Một số vấn đề về quá trình poisson

Mở đầu Phân phối Poisson và quá trình Poisson là những h-ớng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết Xác Suất - Thống Kê với h-ớng nghiên cứu về lý thuyết Martingale Về ph-ơng diện lý thuyế

Mệnh đề 1 Mệnh đề 2 Mệnh đề 3 Mệnh đề 4 Mệnh đề 5 Mệnh đề 6 Mệnh đề 7

Mở đầu

Phân phối Poisson và quá trình Poisson là những h-ớng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết Xác Suất - Thống Kê với h-ớng nghiên cứu về lý thuyết Martingale

Về ph-ơng diện lý thuyết tr-ớc đây đã có nhiều nhà bác học nghiên cứu

về vấn đề này, nh-ng Simeon Đenis Poisson là ng-ời thành công nhất trong lĩnh vực này

Để nghiên cứu tính phụ thuộc của lý thuyết quá trình ngẫu nhiên Poisson cần phải có công cụ đặc biệt

Những họ - đại số liên quan đến quá trình ngẫu nhiên

Tính phụ thuộc giữa thời gian đến và thời gian chờ, thời điểm trung gian

là điều quan trọng đối với quá trình ngẫu nhiên, tuy vậy ta th-ờng xét ở một thời điểm bất kỳ nào đó

Khoá luận này nói lên điều kiện để một số các quá trình ngẫu nhiên bất

kỳ là quá trình Poisson mặt khác còn khai thác thêm một số tính chất và đặc

điểm quan trọng của quá trình Poisson

Khoá luận còn xét dãy các đại l-ợng ngẫu nhiên lấy những giá trị cụ thể khác nhau, có các giá trị về kỳ vọng, ph-ơng sai, hệ số t-ơng quan thoả mãn một số điều kiện nhất định để lập thành Martingale (Gọi tắt là Mart)

Khoá luận gồm có những nội dung chính sau đây:

Đ5 Trình bày khái niệm Martingale và một số các đại l-ợng ngẫu nhiên lập thành Mart (từ mệnh đề 1 đến mệnh đề 7)

Khoá luận đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn của PGS-TS Phan Đức Thành Nhân dịp này tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo

đã dành sự nhiệt tình tận tâm cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

để hoàn thành đề tài

Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô giáo trong khoa Toán của tr-ờng ĐHV nói chung và tổ điều khiển nói riêng đã nhiệt tình giúp đỡ và quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận tốt nghiệp

Vinh, ngày tháng năm 2004

Tác giả

Quá trình Poisson là một trong những quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhất về lí thuyết cũng nh- ứng dụng Đây là hòn đá tảng của mô hình ngẫu nhiên Quá trình Poisson là tr-ờng hợp đặc biệt của xích Markov với thời gian liên tục Quá trình này đ-ợc Simeon Denis Poisson phát hiện năm 1837

Đ1 Phân phối Poisson 1.1 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X đ-ợc gọi là có phân phối Poisson

với tham số  > 0 nếu:

k (k = 1,2, ………)

Ta có bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X

P(Xi) e- 

! 1 

 

e

! 2

!

.

! 2 2

1

2

k

e k e

e e

!3

!2

!11(

1 3

 Ph-ơng sai DX = EX2 – (EX)2

Ta có:

! k

ke

! k e ) 1 k ( k

! k e k EX

k

0 k

k

0 k

k

0 k

1k(k

k

0 k

2 k 2

)!

2k(

= 2

+ Vậy Dx = 2    2  

b Hàm đặc tr-ng của phân phối Poisson

k itk

0 k

k itk itx

X

! k

e e p

e Ee

) t

(

0 k

k

it it it it

e e

e e

! k

) e (

1.2 Các tính chất của phân phối Poisson

1.2.1 Giả sử X,Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập

) 1 e ( X

it 2

it 1

e ) t (

e ) t (

=> X Y (e 1) (e 1)

it 2

it

e ) t ( ) t

1.2.2 Hệ quả: Giả sử N là biến ngẫu nhiên có phân phối Poison với tham

số  > 0, X là biến ngẫu nhiên sao cho:

P(X=k  N=n) = k

n

C pk(1-p)n-k (k = 0, 1, 2,…n) Khi đó X có phân phối Poisson với tham số p

n P k

1(P)!

kn(k

!

0 n

k n k

k n k

)!

kn(

)]

1([e

!k

)P(

e ( k 0 , 1 , 2 )

! k

) P ( e

e

! k

) P (  k (1 P)   k P  

=> X ~ P (P)

1.2.3 Luật biến cố hiếm

Giả sử A là biến cố nào đó xẩy ra với xác suất P, ký hiệu X là số lần xuất hiện A trong n lần quan sát, khi đó X có phối phối nhị thức

P(X=k) = k

n

C pk(1-p)n-k (k = 0, 1, 2, …n)

Luật biến cố khẳng định rằng khi p khá bé, n khá lớn công thức Becnuli có giá

trị gần với công thức Poisson với  = np, cụ thể là     

e

! k ) k X ( P

k

Đ2 Quá trình Poisson

2.1 Các giả thiết về quá trình Poisson

Tr-ớc hết nhắc lại quá trình đếm

Giả sử A là biến cố nào đó ký hiệu N(t), t  0 là số lần biến cố A xuất

hiện trong khoảng thời gian từ 0 đến t (kể cả thời điểm t) khi đó {N(t), t  0}

t(Ph

)t(P)ht(

=

-h

)h()t(

]k)t(N)kt(N,kn)t(N[P

= Pn(t).Pn(h) + Pn-1(h)Pn-1(t)+o(h) = (1-h)Pn(t) + hPn-1(t) + o(h)

Vì thế:

h

)t(P)h()t(hP)

t(P)h1(h

)t(P)ht(

( )

'

t P t

P t

Pn    n   n

=>

!

) ( ) (

;

! 1 )

(

0

n

e t t

P

e t

P

t n n

2.2 Định nghĩa quá trình Poisson

Cho X = {Xt: t[0,)} là một quá trình ngẫu nhiên Ta nói rằng X là quá trình Poisson với c-ờng độ  > 0 nếu:

st(

) s t (   



(iv) Hầu hết tất cả các quỹ đạo là hàm nhận giá trị nguyên, không

âm, không giảm với các b-ớc nhảy bằng 1

) h (  

Đ3 Mô hình Poisson

Quá trình Poisson có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực thông tin, liên lạc và kinh tế cũng nh- trong lý thuyết phục vụ đám đông

3.1 ý nghĩa thực tế của quá trình Poisson

Xét X(t) là số lần gọi tới tổng đài Trên thực tế ta có thể chấp nhận các giả thiết sau đây:

a Xác suất để trong khoảng thời gian với độ dài t có n lần gọi đến tổng

đài phụ thuộc vào n và t nh-ng không phụ thuộc vào vị trí của khoảng này trên trục thời gian

Vậy X(t) là quá trình dừng

b Số lần gọi đến trong những khoảng thời gian không giao nhau là các

biến ngẫu nhiên độc lập

Vậy X(t) là quá trình có gia số độc lập

c Xác suất để trong khoảng thời gian t khá bé có nhiều hơn một lần gọi

đến (P[X(t)  2]) là vô cùng bé bậc cao hơn t

Tức là: Bất kỳ t, u thì từ a) và b) ta có P0(t+u) = P0(t)P0(u)

Nghiệm duy nhất của ph-ơng trình này là P0(t) = e-t

Theo công thức Taylor: Khi t khá bé thì

t(P)tP[u

)t(P)ut(P

n 1

n n



Cho u 0 ta đ-ợc Pn'( t )   [ Pn1( t )  Pn( t )]

Pn(0) = 0  n  1 và P0(0) = 1 nên nghiệm duy nhất của ph-ơng trình trên là:

te

!n

n)t()t(n

3.2 Ví dụ:

Ví dụ 1: Giả sử sự cố hỏng của 1 đ-ờng dây liên lạc xẩy ra theo quá trình

Poisson với c-ờng độ  = 0,1 trên 1km ta cần tính

a Xác suất không có sự cố hỏng trong 2 km đầu

b Xác suất không có sự cố hỏng trong km thứ 3 Biết rằng không có sự

)t(]n)t(X[P)t(

Ví dụ 2: Giả sử số khách đến một cửa hàng nào đó là quá trình Poisson

với c-ờng độ là  = 4 trong một giờ, cửa hàng mở cửa lúc 9 giờ sáng Tính xác suất để cho tới 9 giờ 30’ có đúng 1 khách đến cửa hàng và cho tới 11 giờ 30’ có 5 khách đến cửa hàng

Giải: Gọi thời điểm xuất phát là t0 = 9.00 lúc đó xác suất cần tìm là:

1

X X

5 , 1 2

1

X X

5 X P 1 2

1 X

P

0155,0e

3

1024e

3

512e

3.3 Quá trình không thuần nhất

Ta có quá trình Poisson không thuần nhất khi c-ờng độ của quá trình phụ thuộc vào thời gian, tức là khi  = (t) khi đó X(t) – X(s) có phân phối

Poisson với tham số là t

s

du ) u (

Đ4 Các phân phối liên quan đến quá trình

Các biến ngẫu nhiên N (t0, t1] , N (t1, t2], … , N (tn - 1, tm] là độc lập

(ii) với bất kỳ 0  s < t thì N(s, t] là biến ngẫu nhiên Poisson với c-ờng

độ  (t-s)

Quá trình điểm Poisson {N(s, t] , 0  s < t} với c-ờng độ  > 0 và X(0)=0, X(t) = N(0, t] thì {X(t), t  0} là quá trình Poisson với c-ờng

độ  > 0

4.2 Thời gian đến (thời gian chờ) và thời gian đến trung gian

- Thời gian đến thứ n là thời điểm biến cố A xuất hiện lần thứ n (n=1, 2, )

- Ta ký hiệu Wn là thời gian đến thứ n

Thời gian đến trung gian thứ n là khoảng thời gian tính từ thời điểm biến

cố A xẩy ra lần thứ n-1 đến thời điểm biến cố A xẩy ra lần thứ n

Ký hiệu Sn là thời gian đến trung gian thứ n

W

)!

1n(

t)

(ii) Các thời gian đến trung gian s1, s2…, sn là các biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi biến ngẫu nhiên này có phân phối mũ với mật độ là

t

u t

u k n k

t k

)t(1

e

!k

)t(

t 1 n n '

w

)!

1 n (

t )

t ( F ) t ( f

n n

Với n = 2 ta thấy sự liên hệ giữa các biến cố t1 <s1 <t1 + t và

t2 < s2 < t2+t (với s1, s2 là thời gian đến trung gian)

Điều này có nghĩa là biến cố A không xuất hiện trong các khoảng:

P{N(t1+t1+t2, t1+t1+t2+t2] = 1}+ 0(t1t2)

= ( et1)( et2)(   t1et1)(   t2et2)   (  t1 t2)

) t t ( ) t t )(

)tt()e)(

e()t,t(

f

2 1

2 1 t

t 2

1 s

)(

e ( ) t t (

2

1

t t

2 1 s

)n)t(X,k)u(X(P

))

()(,)((

n t X P

k n u X t X k u X P

) u t ( k n u

k

e

!n

)t(

e)!

kn(

)]

ut([e

!k

)u(

n

k n k

t

u1t

u)!

kn(k

!nt

)ut(u)!

kn(k

Ví dụ 1: Giả thiết ng-ời nhập cứ vào một địa điểm nào đó tuân theo quá

trình Poisson với c-ờng độ  =1 ng-ời trên một ngày

Hãy tính:

a Thời gian trung bình khi ng-ời thứ 10 tới

b Xác suất để khoảng thời gian giữa ng-ời đến thứ 11 lớn hơn 2 ngày

y 2

1 2

Khái quát bài toán

Xác suất để X1(t) =n xẩy ra tr-ớc khi X2(t) =m là:

k 1 n m

2 1 2 k

2 1

1 k

1 n m

2 m

Định lý: Nếu {Ni (t) , t  0} (i = 1, 2, …k) là quá trình đếm biến cố loại

i xẩy ra trong khoảng (0, t] thì các quá trình này là các quá trình Poisson độc lập với tham số t-ơng ứng

ENi (t) = t P i s ds

0

)(



P(N1(t) = n1, N2(t) = n2,…, Nk(t) = nk)

= P(N1(t) = n1, N2(t) = n2, …, Nk(t) = nk N(t) = n) P(N(t) = n) .Xét biến cố xẩy ra trong (0, t] Nếu nó xảy ra tại s  t thì xác suất để nó thuộc loại i là Pi(s) Theo định lý với điều kiện N(t) = n thì biến cố này sẽ xảy

ra tại thời điểm ngẫu nhiên nào đó có phân phối đều trên (0, t] Suy ra xác suất

để biến cố này thuộc loại i là

{Ni(t), t  0} độc lập theo giả thiết nên:

1

P

P P

! n

!

n

! n

! n

Do đó

P(N1(t) = n1, N2(t) = n2, …, Nk(t) = nk )

n n

k

n 2

n 1 k 2

1

e

! n

) t ( P

P P

! n

!

n

! n

n

i

e n

tP

)

Đ5 Martingale và quá trình poisson

5.1 Định nghĩa: Cho {Xt : t  [0, +) = T} là quá trình Poisson

s s

t \F ) X dpX

Đối với quá trình Poison {Xt : t  [0, + )} X0 = 0 thì (Xt -at) là Martingale

đối với họ -đại số Ft

Chứng minh: Ta chứng minh E((Xt-at)  Fs) = Xs – as

Ta có Xt-at = Xs+ (Xt-Xs) – at

Chứng minh: Ta chứng minh E(X t2 F(t)  Fs)= Xs2

- F(s)

Ta có:

)())

((

)

2

t F X

X X

t F

Đối với quá trình Poisson {Xt : t  [0, + )} X0 = 0 thì (Xt - at)2- at

là Martingale đối với họ -đại số Ft

Chứng minh: Ta kiểm tra trực tiếp xem

E((Xt- at)2 – at) = 0 hay không?

Ta có: E((Xt – at)2 – at) = E(Xt - at)2 – E(at)

= E(Xt - at)2 –at

Mặt khác: Xt – Xs ~ p(a(t - s)) 0  s <t

E(Xt - Xs) = a(t - s) s 0 EXt = at

Nên D(Xt - Xs) = a(t - s)  DXt = at

Quá trình Poisson xuất phát từ 0

{Xt : t  [0, + )} là quá trình có gia số không t-ơng quan

Chứng minh: Theo định nghĩa của quá trình Poisson thì (Xt) có gia

n i n

n F E X F E S X F S

n 2 2

n

1 i i

Ta cã: E(Mn+1Fn) = E((Sn +Xn+1)2 – (n+1)a2Fn)

n X a S na Y

1

)(

i

X

1 1

E(Yn+1Fn) = E((Sn+1-(n+1)aFn)

tµi liÖu tham kh¶o

1 §µo H÷u Hå - X¸c SuÊt Thèng Kª, NXB §¹i häc Quèc gia Hµ Néi,

1998 - 1999

2 Tèng §×nh Quú - H-íng dÉn gi¶i bµi tËp X¸c SuÊt Thèng Kª, NXB

Gi¸o dôc, 1996

3 §Æng Hïng Th¾ng - Bµi tËp X¸c SuÊt, NXB Gi¸o dôc, 2000

4 NguyÔn Duy TiÕn - C¸c m« h×nh X¸c suÊt vµ øng dông

PhÇn I: XÝch Markov vµ øng dông

PhÇn III: Gi¶i tÝch ngÉu nhiªn, NXB Quèc gia Hµ N«i, 2001