Phân tích thống kê mô hình ARCH và một số ứng dụng trong tài chính

So sánh các phương pháp ước lượng với giả thiết về phân bố chuẩn có điều kiện.. Một số hệ quả của giả thiết về nhiễu trắngi, Hồi qui bổ sung : Nếu εt là nhiễu trắng Gauss, giả thiết về h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS Nguyễn Văn Hữu

Hà Nội - 2012

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tác giả xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đối với GS.TS Nguyễn Văn Hữu - Đại học KHTN - ĐHQGHN,người thầy đã động viên, tận tình hướng dẫn để tác giả có thể hoàn thành luận vănnày.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, đã dạy bảo tác giả tậntình trong suốt quá trình học tập tại khoa Tác giả xin gửi lời cám ơn tới tập thể thầy

cô giáo Bộ môn Toán, trường Đại học Thủy Lợi, nơi tác giả đang công tác, đã hếtsức tạo điều kiện, chia sẻ gánh vác công việc để tác giả hoàn thành quá trình họctập và luận văn này

Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đềtài

Một lần nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 2012

Học viên

Đào Việt Hùng

2

MỞ ĐẦU 6

Chương 1 Mở đầu về chuỗi thời gian 8

1.1 Mô hình hóa chuỗi thời gian bởi các quá trình ngẫu nhiên 8

1.2 Tính dừng mạnh và dừng yếu 11

1.3 Ví dụ 14

1.4 Quá trình phi tuyến 16

1.4.1 Thống kê "cái treo áo" (statistique portmanteau) 16

1.4.2 Một số hệ quả của giả thiết về nhiễu trắng 17

Chương 2 Mô hình ARCH 19

2.1 Mô hình ARCH một chiều 19

2.1.1 Mô hình với phương sai không thuần nhất cấp 1 19

2.1.2 Tính chất của quá trình sai số εt 20

2.1.3 Tính chất của quá trình {Yt, t ∈Z} 21

2.1.4 Phân bố của các sai số 22

2.2 Tính chất chung của các mô hình ARCH 23

2.2.1 Các hướng mở rộng khác nhau 23

2.2.2 Tính dừng của mô hình GARCH(p,q) 25

2.2.3 Độ nhọn (Kurstosis) 26

2.2.4 Phương trình Yule - Walker cho bình phương của một quá trình GARCH 27

3

Chương 3 Ước lượng và kiểm định (Mô hình ARCH một biến) 29

3.1 Ước lượng bằng phương pháp giả hợp lý cực đại 29

3.1.1 Phương pháp chung 29

3.1.2 Trường hợp mẫu độc lập 30

3.1.3 Mô hình hồi qui với sai số có phương sai không thuần nhất 32

3.1.4 Mô hình hồi qui với sai số ARCH 36

3.1.5 Áp dụng của mô hình GARCH 38

3.2 phương pháp ước lượng theo 2 bước 39

3.2.1 Mô tả phương pháp 39

3.2.2 So sánh các phương pháp ước lượng với giả thiết về phân bố chuẩn có điều kiện 40

3.2.3 Nghiên cứu độ mất hiệu quả 41

3.3 Khoảng dự báo 43

3.4 Kiểm định tính thuần nhất của phương sai 46

3.4.1 Mô hình hồi qui với sai số có phương sai không thuần nhất 46

3.4.2 Một biểu diễn của thống kê tiêu chuẩn 48

3.4.3 Áp dụng cho mô hình hồi qui với sai số ARCH và GARCH 49

3.4.4 Ví dụ minh họa 51

Chương 4 Mô hình ARCH nhiều biến 56

4.1 Các mô hình không có rằng buộc 56

4.1.1 Mô hình GARCH nhiều biến 56

4.1.2 Các ràng buộc về tính dương 58

4.1.3 Các rằng buộc về tính ổn định 58

4.1.4 Ví dụ 59

4.1.5 Khai triển phổ 60

4.2 Mô hình ràng buộc 62

4.2.1 Mô hình đường chéo (Bollerslev − Engle −Wooldridge (1988)) 62

4.2.2 Mô hình tương quan có điều kiện hằng số (Bollerslev (1987)) 64

4.2.3 Mô hình với các hệ số ngẫu nhiên 65

4.2.4 Mô hình dựa trên phân tích phổ (Baba - Engle - Kraft - Kroner (1987) ; Engle - Ridrigues (1987) 66

4.2.5 Mô hình ARCH với các nhân tố ( Dicbold-Nerlove(1988,1989)) 67

4.3 Ước lượng các mô hình động phương sai không thuần nhất 68

4.3.1 Ước lượng bằng phương pháp giả hợp lý cực đại 68

4.3.2 Tính chất tiệm cận của phương pháp giả hợp lý cực đại 70

4.3.3 Mô hình với tương quan có điều kiện hằng số 71

Chương 5 Danh mục đầu tư hiệu quả và danh mục đầu tư bảo hộ 73

5.1 Xác định danh mục đầu tư hiệu quả 73

5.2 Tiêu chuẩn trung bình phương sai 75

5.3 Danh mục đầu tư hiệu quả theo tiêu chuẩn trung bình - phương sai 76 5.3.1 Xác định danh mục hiệu quả khi không tồn tại chứng khoán không rủi ro

76 5.3.2 Sử dụng để phân loại các chứng khoán 78

5.3.3 Xác định danh mục tối ưu trong trường hợp có chứng khoán không rủi ro

78 5.4 Tính chất của tập các danh mục đầu tư hiệu quả 79

5.4.1 Tập các danh mục đầu tư hiệu quả 79

5.4.2 Sự tồn tại các nhân tố 81

5.5 Danh mục đầu tư bảo hộ 83

KẾT LUẬN 86

Sự phát triển của các mô hình chuỗi thời gian đã được phát triển rất nhanh để mô

tả sự biến đổi theo thời gian của chuỗi các biến ngẫu nhiên trong kinh tế, kỹ thuật

và phục vụ cho việc chẩn đoán tính mùa, dự báo, điều khiển các hệ Vào những năm

70 một lớp các mô hình loại ARMA đã được nghiên cứu Các mô hình đó dựa trên

giả thiết giá trị hiện tại của chuỗi biểu diễn tuyến tính qua các giá trị quá khứ củachuỗi và nhiều ngẫu nhiên Tuy nhiên các mô hình đó có những bất tiện, nó dựatrên tính chất tuyến tính và phải hạn chế các tham số để mô tả cấu trúc của các hiện

tượng Trong các lĩnh vực ứng dụng của mô hình ARMA cổ điển, mô hình ARMA

đã bộc lộ các nhược điểm khi nghiên cứu các bài toán trong kinh tế, tài chính vàtiền tệ Trước tiên, các chuỗi đó thể hiện tính phi tuyến : sự biến thiên giá trị hiện tạicủa chuỗi, độ biến động phụ thuộc (phi tuyến) vào các giá trị quá khứ Mặt khác cócác lý thuyết về tài chính và tiền tệ dựa trên học thuyết về cân bằng và thái độ hợp

lý của các hãng khi can thiệp vào thị trường và lẽ tự nhiên phải đưa ra và kiểm định

các rằng buộc cấu trúc của các tham số Các mô hình ARCH mô hình phương sai

của sai số có điều kiện tự hồi quy (Conditionally autoregressive heterosedastivity)được đưa ra bởi Engle 1982 Có khoảng 50 bài báo và hàng chục luận án nghiên

cứu về mô hình ARCH Sự phát triển nhanh chóng của các công trình nghiên cứu thể hiện tầm quan trọng của các mô hình ARCH trong lý thuyết thống kê và các áp

dụng của nó

Về phương diện thống kê các mô hình ARCH lập nên một lớp các mô hình phi

tuyến Với các mô hình đó người ta cần nghiên cứu một số bài toán cổ điển : Kiểmtra các cơ chế ngẫu nhiên, xác định khoảng các dự báo

6

Trong lĩnh vực tài chính người ta đã áp dụng các mô hình ARCH trong đó sự

biến động (Voltality) của chuỗi phụ thuộc vào thời gian Người ta cũng sử dụng

mô hình ARCH trong tài chính để nghiên cứu danh mục các đầu tư tối ưu (optimal

portefolio), định giá các quyền chọn, hiệu quả của các thông tin khác nhau về thịtrường

Cấu trúc của luận văn:

• Chương 1 : Mở đầu về chuỗi thời gian

• Chương 2 : Mô hình ARCH một biến.

• Chương 3 : Ước lượng và kiểm định mô hình

• chương 4 : Mô hình ARCH nhiều biến.

• chương 5 : Danh mục đầu tư hiệu quả và danh mục đầu tư bảo hộ

Mở đầu về chuỗi thời gian

ngẫu nhiên

Việc phân tích động học các chuỗi kinh tế dựa trên các quan sát các dữ liệu theothời gian nói chung các chuỗi đó bộc lộ một số các tính chất thông thường : Cácthành phần bùng nổ hoặc tuần hoàn (xem : chuỗi thời gian về số người thất nghiệp

ở Pháp), xu thế, lợi tức của quá trình kinh doanh và các chuỗi đó được xem nhưthể hiện theo thời gian của một quá trình ngẫu nhiên nào đó

Một quá trình ngẫu nhiên (QTNN) với thời gian rời rạc là dãy các biến ngẫunhiên xác định trên một không gian xác suất (Ω,A,P) nào đó Các biểu ngẫu nhiên

đó có thể là 1 hoặc nhiều chiều được gắn với chỉ số thời gian t Để đơn giản ta giảthiết rằng các thời điểm quan sát cách đều nhau và gắn chỉ số nguyên QTNN sẽđược ký hiệu :

Trong đó τ ⊂ N hoặc Z (N : tập số nguyên, Z : tập các số nguyên mở rộng) Khi Y

là quá trình ngẫu nhiên n chiều ta viết :

Yt = (Yj t, j = 1, , n) (1.1.2)

8

Mỗi dãy Yj= (Yj t, t ∈ τ) xác định một quá trình ngẫu nhiên 1 chiều.

Các định nghĩa : Nếu ω ∈ Ω xác định một quá trình ngẫu nhiên thì dãy quan

sát Yt(ω), t = 1, , T được gọi là quĩ đạo của quá trình

Theo định lý Kolmogora phân bố xác xuất trên không gian các quĩ đạo được xác

định duy nhất bởi các phân bố hữu hạn chiều của (Yt1, ,Ytn) với n và các t1, ,tntùy ý Phân bố đó được xác định bởi phân bố biên duyên của Yt và các phân bố cóđiều kiện của Yt khi biết Yt−1 = yt−1, ,Yt−k = yt−k Trong trường hợp của luậtphân bố liên tục ta có thể đưa ra mật độ biên duyên và mật độ có điều kiện tươngứng :

f(yt) và ft|t−1, ,t−k(yt| yt−1, , yt−k)Khi đó mật độ của (Yt,Yt−1, ,Yt−k) được cho bởi :

ft−k(yt−k) · ft−k+1 |t−k(yt−k+1| yt−k) · · · ft|t−1, ,t−k(yt| yt−1, , yt−k) (1.1.3)Khi các thành phần Yj t là bình phương khả tích theo P thì quá trình Y được gọi là

2 Quá trình Y là dừng (yếu) hoặc dừng cấp 2 khi và chỉ khi :

• Hàm trung bình mt = m; ∀t (không phụ thuộc vào thời gian)

• Hàm tự hiệp phương sai : Γ(t ; h) = Γ(h) không phụ thuộc t, ∀h ∈ τ Rõ ràng

một quá trình ngẫu nhiên cấp 2 là dừng mạnh sẽ là dừng yếu Nếu Y là quá

trình Gauss (tất cả phân bố hữu hạn chiều của nó là chuẩn ) thì nó là dừng

mạnh khi và chỉ khi nó là dừng yếu Trong thực hành các chuỗi thời gianthường được biến đổi để loại bỏ tính không dừng Chẳng hạn dùng phép saiphân :

Yt → 4Yt = Yt−Yt−1.hoặc chuyển qua loga :

Yt → log Yt.Giả thiết về tính Markov là một loại ý tưởng khác

Định nghĩa 1.3

Một quá trình ngẫu nhiên cấp 2 là :

• Một quá trình tự hồi qui cấp k khi và chỉ khi :

E(Yt|Yt−1) = E(Yt|Yt−1, ,Yt−k), ∀t

• Một quá trình tự hồi qui tuyến tính cấp k khi và chỉ khi :

E L(Yt|Yt−1) = E L(Yt|Yt−1, ,Yt−k), ∀t

1.2 Tính dừng mạnh và dừng yếu

Một phần rất lớn các công trình về chuỗi thời gian giành cho việc nghiên cứu

các mô hình tuyến tính, đặc biệt các mô hình tự hồi qui trung bình trượt ARMA, đó

là chuỗi giá trị hiện tại Yt được biểu diễn bởi hàm tuyến tính của các giá trị quá khứ

và quá trình nhiễu trắng ε :

Yt = c + φ1Yt−1+ · · · + φpYt−p+ εt− θ1εt−1− · · · − θqεt−q (1.2.1)Trong đó φ1, , φp; θ1, , θq là các ma trận vuông

Ta có thể đưa ra đa thức toán tử trễ tự hồi qui, trung bình trượt :

φ (L) = Id− φ1L− · · · − φpLp

θ (L) = Id− φ1L− · · · − φqLq

(1.2.2)

Trong đó L ký hiệu toán tử trễ :LYt = Yt−1

Khi đó biểu diễn (1.2.1) được viết dưới dạng :

Các hệ số φj, j = 1, , p; θj, j = 1, , q thông thường có các rằng buộc bởi tínhdừng Các ràng buộc đó liên quan tới nghiệm của các phương trình :

detφ (z) = 0 và detθ (z) = 0 (1.2.4)Các nghiệm đó nằm ngoài hình tròn bán kính 1, tức là nghiệm z có |z| > 1

Với rằng buộc của tính dừng các toán tử Φ(L) và θ (L) có ngược (khả nghịch),điều đó dẫn đến biểu diễn :

Yt = Φ(L)−1c+ Φ−1θ (L)εt (1.2.5)hoặc biểu diễn tự hồi qui vô hạn :

θ (L)−1φ (L)Yt = θ (1)−1C+ εt (1.2.6)

Thành công chủ yếu của mô hình ARMA là mô hình khá đơn giản, biểu diễn tuyến

tính qua các biến và qua một số tham số Tính tuyến tính theo các biến đưa đếncác công thức dự báo đơn giản, tính tuyến tính theo tham số cho phép ta sử dụngphương pháp ước lượng bình phương cực tiểu Hơn nữa biểu diễn trung bình trượt(1.2.6) xấp xỉ nhiễu trắng qua 1 số các quan sát Ta có định lý phân tích của Wold

Định lý 1.2.1 Một quá trình dừng yếu (Yt, t ∈ Z) sao cho :

lim

h→ ∞E(Yt+h|Yt) = E Yt

luôn luôn có biểu diễn trung bình trượt vô hạn.

Yt = c0+ εt− A1εt−1− A2εt−2− · · · = c0+ A(L)εt (1.2.7)

Trong đó (εt, t ∈ Z) là dãy các biến ngẫu nhiên có Eεt = 0, phương sai thuần nhất,

V(εt) = Γ, không tương quan cov(εt, εt0) = 0 ∀t > t0 và các hệ số A1, A2, thỏa

ε = (εt, t ∈ Z) là một hiệu martingale với phương sai thuần nhất :

ε = (εt, t ∈ Z) là một nhiễu trắng mạnh, tức là một dãy các biến ngẫu nhiên

độc lập, cùng phân bố (i.i.d) với phương sai hữu hạn

Giả thiết H5:

ε = (εt, t ∈ Z) là một nhiễu trắng Gauss, tức là i.i.d với phân bố chuẩn.

Mỗi giả thiết về nhiễu trắng tương ứng với một khái niệm về biểu diễn trung

bình trượt hoặc tự hồi qui

Ví dụ như ta đã thấy tất cả các quá trình dừng yếu chính qui chấp nhận biểu

diễn trung bình trượt với một nhiễu trắng yếu Tuy nhiên nó không chấp nhận biểu

diễn trung bình trượt với nhiễu trắng mạnh Trong trường hợp đó dự báo tốt nhất

E(Yt|Yt−1) là hàm phi tuyến của các giá trị quá khứ của quá trình.

Để thấy rõ sự khác nhau giữa giả thiết H1 và H5 ta cần nhắc lại một kết quả cổ

điển liên quan tới quá trình dừng mạnh : người ta đã khẳng định rằng (xemNisio(1960), (1961))tất cả các quá trình dừng mạnh có thể xấp xỉ bởi một đa thức của các nhiễu trắng

Gauss với độ chính xác bao nhiêu tùy ý Cụ thể, tất cả các chuỗi dừng mạnh chấp

nhận biểu diễn sau :

Khai triển trên là khai triển Volterra

Rõ ràng rằng Yt cũng là quá trình cấp 2, theo định lý Wold nó chấp nhận biểudiễn :

Yt = µ +∑

j

θ∗jut− j

Trong đó u = (ut) là một nhiễu trắng yếu

Hai biểu diễn trên trùng nhau, tức là u sẽ bằng ε khi và chỉ khi các thành phầncấp > 2 cần phải triệt tiêu trong biểu diễn Volterra :

θi j= 0, ∀ i, j ; θi j k = 0, ∀ i, j, k, Trong phần sau chúng ta sẽ đưa ra các ví dụ khác nhau về quá trình dừng yếu (tức

là quá trình tuyến tính yếu theo khai triển Wold) Trong đó quá trình đổi mới tuyếntính Yt− EL(Yt|Yt−1) không còn là nhiễu trắng mạnh

Có các phương pháp khác nhau để đưa ra chuỗi thời gian không tuyến tính Taxét biến đổi tuyến tính của một quá trình tuyến tính mạnh Ví dụ : xét quá trìnhtrung bình trượt cấp 1 :

γx(h) = 0 ∀h > 2Dấu của quá trình X xác định một quá trình ngẫu nhiên khác :

Yt =

(

1 nếu Xt > 0

−1 nếu Xt < 0Quá trình này không phụ thuộc vào thời gian nên (Yt) là dừng mạnh, Yt bị chặn bởi

1, nên Yt là quá trình cấp 2, vậy nó là dừng yếu và chấp nhận biểu diễn trung bìnhtrượt vô hạn Vì Xt là độc lập với Xt−2, Xt−3, và Yt là hàm của Xt nên nó cũng độclập với Yt−2,Yt−3, và do đó hàm tự hiệp phương sai của Y là bằng 0 với các độtrễ > 2, tức là :

γY(h) = 0, ∀ h > 2Điều đó suy ra rằng biểu diễn trung bình trượt của Y là biểu diễn cấp 1 :

Trong đó (η) là nhiễu trắng yếu

Tuy nhiên (ηt) không phải là nhiễu trắng mạnh Có thể dễ dàng chứng tỏ rằng

ηt−1 và ηt là độc lập và phân bố có điều kiện của ηt biết rằng ηt−1 đã cho là độclập với ηt−1; nhưng ηt = Yt− θ ηt−1, các giá trị có thể có của ηt là 1 − θ ηt−1 ;

−1 − θ ηt−1 là giá trị của phân bố có điều kiện lại phụ thuộc vào ηt−1

Trong các hình vẽ dưới đây, chúng ta sẽ đưa ra các quĩ đạo tương ứng với chuỗiban đầu X và chuỗi biến đổi Y Các quĩ đạo đó nhận được với một nhiễu trắng vàgiá trị của tham số θ bằng 0, 5

1.4 Quá trình phi tuyến

Như ta đã thấy trong mục (1.2) rằng chuỗi thời gian tuyến tính là phức tạp và

đã đưa ra các định nghĩa khác nhau về tính tuyến tính phụ thuộc vào các giả thiết đãđặt vào các nhiễu trắng Nói chung cần phải xây dựng các tiêu chuẩn để kiểm địnhcác giả thiết xem các số hạng của sai số ε có phải là một nhiễu trắng yếu hay không.Trước tiên ta đưa ra các tiêu chuẩn để kiểm tra xem quá trình nhiễu (εt) có phải

là nhiễu trắng Gauss hay không

Nếu quá trình quan sát (Yt) chấp nhận biểu diễn (ARMA) với nhiễu trắng yếu :

φ (L)Yt = C + θ (L)εt

với (εt) là nhiễu trắng yếu

Một phép kiểm định tự nhiên về biểu diễn tuyến tính yếu là kiểm tra xem hiệpphương sai γε(h) của εt và εt+h, với ∀ h > 1 có bằng 0 hay không

Sau đây là phương pháp Portmanteau đã được nghiên cứu với Box-Pierce (1970)

và Ljung-Box (1978)

Nếu ( ˆεt ký hiệu phần dư của ước lượng trong mô hình ARMA, người ta xây

dựng hàm tương quan thực nghiệm :

1.4.2 Một số hệ quả của giả thiết về nhiễu trắng

i, Hồi qui bổ sung :

Nếu (εt) là nhiễu trắng Gauss, giả thiết về hiệu martingale được thỏa mãn và εt

không tương quan với tất cả các giá trị quá khứ, giả thiết H2 sẽ được kiểm tra gắn

với mô hình ARMA với 1 hoặc nhiều nhân tố hồi qui bổ sung, tức là xét mô hình

mở rộng :

Φ(L)Yt = C + θ (L) εt+ α h (Yt−1)

và kiểm định giả thiết α = 0 có đúng hay không

Để làm ví dụ, ta hãy kiểm định sau khi ước lượng quá trình :

Nếu mô hình ARMA dẫn đến biểu diễn ARMA (1).

Yt = ρ Yt−1+ εt,

ta có thể đưa ra mô hình mở rộng :

Yt = ρ Yt−1+C11εt−12 +C12εt−1εt−2+ εt.Tiêu chuẩn đó sẽ được xây dựng dựa trên thống kê Fisher tương ứng với giảthiết C11 = C12 = 0, sau khi thay các nhân tố hồi qui bổ trợ εt−12 , εt−1 εt−2 bởi

ˆεt−12 ; ˆεt−1 ˆεt−2, với ˆεt = Yt− ˆρ Yt−1 là giá trị dưới giả thiết không Cách tiếp cận đódựa trên khai triển Volterra và Kecnan (1985)

ii, Sự độc lập của các nhiễu trắng :

Một trong giải pháp khác là tổng quát hóa trực tiếp thống kê Portmanteau :Thực vậy, nếu ε = (εt) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố, tínhchất không tương quan có thể biểu thị dưới dạng : với mọi hàm phi tuyến của ε :

∀g, ∀h > 0 : cov [g(εt) , g(εt−h)] = 0.

Vì vậy thống kê portmanteau có thể được xác định cho một phép biến đổi nàođấy McLeod và Li (1983) đã đề xuất một tiêu chuẩn portmanteau dựa trên tươngquan của các bình phương, thống kê đó là :

T

∑

t=1

ˆεt2

iii, Phân tích các mẫu con :

Một trong các cách thông thường để kiểm định tính độc lập và cùng phân bố làtách mẫu mẫu ban đầu {Yt, t = 1, , T } (hoặc { ˆεt, t = 1, , T }) thành hai mẫucon (Yt, t ∈ J1) ; (Yt, t ∈ J2) hoặc ( ˆεt, t ∈ J1) ; ( ˆεt, t ∈ J2) và nghiên cứu các tínhchất phân bố giống hệt nhau đối với hai mẫu Cách tiếp cận này đã được thể hiệntrong tiêu chuẩn Chow cổ điển

Mô hình ARCH

Trong mục này ta sẽ trình bày các công thức cơ bản với phương sai có điều kiệnkhông thuần nhất, đặc biệt là mô hình tự hồi qui cấp 1 với phương sai của sai sốkhông thuần nhất

Xét mô hình sau :

Yt = µ + ϕ Yt−1+ εt, t ∈ Z, |ϕ| < 1 (2.1.1)

và ε = (εt, t ∈ Z) là ồn trắng yếu, thỏa mãn điều kiện của hiệu martingale :

E(εt| εt−1) = 0, ∀t ∈ Z. (2.1.2)Trong đó εt−1ký hiệu dãy εt−1, εt −2,

Như thường lệ ta không giả thiết rằng Var(εt| εt−1) không phụ thuộc vào t, màgiả thiết rằng εt2 thỏa mãn phương trình tự hồi qui cấp 1 :

εt2= c + aεt−12 + ut, t ∈ Z. (2.1.3)

19

với u = (ut) là nhiễu trắng.

Quá trình Yt thỏa mãn (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) được gọi là quá trình tự hồi qui

cấp 1 với sai số là ARCH (1).

Sau đây ta sẽ nghiên cứu các điều kiện để quá trình như vậy sẽ tồn tại

i, Để có sai số thỏa mãn (2.1.3) thì

mt = E (εt2) = c + a mt−1, t ∈ Z. (2.1.4)

đó là phương trình sai phân cấp 1, và cần phải có điều kiện ban đầu là m0 đã cho

Ta giả thiết rằng |a| < 1 và điều kiện ban đầu m0 là giá trị cân bằng của phươngtrình (2.1.4), tức là :

P{δt = 1} = P{δt = −1} = 1

2Khi đó dễ thấy rằng quá trình εt = δt

√

Zt sẽ thỏa mãn (2.1.2) và (2.1.3)

Như trên ta giả thiết quá trình sai số εt thỏa mãn điều kiện :

Tính chất của quá trình Yt suy ra trực tiếp từ tính chất của nhiễu trắng ε.

i) Dự báo phi tuyến của Y trùng với dự báo tuyến tính

Và giá trị này phụ thuộc tuyến tính vào giá trị gần nhất Yt−h

ii) Phương sai và hiệp phương sai có điều kiện có thể tính dựa trên biểu diễn Yt theocác đổi mới

Nếu h và k là hai số nguyên sao cho k > 0 và h > 0 khi đó :

Các kết quả khác có thể thu được nếu ta giả thiết các sai số có phân bố chuẩn :

εt| εt−1 ∼ N(0, c + aεt−12 ) (2.1.11)

Rõ ràng rằng (2.1.11) không suy ra rằng quá trình εt là Gauss Thực vậy từ (2.1.11)

ta suy ra rằng mô men cấp 2 và mô men cấp 4 là dừng nếu 3a2< 1, các mô men đócho bởi công thức :

điều đó dẫn đến hệ số nhọn :

k= E εt4(E εt2)2 = 3 1 − a

2

1 − 3a2 < 3Như vậy tồn tại phân bố có độ nhọn cao hơn phân bố chuẩn (Leptokirrtique)

Để nhận được các phương sai có điều kiện phụ thuộc vào quá khứ ta sẽ mô tảnhanh các mô hình và các thuật ngữ tương ứng

i) Mô hình ARCH(q) (Angle(1982)) :

Mô hình này mở rộng mô hình ARCH cấp q như sau :

ii) Mô hình GARCH(p,q) (Bollerslev(1986)) :

Mô hình GARCH(p,q) là mở rộng mô hình ARCH(q) với thành phần trung

Mô hình GARCH có thể biểu diễn dưới dạng ARMA(p;q) như sau :

Ta sẽ đưa vào quá trình hồi phục ứng với bình phương của quá trình sai số :

αi= 0 nếu i > q βi = 0 nếu i > p.

(2.2.4) chính là biểu diễn ARMA(max(p,q);p) của ε2, nhưng với các sai số ut

không nhất thiết nhiễu trắng (phương sai hằng số)

iii) Mô hình ARMA-GARCH (weiss(1986)) :

Cuối cùng việc mô hình hóa GARCH có thể áp dụng không phải cho quá trình

ban đầu mà cho quá trình đổi mới Điều đó cho phép ta có thể đưa vào các hiệuquả khác nhau của biến giải thích hoặc dưới dạng trung bình có điều kiện hoặc dướidạng phương sai có điều kiện

Mô hình ARMA trong đó phương sai không điều kiện của Y có thể có hiệu quả

trên phương sai có điều kiện :

Mô hình ARCH - M có lẽ là một mô tả thích hợp hơn về sự ảnh hưởng của các

độ biến động (Volatility) Trong mô hình ARCH - M phương sai có điều kiện xuất

hiện như một giải thích thành phần trung bình có điều kiện :

(

Yt = Xtb+ δ ht+ εt

εtthỏa mãn mô hình GARCH. (2.2.8)

nhắc lại rằng ht = Var(εt| εt−1)

Xét quá trình ε = (εt) thỏa mãn mô hình GARCH(p,q) :







E(εt| εt−1) = 0Var(εt| εt−1) ≡ ht = c +

• Ngược lại nếu α(1) + β (1) < 1, nếu z là số phức sao cho |z| < 1 và là nghiệmcủa phương trình đặc trưng ta có :

GARCH Gauss có điều kiện, trong đó mô men cấp 2 và cấp 4 có điều kiện của quá

trình liên hệ với nhau bởi :

E(εt4| εt−1) = 3 E (εt2| εt−1)2
Lấy kỳ vọng cả 2 vế ta được :

E(εt4) = 3 E E (εt2| εt−1)2
> 3 E E(ε2

t | εt−1)

2 = 3 (E εt2)2

Như vậy ta đã chỉ ra rằng đuôi của phân bố của εt dày hơn đuôi của phân bố chuẩn.Hơn nữa :

k= E εt4

(E εt2)2 = 3 + 3E E

2(εt2| εt−1)
− E E (ε2

t | εt−1)
2(E εt2)2

Vì vậy ta nhận được phương trình truy hồi sau :

• Trước tiên có thể dùng để nhận dạng cấp max(p, q) và p của mô hình, cụ thể

là mô hình cấp p nếu q 6 p và cấp q nếu q > p

• Phương trình đó có thể dùng để ước lượng các hệ số αi+βi, i = 1, 2, , max(p, q)bằng cách giải hệ (2.2.10) với h = p + 1, , p + max(p + q) sau khi thay

γ2(h) bằng ước lượng ˆγ(2)(h) dựa trên mẫu

Ước lượng và kiểm định (Mô

hình ARCH một biến)

Các phương pháp cổ điển để ước lượng và kiểm định được áp dụng không khó

đối với mô hình ARCH Chúng ta sẽ nhắc lại các bước và các tính chất của phương pháp giả hợp lý cực đại Trong trường hợp mô hình ARCH, tính tiệm cận của các

ước lượng là hoàn toàn hiển nhiên Chúng ta cũng so sánh các ước lượng giả hợp

lý cực đại với các ước lượng bình phương cực tiểu 2 bước và chỉ ra rằng (bằng trựcgiác đơn giản) ước lượng sau có độ chính xác kém hơn nhiều so với ước lượng trước.Cuối cùng chúng ta sẽ đề cập đến việc xây dựng khoảng dự báo và kiểm địnhgiả thiết về tính thuần nhất của phương sai

Trong thực hành phân tích thống kê với mô hình ARCH người ta phải xác định

các ước lượng giả hợp lý cực đại dựa trên giả thiết về phân bố chuẩn có điều kiện.Nếu lt(y, θ ) ký hiệu hàm hợp lý gắn với Yt với điều kiện quá khứ đã cho, hàm

29

hợp lý của Y1, ,YT với điều kiện Y0 đã cho là :

Ước lượng giả hợp lý cực đại là các giá trị ˆθT cực đại hóa L(y; θ )

Như ta đã biết, ước lượng giả hợp lý cực đại ˆθT có các tính chất phụ thuộcvào luật phân bố có điều kiện Với một số các điều kiện các tác giả Gallant (1987),Gourieroux–Monfort (1989); Gourieroux–Monfort–Trognon (1984), White (1981)

đã chỉ ra rằng ước lượng đó sẽ hội tụ ngay cả khi phân bố chân thực không phải làphân bố chuẩn có điều kiện

Hơn nữa, ước lượng đó là tiệm cận chuẩn với ma trận hiệp phương sai tiệm cậnđược cho bởi :

E0 – ký hiệu kỳ vọng ứng với luật phân bố chân thực

Nói chung 2 ma trận I và J là khác nhau Tuy nhiên chúng sẽ trùng nhau nếu luậtphân bố chân thực là tương thích với hàm hợp lý, điều đó có nghĩa rằng, trong trườnghợp của ta luật phân bố đó là luật chuẩn có điều kiện Khi I = J, Vas

√

T( ˆθT − θ )
trở thành :

Vas√

T( ˆθT − θ )= I−1 = J−1

Để sử dụng được các kết quả trên và để hiểu rõ tính chất của ước lượng giả hợp

lý cực đại cho mô hình ARCH tổng quát ta cân nhắc lại các kết quả chính liên quan

tới các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố

Ta hãy xét một dãy các biến Yt, t = 1, , T các biến ngẫu nhiên độc lập cũngphân bố với giá trị trung bình m và phương sai σ2 chưa biết Hàm hợp lý dựa trêngiả thiết chuẩn là :

Có thể thấy rằng các ước lượng đó hội tụ ngay cả khi luật phân bố chân thực của Yt

không là phân bố chuẩn

Hơn nữa độ chính xác tiệm cận được dẫn ra từ biểu thức của I và J :

3

12σ3E u

Với m3 = E (Y − m)3

Nếu phân bố chân thật là chuẩn ta có m3 = 0 , k = 3, 2 ước lượng mbT , ˆσT2 làtiệm cận không tương quan và

Vas

h√

T( ˆσT2 − σ2)i= 2 σ4Tuy nhiên 2 tính chất cổ điển đó không nhất thiết còn đúng trong trường hợp tổngquát Ta có thể thấy tương quan giữa 2 ước lượng đó khi luật phân bố chân thật có

độ bất đối xứng nào đấy và sự biến thiên của ˆσT2 có thể ở dưới hoặc trên đại lượng2σ4

T Tùy theo giá trị của độ nhọn

Việc nghiên cứu các ước lượng và tính chất của chúng có thể mở rộng trựctiếp cho mô hình hồi qui phức tạp hơn Trong mục này ta xét các quan sát Yt, t =

1, 2, , T với các trung bình có điều kiện :

E(Yt|Yt−1, X ) = mt(θ ) = m (Yt−1, Xt, θ ) (3.1.4)

Và phương sai có điều kiện :

V(Yt|Yt−1, X ) = ht(θ ) = h(Yt−1, Xt, θ ) (3.1.5)Các mô men đó có thể phụ thuộc đồng thời vào các giá trị quá khứ của quá trình vàcác giá trị hiện tại, quá khứ của các đặc trưng nào đấy của biến ngoại sinh X Như

ta sẽ thấy ở dưới đây, các mở rộng của mô hình ARCH được mô tả trong phần III

có thể xem như các vị dụ về loại mô hình đã nói ở trên

Người ta thu được hàm giả hợp lý khi giả thiết phân bố có điều kiện của Yt, khibiết Yt−1, X là phân bố chuẩn Hàm giả hợp lý đó là :

log L = −T

2 log 2π −

12

Phương trình hợp lý :

∂ log L ( ˆθ )

∂ θ = 0được viết dưới dạng hàm của các phần dư rút gọn :

ˆ

ut = Yt− mt( ˆθ )

ht( ˆθ )

1 2

Kỳ vọng của đạo hàm cấp hai của giả Loga hợp lý ký hiệu bởi J được cho bởi :

Hơn nữa với giả thiết phân bố có điều kiện là chuẩn ta có : Kt(θ ) = 3 ; M3t(θ ) =

0, các biểu thức của 2 ma trận I và J trùng nhau

Nhận xét :

Khi véc tơ tham số θ được phân tích dưới dạng :

θ =

αβ

IT = 1T

3.1.4 Mô hình hồi qui với sai số ARCH

Để minh họa các tính chất của ước lượng giả hợp lý cực đại ta hãy xét mô hình

hồi qui với sai số ARCH (p) Các quan sát của mô hình đó là :

mt(θ ) = Xtb

ht(θ ) = c + a1(Yt−1− Xt−1b)2+ · · · + ap(Yt−p− Xt−pb)2

θ = (b0, c , a1, , ap) = (b0, c , a0)Ngay cả trong trường hợp không có sự tách biệt các tham số trong giá trị trung bình

và phương sai có điều kiện, ta có tham số α = b , β = ac
Tham số b có mặt trong

cả 2 biểu thức mt(θ ) và ht(θ ) Điều kiện cấp 1 là :

số với trọng số là 1

2 ˆh2t Vậy với hệ con thứ 2 các điều kiện trực giao tương ứng giữacác biến giải thích 1, ˆεt−12 , , ˆεt−p2 và các biến rút gọn

Như đã chỉ rõ trong mục trước các ước lượng giả hợp lý cực đại của các tham

số có mặt trong biểu thức của giá trị trung bình và phương sai là không tương quantiệm cận trong trường hợp phân bố Gauss, nhưng có tương quan trong các trường

hợp khác Đối với mô hình hồi qui với sai số ARCH, các tham số α = b xuất hiện

đồng thời trong 2 mô men đầu tiên, ta đoán nhận bằng trực giác có sự tương quantiệm cận giữa ˆαT và ˆβT, ngay cả trong trường hợp phân bố Gauss Ta sẽ kiểm tra lạinhận xét trực giác đó, trên thực tế nhận xét đó là không đúng

Ma trận phương sai tiệm cận của ước lượng đó là :

Nếu ε = (εt) chấp nhận biểu diễn ARCH với phân bố Gauss có điều kiện, quá

trình biến đổi ε∗ xác định bởi

εt∗ = εt nếu t = t0 ; εt∗0 = −εt0

Chấp nhận cùng biểu diễn ARCH với phân bố Gauss có điều kiện.

Từ tính chất đối xứng đó ta suy ra trực tiếp rằng kỳ vọng của hàm ε khi thựchiện phản đối xứng trong một thành phần của nó là bằng không.

αT, ˆβT là không tương quan tiệm cận

Biết rằng ước lượng hợp lý cực đại các tham số của mô hình ARCH khó hơn

nhiều so với mô hình tự hồi qui và cần phải sử dụng thuật toán tương thích với cácthuật toán để dự báo ngược hoặc lọc Kalman Nhận xét trên còn đúng khi thay mô

hình ARCH bởi mô hình GARCH.

Ví dụ

Ta xét mô hình GARCH(p,q) với phân bố Gauss có điều kiện :

Yt|Yt−1 ∼ N(0 , ht)Với