Bài toán dạng Cauchy Kovalepskaya và một số ứng dụng

Nếu các hệ số aa x nằm trong lớp p thì toán tử vi phân được đinh nghĩa bởi 1.1 là ánh xạ s lên s.. Toán tứ này là bất biến dịch chuyển nếu và chỉ nếu các hệ số là hằng số... Ta đã tìm ra

B Á O C Á O T Ó M T Ă T D Ê T À I Tên đ ề tà i : Hài toán dạng Cauchy-Kovalcpskaya vù một số ứng dụng

p h á p giải m ộ t lớp p h ư ơ n g t r ì n h đ ạ o h à m riêng t u y ế n tín h C ụ t h ể hơn

c h ú n g tõi d ã n g h iê n c ứ u b ài t o á n g iá trị b a n đ ầ u d ạ n g :

ớ đ â y t là biến thời gian X = ( j ' l , X2, X\ i ) € G c M:ỉ L là to á n t ử tu y ế n

t í n h b ậ c n h ấ t d ạ n g m a t r ậ n c ấ p b a với hệ số h à m , là véc tơ th ế cho trư ớ c K ế t q u ả ch ín h là m ô t ả đ ư ợ c t ấ t các to á n t ứ L d ạ n g

với f í k = [ b^j} ;jX3■ C' — [ fjj]3x3, / } = [c/i, d ‘ 2 , d ‘s]T , sao cho b à i to án ( 1 ) , (2)

là giải đư ợ c đối với mỗi vóc tơ th ế ý?(:r) cho trư ớ c C h ứ n g m in h đư ợ c điều kiện c ằ n và đ ủ cho c ặ p to á n t ử liên h ợ p và s a u đ ó tiế p tụ c mở rông cho

1.Le C u o n g , Le H u n g Son, N g u y e n T h a n h V a n T h e I V P for p o te n tia l vec­

t o r field d e p e n d in g on tim e w ith m o re g e n eraliz e d g o v e rn in g rules S o u th

4 D a n g D inh C h a u O n sufficient c o n d itio n s of th e a s y m p t o tic equiv alen ce

of s tro n g ly c o n tin u o u s e v o lu tio n p ro cesses A c ta M a th e m a tic a V ietn a m ic a (submitted)

1 D an g D in h C h a u a n d N g u y e n C a n h Duy O n th e s ta b i lity of th e V o lte ra

in te g ra l e q u atio n s an d the a s y m p to tic b e h a v io r of the age-dependent p op ­

u la tio n D ại hội toán học Việt N a m lần thứ 8 1 0 - 1 4 / 1 0 / 2 0 1 3

2 Le M a n h T h u c T rav e lin g w ave d is p e r s a l in p a r tia lly s e d e n ta r y age-

s t r u c t u r e d p o p u la tio n s Dại hội toán học Việt Nam lần thứ 8 1 0 - 1 l ị / 10/2013

tc x tb f2 3 K ết q u ả đ à o tạo

3

Đ ã hướng d ẫn th à n h công 02 lu ậ n văn th ạ c sĩ:

w h e r e t is a v a ria b le d e p e n d in g 01 1 t h e tim e , X — { x \ , x 2 ,xz) E G c R'1 L is a lin e a r o p e r a t o r w h ose h a s t h e m a t r i x r e p r e s e n ta tio n of t h i r d o rd e r

w ith f u n c tio n a l coefficients, Ộ is a given p o te n tia l vecto r T h e m a in result

is to d e s c r ib e all L - o p e r a to r s of fo rm s

sa tisfy in g t h e p ro b le m s (3), (4) su ch t h a t th e y a rc solvable w ith re sp cc t

to each given p o te n tia l v e c to r ộ(x). H ere Bk = \bjj}:ịX:ì c — [ f j j ]3x 3, r )

d \ , do (h 1 W c have prov ed n e c e s sa ry a n d sufficient c o n d itio n s for p a irs of

(3)

a s s o c ia te o p e r a t o r s a n d th e n e x te n d e d th e re s u lts to sonic g e n re ra l classes

of p a irs of a ss o c ia te d ifferential o p e r a t o r s L a n d /.

b) W e s t u d y th e th e o rie s of d ifferen tia l o p e r a t o r a n d linear p a r tia l dif­

f e re n tia l e q u a tio n s W e h av e a p p lie d t h e s e m i-g ro u p th e o r y to s t u d y p r o p ­

e rtie s o f th e s o lu tio n s of a class of t h e first o rd e r lin e a r p a r tia l differential

e q u a ti o n s a n d show a p r o b a b ility to a p p ly for in v e s tig a tin g th e m o d e l of biologic p o p u la tio n w ith p e r t u r b a t i o n

1 P u b l i c a t i o n s

03 international paper, 01 Vietnamica paper

] Le C u o n g Le H u n g Son, N g u y e n T h a n h V a n T h e I V P for p o te n tia l vec­

to r field d e p e n d in g on ti m e w ith m o re g e n eraliz e d go v e rn in g rules S o u th

Asian Journal of M ath em a tics 2012, Vol 2 (2): 82 ~ 87

2.Le C u o n g In itia l v a lu e p ro b le m in g e n eraliz e d p o te n tia l v e cto r field

S o u th A sia n J o u r n a l of M a t h e m a t i c s 2012, Vol 2 (2): 279 ~ 284

3 D a n g D in h C h a u a n d N g u v e n M a n h C u o n g A s y m p to tic E q u iv alen ce

Analysis 2013,V 6 ,N 3

4 D a n g D in h C h a u O n sufficient c o n d itio n s of th e a s y m p t o t i c equivalence

of s tro n g ly co n tin u o u s e v o lu tio n p ro cesses Acta Mathernatica Vietnamica (submitted)

02 lecture at conference in Vietnam

1 D a n g D inh C h a u - N g u y e n C a n h Duv O n t h e s ta b i lity of t h e so lu tio n s of

t h e v o lte r a in te g ra l e q u a ti o n s a n d t h e a s y m p t o tic b e h a v io r of th e m o d e l of age-d ep en den t p o p u la tio n The 8 th Vietnamese Mathematical Conference

1 0 - 1 4 / 8 / 2 0 I S

2 Lc M a n h T h u c T rav e lin g w ave d is p e r s a l in p a r tia lly s e d e n ta r y age-

s t r u c t u r e d p o p u la tio n s The 8 th Vietnamese Mathematical Conference 8

10-14/10/2013

2 E d u c a t i o n a n d t r a i n i n g :

- 02 B S c th e se s, ( o b ta in e d t h e B deg ree)

- 0 2 M S c th e s e s ( o b ta in e d th e M degree)

M ụ c l ụ c

1 1 K h ô n g g ia n h à m v à to án tử v i p h â n 12

1.1.1 K h ố n g g ia n S c h w a r t z 12

1 1 2 T o á n tử v i p h â n 13

1.1.3 P h ư ơ n g t r ì n h c h u y ể n d ị c h 13

1.1.4 B ài t o á n g iá trị b a n đ ầ u 14

1 1 5 B à i to án kh ô n g th u ầ n n h ấ t 15

1.2 S ư tồ n t a i n g h iê m c ủ a b à i t o á n với giá t r i b a n đ ầ u d a n g C auchy - K o v a l e v s k a y a 16

1.2.1 Bài toán giá trị ban đầu 16

1.2.2 K h ô n g g ia n B a n a c h có t r ọ n g v à ứ n g d ụ n g 17

1.2.3 Đ á n h giả các t o á n t ử v i-tíc h p h â n 2 0 1.2.4 Á p d ụ n g n g u y ê n lý á n h x ạ co giải b ài t o á n g iá trị b a n đ ầ u .2 2 C h ư ơ n g 2 C á c k ế t q u ả c h í n h 25 2.1 Véc tơ th ế và bài toán giá trị ban đ ầ u 25

2.1.1 Điều kiện cần và đủ cho cặp toán tử liên hợp 26

2.1.2 X ây dựng toán tử L 32

v à các đ iề u kiện đ ủ c ủ a sự tư ơ n g đ ư ơ n g t i ệ m c ậ n 36 2.2.3 Về tí n h c h ấ t n g h iệ m c ủ a b à i t o á n d â n số p h ụ th u ộ c

vào t u ổ i 37

9

M ở đ ầ u

C á c m ô h ìn h ứ ng d ụ n g tr o n g th ự c tế th ư ờ n g g ắ n liền với các phư ơ n g

tr ì n h t o á n t ử tr o n g các k h ô n g g ia n B a n a c h T u y n h iê n m ỗ i m ộ t lớp các

t o á n t ử đ ư ợ c n g h iê n cứu đ ề u có n h ữ n g đ ặ c t r ư n g riêng b iệ t m à t ừ đ ó các

n h à k h o a h ọ c đ ã t ì m các h liên k ế t với các bài to á n ứ ng d ụ n g Lý th u y ế t

t o á n t ử vi p h â n là m ộ t lĩnh vực q u a n tr ọ n g t r o n g to á n học Đ iều th ú vị

n h ấ t k h i c h ú n g t a n g h iê n c ứ u các t í n h c h ấ t c ủ a c h ú n g là k h ả n ă n g ứng

d ụ n g c ủ a n ó tr o n g k h o a ho c v à k ỹ t h u ậ t Với m ục tiê u đ ó c h ú n g tôi đ ã

t ậ p t r u n g cố g ắ n g n g h iê n c ứ u lý t h u y ế t t o á n t ử vi p h â n , t o á n t ử tu y ế n tín h và đ ă c biệt là to á n t ử vi p h â n liên kết , s a u đ ó là bước đ ầ u t ì m hiểu

m ộ t số ứ n g d ụ n g c ủ a c h ú n g tr o n g các b à i t o á n với g iá trị b a n đ ầu.

T r o n g k h i th ự c h iệ n đ ề tà i n à y c h ú n g tôi đ ã n h ậ n được m ộ t số kết q u ả sau:

a) N g h iê n cứu lý th u y ế t t o á n t ử vi p h â n liên kết b ằ n g cách sử d ụ n g

lý t h u y ế t c ủ a giải tíc h p h ứ c , x â y d ự n g p h ư ơ n g p h á p giải m ộ t lớp ph ư ơ n g

tr ì n h đ ạ o h à m riê n g và chỉ ra k h ả n ă n g ứng d ụ n g c ủ a n ó C ụ t h ể hơn

c h ú n g t ô i đ ã n g h iê n c ứ u bài t o á n g iá trị b a n đ ầ u d ạ n g :

ơ đ â y t là biến th ờ i gian X = (.7'1 X ‘2,.ĩ'3) G 6 ' c ]R:\ L là to á n t ử tu y ế n tín h b ậ c n h ấ t d ạ n g m a t r ậ n , ự} là véc tơ th ế cho trư ớc K ế t q u ả ch ín h là

(5)

10

c h u y ển n ế u TUL — LTU đối với u G R jV, tr o n g đó

G i ả sử p là lớp các h à m k h ả vi liên tụ c c ấ p vô h ạ n / tr o n g IRA t h ỏ a

m ã n điều kiện:

B ổ đ ề 1 Nếu các hệ số aa (x) nằm trong lớp p thì toán tử vi phân được đinh nghĩa bởi (1.1) là ánh xạ s lên s Toán tứ này là bất biến dịch chuyển nếu và chỉ nếu các hệ số là hằng số.

N h ư vậy, í ( ) là h ằ n g số với m ọ i s G l v à vì t h ế u sẽ k h ô n g đổi tr ẽ n đ ư ờ n g

t h ă n g c h ứ a đ iể m ( x ,t) th e o h ư ớ n g (ò, 1) E Do đó, n ế u b iết giá t r ị

Do dó (1.3) có nghiệm , th ì n g h iệ m d ó p h ả i đư ợ c tín h b ằ n g c ông th ứ c (1.4) Ngược lạ i b ằng cách tín h trự c tiế p ta dễ d à n g th ấ y rằn g nếu (J là C'1 th ì

\'à n hư vậv

v(x t) = g(x - tb) f ( x + {s - t)b s)ds (.r e P í > 0 ), (1.6)

0

sõ c h o ta n g h i ệ m c ủ a ( 1.5 ) T a sẽ d ù n g công thức n à y đế g iả i b à i toán c ủ a phương tr ìn h tru y ề n sóng ở chương sau.

C h ú ý2 Ta đã tìm ra nghiệm (1.4), (1.6) bằng cách đưa phương trình

D H R về phương trình VI phân thường.

với X = ( x i, , x n) là m ột đ iể m th u ộ c khô ng g ia n R n,t. là b iến thời g ia n

và vế p h ả i L tro n g ( 1 7 ) là m ột h à m liê n tụ c theo biến c ủ a nó B à i toán (1.7) và (1.8) tư ơ n g đ ư ơ n g với p h ư ơ n g t r ì n h v i-tích p h â n sau:

vô h ạn m à phương trìn h ( 1 7 ) kh ô n g có n g h iệ m v à do đó b à i toán g iá trị

b a n đ ầ u (1.7) và (1.8) là vô n g h iệ m M ột số các n g h iê n cứu đ ã chỉ r a đ iề u kiện đ ủ cho vế p h ả i đ ể t o á n t ử (1.7) có đ iể m b ấ t đ ộ n g và d o đ ó bài t o á n

g iá tri b an d ầu (1 7 ) và (1.8 ) là g iả i được.

X é t Q {.ỉ : X > () ;• G M1} X é t bài t o á n giá trị b a n đ ầ u đơn g iả n sau : T ìm II — u ( t , x ) thỏa m ãn

dịU — —d xu

u ( 0 x ) = —

X

H à m g iá trị b a n đ ầ u có m ộ t kì dị tạ i đ iể m X — 0 là m ộ t đ iể m biên c ủ a

Q N g h iệ m c ủ a bài t o á n g iá trị b a n đ ầ u là u ( t ,x ) — chỉ t a rằ n g đ iể m

kì dị t ạ i đ iể m biên có t h ể dịch vào b ê n t r o n g m iề n Q. th e o sự t h a y đổi

c ủ a th ờ i g ian Nó d ẫ n đ ế n việc h ạ n chế k h o ả n g th ờ i gian m à trê n đ ó tồ n

tạ i n g h iệ m Đ iểm X c à n g g ầ n biên t h ì k h o ả n g th ờ i gian có t h ể được c à n g

n h ỏ N ói c h u n g , n g h iệ m c ủ a bài t o á n g iá trị b a n đ ầ u (1.7) v à (1 8 )(n g h ĩa

là đ iể m b ấ t đ ộ n g c ủ a t o á n t ử (1.1 1)) tồ n tạ i tr ê n m ộ t m iề n t r ê n Đ ể

x â y dự ng m iề n nón nàv, chún g ta p h ả i đó kh o ản g cách từ m ột đ iế m X € tới biên Với m ục đích này, x é t m ộ t p h é p vét c ạ n tr ê n Í7 b ằ n g m ộ t h ọ các

m iề n con Q s , 0 < s < So, th ỏ a m ãn các đ iề u k iệ n sau:

i) N ếu s' < s ” thì Qg' là m ộ t tập com p a ct của

ii) V ớ i m ỗ i đ iể m Xo G xác đ ịn h cho trước, m ỗi đ iể m X 6 r ỉ thuộc vào

b iê n c ủ a m ộ t m iề n các đ ịn h d u y n h ấ t Í2s(i) c ủ a họ;

iii) T ồ n tạ i m ột h ằng số dương C\ sao cho với m ỗ i s', s" th ỏ a m ã n s' < s",

kh o ả n g cá ch từ Q s> đốn d ũ S' có thể ước lượng bởi công thức:

là m ộ t h à m trọ n g số n h ận g iá trị dương tro n g M và triệ t tiê u trên m ặt hen c ủ a M Sử d ụ n g h àm trọ n g số này ch ún g ta có thế xem xét h àm

gian B a n a c h phù h ợp c ủ a các h à m số xác đ ịn h t r ê n m iề n n ó n AI tr o n g

kh ô n g g ia n X , xét B { Q ) là m ột khô ng g ian B a n a c h các h à m xác đ ịn h trên

m iề n Q (giới nội) t r ê n m ặ t p h ẳ n g X. Đ ịn h n g h ĩa c h u ẩ n c ủ a nó là ||.||/?(0 ) (tro n g trư ờ ng hợp thông thường ta sử d ụn g ch u ẩ n su p ) G iả sử B ( Q ) th ỏ a

m ã n các đ iề u kiện sau:

i) N ế u Q ' c 0." th ì B(Q") đ ư ợ c giới h ạ n t r o n g B(Q'), n g h ĩa là giới h ạ n

c ủ a h à m u 6 BỊQ.") tới ũ ' th u ộ c v à o B(Q'), v à c h ú n g t a có:

IM|i*(íĩ') < I M I b (ÍĨ") ii) C á c h à m th u ộ c vào B(Q") là giới nội v à c h ú n g t a có:

su p \ u \ < C2 ||u||B (fi) n

với C '2 k h ô n g p h ụ th u ộ c vào c ả u và Q. C h ú V rằ n g đ iề u kiện t h ứ 2 đư ợ c

X é t Qs, 0 < ,s < So, là m ộ t v é t c ạ n c ủ a m ộ t m iề n giới nội đ ã cho tr o n g Mn

Kí h iệ u B ( ũ ) s bới f í s v à c h u ẩ n tr ê n fís sẽ đ ư ợ c kí hiệu là 11 11.5 Với m ỗi

đ iể m t < 7/.SQ xác đ ịn h , giao d iệ n c ủ a M với m ặ t p h ẳ n g t = t tro n g k h ô n g gian t X đ ư ợ c cho bởi:

X é t B t ( M ) là t ậ p t ấ t c ả các h à m (g iá trị th ự c ) í/ = u( t x) t h ỏ a m ã n các diề u kiện sau:

i) ti{t, x) liên t ụ c tr o n g A/;

ii) t i ( t x ) th u ộ c vào / ? S(r) với m ỗi t xác đ ịn h k h i v à ch ỉ k h i s(.r) < S với S

được cho bởi cõng thứ c ( 1 1 2 ) ;

với mỗi đ iể m t, X t r o n g M

M ệ n h đ ề 1 B*( M) là một không gian ỉìanach.

C h ứ n g m i n h C h ú ý rằ n g b ấ t đ ẳ n g th ứ c d ( t , x) > ổ > 0 x á c đ ịn h m ộ t

t ậ p con đ ó n g M ị c ủ a m iề n n ó n M Mỗi đ iể m c ủ a M được c h ứ a tr o n g m ộ t

t ậ p con Mỹ với ỏ đ ư ợ c c h ọ n th íc h hợp Với các đ iể m ( f , r ) t r o n g Ms, đ ịn h

n g h ĩa (1.13) c h o c h ú n g t a ước lượng:

m ỗi Mộ. n g h ĩa là Uy 1 4 l u( t x ) t r o n g M. T ư ơ n g tự ước lượng (1.16) chi

19

r a r ằ n g vơi I — t v à s(x) < 5, h à m giới h ạ n th u ộ c vào /?.s(:r) d o tín h d ầ y rĩii c ủ a k h ô n g gian h à m JÌ(Q). T ro n g b ấ t d ẳ n g th ứ c (1.15), cho // — > DC,

c h ú n g t a đ ư ợ c \\uv — IU II* < e và d o đ ó IIỉ/, 11» là h ữ u h ạn.

1 2 3 Đ á n h g i á c á c t o á n t ử v i - t í c h p h â n

T o á n t ử (1.9) đ ư ợ c x á c đ ịn h chỉ với các u = u( t , x ) có các đ ạ o h à m

c ắ p m ộ t dx tồ n tạ i và liên tụ c G iả sử rằ n g m ộ t h à m u — u{t, X ) n h ư vậy

th u ộ c vào k h ô n g gian X é t k h ô n g g ia n B a n a c h B( Q) đ ã nói ở trê n

Đ ịn h n g h ĩa 1 Giả sử rằng íĩ' ỉà một miền con nào đấy của Q" VỚI khoảng cách duơng dist(Q', dSl") tới biên của Q " Khi đó một hàm u G B(Q") dược gọi ỉà hàm thỏa mãn đ á n h g iá tr o n g ( i n t e r i o r e s t i m a t e s ) cấp m ộ t nếu dx u thuộc vào B(Q' ) và

trong đó C3 là một hằng số không phụ thuộc vào hàm u và ừ , ũ "

A p d ụ n g ước lượng n à y cho vét c ạ n Q.s c ủ a Q. c h ú n g t a được:

th ỏ a m ãn các điều kiện sau:

i) Lỡ liên tục:

ii) C h u ẩ n ||L Ỡ ||s là giới nội và d o đ ó ||LỠ||* là h ữ u hạn;

II Lu - Lvịịs < A 0\\u - v\\a + ^ A j \ \ d Xiu - dXjv\\s

X é t h a i p h ầ n t ử u(t,,x) và v ( t , x ) c ủ a B»(AĨ) với các d ạ o h à m c ấ p in ộ t

t ồ n t ạ i v à liên tụ c X é t V (í, x) là ả n h tư ơ n g ứ n g được x á c đ ịn h bởi p h ư ơ n g

D ó k h ô n g p h ả i là trư ờ n g hợp cho m ộ t p h ầ n t ừ b ấ t kì c ủ a / ? , ( ) / ) Đổ á p

d ụ n g các ước lượng này c h ú n g t a p h ả i tìm m ộ t t ạ p con đ ó n g c ủ a

m à tr c n đ ó g iả t h iế t n à y là đ ú n g M ộ t t ậ p con n h ư vậy có t h ể xác đ ịn h

n h ư m ộ t t ậ p t ấ t c ả các n g h iệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h e lip tic ỉu — 0 K í hiệu:

B[ { M) — { u(t, x) G B*{M) : luị t , ) = 0 với m ỗi t}

C h ú ý r ằ n g / p h ả i là m ộ t to á n t ử elip tic với các hệ số p h ụ th u ộ c v à t. Đ iều kiện (1.17) có t h ể được k iể m t r a b ằ n g việc sử d ụ n g m ộ t đ á n h g iá tr o n g các

n g h iệ m c ủ a phương tr ìn h v i p h ân e lip tic , với B [ { M ) là đóng trong đ ịn h

lý W e ie r r s tr a s s về sự hội t ụ đối với n g h iệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h eliptic Để

á p d ụ n g n g u y ê n lý á n h x ạ co, t o á n t ử (1.1 0) p h ả i là á n h x ạ c h u y ển k h ô n g

Đ ịn h n q h ĩa 2 Xét L là một toán tử khả vi cấp một theo t, X, u — u ( t , x)

v à các đ ạ o h à m cấp m ộ t dịU, vớ i ỉ là m ộ t t o á n t ử v i p h â n chỉ p h ụ thuộc v à o

cấc biến không gian Xj với các hệ số không phụ thuộc vào thời gian t Khi

đó L và I dược qọi là cặp toán tử liên kết nếu L ánh xạ không gian nghiệm của phương trình lu = 0 vào chính nó với mỗi t xác định cho trước , nghĩa

là ỉu = 0 kéo theo l ( Lv) = 0.

C h ú ý 3 Chú ý rằng I không nhất thiết phái là toán tử vi phân cấp I.

Đ ị n h n g h ĩa 3 Không gian nghiệm của phương trình lu = 0 được gọi là không gian hên kết (associated space).

T h e o M ệ n h đ ề 2 t o á n t ử tíc h p h â n tư ơ n g ứ n g (1.9) là co n ế u chiều cao

ìỊSo c ủ a m iề n M đ ủ n hỏ, d o đ ó đ ịn h lý s a u d ư ợ c c h ứ n g m in h

Đ ị n h lý 1 Giá sử rằng L Ạ là một cặp toán tứ liên kết Hơn nữa, giá sử rằng các nghiệm của ỉu —0 thỏa mãn điều kiện đánh giá trong cấp một.

23

Ỉ d tu = F u ■1/(0,.) = 0 /o giải được với h à m giá t n ban đầu ộ thỏa m ã n điều k iệ n l ộ = 0 ỉỉơ n

nữa, n g h i ệ m u = u ( t , x ) thỏa m ã n đ iề u kiện l u ( t , ) = 0 v ới m ỗ i t.

C h ú ý r ằ n g đ iề u kiện lu = 0 có t h ể được x e m n h ư lu ậ t b ả o to à n cho

p h ư ơ n g t r ì n h tiế n h ó a (1.9) Đ ịn h lý (1) có t h ể á p d ụ n g cho h ai k h ả n ă n g sau: T r ư ờ n g h ợ p / cho trước, khi đ ó c h ú n g t a p h ả i t ì m to á n t ứ liên kết L:

T u y n h iê n n ế u L cho trư ớ c , c h ú n g t a có t h ể t ì m các t o á n t ử / sao cho bài

to á n g iá trị b a n đ ầ u với h à m giá tr ị b a n đ ầ u d) t h ó a m ã n Ịộ = 0 có th ể giải đ ư ợ c H ơn n ữ a , với m ộ t to á n t ử L cho trư ớ c có th ể tồ n tạ i n h iề u t o á n

t ử liên k ế t / Đ iể m b ắ t đ ầ u cho Đ ịn h lv (1) là bài to á n C a u c h y - R ie m a n n

M N a g u m o là người đ ầ u tiê n sử d ụ n g viết lại dưới d ạ n g tích p h â n (1.8)

đ ể giải b à i t o á n C a u c h y -K o v a le sk y cổ điển S ứ d ụ n g d ạ n g tíc h p h ã n này,

w W a lt e r đ ã g iả i b à i toán C a u c h y -K o v a le s k y cổ đ iể n b ằng n guyên lý án h

x ạ co t r o n g k h ô n g gian B a n a c h c ủ a các h à m c h ỉn h h ìn h với m ỗi t. T ro n g trư ờ n g h ợ p c h ỉn h h ìn h , c h ú n g t a k h ó n g c ầ n g iả t h i ế t v ét c ạn m iền n. tr o n g

k h ô n g g ia n 2 b ằ n g m ộ t họ các m iề n con f ì s, và tr ọ n g số d (t , z) có th ổ được

do đ ó b à i to á n g iá trị b a n đ ầ u là giải được.

W T u t s c h k e đ ã m ở rộ n g đ ịn h lý C a u c h y -K o v a le v sk a y a cho véc tơ th ế Bài

t o á n đ ặ t r a là t ì m véc tơ t h ế u — u ( x , t ) p h ụ th u ộ c vào t v à t h ỏ a m ã n

p h ư ơ n g t r ì n h

và t h ỏ a m ã n đ iề u kiện b a n đ ầ u

ớ đ â y ọ là véc tơ th ế đ ã cho còn L là t o á n t ử vi p h â n b ậ c n h ấ t tá c

đ ộ n g lên véc tơ m à á n h x ạ t ấ t c ả véc tơ t h ế vào c h ín h nó N g h iệ m c ủ a bài

t c á n đ ư ợ c x â y d ự n g b ằ n g p h ư ơ n g p h á p x ấ p xỉ liên tiếp D ã y các n g h iệ m

x ấ p xỉ liên tiế p hội t ụ đ ề u t r o n g K X io X], ớ đ â y K là m ộ t t ậ p c o m p a c t

u { x , 0) =

b ấ t kì c ủ a m iề n bị c h ặ n G c lK:i và T > 0 Nói c h u n g T p h ụ t h u ộ c v à o K

N g h iệ m xây d ự n g được c ũ n g là m ộ t vóc tơ t h ế đối với mỗi t.

G i ả sử c là m ộ t m iề n bị c h ặ n t r o n g K 3 X ét to á n t ử L với b ị j , C'ij, d ị , I J

1, 2 3 là c ác h à m th ự c k h ả vi liên tụ c d ế n c ắ p 2 đối với các biến X1, X2■ X'Ả

là k h ả vi liên tụ c đối với t.

, Ỡ&Ỉ3 + &T 1 ỡ.r 2

;a có 27 đ ạ o h à m riêng c ấ p hai t h ỏ a m ã n các q u a n hệ sau

ỠX2 Ox1den _ Of 31

Ỡís ỞX'i

<?c-2i _ d £ n()x:i Ox'2

Od (Jdj

O-r'i

d x 2 Ox ịdd] Pci,dx-i d ĩ \

d l l , _ Od-.i

dx, dr-2

( 2 1 9 )

Đ i ề u k i ệ n đ ủ : Giả sử các điều kiện (i), (ii), (iii) và (iv) của định lý được

t h ỏ a mãn T ừ (i) dẫn đến s = T — 0 D o (ii) và (iii), ta có 7/7,; = 0 i =

l 2, 3, 4 S ử d ụ n g đ iề u kiện (iv) t a Iihận đ ư ợ c Iiị = 0 i — 1 ,2 , 3 4 N g h ĩa

là AI = N = 0 N h ư vậy

l ( Lu) = M + N + s + T = 0 với mọi véc tơ thế.

Đ iều k iệ n đ ủ được c h ứ n g m in h

Đ i ề u k i ệ n c ầ n : G i ả s ử to á n t ử L liên kết với to á n t ử 1, n g h ĩa là n ế u ỉu = 0

th ì l ( Lu) = 0 T a sẽ chọn 14 véc tơ n h ư sau T rư ớ c tiê n chọ n = (0, 0, 0),

k h i đó ( ? ? ) d ẫ n đến s — 0, chứ ng tỏ tất cả các cột c ủ a m a trậ n c là véc tơ th ế B â y giờ t a chọn 'U^ — (.Xi 0 — X ỵ ) \ = ( x 2 , X \ , 0); —

( j'3, 0 .T i); u (6) = (0, X2, —£3); u (7) = (0, T3, X 2 ) th ì ( ? ? ) d ẫn đến N = 0

N h ư vậy t a đư ợ c (iv) C u ố i c ù n g c h ọ n — {xị — xị, X2X1, 0); — (.X3 —

từ ( ? ? ) t a n h ậ n đ ư ợ c M = 0 D o đ ó t a có đ iề u kiện (iii) Đ iề u n à y k ết

cho các lớp to án tử rộng hơn c ủ a cặ p toán tử L và ] v à đ ã đươc cò n g bố

tro n g h a i b ài báo củ a N g u yễ n T h à n h V ă n , Lê C irờ n g v à L ê H ù n g S ơ n (x e m

báo cáo tó m tắ t p hần kết q u ả đ ã công bố tra n g 3.)

33

T ro n g p h ầ n tic p theo chún g ta sẽ sử (lụ ng phương p h á p so sá n h để

n g h iê n cứ u tín h tín h chất n g h iệ m c ủ a b ài toán với g iá trị ban đ ầ u d ạ n g

th u ộ c vào tu ổ i và được tr ìn h b à y tro n g [?] T iế p theo ta xét các phương

/ ? ( ) : [0, + o c ) — > C( X) là liên t ụ c m ạ n h t h ỏ a m ã n đ iề u kiện

'0

T ừ n a y về sau nếu khô ng có gi th a y đổ i ta g iả th iế t điều kiện (2 2 2 ) luôn luôn được th ỏ a m ã n , k h i đó các phương trìn h v i p h ân (2 .2 0) v à (2 .2 1)

í lược gọi là so s á n h tích p h â n đư ợ c C h ú n g tôi x in n h ắ c lai r ằ n g /? (.) :

ịo I o c ) —> £ { X ) là liên tụ c m ạ n h t h ỏ a m ã n đ iều kiện

[ \ \ B (t ) \ \ (ỉ < 4-00

J 0

G iả sứ (ư(t , s)) t >s> 0 là họ các t o á n t ử tiế n h ó a liên tụ c m ạ n h t r o n g X

C h ú n g tôi x in n h ắc lạ i rằn g họ to án tử tiế n hóa c ủ a b à i to án C a u c h y đặt chinh đ ề u (x e m [4], t r a n g 478 ) có các t í n h c h ấ t s a u

ì ư( t t ) = I với mọi ị > 0

lim \ \ U i { t , t o ) x - u 2( t , t ữ ) y \ \ = 0 í— >00

đồi VỚI tị) G cố định.

T ro n g trường hợp đ ặc b iệt nhó m các to án tử tu yế n tín h p hụ th u ộ c m ột

th am số giớ i n ộ i đều (xem [3, 4, 10]) cho ta các v í dụ vồ các to án tử tiế n hoa song ổn đ ịn h

M ệ n h đ ề 4 Giả sử II là không g ia n H ilbert, m à trong / / có thê x á c đ ịn h tích vô hướng ( x , y ) w = ( \ Y z , y ) K h i dó n ếu toán tử A] { t ) là \ v - p h ả n

ỊI c emit (W-skew - Hermitian), tức In

(Ai(t.)x y)\\- = - ( x , A\(t)y)[ự

Thì các phương trình so sánh được tích phàn ( 1 ) và (2) là tương đương tiệm cận.

2 2 2 v ề t í n h s o n g ổ n đ ị n h c ủ a n ử a n h ó m l i ê n t ụ c m ạ n h v à c á c đ i ề u k i ệ n

đ ủ c ủ a sự tư ơ n g đương tiệ m cận

T r o n g trư ờ n g h ợ p đ ặ c b iệ t k hi A\ ( t ) là to á n t ử tu y ế n t í n h h ằ n g tro n g

k h ô n g g ia n B a n a c h X , t a sẽ n g h iê n cứu b à i to á n về sự tư ơ n g đư ơ n g tiệ m

c ậ n c ủ a nửa nhóm liê n tụ c m ạ n h v à họ các toán tử tiế n h ó a n hư sau:

G i ả sử {T(t))t> 0 là n ử a n h ó m liên tụ c m ạ n h (C o -n ử a n h ó m ) sinh bởi

lim \ \T(t — ỉq ) x — Ư(t to)y\\ —0

t—*x

và ngược lại đối với to € cố định.

D ị n h n g h ĩa 6 Cũ-nủa nhóm ( T( t )) t> 0 dược gọi là song ổn định trong không gian Banach X nếu tồn tại 10 > 0 sao cho T(tị)) : X —> X là khả nqhich và tồn tại chuẩn mới (lll-lll) tương đương VỚI chuẩn xuất phát sao cho | | | T ( í o ) | | | = | | | r _1(ío ) ||| = 1-

Đ ị n h lý 3 Giả sứ (T(t ) )i> 0 là Co-nửa nhóm sinh bởi (A, D( A) ) trong không gian Banach X Khi dó các điều kiện sau là tương dương

a)(T{t))t>n là song ôn định.

b) 0 có thể thác tr iê n thành nhóm giới nội trong X

c)( T ( t ))<>() có thê thác triên thành nhóm đẳng cự ( T ( / ) ) íe R trong không ( J ĩ ( i n Banac h có chuẩn tương dương V Ớ I chuắn x uấ t phát.

(i) Với m ọ i X G K \ { 0 } , ta có X £ />(A) và tồn tại M > 1 sao cho

B ổ d ề 2 G iả s ử B { ) : X —> X thỏa m à n điều kiện (2 22) , { T ( t ) ) t> 0 là

c \ )-nửa n h ó m trong không g ian Hilbert X và p : X —>■ X là phép chiếu trực giao trong X , giao hoán với T ự ) thỏa m ã n các điều kiện

n) ( T ( f) ) < > 0 là nứa nhóm con ổn đinh mũ.

b) ( T ị t ) (ĩ — P ) ) t > 0 là nứ a n h ó m con so n g ổn định.

K h i đó tồn tại to e R + sao cho ánh xạ F : X —> X xác định bởi

D i n h lý 4 Giá sử (T( t ) ) t> 0 là một nứa nhóm giới nội đều sinh bởi A E

C( X ) thỏa mãn các điều kiện a) và b) của bô đề 3 Khi đó {T(t))t> 0 và

( Ư ( t , s ) ) t > s là tương đương t i ệ m cận.

2 2 3 v ề t í n h c h ấ t n g h i ệ m c ù a b à i t o á n d â n s ố p h ụ t h u ộ c v à o t u ổ i

C h ú n g ta xét m ột tậ p hợp gồm các cá thể được p h ân b iệt bởi k íc h thước

c ủ a chúng theo m ột q u y ước náo đó ch ẳng h ạn được p h â n c h ia theo lứa

là số lượng các cá thể ở thờ i đicrn t có k ích thước S n ằm giữ a ,S] v à s-2-

C h ú n g ta g iả sử rằn g theo thời g ia n trô i đ i, các q u y trìn h được m ô tả luôn tuân theo các q u y lu ậ t sau:

* s ố lượng c ủ a m ỗi m ột nhóm các cá thể p h át triể n tu yế n tín h theo thời gian

* s ố lượng các cá thể b ị chết với x á c suất p hụ th u ộ c vào k íc h cỡ củ a nó

* s ố lượng cá thể được sin h ra với x ác su ấ t p hụ th u ộ c vào k íc h cỡ c ủ a nó.

* T ồ n tạ i m ột cá thể có k íc h cỡ nhỏ n h ấ t s = a > 0 k h i m ới sin h ra .

B à i t o á n C a u c h y

D ự a vào các g iả đ ịn h trên v à theo các q u y lu ậ t câ n b ằn g củ a sin h trưởng

ch ún g ta sẽ n h ậ n được phương trìn h đạo h à m riê n g với g iá t r i ban đ ầ u cho trước sa u đ â y .

( APE)

+ § £ ( a , t) + / i ( a ) / ( M ) = 0 với a , t > 0

/ (0 , t) = J0° ° / 3 ( a ) / ( 0 , t)da với t > 0 / ( « , 0) = / o ( a ) với a > 0

tro n g đó t v à a là các b iế n thực khô n g ân tương ứng vó i các đ ạ i lượng thờ i

g ia n v à tu ổ i c ủ a các cá thể f(.,t) m ô tả cấu trú c tu ổ i c ủ a q u ần thể ở thời điểm t và /o là g iá trị ban đ ầ u c ủ a c ấ u t r ú c tu ổ i ở th ờ i đ iể m t = 0 Ngoài

ra ịi v à 13 là cá c h àm giới nội, do được n h â n g iá t r ị dương m ô tả t ỉ lệ sin h

và t ỉ lệ chết.

D ể đ ư a b à i t o á n ( A P E ) về bài t o á n C a u c h y t r ừ u tư ợ n g c h ú n g t a xét

k h ô n g g ia n B a n a c h X : = L l (TZ+) và to á n t ử đ ó n g t r ù m ậ t A m (x e m [?] tra n g 216 )đ ư ợ c x ác đ ịn h bới:

A f : = - / ' - / < / , / e D(A,n) : = i r u ( R +)

T i ế p th e o c h ú n g t a xác đ ịn h t o á n t ử h ạ n chế c ủ a A m n h ư sau:

4 / := A mf D( A) = { / e D ( A m) : / ( ũ ) = r 3( „) f ( a}da} (2.26)

./()

N h ư v ậ y th a y cho b ài toán ( A P E ) ch ún g ta sẽ xét b ài toán C a u c h y trừ u tượng.

Í ù(t) = A v ịt ) với t > 0

u{ 0) = /o

\'ới u (t) : = f(.,t).

A p d ụ n g Đ ịn h lí về toán tử s in h c ủ a nử a nhó m liê n tụ c m ạ n h ( Đ ịn h lí

■l, tra n g 9 C h ư ơ n g I), ta có th ể c h ỉ ra rằn g ( A ,D ( A ) ) là toán tử s in h c ủ a

nứ a n h ó m liê n tụ c m ạn h T ( t ) t> 0 tro n g X (ta sẽ gọi là nửa nhó m d â n số)

T ro n g trường hợp này, n gh iệm d u y n h ấ t c ủ a ( A P E ) được cho bởi f(a ,t) : = ( T ( t) f o ) ( a )

A ĩ ệ n h đề 5 Toán tử (A, D( A) ) tạo ra một nứa nhóm liên tục mạnh

( T ( t ) ) t >0 trên B, và bài toán C a u c h y trừu tượng ( A C P ) ở trên được chỉnh.

M ệ n h d ề 6 N ử a n h ó m { T ( t ) ) t > 0 là liê n tụ c c h u ẩ n tắc cu ố i cù n g và

co m p a ct cu ố i cù ng n hỏ gọn với t > 1 — 77

T iế p theo cù n g với b ài toán C a u c h y ( A P E ) chúng ta xét b ài toán C a u c h y

b ị n h iễ u sau đ âv:

+ /'■ ( « ) /( « ’ *) = a (0 / ( M ) với a, t > 0 ( A P E ( p )) < / (0 , t) = J 0°° /3 ( a ) /( a , t)da với t > 0

f {a, 0) = /o(fl) với a > 0

T ro n g đó: Q : 1Z+ —> £ ( X ) là t o á n t ử liên tụ c m ạ n h t h ỏ a m ã n đ iề u kiện:

[ | | a ( f ) | | ( i / < + O C

J0

T ừ b ài toán C a u c h y Í A P E ( p ) ) ch ú n g ta có thể đưa về việc xét phương

:19

đ ị n h bởi ( 2 2 1 ) K h i đó các m ệ n h d ề s a u đ â y là lu ôn luôn đúng:

a) Nếu T( t ) t> 0 là nửa nhóm liên tục giới nội đều thì U(t.,s)ị> 0 là giới nội đều.

đó ta s u y ra rằng nếu khi m ộ t n h ó m dân số nàữ đó của quần t h ể ỉà song

ổn đinh (tức là ổn định cả trong tương lai lẫn quá khứ) thì nó trở n ê n bên vững khi có nhiễu loan nhỏ.