Một số tính chất ánh xạ đóng

Nhiều tính chất hay của ánh xạ liên tục này được khái quát lên và từ đó xuất hiện những ánh xạ trên các không gian tôpô đặc biệt rất đáng quan tâm.. Một trong những ánh xạ đó là khái niệ

MỞ ĐẦU

Ánh xạ liên tục trên các không gian tôpô là khái niệm cơ bản của Tôpô đại cương Nhiều tính chất hay của ánh xạ liên tục này được khái quát lên và từ đó xuất hiện những ánh xạ trên các không gian tôpô đặc biệt rất đáng quan tâm Một trong những ánh xạ đó là khái niệm ánh xạ

đóng: “Ánh xạ f : X  Y từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y là ánh xạ đóng nếu mọi tập đóng A  X, ảnh f(A) là tập đóng trong Y” Sau

khi đưa ra khái niệm ánh xạ đóng, khoá luận này trình bày những tính

chất của ánh xạ đóng: “Cho ánh xạ đóng f : X  Y khi đó với những

điều kiện nào của không gian X và không gian Y thì f -1

(Z) (hoặc f -1(y)) có tính chất Linđơlốp, compact với Z là tập con của Y”

Trong khuôn khổ chật hẹp của khoá luận, chúng ta chỉ đề cập đến định nghĩa ánh xạ đóng, các tính chất cơ bản của ánh xạ đóng và mở rộng khái niệm ánh xạ đóng cho khái niệm ánh xạ đóng tại một điểm

Cụ thể, ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo khoá luận được bố cục như sau:

Đ1 Một số khái niệm cơ bản Phần này trình bày khái niệm ánh xạ đóng, một số mệnh đề về sự xác định ánh xạ đóng Khái niệm hữu hạn địa phương, bảo tồn tính đóng, đặc số của một tập để từ đó khai thác một

số tính chất của ánh xạ đóng

Đ2 Các tính chất bất biến qua ánh xạ đóng và nghịch ảnh Phần này trình bày về tính bất biến của ánh xạ đóng và nghịch ảnh như tính chất Linđơlốp, compact đếm được

Đ3 Mở rộng khái niệm ánh xạ đóng Phần này mở rộng khái niệm ánh xạ đóng cho khái niệm ánh xạ đóng tại một điểm

Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS Trần Văn

Ân người hướng dẫn trực tiếp giúp tôi hoàn thành khoá luận Cũng cho

tôi gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình làm khoá luận

Mặc dù đã cố gắng nhiều nhưng do điều kiện thời gian và hạn chế về mặt trình độ khoá luận chắc không tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong các thầy cô giáo và bạn đọc góp ý để khoá luận được hoàn chỉnh hơn

Vinh, tháng 4 năm 2003

Tác giả

Đ1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐÓNG

1.1 Định nghĩa Không gian tôpô là một cặp (X, ) trong đó X là

một tập hợp và  là một họ các tập con của X (  2X ) thoả mãn các điều kiện sau:

Tập hợp X được gọi là không gian, các phần tử của X được gọi là các

điểm của không gian, mỗi phần tử của  gọi là một tập hợp mở trong không gian X Họ  gọi là một tôpô trên tập hợp X

Giả sử ℬ là một họ tập hợp mở của không gian tôpô (X, ) tức là ℬ  ℬ được gọi là một cơ sở của không gian tôpô (X, ) nếu mỗi tập

hợp mở trong X là hợp của một họ nào đó những tập hợp thuộc ℬ

Giả sử x là một điểm của không gian tôpô X Họ ℬ(x) các lân cận của

x được gọi là một cơ sở của lân cận tại điểm x nếu với mỗi lân cận V của x

tồn tại một tập hợp U  ℬ(x) sao cho U  V

1.2 Định nghĩa Ánh xạ f : X  Y được gọi là ánh xạ đóng nếu mọi

tập đóng A  X, ảnh f(A) là tập đóng trong Y

Nhận xét: Tích của hai ánh xạ đóng là ánh xạ đóng

1.3 Mệnh đề Ánh xạ f : X  Y từ không gian tôpô X vào không

gian tôpô Y là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với mọi B  Y và mọi tập

mở A  f -1(B), tồn tại tập mở C  Y chứa B sao cho f -1(C)  A

Y và A mở trong C sao cho A  f -1

 Vì f -1(B)  (X \ A) =  nên B  f(X \ A) =  , vì nếu ngược lại

B  f(X \ A)   thì tồn tại y  B  f(X \ A) nên tồn tại x  X \ A để

Điều kiện đủ: Giả sử f : X  Y thoả mãn điều kiện với mọi tập B  Y

và mọi tập mở A  X chứa f -1(B) tồn tại tập mở C  Y sao cho C  B,

nên tồn tại x  F sao cho f(x) = y  C Lúc đó x  f -1

(C), suy ra

f -1(C)  f(F)   vô lý) Do đó C  Y \ f(F), suy ra C  B

Mà C  B nên B = C mở do đó f(F) đóng Vậy f là ánh xạ đóng

Nhận xét: Ở mệnh đề 1.3 nếu lấy B là tập một điểm thì ta có các kết

quả sau: Nếu f : X  Y là ánh xạ đóng thì với mọi y  Y và mọi tập mở

U  X chứa f -1

(y), tồn tại trong Y một lân cận V của y sao cho f -1(V) 

U

Mệnh đề sau cho chúng ta thấy điều ngược lại cũng đúng

1.4 Mệnh đề Ánh xạ f : X  Y là ánh xạ đóng khi và chỉ khi mọi

y  Y và mọi U mở trong X sao cho U  f -1

(y), tồn tại trong Y một lân

cận V của y sao cho f -1(V)  U

Chứng minh Điều kiện cần được suy từ nhận xét trên

Điều kiện đủ: Giả sử rằng với mọi y  Y và mọi tập mở U  X sao

cho U  f -1

(y) thì tồn tại trong Y một lân cận V y của y (ta có thể xem V y là

lân cận mở) sao cho f -1

(V y)  U

Lấy B  Y và tập mở A  X sao cho A  f -1

(B) Khi đó với mỗi

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử f : X  Y là ánh xạ đóng và

A  X Ta có f(A ) đóng và f( A)  f(A) nên f(A)  f ( A) Mặt khác f

liên tục nên f ( A)  f(A) Do đó f ( A) = f( A ), với mọi A  X

Điều kiện đủ: Giả sử f ( A) = f( A ) với mọi A  X

Khi đó với f liên tục và A = A thì f(A) = f ( A) Do đó f là ánh xạ

đóng

1.6 Mệnh đề Ánh xạ nhúng i M : M  X sao cho x  iM (x) = x từ

không gian con M của không gian tôpô X vào không gian tôpô X là ánh

xạ đóng khi và chỉ khi M là không gian con đóng của X

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử i M là ánh xạ đóng Vì M đóng

trong M nên i M (M) = M đóng trong X do đó M là không gian con đóng của X

Điều kiện đủ: Giả sử M là tập đóng trong X Lấy một tập đóng A bất

kỳ trong M thì tồn tại tập đóng B trong X sao cho

Nên f(x) f(f -1(L)  A) hay y f(f -1(L)  A) với mọi y f(A)  L

Do đó f(A)  L  f(A  f -1(L)) nên f(A  f -1(L)) = f(A)  L

Nếu B là tập đóng trong không gian con f -1

(L) thì tồn tại A đóng trong X sao cho B = A  f -1

Chứng minh Vì tích các T1 - không gian là T1 không gian nên ta chỉ

cần chứng minh cho trường hợp k = 2

Vì giả sử định lý đúng với k = n, ta chứng minh đúng với k = n +1

Vì Y1, Y2, , Y n là T1 - không gian nên

1.10 Định nghĩa Họ A ss  S là các tập con của không gian tôpô X được gọi là hữu hạn địa phương nếu với mọi x  X, tồn tại lân cận U của

x sao cho s  S  As  U   hữu hạn

Họ A ss  S các tập con của không gian tôpô X được gọi là bảo tồn

S s

A

0

S s

A

0

 với mọi S0  S

Nhận xét: Mọi họ hữu hạn địa phương thì bảo tồn tính đóng

1.11 Định nghĩa Giả sử A ss  S là một cái phủ của không gian

tôpô X Họ ánh xạ f ss  S , f s : A s  Y được gọi là tương thích với phủ

A ssS nếu f s là các ánh xạ liên tục và f s (x) = f t (x), với mọi x  A s  At ,

với mọi s, t  S

Cho họ ánh xạ f ss  S , f s : A s  Y tương thích với cái phủ A ss  S

của không gian tôpô X Ta gọi hợp của họ ánh xạ  f ss  S , ký hiệu f =

Chứng minh Giả sử A là một tập con đóng của không gian tôpô X

Khi đó A  A s là tập con đóng trong không gian con A s , với mọi s  S

Do f s , s S là các ánh xạ đóng nên f s (A  As ) là tập đóng trong Y, với mọi s S

Do f s (A s)s  S hữu hạn địa phương nên f s (A  A s)s  S hữu hạn địa phương nhờ tính bảo tồn bao đóng của họ hữu hạn địa phương, A ss  S là

1) Với mọi U  ℬ(A): A  U

2) Với mọi V mở  A, tồn tại U  ℬ(A): A  U  V

Đặc số của tập A trong không gian tôpô X là số nhỏ nhất của tập

ℬ(A) : ℬ(A) là cơ sở của không gian tôpô X tại A  X Số này được ký hiệu (A, X)

Thật vậy, do A  ℬ(B) nên A mở và B  A Do đó ta có f -1

(A) mở

và f -1(B)  f -1(A) với mọi A  ℬ(B)

Bây giờ lấy tập mở bất kỳ U  X sao cho U  f -1

Vậy (f -1(B), X)  (B, Y) với mọi B  Y

1.15 Hệ quả Nếu f : X  Y là phép đồng phôi thì

(A, X) = (f(A), Y) với mọi A  X

(A, X) = (f(A), Y) với mọi A  X

1.16 Định nghĩa Bó của tập A trong không gian tôpô X là bản

số nhỏ nhất m  N0 (N0 là bản số của số tự nhiên) có tính chất: Nếu A

 C   thì tồn tại C0  C sao cho C0  m và A  C 0   Bản số này

được ký hiệu T(A, X)

Với mỗi a  A, ta lấy một phần tử c a  C sao cho f(ca ) = a Đặt

C0 = c a  a  A ta có C0 = A, C0  C và f(C0) = A Hơn nữa ta có

1.18 Hệ quả Nếu f : X  Y là một phép đồng phôi thì

T(A, X) = T(f(A), Y) với mọi A  X

T(f(A), Y) = T((f -1) -1(A), Y)  T(A, X)

Suy ra T(A, X) = T(f(A), Y)

1.19 Mệnh đề Nếu f : X  Y là một ánh xạ đóng từ không gian

khả metric X lên không gian tôpô Y thì với với mọi y  Y mà (y, Y)  N0

thì f -1(y) là tập compact, trong đó f -1(y) là biên của f -1(y)

Chứng minh Giả sử f : X  Y là ánh xạ đóng từ không gian khả

metric X lên không gian tôpô Y và y  Y mà (y, Y)  N0

Lấy A =  x1 , x2,  là một tập con của F = f -1(y) sao cho  A = N0

Vì X(y, Y)  N0, nên tồn tại một cơ sở của Y tại y là  

 1

n n

V Xét metric d trên X

Với n = 1, 2, Chọn x n  f -1

(V n ) \ f -1(y) sao cho d(x n, x n ) <

n

1

Việc chọnx n như vậy là hoàn toàn có thể xác định bởi vì y, f -1

V sao cho y  V n  U

Vì x n  f -1

(V n ) nên f( x n ) Vn Do đó V nf(B)   nên Uf(B) 

 Suy ra y  f (B) nên y  f (B) \ f(B) Do đó ta có f (B) \ f(B)   nên B  B (vì f là ánh xạ đóng nên nếu B = B thì f(B) = f( B) = f (B) suy

ra f (B)\f(B) = )

với mọi n = 1, 2, ) Nên trong A tồn tại

một dãy con hội tụ về một điểm thuộc A

Vậy F compact

Đ2 CÁC TÍNH CHẤT BẤT BIẾN QUA ÁNH XẠ ĐÓNG

VÀ NGHỊCH ẢNH

2.1 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô X được gọi là có tính

chất Linđơlốp nếu mọi phủ mở của A có phủ con đếm được, hay nói cách

khác không gian con A là không gian Linđơlốp

U   là một phủ mở bất kỳ của f -1(Z) Ta sẽ chứng minh tồn tại phủ

con của U   mà nó là phủ con đếm được

Vì U   là một phủ mở của f -1(Z) , nên với mỗi z  Z, U  

cũng là phủ mở của f -1

(z) Vì f -1(z) có tính chất Linđơlốp, nên tồn tại

phủ con đếm được  , , 

2 1

z z

Vì nếu ngược lại z  f(X \ Vz)   thì z  f(X \ V z) Vì thế tồn tại

x  X \ Vz sao cho f(x) = z hay x  f -1

=

i

i z

i

V V

X f Y f

))

\(

Giả sử  

 1

n n

U là một phủ mở đếm được của f -1(Z) Khi đó với mỗi

Z có thể xem là phủ mở đếm được của Z Vì Z compact đếm được nên tồn

tại phủ con hữu hạn W n z ,W n z , ,W n z k

n k

n k

n

V )) 

i z

n k

2.5 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô X gọi là G - tập

nếu nó là giao đếm được các tập mở

Tập con A của không gian tôpô X gọi là F - tập nếu nó là hợp đếm

được các tập đóng

Không gian tôpô X được gọi là hoàn toàn chuẩn tắc nếu X là T4-

không gian và mỗi tập con đóng đều có dạng G- tập

F , F i mở trong X Ta

có

X\ A = X \ 

 1

i i

Ngược lại, giả sử X \ A là F - tập Khi đó X \ A = 

 1

i i

F = 

 1

)

\(

i

i

F

X Do F i đóng nên X\ F i mở

Như vậy A là giao đếm được các tập mở Vậy A là G - mở

Không gian chuẩn tắc X là hoàn toàn chuẩn tắc khi và chỉ khi mỗi tập mở là F - tập, ta suy ra từ nhận xét trên

2.6 Mệnh đề T1 - không gian và T4 - không gian và không gian

hoàn toàn chuẩn tắc bất biến đối với ánh xạ đóng

được suy ra từ tính chất không gian tôpô X là T1 - không gian khi và chỉ khi tập một điểm là tập đóng

b) Giả sử f : X  Y là ánh xạ đóng từ T4- không gian X lên không gian tôpô Y

Theo tính bất biến của T1 - không gian thì ta có Y là T1 - không gian

Ta cần chứng minh Y là T1 - không gian chuẩn tắc Thật vậy, gọi E,

Vì f liên tục nên f -1(E), f -1(F) là các tập đóng và f -1(E)  f -1(F) = 

Do X là T4 - không gian nên tồn tại hai tập mở U, V sao cho

f -1(E)  U, f -1(F)  V; U  V = 

Theo mệnh đề 1.3, tồn tại các tập mở U’  E và V’  F sao cho

U  f -1(U’), V  f -1

(V’)

Vì U  V = , f toàn ánh nên U’  V’ =  Điều đó chứng minh

Y là T4 - không gian

c) Giả sử f : X  Y là ánh xạ đóng từ không gian hoàn toàn chuẩn tắc

X lên không gian tôpô Y Vì X là T4 - không gian nên theo chứng minh

trên Y là T4 - không gian Để kết thúc chứng minh ta cần chứng minh rằng

mọi tập mở trong Y là F - tập

Thật vậy, giả sử U là một tập mở bất kỳ trong Y Vì f liên tục nên

f -1(U) mở trong X

Do X hoàn toàn chuẩn tắc suy ra tồn tại là các tập đóng F n , n = 1,

2, trong X sao cho f -1(U) =

Từ giả thiết f là ánh xạ đóng, F n đóng trong X, n = 1, 2, ta suy ra

f(F n ) đóng trong Y, n = 1, 2, Vậy U là F - tập trong Y

Vậy Y hoàn toàn chuẩn tắc

2.7 Mệnh đề Tính paracompact bất biến qua ánh xạ đóng

Chứng minh Giả sử f : X  Y là ánh xạ đóng từ không gian

paracompact X lên không gian tôpô Y

Vì X paracompact nên X chuẩn tắc Theo chứng minh Mệnh đề 2.5 ta suy ra Y chuẩn tắc

Ta sẽ chứng minh với mỗi phủ mở bất kỳ U ss  S của Y có một mịn

 - rời rạc, mở

Định lý Zermelo cho phép sắp thứ tự tốt tập S bởi quan hệ <

Xây dựng bằng quy nạp theo n = 1, 2, phủ đóng hữu hạn địa

phương F n = F s, ns  S thoả mãn 2 điều kiện sau

Do f -1(U s)s  S là phủ mở của X - paracompact nên tồn tại một cái

mịn hữu hạn địa phương đóng ℱ'

1 = F t, 1t  S

Đặt F s, 1 = F t,1 , t  S : F t,1  f -1

(U s) , s  S

Vì ℱ'

1hữu hạn địa phương đóng nên F s,1 đóng, với mọi s S và

ℱ1 = F s,1sS là cái mịn hữu hạn địa phương đóng của f -1(U s)s  S thoả

Vì x  W s(x), k với mọi x  X nên  W s,ks  S là một phủ mở của X Lý

luận tương tự như khi xây dựng ℱ1 suy ra tồn tại phủ đóng hữu hạn địa

phương ℱk = F s,ksS của X sao cho F s,k  Ws,k , với mọi s  S

Từ (3) suy ra F s,k  f -1

(U s ) , với mọi s  S và f(W s,k)  f(Es,k -1) = 

Vì thế F s,k  f -1

(U s ) với mọi s  S và f(F s,k)  f(Es, k -1) =  Do đó

ℱk thoả mãn (1), (2) với n = k

Từ đó suy ra tồn tại các phủ ℱ1, ℱ2, của X thoả mãn (1), (2)

Với mỗi Xét s  S, n = 1, 2, ta ký hiệu V s,n = Y \ f(

V

, 1 , là một cái phủ của Y Thật vậy, với y  Y, ký hiệu s(y) là phần tử nhỏ nhất trong S sao cho y  f(Fs(y), n) với một số

nguyên dương n nào đó Lấy một số nguyên n(y) sao cho y  f(F s(y), n(y) -1)

suy ra y  (E s,n(y)-1 ), với mọi s > s(y)

Nhờ điều kiện (2) suy ra y  f(Fs, n(y) ) với mọi n > s(y) Vì s(y) là phần tử nhỏ nhất trong S để tồn tại n sao cho y  f(F s(y),n ) nên y  f(F s, n(y) với mọi s < s(y)

Do đó y  V s(y), n(y) nên U là một cái phủ của Y

Do ℱn , n = 1, 2, là các phủ đóng, hữu hạn địa phương, f là ánh xạ đóng nên V s,n mở Lại vì V s, n  f(Fs, n)  f(f -1

(U s )) = U s với mọi s  S, với mọi n = 1, 2, nên U là cái mịn mở của U ss  S

)(V n n f

là một cái phủ mở của X Do X là không gian - paracompact, nên tồn tại

cái mịn đóng  

 1

n n

K n  f -1

(V n ), n = 1, 2, Khi đó ta có f(K n)  Vn với mọi n = 1, 2,

Do f là ánh xạ đóng, K n đóng trong X nên f(K n ) đóng trong Y

Vì V n mở, V n  f(Kn ) và Y chuẩn tắc, nên tồn tại tập mở W n Y sao cho

K là cái mịn của  





1 1

)(V n n

Vậy Y là không gian paracompact

Đ3 MỞ RỘNG KHÁI NIỆM ÁNH XẠ ĐÓNG

3.1 Định nghĩa Ánh xạ liên tục f : X  Y được gọi là ánh xạ

(y) thì tồn tại một lân cận V của y sao cho f -1(V)  U

Tập hợp tất cả những điểm y  Y mà tại đó ánh xạ f : X  Y là đóng được ký hiệu là C(f)

y  C(f ) nên mọi tập mở U trong X, U  f -1

(y) tồn tại lân cận V của

y

trong Y sao cho U  f -1(V) suy ra (U f -1(B))  f -1(V B) =  1

B

f (V B)