Tích phân k dạng vi phân và một số ứng dụng

1 LỜI NÓI ĐẦU Phép lấy tích phân các dạng vi phân là một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu và trình bày trong các tài liệu như hình học vi phân của Đoàn Quỳnh, tích ph

1

LỜI NÓI ĐẦU

Phép lấy tích phân các dạng vi phân là một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu và trình bày trong các tài liệu như hình học vi phân của Đoàn Quỳnh, tích phân các dạng vi phân của Cartan và trong một số tài liệu khác

Mục đích của đề tài này là trình bày một cách hệ thống các khái niệm

và tính chất cơ bản Để từ đó chỉ ra được một số ứng dụng về tích phân các dạng vi phân để tính thể tích các mặt: Như thể tích mặt cầu, mặt trụ, mặt nón, mặt xuyến trong R3

hay là làm sáng tỏ 1 số công thức tính thể tích mặt trong giải tích…

LUẬN VĂN NÀY ĐƯỢC TRÌNH BÀY VỚI CÁC MỤC SAU:

Đ1: Dạng k - tuyến tính, dạng k - tuyến tính phản xứng

Trong bài này chúng tôi nhắc lại định nghĩa dạng k - tuyến tính, dạng k

- tuyến tính phản xứng, phép nhân ngoài, chứng minh các tính chất của dạng

k - tuyến tính phản xứng và các tính chất của phép nhân ngoài

Đ 2: Các dạng vi phân trên đa tạp khả vi.

Nội dung chính trong bài này là nhắc lại định nghĩa k - dạng vi phân, định nghĩa phép nhân ngoài của các dạng vi phân, định nghĩa phép toán vi phân ngoài của các dạng vi phân, định nghĩa ánh xạ đối tiếp xúc, nêu và chứng minh một số tính chất liên quan đến các khái niệm trên

Đ 3: Tích phân các dạng vi phân trên đa tạp khả vi

Nội dung của bài này là trình bày cách lấy tích phân các dạng vi phân

cụ thể là tích phân 1- dạng dọc theo đường định hướng, tích phân của 2- dạng

trên mặt, nêu định lý Stokes, định nghĩa tích phân k - dạng vi phân, nêu và chứng minh một số tính chất liên quan

Đ 4: Dạng thể tích, tích phân dạng thể tích

Nội dung của bài này là nêu lên định nghĩa dạng thể tích chính tắc, dạng thể tích và 1số ứng dụng của tích phân các dạng vi phân đặc biệt là tích phân mặt để tính một số thể tích các mặt thông dụng trong chương trình học phổ thông trong không gian 3 chiều

Luận văn này được hoàn thành tháng 4 năm 2004 tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo - Tiến sỹ Nguyễn Duy Bình

Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo - Tiến sỹ Nguyễn Duy Bình đã đặt vấn đề và hướng dẫn tận tình giúp đỡ, thầy giáo - Phó giáo sư - Tiến sỹ Nguyễn Hữu Quang với những bài giảng trên lớp, tập thể lớp, khoa và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi Để từ đó tác giả hoàn thành luận văn này

Vinh, ngày 26 tháng 4 năm 2004

Tác giả

+ Nếu k = 2 thì ta gọi f là dạng song tuyến tính

Chứng minh:

a) Thật vậy:

+ Với f º Lk,tồn tại một ánh xạ 0: Ex xE R để f + 0 = f

(x1, ,xk)0 + Với ánh xạ f: E x …x E  R có ánh xạ -f: Ex xE R

=  ( f1 (x1,…,xk) + f2 (x1,…,xk))

=  f1 (x1,…,xk) + f2 (x1,…,xk) = ( f1 +  f2) (x1,…,xk)

j j

x

1 1 1 1

j j

x

1 1

j x k b k x

1 (a1,…,ak) =

k

j j

j j

x

1 1

1 k k j k

n

j

j i i j

x





phản xứng nếu f là 1 dạng k - tuyến tính và thoả mãn điều kiện

+(f-g) (x1,…,xi,…xj, ,xk) = f (x1, ,xi,…xj,…,xk) - g (x1, ,xi,…xj,…,xk)

= - f(x ,…,x,…,x,…,x )+g (x ,…,x,…x,…,x )

 f º Ak

Vậy Ak là không gian vectơ con của Lk

nếu có xi = xj (i ≠j)thì f (x1…,xk) = 0

nếu k > n với n = dim E thì f = 0 hay Ak =  0

ajf ( x1…,xk - 1, xj) = 0

1.3 PHÉP NHÂN NGOÀI TRONG Ak

1.3.1 Định nghĩa: Phép nhân ngoài 2 ánh xạ đa tuyến tính phản xứng

Giả sử f Ak, g º Al Tích ngoài của f và g đƣợc ký hiệu là f  g º Ak +l đƣợc xác định nhƣ sau:

(f g) ( x1, x2,…,xk , xk + 1, ,kk+l)

= 



sign  f (x (1), x (2),…,x (k))g (x (k+1),…,x (k+l)) Trong đó:  chạy khắp các hoán vị 1,…, k+l thoả mãn điều kiện

 (1) <  (2) < …<  (k),  (k+1) <…<  (k+l)

1.3.2 Ví dụ: Xét k = 1, l = 1

f º A1, g º A1 là những ánh xạ tuyến tính thì (f  g) º A2 là ánh xạ song tuyến tính đƣợc xác định

(f g) (x,y) = f (x) g (y) - f (y) g (x)

xứng khi đó nếu k + l > n với n = dim E thì f  g = 0

chứng minh đƣợc f  g = 0

f 1 (x 1 )…f 1 (x k )

j j i

i i

f k (x 1 )…f k (x k )

f 1 (x 1 )…f 1 (x k )

f k (x 1 )…f k (x k )

j j i

i i

i

a f

g

g f

f f

g g

b a

l k i

j j

i i

j j i

)

( )

(

1 1

1 1

do (g i  g i k)  (f j   f j l) g i  g i k  f j   f j l

1 1

l

kl j

j i

g      )  (  1 )     

(

1 1

Thật vậy giả sử ngƣợc lại f1,…., fk phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại một

fi (i = 1,k) biểu thị đƣợc qua các ánh xạ còn lại

Chẳng hạn: fk = 1f1+….+ k-1 fk-1

Khi đó: f1  f2 … fk = f1  f2 … fk-1 (1f1 +….+ k-1 fk-1)

= f1  f2 … fk-1 1f1+…+ f1  f2 … fk-1 k-1fk-1 = 0

Mâu thuẫn với giả thiết nên: f1,…., fk độc lập tuyến tính

+ Nếu f , ,1 f k độc lập tuyến tính ta chứng minh f1  f k  0

11

Cho tác động f1 …fk vào cơ sở đối ngẫu e , ,1 e kcủa f1,…,fk ta được

f1 …fk (e1,…,ek) =

) (e f ) (e f

) (e f ) (e f

k k 1 k

k 1 1 1

0 0

0 0 1

Trong đó : Tp Rn = pp là véc tơ tiếp xúc tại P

: p  p ( p º Ak(p)) với p º Rn khi đó  được gọi là k dạng vi phân hay còn gọi là dạng vi phân bậc k

Với k = 0 ta quy ước 0

(Rn) = F (Rn) trong đó F (Rn) là tập các hàm số khả vi trên Rn

2.1.2 Nhận xét:

+ Mỗi p º Ak(p) thì p (1(p),…,k(p) ) º R và  (X1,…,Xk) là 1 hàm số

từ RnR với Xiº B(Rn) là trường véc tơ khả vi trên Rn

p  p( X1(p),…,Xk(p))

+ Đặt  (X1,…,Xk) = f khi đó  khả vi khi và chỉ khi f khả vi với mọi bộ (X1,…,Xk) với Xi ºB(Rn) (trong đó B(Rn) là trường véc tơ khả vi trên Rn

) Ký hiệu: k

(Rn) =  khả vi

+ Nếu k > n thì k

= 0 hay p p = 0 p º Rn + Trên k

(Rn) các dạng vi phân bậc k trên Rn

ta đưa vào phép toán cộng và phép toán nhân như sau: Với 1, 2 º k

(Rn),  º F (Rn) thì các phân tử ký hiệu bởi 1+ 2, 1 được xác định bởi các hệ thức sau:

+ Với mọi  ºk

(Rn) thì  : p  p ; pº Rnthì tồn tại

- : p  - p để +(-) = (-) +  = 0

= (1(p)+ 2(p)) + (p)

= 1(p) (p)+ 2(p)(p)

= (1+ 2)(p) Hay (1+ 2)  = 1+ 2

+ Với mọi 1, 2 º F (Rn) ,º k

(Rn) thì (1(2))(p)= 1(p)( 2(p) (p) ) = (12))(p)(p) = ((12) )(p)

2.2 PHÉP NHÂN NGOÀI CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN

Từ phép nhân ngoài các ánh xạ đa tuyến tính phản ứng ta xây dựng phép nhân ngoài các dạng vi phân

2.2.2 Nhận xét: Từ phép nhân ngoài của các ánh xạ đa tuyến tính

Ta có phép nhân ngoài các dạng vi phân:

’ (X,Y) =1(X) ’(Y) - 1(Y) ’(X)

i

i i

0

), ,(

0), ,(

1

1 1

k j

j

i

i

j j

j j

i i

i i

j j

E E

E E

dx dx

k

k

k k

k k

1 k

X

Thì:  (X1,…,Xk) = ( , , )

1 1

j

j

j E X k E k X

1 2

1

1

k

k j j j

) ,

(

) , ,

(

) , , (

) , ,

(

) , , (

1 1

1

1

1 1

1

1 1

1

1 1

1

1 1 1

1

k i

n

j

i j j k

j j

n

l

j j i i

j j

j

j j j

j j i

i k i

i

X X dx dx

a X

X

X X

E E dx dx

X X

E X E

X dx

dx X

X dx

dx

k k

k

k k

k

k k k

hay dx1 dx n là cơ sở của không gian n(R n)có n

) (

)

(

)

( ) , , (

1

1

1 1 1

1

k k k

k

k k

X dx

X dx

X dx

X dx X

X dx

Chứng minh: (suy từ định lý 1.3.4 ở Đ1)

Cách 1: Theo định nghĩa:

17

dxdydz (X,Y,Z) = dx(dydz)(X,Y,Z)

= dx(X) dydz(Y,Z) - dx(Y)dydz(X,Z) + dx(Z).dydz(X,Y)

= 1(dy(Y)dz(Z) - dy(Z) dz(Y)) - 0 (dy(X) dz(Z) - dy(Z) dz(X)) + x(dy(X)dz(Y) - dy(Y)dz(X))

= 1(y.1 – yz) + x (xz – yy) = y-yz + x2z - y2x

i i

i i

(Rn) và đƣợc gọi là vi phân ngoài của  đƣợc xác định bởi ánh xạ d: k

dx dx

1 1

1

1 1

(Rn), vi phân ngoài của f là df xác định bởi ánh xạ

d: 0

(Rn) 1

(Rn)

dx( X ) dx( Y ) dx( Z ) dy( X ) dy( Y ) dy( Z ) dz( X ) dz( Y ) dz( Z )

1 0 x

x y y

y z 1

dx x

i i

i i

i i

i i

i

'

k

i i

i i

i i i

'

1

1 1

1

1 1

k

i i

i i

i i i

1

1 1 1

k

k k

i i

i i

i i i

i

i i

i

 = d + d’

i i

i i

i i

i i

i i

i i

k

i i

i n

i

i i

dx dx

dx x

1 1

k

i i

i n

i i

i i

dx dx

1 1

1

1



)

) ((

)

(

1 1

k

i i

i n

i i

i i

dx dx

dx x

d d

k

i i

i j n

i i

i i

dx dx

dx dx x

1 1

1 1

1 ,

2 

k k

k

i i

i j n

i i

i i

dx dx

dx dx x

1 1

1 1

1 ,

1 1

k

i i

i j n

i

i

i i

dx dx

dx dx x x



hay d(d )  0

(Rn) thì d(f ) = df + fd

Chứng minh: Do d có tính chất là ánh xạ tuyến tính nên ta chỉ cần xét:



1 1

' '

' '  

i i

i i

l

dx dx

dx x

1 1

i i

i i

i

l

k dx dx dx

dx dx x

x

1

' '

) ).

) ( )

( ( (

1 1

i i

dx x

'

) ) ( (

1 1





i i

i i

l

k dx dx dx

dx dx x

1 1

i i

i i

l

dx dx

dx x

1

'

)

( )

) ( (

i i

k i

x dx

dx

1

'

)

) ( ( ) 1 ( )

(

1 1





' '

) 1

Quy ước: trong trường hợp k = 0 thì f* : 0

(Rn) 0

(Rm) f* = f

sao cho (u,v)(u+v,u,uv)  = xdx + yzdy Tính f* = ?

+ Ta có: f*: 1

(R3)1

(R2) Giả sử: X (X1, X2) B (R2)  f* 

0 1

1 1

uv u v u

23

= f* 1 (X) + f* 2 (X) = (f* 1 + f* 2) (X) Vậy: f*

=  (g* ( f* X1),…,g* (f* Xk)) = f*.g*  (X1, …,Xk)  X1, X2,…,Xk B (Rn) Vậy (g f )* = f* g* (đpcm)

Đ 3 TÍCH PHÂN CÁC DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ

VI

3.1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA CÁC DẠNG VỊ PHÂN BẬC NHẤT

Cho  là đường xác định bởi: : [a,b]  Rn với  là hàm khả vi

t   (t)

biên đổi tham số : [a,b]  [a’,b’] của  đều có ’

)(

( 1 1





25

a

) ( ' ) ( '.

).

( 1 1 1  '



' '

 không phụ thuộc vào cách chọn tham số hoá cùng hướng

Cho    (R n)là 1 - dạng vi phân Khi đó tích phân của  dọc đường định

+ (*X) = (xdx + ydy) (2tXE1 + 2XE2)

t

 ) = 23/2

3.1.6 Định lý: Tích phân  



không phụ thuộc vào tham số hoá  của 

định bởi tham số hoá : J  Rn của  cho dạng vi phân    1(J)

t  (t) Khi đó  



=  

J

 Xét   = *  Khi đó trong tham số hoá tương đương

n

R I

(



Ta có:   * (   )  * (  ) (  *  )(  * ) (   ) (  )

t d dt

dt

I I

I

) ( ) )(

( )) ( ( )

) (

dt 



Vậy tích phân  



không phụ thuộc vào tham số hoá  của 



chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối (a); (b) của đường 

 là cung được xác định bởi : [a,b]  Rn mà (a) = A; (b) = B

d( *(  )) (   ) (   )'( )

Với .: [a,b] Rn

làhàm số liên tục

3.2 TÍCH PHÂN MẶT CỦA 2 DẠNG VI PHÂN.

nếu mọi điểm của  có lân cận mở trong  là một cung hình học Một tham số hoá của cung hình học này gọi là một tham số hoá địa phương của 

3.2.2 Định lý: Đa tạp một chiều khả vi tường khúc, nếu cung tham số

: J En khả vi từng khúc Mà cung tham số  khả vi từng khúc nếu nó

t (t)

liên tục và có một số điểm hữu hạn thuộc J sao cho thu hẹp của  lên mỗi đoạn nối hai điểm liên tiếp là khả vi

là ảnh của một phép dìm, đồng phôi lên ảnh: r: U(mo R2) En

r: được gọi là tham số hoá của mảnh hình học S

gọi là một đa tạp 2 chiều (hay một mặt) trong En

nếu mỗi p S có lân cận mở W là một mảnh hình học

3.2.5 Định nghĩa: S là đa tạp hai chiều trong En Miền compắct với bờ trên S là tập con K  S mà thoả mãn các điều kiện

+ K compắct

+ Biên K là một đa tạp một chiều khả vi từng khúc

+ K chia lân cận mỗi điểm chính quy thành hai phía, một phía chứa các điểm của K, còn một phía chứa các điểm bù CK

3.2.6 Chú ý: Nói K có hướng nếu đã cho một hướng trên một lân cận mở

của K trong S khi đó K có hướng gọi là hướng cảm sinh xác định như sau Tại mỗi điểm p chính quy của K, xét véc tơ   TpS,  0 tiếp xúc với K tại p

và với véc tơ  TpS,   0,  hướng vào bên tong K0 K \K thì cơ sở {  ,  }

xác định hướng đã cho của TpS

thay đòi hỏi tham số hoá địa phương r: US với U là tập mở trong R2, bởi U là một tập mở trong nửa phẳng (u,v)v 0  ta được khái niệm đa tạp hai chiều S với bờ

3.2.8 Định lí: (Định lí về tam giác phân đa tạp compăct) (Xem [1])

K là miền compăct với bờ trên đa tạp 2 chiềuS trong En

thì có một họ hữu hạn miền compăct với bờ Ci trong R2 ,có họ ánh xạ khả vi ri :Ci S ,

v u r

 Gr((r i)'u, (r i)'v) dudv

Trong đó

' ' ' '

' ' ' ' ' '

.

.

) ) ( , ) ((

v v u v

v u u u v u

r r r r

r r r r r r

K

ds gọi là diện tích của miền K

3.2.10 Định lý: Tích phân của hàm số trên miền compắct với bờ trên đa

tạp hai chiều S trong En

không phụ thuộc vào việc lát của K đã chọn

Chứng minh: Giả sử K có hai cách lát Bằng cách xét “ lát con” của hai lát đó,

đưa về chứng minh cho trường hợp lát K chỉ có 1 phần tử K = r (C)

Giả sử có ánh xạ khả vi : C~ C

(s,t)   (s,t)  (u,v)

Ta cần chứng minh:

) , ( )

~

!

) ) ( , ) ((

)

C

t

s r r Gr

) , ( ) ) , ( ) ((

) ) ( , )

t s D

v u D r

r Gr r

r r

Gr  s  t    u v 

Nên theo công thức đổi biến số dưới dấu tích phân hai lớp suy ra đẳng thức cần chứng minh

3.2.11 Định Nghĩa: K là một miền compắct có hướng với bờ trên đa tạp

hai chiều S trong Rn

, là một dạng vi phân bậc hai

Lát K bởi họ ri: Ci K

(u.v) r i(u,v) Khi đó định nghĩa tích phân ỡ trên K là:

3.2.12 Định lý: Tích phân của 2 - dạng vi phân trên miền compắct có

hướng K với bờ trên đa tạp hai chiều S trong Rn

không phụ thuộc vào lát của K

du v u

~

) , (

) ,

v u D r

) , (

) , ( ) ( ) ( )

(  * * *   

) , (

) , ( ) (

t s D

v u D

31

3.2.13 Định lý Stokes: Giả sử K là một miền compắct có hướng với bờ

trên đa tạp hai chiều S trong En

3.3 TÍCH PHÂN CỦA K - DẠNG VI PHÂN

Giả sử M là đa tạp con compắct k chiều khi đó tồn tại  U phủ M hữu hạn, trên U có hệ toạ độ địa phương Tập các ánh xạ :M R,  là phân hoạch đơn vị tương ứng với phủ nếu:

đó tích phân của  trên đa tạp compắct k chiều M được xác định là:

*

)

R U h U

- Dạng diện tích 0 trên S là một dạng vi phân bậc 2 khác không tại mọi điểm thuộc S

và  là một dạng vi phân bậc hai khác không tại mọi điểm khi đó ỡ được gọi là một dạng diện tích trên S

thì một dạng vi phân bậc k 0 trên M gọi là dạng thể tích chính tắc trên M nếu

0 (e1, e2,…,ek) = 1 (e1,e2, ,e klà cơ sở trực chuẩn xác định hướng của TpM)

và  là 1 dạng vi phân bậc k khác không tại mọi điểm, khi đó  được gọi là dạng thể tích k chiều trên

M

đa tạp compắct M được gọi là thể tích tương ứng của tập M đó

Ký hiệu: 

M



4.1.6 Nhận xét: Đối với đa tạp một chiều hay hai chiều thì “ thể tích”

thường được gọi là độ dài hay diện tích còn dv được ký hiệu ds (phần tử độ dài),

) ,

'

) ( ) ( ) (

b

a b

' 2 '

) ( )

( 2 )

+ y2 + z2 = R2 trong không gian R3

Ta tính diện tích nửa mặt cầu phía trên Sau đó ta nhân 2 thì được cả diện tích mặt cầu

Ta có thể có thể viết phương trình nửa mặt cầu dưới dạng tham số hoá như sau:

) ,

, ( )

,

(

:

2 2 2

3 2

y x R y x y

x

R B

0 , 1 (

2 2 2 '

y x R

1 , 0 (

2 2 2 '

y x R

' '

' ' ' '

.

) ,

(

x y

x x y x

r r

r r r r

2 2 2

2 2 2 '

'

'

, ,

y x R xy

y x R x

r r

r r

y y

y x

2 2 2

1

y x R y

y x R xy

2 2

2 2

1

y x R

R y

x R

y x

r x

R

Rrdrd dS

0 2

= R 

r R

rdr R

R R

0

2 2 2 / 1 2 2

) (

) (

).

2 / 1 (

2 

r R

2 )

(

2 R R r  R  R

Vậy diện tích mặt cầu là: 2 2

42 2 ).

( ) , (x t  x R2 x2 z

Khi đó:

) 0 , , ,

1

(

2 2 '

x R

35

0

1 ,

2 '

'

x R

x r

r

2 2

2

2

1 1

0

x R

R x

C

z x

2

  đặt x sintdx cost.dt

2 / 2

/

1 sin 1

=  



l

dz dt t t

R

0

2 /

2 /

cos cos

2 /

2 /

.

với

R

R l y x R

z

2 2 2 2

2 2 '

y x R

R l x

1 , 0 (

2 2

2 2 '

y x R

R l y

) (

) (

) (

1 ) , (

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 '

'

y x R

R l xy

y x R

R l x r

2 2 2

2 2 2

2 2

) (

) (

1

) (

) (

R l

y x R

R l y

y x R

R l xy

l