Kỹ thuật biến phân và một số ứng dụng (tt)

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN HỮU HIẾU KỸ THUẬT BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thừa Thiên Huế, năm 2016 Demo Version - Select.Pdf SDK... ĐẠI HỌC HUẾ TRƯ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN HỮU HIẾU

KỸ THUẬT BIẾN PHÂN

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thừa Thiên Huế, năm 2016

Demo Version - Select.Pdf SDK

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN HỮU HIẾU

KỸ THUẬT BIẾN PHÂN

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS HUỲNH THẾ PHÙNG

Thừa Thiên Huế, năm 2016

Demo Version - Select.Pdf SDK

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong Luận văn là trung thực Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước khoa và nhà trường về sự cam đoan này

Trần Hữu Hiếu

i

Demo Version - Select.Pdf SDK

LỜI CẢM ƠN

Luân văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS

TS Huỳnh Thế Phùng Từ đáy lòng mình tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ dạy, hướng dẫn tận tình đầy tâm huyết của Thầy

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy, các Cô giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức bổ ích trong suốt khóa học tại trường

Đồng thời tôi xin cảm ơn tới tập thể Cao học Toán khóa XXIII trường Đại học

Sư phạm - Đại học Huế đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Cuối cùng tôi xin cảm ơn Bố, Mẹ và toàn thể gia đình tôi, những người đã động viên tôi rất nhiều và cũng là động lực giúp tôi hoàn thành luận văn này

Do thời gian có hạn nên luận văn chỉ dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả đã có theo chủ đề đặt ra Trong quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Thầy, Cô và bạn đọc quan tâm vấn đề này

Trần Hữu Hiếu

ii

Demo Version - Select.Pdf SDK

Mục lục

1 Các nguyên lý biến phân 1

1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland 1

1.1.1 Dạng tổng quát trên không gian metric đủ 1

1.1.2 Các dạng khác 4

1.2 Dạng hình học của nguyên lý biến phân 5

1.2.1 Định lý Bishop -Phelps 5

1.2.2 Định lý Flower-Petal 6

1.3 Ứng dụng cho định lý điểm bất động 7

1.3.1 Định lý điểm bất động Banach 7

1.3.2 Định lý điểm bất động Caristi-Kirk 9

1.4 Các nguyên lý biến phân hữu hạn chiều 9

1.4.1 Nguyên lý biến phân trơn trong không gian hữu hạn chiều 10 1.4.2 Định lý thay phiên Gordan 11

1.4.3 Trội hoá 12

1.5 Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss 13

2 Kỹ thuật biến phân trong lý thuyết dưới vi phân 17 2.1 Dưới vi phân Fréchet và nón pháp 17

2.1.1 Dưới vi phân Fréchet 17

2.1.2 Nón pháp Fréchet 18

2.2 Quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương và nghiệm Viscosity 19

2.2.1 Tách cận dưới 19

2.2.2 Quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương 20

2.2.3 Tính duy nhất của nghiệm Viscosity 21

2.3 Quy tắc tổng xấp xỉ địa phương 23

2.3.1 Quy tắc tổng xấp xỉ mạnh 23

2.3.2 Quy tắc tổng xấp xỉ yếu 25

2.4 Các định lý giá trị trung bình xấp xỉ 26

2.4.1 Các định lý giá trị trung bình 26

2.4.2 Các định lý giá trị trung bình xấp xỉ 28

iii

Demo Version - Select.Pdf SDK

2.4.3 Tiêu chuẩn Lipschitz 29

2.4.4 Tính đơn điệu của nón 29

2.4.5 Tính tựa lồi 30

2.5 Quy tắc dây chuyền 31

3 Kỹ thuật biến phân trong giải tích lồi 32 3.1 Dưới vi phân hàm lồi 32

3.1.1 Dưới vi phân và nón pháp 32

3.1.2 Đạo hàm theo hướng của hàm lồi 32

3.2 Định lý Sandwich 34

3.2.1 Bổ đề tách 34

3.2.2 Định lý Sandwich 35

3.2.3 Phép tính dưới vi phân 36

3.2.4 Các điều kiện Pshenichnii-Rockafellar 36

3.3 Liên hợp Fenchel 37

3.3.1 Liên hợp Fenchel 37

3.3.2 Bất đẳng thức Fenchel-Young 37

3.3.3 Đối ngẫu yếu 38

3.3.4 Đối ngẫu mạnh 38

3.4 Bất đẳng thức đối ngẫu cho hàm Sandwich 38

4 Kỹ thuật biến phân trong giải tích hàm phi tuyến 42 4.1 Dưới vi phân và không gian Asplund 42

4.2 Các định lý tách không lồi 50

4.2.1 Định lý tách không lồi 50

4.3 Các nguyên tắc biến phân Stegall 52

4.3.1 Tính chất Radon-Nikodym 52

4.3.2 Nguyên lý biến phân Stegall 53

4.3.3 Định lý Pitt 57

4.4 Định lý Mountain Pass 58

4.4.1 Định lý Mountain Pass 58

4.4.2 Điều kiện Palais-Smale 60

4.5 Các nguyên lý biến phân có nhiễu 61

iv

Demo Version - Select.Pdf SDK

BẢNG CÁC KÝ HIỆU

Ký hiệu Ý nghĩa ký hiệu

Rn Không gian vector thực n-chiều

C1(Ω) Không gian các hàm khả vi liên tục trên Ω

Br(x) hoặc B(x, r) Hình cầu mở tâm x bán kính r

[x, y] Đoạn thẳng nối hai điểm x và y với mọi x, y ∈Rn

diamS Đường kính của tập S

convS Bao tuyến tính của tập S

Laf Tập mức của f

NF(S; x) Nón pháp Frechet của S tại x

∂Ff (x) Dưới vi phân của f (x)

linf Không gian tuyến tính của một hàm dưới tuyến tính f

S(x∗, A, α) Phiến của A

Γ(a, b) Tập đèo từ a đến b

x↓ Vectơ có gốc tại x bằng cách sắp xếp lại các thành phần

theo thứ tự không tăng

contf Tập tất cả các điểm mà tại đó f hữu hạn và liên tục

v

Demo Version - Select.Pdf SDK

MỞ ĐẦU

“Kỹ thuật biến phân” là một thuật ngữ của toán học nhằm nói đến các phương pháp chứng minh ở đó có sử dụng một hàm phụ thích hợp mà đạt giá trị cực tiểu Đây có thể được xem như một mô hình toán học của các nguyên tắc tác động tối thiểu trong vật lý Bởi nhiều kết quả quan trọng trong toán học, mà đặc biệt

là trong giải tích, có xuất xứ từ vật lý và cơ học, nên việc chúng có ít nhiều liên quan đến các kỹ thuật biến phân là điều hoàn toàn tự nhiên Việc sử dụng các lập luận biến phân trong chứng minh toán học có một lịch sử lâu dài Điều này

có thể được truy ngược trở lại từ bài toán của Johann Bernoulli về đường đoản thời và lời giải của nó phải sử dụng phép tính biến phân Kể từ đó phương pháp này thường được sử dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học

Một minh họa đơn giản của lập luận biến phân là ví dụ sau:

Ví dụ (Tính tràn của đạo hàm): Cho f : R→R khả vi và giả sử

lim

|x|→∞f (x)/|x| = +∞

Khi đó {f0(x)|x ∈ R} = R Thật vậy, cho r là một số thực bất kỳ Đặt g(x) :=

f (x) − rx Ta có g(x) → ∞ khi |x| → ∞ và vì vậy g đạt giá trị cực tiểu tại một điểm ˙x nào đó thuộc R Vì vậy 0 = g0( ˙x) = f0( ˙x) − r Như vậy, f0( ˙x) = r Do r lấy tùy ý trong R ta suy ra tập hợp các đạo hàm của hàm f bằng R

Hai điều kiện cốt yếu của lập luận biến phân là tính compact (để bảo đảm hàm phụ đạt cực tiểu) và tính khả vi của hàm phụ (để có điều kiện dừng) Tuy nhiên, những khám phá quan trọng của toán học những năm 1970 đã làm giảm nhẹ đáng kể cả hai giả thiết trên Những kết quả về nguyên lý biến phân tổng quát làm giảm nhẹ tính compact, còn những kết quả của giải tích không trơn lại cho phép sử dụng các hàm phụ không khả vi Nhờ vậy, các kỹ thuật biến phân cùng với các ứng dụng của chúng đã phát triển vượt bậc trong nhiều thập kỷ qua Bên cạnh việc sử dụng các nguyên lý biến phân sử dụng các đạo hàm suy rộng cho các hàm trơn, người ta thường cần phải kết hợp một nguyên lý biến phân với các công cụ thích hợp khác Một đặc điểm quan trọng của các kỹ thuật biến phân mới là chúng có thể làm việc trên các hàm không trơn, các tập hợp và các hàm

đa trị tốt như nhau

Mục đích của luận văn là tổng quan các kĩ thuật biến phân bậc nhất trên không gian vô hạn chiều, trình bày các ứng dụng của kỹ thuật này trong các lĩnh vực khác nhau của giải tích, tối ưu hóa và xấp xỉ, hệ thống động và toán kinh tế Luận văn gồm 4 chương:

Chương 1 trình bày các kết quả cổ điển của giải tích về điều kiện để một hàm nửa liên tục dưới đạt cực tiểu bao gồm Nguyên lý biến phân Ekeland, chứng minh ngắn gọn định lý trong không gian metric đủ tổng quát, sự tương đương của nguyên lý với tính đủ của không gian metric và ứng dụng trong các định lý điểm bất động, định lý Bishop - Phelps, định lý Flower - Petal; đồng thờitổng quan

vi

Demo Version - Select.Pdf SDK

nguyên lý biến phân Borwein - Preiss.

Chương 2 trình bày các ứng dụng kỹ thuật biến phân với các hàm nửa liên tục dưới trên không gian Banach trơn Fréchet bao gồm các quy tắc tổng xấp xỉ địa phương và không địa phương, từ đó suy ra điều kiện duy nhất nghiệm Viscosity của phương trình Hamilton - Jacobi

Chương 3 trình bày ứng dụng của kỹ thuật biến phân trong không gian đầy

đủ với các hàm lồi được nêu trong định lý Sandwich và vận dụng định lý này suy

ra điều kiện có nghiệm của bài toán lồi đơn giản và trình bày một số kết quả căn bản nhưng quan trọng liên quan tính liên hợp với dưới Gradient

Chương 4 trình bày ứng dụng kỹ thuật biến phân trong giải tích các hàm phi tuyến, tổng quan nguyên lý biến phân Stegall và định lý Mountain Pass

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và năng lực có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô cũng như các bạn quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn

vii

Demo Version - Select.Pdf SDK