đặt điều kiện có nghĩa của P , A , Cn kn kn:

P : n 1nk

A :1 k nnk

n 1 C

k 1

+ + ; Ck 1n 1+

+ = Ckn + Ck 1n+

• Cách 2: Dùng khai triển (a + x)n sau đó chọn x thích hợp, với a cho trước.

Nhận dạng: o Mỗi số hạng có dạng: C a bk k n kn − thì chọn khai triển (a + x)n

sau đó chọn x = b phù hợp

o Đặc biệt nếu mỗi số hạng có dạng C ak kn thì ta chọn khai triển (x + 1)n sau đó chọn x = a

• Cách 3: Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2, …

B1: Chọn nhị thức Niutơn để khai triển

B2: Lấy đạo hàm cấp 1, cấp hai của hai vế

B3: Chọn a, b, x, n thích hợp

Nhận dạng cách giải và chọn nhị thức khai triển:

o Dùng đạo hàm cấp 1: Nếu một vế của khai triển mất C0n hay Cnn

(C đầu hay cuối) và đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ số đi cùng với nó tăng hoặc giảm đều một đơn vị,…

o Dùng đạo hàm cấp 2: Nếu một vế của khai triển mất ( 0

và Cn 1n− ) đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ số đi cùng với nó là tích hai số

nguyên liên tiếp,…

o Chọn nhị thức Niutơn dựa vào các đặc trưng tương tự như cách 4 sau khi

đã loại bỏ các đặc trưng của đạo hàm

• Cách 4: Dùng tích phân

B1: Chọn nhị thức Niutơn để khai triển

B2: Lấy tích phân (xác định) hai vế với cận thích hợp

B3: Tính tích phân hai vế ta được kết quả

Nhận dạng cách giải và chọn nhị thức khai triển:

o Nếu một vế của khai triển có chứa C0n và Cnn (C đầu và cuối) đồng thời

mẫu số trong mỗi tổ hợp tăng hoặc giảm đều một đơn vị, ….

o Nếu hệ số của số hạng thứ k trong tổ hợp là: bk+1 – ak+1

o Chọn nhị thức Niutơn dựa vào các đặc trưng tương tự như cách 4 sau khi đãloại bỏ các đặc trưng của tích phân

Bài toán 1: Tìm một số hạng hoặc hệ số của một số hạng

Bài toán 2: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

A PHƯƠNG PHÁP

Bài toán 1: Ta thực hiện các bước sau đây:

• Viết nhị thức Niutơn dưới dạng tông quát (a + b)n = n C ak n k kn b

• Cho số mũ của ẩn ở (1) bằng số mũ của ẩn đề cho ⇒ k ⇒ Hệ số cần tìm

Chú ý: Tìm số hạng không chứa x: Cho số mũ của ẩn ở (1) bằng 0.

Bài toán 2: (với ak > 0, ∀ = k 0,n)

Cách 1: Ta thực hiện các bước sau đây:

• Viết nhị thức Niutơn dưới dạng tông quát (a + b)n = n C ak n k kn b

< ⇒

Z] Hoặc ° Nếu ak 1 ak 0 {a } k

• Dựa và tính đơn điệu của dãy {ak} mà ⇒ (ak)max

2) (x x x3 −1528)n

+ , biết rằng: nCn +Cn 1n− +Cn 2n− =79 3) ( x3 41 )7

x

Bài 2: Tìm hệ số chứa x12 trong khai triển (x2 + 1)n.

Biết tổng các hệ số của khai triển trên bằng 1024

Bài 3: Tìm hệ số của x25y10 trong khai triển (x3 + xy)15

Bài 4: Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + 2x)n bằng 59049 Tìm hệ số của x4

Bài 5: Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển

1) ( 23 + 3)19 2) ( 94 + 7)120

Bài 6: Tìm hệ số của x8 trong các khai triển sau đây:

1) 5 13

x

n( x + ) biết:Cn 1 Cn 7(n 3)

Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển trên

Bài 13: Tìm hệ số lớn nhất trong các khai triển sau:

Bài 15: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết rằng, số tập con gồm 4 phần

tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A

Tìm k∈{1, 2,…,n}sao cho số tập con gồm k phần tử là lớn nhất

CHỦ ĐIỂM 4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM

1 Hệ thức cơ bản giữa các ham số

x

π π π

2 2

2 2

π ππ

π

0

45 4

π

0

60 3

π

0

90 2

cosx 1 23 22 21 0 -1

5 Các cung liên quan đặc biệt

♦Cung đối nhau:

3 Công thức cộng

cos (a ± b) = cosacosb sinasinb

sin (a ± b) = sinacosb ± sinbcosa

1 tan a tan b

± =

±m

4 Công thức nhân đôi, nhân ba

cos2a = cos a - sin a

2 =2cos a - 1

2 =1-2sin a

sin2a = 2sinacosa

2tana tan2a = 2

1-tan a 2 cot a - 1 cot2a =

2cota 3 cos3a 4 cos a 3cos a

3 sin 3a 3sin a 4sin a

3 sin 3a 3 tan a tan a tan 3a

) cos(

) cos(

2

1 sin sin

) cos(

) cos(

2

1 cos cos

b a b

a b

a

b a b

a b

a

b a b

a b

a

− +

+

=

+ +

−

=

− +

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

asinx + bcosx = c (a, b, c ≠ 0)

⇔ sinxcosα + sinαcosx =c

acosα ⇔ sin(x + α) = c

acosα (1)Với điều kiện đầu bài ta được:c

4 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác

• PT dạng: asin 2 x + bsinx + c = 0 (hay acos2x + bcosx + c = 0) với a ≠ 0

Phương pháp:

Đặt t = sinx, -1≤ t ≤ 1 (Hay t = cosx)

sin(x + α) = sinβ

Phương trình trở thành:

a.t2 + b.t + c = 0Nếu PT này có nghiệm t0 (-1≤ t0 ≤ 1), ta được PT cơ bản:

sinx = t0 (hay cosx = t0)

• PT dạng: atan 2 x + btanx + c = 0 (hay acot2x + bcotx + c = 0) với a ≠ 0

Phương pháp:

Đặt t = tanx, t ∈ R (hay t = cotx)

Phương trình trở thành:

a.t2 + b.t + c = 0Nếu phương trình có nghiệm t0 ta được phương trình cơ bản:

tanx = t0 hay (cotx = t0)Nhớ để tanx có nghĩa ⇔ x ≠ π/2 +kπ

5 Phương trình đẳng cấp: asin 2 x + bsinxcosx +ccos 2 x = 0 (1)

Phương pháp giải: (Nếu cho ở dạng: asin2 x + bsinxcosx +ccos 2 x = d ≠ 0

thì thay d = d(sin2x +cos2x) đưa về dạng (1) )

* Cách 1: Thay sin2x =1 cos2x

a.21 (1 – cos2x) + b.12.sin2x + c.12.(1+cos2x) = 0

⇔ b.sin2x + (c - a) cos2x = -(a + c)

Phương trình này có dạng: A.sint + B.cost = C (đã biết cách giải)

* Cách 2:

• Nếu a = 0: thì phương trình (1) trở thành:

bsinx.cosx +c.cos2x = 0

⇔ cosx(b.sinx + c.cosx) = 0 Phương trình này đã biết cách giải

• Nếu a ≠ 0; x = π/2 + kπ không là nghiệm của phương trình nên:

x ≠ π/2 + kπ ⇔ cosx ≠ 0, Chia hai vế của (1) cho cos2x ta được:

6 Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0

Phương pháp: Đặt t = sinx + cosx = 2cos(x )

4π

− ⇒ - 2 ≤ t ≤ 2

⇒ sinx.cosx =t2 1

2

− : Phương trình trở thành: bt2 + 2.a.t +2c – b = 0Nếu phương trình có nghiệm t0, ta giải phương trình:

2cos(x )

4

π

− = t0 với − 2 t ≤ 0 ≤ 2

Ghi chú: Đối với phương trình dạng: a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0

Đặt t = sinx – cosx = 2sin(x )

1) 4(sin x cos x) 2(sin x cos x) 8 4 cos 2x

2) sin x + sin 3x = cos x + cos 3x

3) 16cosx cos2x cos4x = 3 sin 8x

cos x

=

− +

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Giải các phương trình sau:

1) cos3x + sinx – sin3x = 0

2) sin3x + cos2x = 1 + 2sinx cos2x

3) sin 3x cos 3x22 22 6cos 2x 3

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) 5sin2x – 4sinx – 1 = 0

2) cos2x – 3cosx – 4 = 0

3) 3tg2x – 3tgx - 5

2 = 04) 4cotg2x = cos x sin x26 26

cos x sin x

− +

5) 2tgx + cotg2x = 2 sin2x + 1

sin 2x

Bài 2: Giải các phương trình sau:

1) 2cos7x cosx = 2cos6x cos2x + cos22x + sin2x – 1

2) 3(cos2x + 12

cos x ) + 5(cosx + 1

cosx) = 23) 4sin5x cosx – 4cos5x sinx = cos24x + 1

4) sin4x + cos4x – cos2x + 1

4sin22x = 25)

2

2

4x cos cos x

Bài 1: Giải các phương trình sau:

3

1) 3 sin x cos x 2 0

2) 3sinx + 1 = 4sin x 3 cos3x

3) 3 sin x cos x 2cos(x ) 2

4) (2sinx - cosx)(1 + cosx) = sin x

5) 1 cos x sin 3x cos3x sin 2x sin x

3 6) 2cosx + 4sinx =

cos x 7) (sin2x + 3 cos 2x) 3 cos( 2x)

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x – 3cos2x + 5sinx cosx = 2

2) 14sin4x + 2sin2xcos2x – 14sin2x - 8sinxcosx – 1 = 0

3) 2cosx3x + 3cosx – 8sin3x = 0

4) 6sinx – 2cos3x = 5sin 4x cos x

2cos 2x5) sin3(x +

4

π

) = 2sinx6) 3 2cosx – sinx = cos3x + 3 2sinx sin2x

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) 4 2(sinx + cosx) + 3sin2x – 11 = 0

2) (sinx + cosx)3 + sinx cosx – 1 = 0

3) (sinx - cosx)4 - 6sinx cosx – 1 = 0

4) 1 + 2sinx cosx = |cosx – sinx|

5) sinx + cosx + 2 + tgx + cotgx + 1

sin x + 1

cos x = 0

6) cos3x – sin3x = cos2x

7) (1 - sin2x)(sinx + cosx) = cos2x

Vấn đề 2: HƯỚNG GIẢI MỘT PTLG NHƯ THẾ NÀO (HS Tự đọc kỹ)

Trong các kí thi chúng ta thường gặp các phương trình lượng giác và chúng đã gâykhông ít khó khăn đối với nhiều em học học sinh, có lẽ lí do mà các em học sinhthường lo sợ khi giải các phương trình lượng giác là có nhiều công thức biến đổi lượnggiác nên không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương trình đã cho

Trong chủ điểm này tôi xin trao đổi một số lưu ý với các em học sinh đang ngàyđêm ôn tập để hướng tới kì thi ĐH nay

1) Trước hết thì các em cần nắm được những phương trình lượng giác thường gặp.

Trong những phương trình này tôi xin bàn với các em một chút về phương trình đẳng

cấp đối với sin và cos.

Với lí do: về dạng này SGK chỉ trình bày cho chúng ta phương trình đẳng cấp bậchai mà trong các kì thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trình đẳng cấp bậc ba haycao hơn Minh chứng là đề thi ĐH khối B – 2008 (đẳng cấp bậc ba):

không phải là phương trình đẳng cấp, nhưng các em lưu ý là nên ta có

thấy phương trình này là phương trình đẳng cấp bậc 3 Do vậy với phương trình lượnggiác thì ta có thể định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp bậc k như sau: “Làphương trình có dạng f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx trong một sốhạng là cùng chẵn hoặc cùng lẻ và tổng luỹ thừa đó bằng k”

Cách giải: Xét TH cosx = 0, sau đó chia hai vế phương trình cho coskx ≠ 0 (k là bậccủa phương trình) ta được phương trình theo một hàm số lượng giác là tanx

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau