Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng

Nhiệm vụ của vật lí thống kê lượng tử là nghiên cứu các tính chất của hệ nhiều hạt vi mô tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử.. Nhiệt động lực học cũng nghiên cứu các quy luật chuy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

=== ===

TRẦN HỮU TUẤN BÌNH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỪ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí Toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

Người hướng dẫn khoa học : PGS TS Lưu Thị Kim Thanh

HÀ NỘI - 2017

Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành đề tài này

Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ động viên của bạn bè trong suốt quá trình làm đề tài

Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Học viên

Trần Hữu Tuấn Bình

LỜI CAM ĐOAN

Đề tài “Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng” này được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn của PGS TS.Lưu Thị Kim Thanh

Đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi, không trùng với bất kì đề tài nào khác Tất cả các dữ liệu tôi đưa ra là hoàn toàn trung thực

Tôi xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Học viên

Trần Hữu Tuấn Bình

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 4

1.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa 4

1.2 Tổng trạng thái của hệ dao động tử điều hòa 14

1.3 Trạng thái kết hợp của dao động tử điều hòa 17

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG 25

2.1.Phổ năng lượng dao động tử điều hòa biến dạng q 25

2.2 Tổng trạng thái của hệ dao động tử điều hòa biến dạng 28

2.3 Trạng thái kết hợp của dao động tử điều hòa biến dạng 30

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG 39

3.1 Nhiệt dung của hệ dao động tử điều hòa 39

3.2 Nhiệt dung của hệ dao động tử điều hòa biến dạng 41

3.3 Ứng dụng của dao động tử biến dạng q vào hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein 42

KẾT LUẬN CHUNG 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Vật lí thống kê là ngành vật lí nghiên cứu hệ nhiều hạt Tùy thuộc vào loại mô hình vật chất mà người ta thường tách vật lí thống kê làm hai phần: Vật lí thống kê cổ điển và vật lí thống kê lượng tử Vật lí thống kê lượng tử tổng quát và chặt chẽ hơn vật lí thống kê cổ điển vì các kết quả của vật lí thống kê lượng tử đã bao gồm các kết quả của vật lí thống kê cổ điển như là trường hợp riêng Nhiệm vụ của vật lí thống kê lượng tử là nghiên cứu các tính chất của hệ nhiều hạt vi mô tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử Vật chất tồn tại dưới hai dạng là chất và trường; các chất bao gồm một số rất lớn các nguyên tử, phân tử Lượng tử của các trường là các hạt cơ bản, chẳng hạn lượng tử của trường điện từ là các photon,…Từ đó có thể thấy đối tượng nghiên cứu của vật lí thống kê là rất rộng

Nhiệt động lực học cũng nghiên cứu các quy luật chuyển động nhiệt trong hệ nhiều hạt, nhiệt động lực học khảo sát các hiện tượng theo quan điểm

về sự biến đổi năng lượng trong các hiện tượng đó Cơ sở của nhiệt động học

là những định luật tự nhiên tổng quát mà người ta gọi là các nguyên lí của nhiệt động lực học Các nguyên lí này là sự tổng quát hóa kinh nghiệm lâu đời của nhân loại và đã được thực nghiệm xác nhận

Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ với các tính chất và các định luật chuyển động của các hạt vi mô tạo nên hệ Vật lí thống kê xuất phát từ các tính chất và cấu trúc vi mô của các hạt tạo nên

hệ để rút ra những tính chất của hệ nhiều hạt bằng phương pháp xác suất thống kê Tại sao lại phải dùng phương pháp xác suất thống kê mà không thể dùng phương pháp giải các phương trình Lagrange hoặc các phương trình chính tắc Hamilton trong bài toán cổ điển, phương trình Schrodinger đối với

hệ nhiều hạt lượng tử Câu trả lời là bởi vì trong các hệ nhiều hạt tồn tại một quy luật khách quan là hệ quả của tính chất số đông đó là quy luật tính thống

kê, cụ thể là tính chất của hệ nhiều hạt ở thời điểm đang xét thực tế là hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu tức là vào các điều kiện ban đầu Mặc dù tính chất của một hạt riêng lẻ tuân theo định luật động lực học của cơ học Rõ ràng là tính chất thống kê mất hết mọi nội dung khi ta xét một hạt riêng lẻ hay một số ít hạt và chỉ trong các hệ nhiều hạt mới có biểu hiện của quy luật tính thống kê [1,2,3]

Trong vật lí thống kê lượng tử tổng trạng thái ( hay tích phân trạng thái trong thống kê cổ điển) đóng một vai trò đặc biệt quan trọng, bởi vì nhờ nó ta

có thể tìm được một loạt các đại lượng đặc trưng cho một hệ vật lí bất kì Tổng trạng thái phản ánh trạng thái nội tại của hệ, bởi vì phép lấy tổng (phép tích phân trạng thái) được thực hiện theo tất cả các trạng thái vi mô của hệ Nói một cách khác tổng trạng thái là hàm trạng thái phụ thuộc vào các thông

số ngoại và nhiệt độ của hệ Việc tính được tổng trạng thái của hệ cho phép ta đoán nhận được các thông số nhiệt động của hệ nhiều hạt như nhiệt độ, entrôpi, năng lượng tự do….[4,5,6]

Sau quá trình học tập tại lớp cao học chuyên ngành Vật lí Lí thuyết và Vật lí Toán, K37 Trường ĐHSP Hà nội 2, tôi đã thấy được vai trò quan trọng của tổng trạng thái trong vật lí Với mong muốn có thể tiếp cận với vật lí học

hiện đại, em đã chọn đề tài “Một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng” để làm luận văn thạc sĩ dưới sự hướng dẫn khoa học của cô giáo, PGS TS Lưu Thị Kim Thanh

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày một số tính chất của dao động tử điều hòa tuyến tính

- Nghiên cứu một số tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng

- Nêu ra một số ứng dụng của dao động tử điều hòa biến dạng

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng

5 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng các phương pháp vật lí lý thuyết:

- Phương pháp vật lí thống kê,

- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử,

- Phương pháp nhóm lượng tử và các phương pháp giải tích khác

6 Dự kiến đóng góp mới

- Các tính chất của dao động tử điều hòa biến dạng và các ứng dụng của dao động tử điều hòa biến dạng

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

1.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa

khi đó ta có thể biểu diễn ˆH theo a aˆ ˆ, như sau:

Sử dụng hệ thức (1.6) ta thu được hàm Hamiltonian có dạng

toán tìm các vectơ giá trị riêng và trị riêng Hamiltonian (1.7), trong đó các

toán tử thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.6)

Để làm điều đó ta định nghĩa toán tử giao hoán như sau:

Ký hiệu n là vecto riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n, khi đó ta có

phương trình trị riêng của toán tử Nˆ

 2

ˆ ˆ ˆ n 0

n a a n   a  r dr 

Vậy ta có kết luận sau :

- Các trị riêng của tóan tử Nˆ là các số không âm

Bây giờ ta xét vectơ trạng thái â n ta thu được bằng cách tác dụng các

toán tử â lên trạng thái n Tác dụng lên vectơ trạng thái này toán tử Nˆ

- Nếu n là vectơ trạng thái riêng của Nˆ ứng với trị riêng n thì

N thì chuỗi các số không âm n-1, n-2 , n-3,…cũng là trị riêng của toán tử Nˆ vì

chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin thỏa mãn

hệ thức

a nˆ min 0 (1.15)

Vì nếu ˆa nmin ≠ 0 thì đó là vectơ trị riêng ứng với (nmin – 1), trái với

giả thiết là nmin là trị riêng nhỏ nhất Từ (1.15) ta có:

aˆ a nˆ min  nmin (1.16)

Mặt khác theo định nghĩa nmin

N nˆ min nmin nmin (1.17)

So sánh 2 phương trình (1.16) và (1.17) ta đi tới kết luận như sau :

- Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là n

min có giá trị bằng 0

Vectơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất Nˆ được ký hiệu là 0 gọi là

trạng thái chân không, vectơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện :

Khi đó:

+ ˆ 0a 0tỉ lệ với vectơ trị riêng 1 của Nˆ ứng với trị riêng bằng 1

Thật vậy ta có: Nˆ 1 11  (*)

Mà : ˆ 0a là một vectơ trị riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng 0

+ 1= 1, tức là Naˆ ˆ 0 1aˆ 0 (**)

Từ (*) và (**) ta thấy :

1 là vectơ trị riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng là 1

ˆ 1 0a là vectơ trị riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng là 1

Vì vậy, ˆ 0a phải tỉ lệ với vectơ riêng 1 của toán tử Nˆ ứng với trị

Vậy ta có kết luận sau:

- Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính được biểu diễn bằng công thức :

12

n

E n  

  (1.18)

Từ biểu thức (1.18) , ta nhận thấy rằng phổ năng lượng của dao động

tử điều hòa tuyến tính có đặc điểm như đã khảo sát ở phần trên, các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái liền kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng  

Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là 0 1

2

E   ≠ 0, trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng E0 +  có thể xem như kết quả của việc thêm một

lượng tử năng lượng vào trạng thái 0 Trạng thái tiếp theo 1 ứng với năng lượng E0 +  có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng

lượng vào trạng thái 0 Tiếp theo n ứng với năng lượng E1 + = E0 +2 

cũng có thể xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng vào trạng thái 1 cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng vào trạng thái

0 Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0, thì có thể coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy 0 được gọi là trạng thái chân không,

1 là trạng thái chưá 1 lượng tử, 2 là trạng thái chứa hai lượng tử, n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử Nˆ có các giá trị nguyên không âm , cách

nhau 1 đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng Toán tử â khi tác dụng lên n cho 1 trạng thái tỉ lệ với (n-1) dó đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử â + khi tác dụng lên n cho 1 trạng thái tỉ lệ

với (n+1) dó đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta

tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử Nˆ sẽ là toán tử số

hạt, â sẽ là toán tử hủy hạt, â + sẽ là toán tử sinh hạt Khi đó toán tử n ứng với

năng lượng E n n  sẽ là toán tử chứa n hạt Đó là biểu diễn số hạt của dao

động tử điều hòa

Trong cơ học lượng tử, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa

có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  Khái niệm hạt ở đây thực chất chỉ là các giả hạt còn gọi là các “chuẩn hạt”

Như đã lập luận ở trên khi trạng thái â tác dụng lên n cho một trạng

thái tỉ lệ với n1 và trạng thái â+ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ

Vì m= n nên 𝛿m,n = 1

=> n n N nˆ = n a a nˆ ˆ

2 2

2 2

2 3

( ) 1 ( ) 2 ( ) 2(2 1) ( ) 4 2 3

Ta có một số dạng của hàm sóng dao động điều hòa:

1.2 Tổng trạng thái của hệ dao động tử điều hòa

Đối với một dao động tử

Ta hãy tìm tổng thống kê ( tổng trạng thái ) đối với một dao động tử , với đặc tính bậc suy biến g=1 Tổng trạng thái của một dao động tử

exp exp

n

n kT kT

kT

E

(1.21)

Chú ý rằng, vế phải của đẳng thức (1.21) có chứa một cấp số nhân lùi vô

hạn với công bội

exp và số hạng đầu tiên là a=1, Áp dụng công

thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn

q

a S

1

2 exp

kT

kT Z

2 exp







 (1.22)

Đối với hệ N dao động tử

Nếu ta có một hệ gồm N dao động tử tuyến tính độc lập dao động với cùng một tần số  thì năng lượng trung bình và nhiệt dung cuả hệ đó sẽ lớn hơn

N lần năng lượng trung bình và nhiệt dung ứng với một dao động tử

Biết tổng trạng thái đối với một hệ dao động tử, ta có thể tìm được các hàm nhiệt động trung bình của một hệ N dao động tử không tương tác, Năng lượng trung bình của hệ gồm N dao động tử là nội năng U N E của hệ đó

 N

he Z

Z  (1.23) Trong đó:

1exp

2exp

Dựa vào phân bố Bose – Einstein ta cũng có thể tìm được tổng trạng thái

của dao động điều hòa cụ thể như sau:

Số hạt trong hệ là thay đổi nên chúng ta phải xuất phát từ phân bố chính tắc lớn lượng tử :

   N E k  g E k

N n

n

!

1 ,

, 1

0      (1.24) Với Ω là nhiệt thế động lớn, µ là thế hóa học Ký hiệu :

   

! ,

, 1

0

N

E g n

n

G k  k (1.25) Vậy :

    .  , , 

n exp

,

,

1 1

  

0 1

,

,nW

 , , 

n exp

1 1 1

0 1

n n G

1.3 Trạng thái kết hợp của dao động tử điều hòa

Trạng thái kết hợp đóng vai trò quan trọng trong vật lý và đặc biệt là trong vật lý lượng tử Chúng tôi sẽ đi nghiên cứu một cách tổng quát nhất về trạng thái kết hợp của dao động tử điều hòa về định nghĩa, các tính chất của

nó

1.3.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1

Một trạng thái kết hợp a còn được gọi là trạng thái Glauber, được xác

định như là trạng thái riêng của toán tử biên độ và toán tử hủy a, với giá trị riêng

,            

a a a

a B

a

a (1.32) Khi kết quả là một số thực, nó giao hoán A và B, ta có thể đưa ngay kết quả của phương trình (1.32) vào để có được toán tử chuyển vị dưới đây

  a a

e e e

D  2 2  

1 2

(1.33) Các tính chất của toán tử chuyển vị:

         



D D

D (1.37) Chúng ta sẽ chứng minh hai trong bốn tính chất trên

A   và Các giao hoán tử bậc cao biến mất, khi giao hoán tử của A

và B là một số phức, chúng giao hoán với toán tử khác

Chứng minh (1.37)

    a  a a  a  a  a a  a  ae  a   a  a

e e

e D

D

Với Aa a và Ba a là thích hợp bởi vì với điều kiện

là các giao hoán tử bậc cao biến mất khi thảo mãn  A, B ℂ Kết quả của giao hoán tử cuối cùng ở trên cũng có thể được thấy một cách dễ dàng bằng cách

để ý rằng toán tử sinh và toán sử hủy giao hoán với chính mình nhưng không giao hoán với nhau, cho giá trị 1

1.3.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp

- Tính chất 1: Trạng thái kết hợp có thể được chuẩn hóa nghĩa là:

  1 (1.40)

Từ biểu thức (1.40), ta thu được hệ số chuẩn hóa C0 của trạng thái kết hợp  :

1exp

n

n

n n

Từ (1.45) và (1.44), ta thấy số hạt trung bình và phương sai của toán tử

số hạt trong trạng thái kết hợp bằng nhau, nghĩa là:

 2

n

n   (1.46)

Từ (1.46) chứng tỏ rằng trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poison

Ta xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái kết hợp 

P n  n| |n

n m m m

n m

2 2

2 2

n n

 là hàm phân bố Poisson Vì vậy trạng

thái kết hợp là trạng thái cổ điển

Vì vậy, các trạng thái kết hợp là không độc lập tuyến tính:

1

e d

m n

e d m n m n

rdre e

n n n

!

11

2  

x p với   1 (1.54) Đây chính là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp  , nó gợi cho ta nghĩ đến khả năng tồn tại của các trạng thái có độ bất định nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn Những trạng thái kết hợp này không thể là trạng thái

cổ điển Vì vậy, có thể xem chúng là một lớp các trạng thái phi cổ điển

Lưu ý: Chân không 0 là một trạng thái kết hợp với   0

- Năng lượng trung bình: