Tôpô yếu và một số tính chất của ánh xạ đóng

Kết quả đ-ợc quan tâm hơn khi nghiên cứu bài toán này là “ Nếu Y, B là không gian đủ và A là một họ các tập con của không gan tôpô X thì họ tất cả các ánh xạ từ X vào Y liên tục trên cá

Bộ giáo dục và đào tạo

Tr-ờng đại học vinh

gọi là tôpô của sự hội tụ compact Kết quả đ-ợc quan tâm hơn khi nghiên cứu

bài toán này là “ Nếu (Y, B) là không gian đủ và A là một họ các tập con của

không gan tôpô X thì họ tất cả các ánh xạ từ X vào Y liên tục trên các phần tử

của A lập thành U A không gian đủ” Do đó điều kiện đủ để tập hợp các ánh xạ liên tục từ X vào Y là đủ trên cái đều U A là họ A thoả mãn điều kiện

hàm liên tục trên các phần tử của A thì nó liên tục trên X, nghĩa là nếu f là

hàm bất kỳ ánh xạ từ X vào Y và B là tập con tuỳ ý của Y, khi đó điều kiện phát biểu trên đ-ợc thoả mãn nếu  1

f (B)  A là đóng trong A với mỗi A  A

thì  1

f (B) là tập đóng trong X Đặc biệt không gian tất cả các hàm liên tục từ

X vào Y là đủ với cái đều của sự hội tụ đều trên các tập compact nếu A là tập

đóng trong X khi và chỉ khi A  B là tập đóng trong B với mọi B là tập đóng compact trong X Rõ ràng việc nghiên cứu sự hội đều trên không gian hàm sẽ thuận lợi nếu trên X có nhiều họ tập con có tính chất t-ơng tự nh- tính chất của các tập compact Điều này dẫn đến sự cấn thiết phải nghiên cứu khái quát các loại không gian này và khái niệm tôpô yếu (weak topology) xuất hiện

“Cho C là một phủ của không gian tôpô X Khi đó không gian X ủửụùc goùi laứ

coự toõpoõ yeỏu tửụng thớch vụựi phuỷ C neỏu A laứ taọp ủoựng trong X khi vaứ chổ khi AC ủoựng trong C vụựi moói C  C ’ Theo hướng nghiên cứu này đã có rất nhiều nhà toán học quan tâm nh- E.A Michael, Chuan liu, Shou Lin v.v

Đặc biệt là các công trình nghiên cứu của Yohio Tanaka Gần đây (1999) ông

có đ-a ra một số câu hỏi khi nghiên cứu về các tính chất của ánh xạ đóng theo quan điểm tôpô yếu (xem [11]) Mục đích của luận văn là nhằm trình bày lại một cách có hệ thống một số loại không gian với tôpô yếu, và các khái niệm

chi tiết và đ-a ra thêm một số đặc tr-ng của các loại không gian này Thêm nữa tác giả cũng đ-a ra một số kết quả b-ớc đầu khi nghiên cứu các tính chất

của ánh xạ đóng nhằm trả lời câu hỏi “ Cho ánh xạ đóng f:X Y Khi đó với

những điều kiện nào của không gian X và Y thì  1

f (y) ( hoặc B  1

f (y)) có những tính chất tốt nh- compact, compact đếm đ-ợc, Linđơlốp v.v với mỗi y

 Y?”

Luận văn có nội dung chính nh- sau:

Ch-ơng1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Ch-ơng này nhằm trình bày khái niệm không gian tôpô yếu và một số khái niệm cần thiết cho sự nghiên cứu các ch-ơng tiếp theo nh- khái niệm ánh xạ hoàn hảo, tựa hoàn hảo, ánh xạ th-ơng, ánh xạ song th-ơng, ánh xạ giả mở và một số họ các tập con của không gian nh- phủ điểm đếm đ-ợc, phủ HCP v.v

Ch-ơng2 Một số loại không gian với tôpô yếu và các đặc tr-ng

của chúng

Ch-ơng này trình bày một số loại không gian tôpô yếu nh- M - không gian, paracompact M-không gian, không gian dãy (sequential space), k-không gian (k-space), tựa -k-không gian (quasi- k- space), song-k-không gian (bi- k-space), song- tựa -k-không gian (bi- quasi- k- space) và song- tựa -k-không gian đơn ( singly bi- quasi- k- space)

Tl và chính quy Trong luận văn có sử dụng một số kết quả về bản số và số thứ

tự đ-ợc trình bầy trong [2]

Những kết quả của luận văn chủ yếu đ-ợc tổng kết và phát triển từ các bài báo (xem tài liệu tham khảo) tác giả cố gắng chứng minh chi tiết các kết quả này Trong ch-ơng 3 hy vọng trong t-ơng lai tác giả sẽ nghiên cứu đ-ợc các kết quả mạnh hơn

Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS Trần Văn Ân, ng-ời h-ớng dẫn trực tiếp giúp tôi hoàn thành luận văn Cũng cho tôi gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Khoa Toán Tr-ờng Đại Học Vinh đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và cảm ơn tất cả bạn bè đã giúp

đỡ tôi trong việc tìm kiếm tài liệu tham khảo và trong công tác in ấn

Do điều kiện thời gian và hạn chế về mặt trình độ, luận văn chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong các thầy cô và quý bạn đọc

đóng góp ý kiến để luận văn đ-ợc hoàn chỉnh hơn

Vinh, tháng11 năm 2002

Tác giả

Ch-ơng 1 Một số định nghĩa và tính chất cơ bản

1.1 Định nghĩa không gian với tôpô yếu

1.1.1 Định nghĩa.([1]) Cho C là một phủ của không gian tôpô X Khi

đó X ủửụùc goùi laứ coự toõpoõ yeỏu tửụng thớch vụựi phuỷ C neỏu A  X laứ taọp

ủoựng trong X khi vaứ chổ khi A C ủoựng trong C vụựi moói C C

Neỏu X coự toõpoõ yeỏu tửụng thớch vụựi phuỷ C ta coứn noựi X ủửụùc xaực ủũnh bởi C hay C xaực ủũnh X

1.1.2 Nhận xét (a) X có tôpô yếu t-ơng thích với cái phủ C nếu tập

A  X là mở trong X khi và chỉ khi A  C mở trong C với mỗi C  C

Thật vậy, giaỷ sửỷ X coự toõpoõ yeỏu theo nghúa 1.1.1 vaứ A laứ taọp con cuỷa X sao cho A  C laứ taọp mở trong C Khi đó ta có (X \ A) C = C \ (A C) là tập đóng trong C với mỗi C  C Do đó X \ A là tập đóng trong X Vì vậy, A

mở trong X

Ng-ợc lại, nếu A laứ taọp con cuỷa X sao cho A  C laứ taọp đóng trong C Khi đó ta có (X\ A) C = C \ (A C) là tập mở trong C với mỗi C  C Do

đó X\ A là tập mở trong X Vì vậy, A đóng trong X.

b) Điều kiện cần trong định nghĩa 1.1.1 và nhận xét 1.1.2 là hiển nhiên

Do đó không gian X đ-ợc xác định bởi phủ C nếu UC là tập đóng (mở)

trong C với mỗi C  C thì U là tập đóng (t-ơng ứng, mở) trong X

1.1.3 Ví dụ Khoõng gian compact ủũa phửụng, khoõng gian thoỷa

maừn tieõn ủeà ủeỏm ủửụùc thửự nhaỏt ủửụùc xaực ủũnh bụỷi phuỷ goàm caực taọp con compact

Chửựng minh (i ) Giaỷ sửỷ X laứ laứ khoõng gian toõpoõ compact ủũa phửụng Ký hiệu C ={C:   } laứ phuỷ goàm taỏt caỷ caực taọp con compact cuỷa X Ta chửựng minh phuỷ C xaực ủũnh X Thật vậy, giả sử U  X sao cho

U  C đóng trong C với mọi C  C, nh-ng U khoõng ủoựng trong X Khi đó toàn taùi ủieồm tụ x cuỷa U nhửng xU Do X compact ủũa phửụng neõn toàn taùi laõn caọn compact C  C cuỷa X với V = C (U \ {x}) Khi đó với moùi

W laứ laõn caọn cuỷa x ta có W C laứ laõn caọn cuỷa x, vì x là điểm tụ cuỷa U ta

coự

W (V \ {x}) = W  (C  (U \{x}) ) = (W  C )  (U \ {x})

Do ủoự x laứ ủieồm tụ cuỷa V = U  C nh-ng x V Vì vậy U  C laứ taọp khoõng ủoựng trong C  C

(ii) T-ơng tự ta chứng minh đ-ợc nếu X là không gian thoả mãn tiên đề

đếm đ-ợc thứ nhất thì X đ-ợc xác định bởi phủ gồm các tập con compact

1.1.4 Định nghĩa.([3]) Cho X laứ khoõng gian toõpoõ, C ={C:   } laứ phuỷ goàm caực taọp con ủoựng cuỷa X Khoõng gian X ủửụùc gọi là laứm troọi bụỷi C hay C laứm troọi X neỏu moùi hoù con C ’ = {C:   ’  } của C ta

ủeàu coự X ’=

'



 

C laứ taọp ủoựng trong X vaứ X ’ ủửụùc xaực ủũnh bụỷi phuỷ C ’

1.1.5 Mệnh đề (a) Neỏu X laứ khoõng gian toõpoõ thỡ moùi phuỷ mụỷ cuỷa khoõng gian ủeàu xác ủũnh X

(b) Neỏu C laứ moọt phuỷ laứm troọi X thỡ C xaực ủũnh X ẹieàu ngửụùc laùi khoõng ủuựng

( c) Neỏu C laứ moọt phuỷ taờng, goàm ủeỏm ủửụùc caực taọp con đóng cuỷa X thỡ C xaực ủũnh X khi vaứ chổ khi C laứm troọi X

Chửựng minh (a) Giaỷ sửỷ X laứ khoõng gian toõpoõ vụựi B ={B:   } laứ moọt phuỷ mụỷ tuứy yự cuỷa X và U laứ taọp con baỏt kyứ cuỷa X Nếu

U=UB mụỷ trong B vụựi moói   , vì Blaứ taọp mụỷ trong X nên Umụỷ trong X Khi đó U = U laứ taọp mụỷ trong X

(b) Giaỷ sửỷ B ={ C:   } laứ moọt phuỷ laứm troọi X Theo định nghĩa

thì X={C : } đ-ợc xác định bởi phủ B

ẹieàu ngửụùc lại khoõng ủuựng tửực laứ toàn taùi khoõng gian đ-ợc xaực ủũnh

bụỷi phuỷ C nhửng khoõng ủửụùc laứm troọi bụỷi C Thaọt vaọy, đaởt S= n  

x U ẹaởt C=I   C thỡ C laứ laõn caọn cuỷa x và C  (U\ {x})   Với

moùi taọp mụỷ W laứ laõn caọn cuỷa x ta có,

W (C  U) \ {x}=(W  C)  U \ {x}   neõn x laứ ủieồm tụ cuỷa V =C  U  C nhửng x V, do ủoự U  C khoõng ủoựng trong X Vì vậy C laứ moọt phuỷ xaực ủũnh X

(c)Theo (b) ta coự ủieàu kieọn đủ Ta chửựng minh ủieàu kieọn cần Giaỷ

sửỷ C = { C n :n  IN } laứ moọt phuỷ tăng, xác định X, và C ’={C i : i I  IN}

Ký hiệu X ’ = 

I i

Nếu I vô hạn thì với bất kỳ n IN tồn tại n0  I sao cho Cn0 Cn do đó

X  X’ Từ giả thiết I  IN suy ra X’  X Vì vậy X= X’ hay X’ đóng trong

X đồng thời C ’ xác định X’ Vậy C làm trội X

1.1.6 Mệnh đề Cho aựnh xaù lieõn tuùc f:X Y Giaỷ sửỷ C={ C:   } laứ

phuỷ xaực ủũnh X và ánh xaù f C  : C  f(C) laứ aựnh xaù thu hẹp cuỷa f leõn C

Khi ủoự aựnh xaù f lieõn tuùc khi vaứ chổ khi f C lieõn tuùc treõn C vụựi moói 

Chửựng minh ẹieàu kieọn caàn laứ hieồn nhieõn.Ta chổ caàn chửựng minh

ủieàu kieọn ủuỷ

Giả sử V là tập mở bất kỳ trong Y xét tập U=V f(C) Khi ủoự U mở

f -1 (V ) C laứ mụỷ trong C vụựi moói    Vì X ủửụùc xaực ủũnh bụỷi

C={ C:   } neõn f -1 (V ) laứ taọp mụỷ trong X Bởi vậy f laứ aựnh xaù lieõn

tuùc

1.1.7 Định lý (a) Cho X ,Y laứ caực khoõng gian toõpoõ vụựi X chớnh quy

vaứ aựnh xaù ủoựng f:X Y Khi ủoự C ={  1

f ( C):   } laứ moọt phuỷ xaực ủũnh

X khi vaứ chổ khi C ’={C:   } laứ moọt phuỷ xaực ủũnh Y

(b) Neỏu C={ C:   } laứ moọt phuỷ xaực ủũnh X vaứ C C’ vụựi moói

  thỡ C ’ ={ C’:   } cuừng laứ moọt phuỷ xaực ủũnh X

Chứng minh.(a) Cần Gia ỷsửỷ C={  1

f ( C):   } laứ moọt phuỷ xaực

ủũnh X Do f laứ aựnh xaù leõn neõn hoù C ’ ={f (  1

f ( C))= C :  } laứ moọt

phuỷ xaực ủũnh Y Mặt khác vụựi U laứ taọp con baỏt kyứ cuỷa Y thoaỷ maừn U

C ủoựng trong C vụựi moói C  C ta coự

 1

f C(U C) =  1

f  C (U)   1

f  C (C)) = f -1 C(U ) C =  1

f U )  CTheo (1.1.6) thì f Claứ aựnh xaù lieõn tuùc treõn C neõn suy ra  1

f (U )  Claứ taọp ủoựng trong C Do C ={  1

f ( C):   } laứ moọt phuỷ xaực ủũnh X neõn suy ra f -1 (U) laứ taọp ủoựng trong X Do ủoự U = f (  1

f ( U)) laứ taọp ủoựng trong Y (vỡ f laứ aựnh xaù ủoựng) hay C ’={C:   } laứ moọt phuỷ xaực ủũnh

Y

Đủ Giaỷ sửỷ C ’={ C:  } laứ moọt phuỷ xaực ủũnh Y và U laứ taọp

con baỏt kyứ cuỷa X thoaỷ maừn U   1

f (C) laứ taọp ủoựng trong  1

f (C) vụựi

moói   Giaỷ sửỷ ng-ợc lại U là tập không đóng trong X khi đó toàn taùi

ủieồm tụ x 0 X cuỷa U nhửng x 0  U tửực laứ x  U \ U vaứ C0 C thoaỷ maừn f(x 0 )  C0 Do U  1

f (C0) và  1

f f(x 0 ) là tập đóng trong  1

f (C0) nên

 (x )) ( U   (C )= U  f(  (x ))

vụựi moùi laõn caọn W cuỷa x 0 thỡ W  V laứ laõn caọn cuỷa x 0 và do x 0 U nên

(W V ) U=W ( V  U)=WE 

Vì thế x 0  E Từ đó suy ra f (x 0 )  f( E ) f (E) Từ các lập luận trên suy ra

tập f(E) không đóng trong Y Mặt khác ta lại có f[E  f -1 (C)]  f(E) C với

mọi C C ' Hơn nữa với mỗi y  f(E) C thì y  f(E) và y  C nên tồn tại

x  E để f(x) =y  C nghĩa là x  E và x  f -1 (C) hay x  E f -1 (C) Điều

này kéo theo y=f(x)  f[E  f -1 (C)] Vì vậy f(E)C  f[E  f -1 (C)] Từ

các khẳng định trên suy ra f(E) C =f[E  f -1 (C)] với mọi   ’ Từ giả

thiết C ’ là phủ xác định Y suy ra f(E) là tập đóng trong Y Mâu thuẫn này kết

thúc chứng minh phần (a) định lý

(b) Nếu U là tập con của X thoả mãn U  C' là tập đóng trong C'với

mỗi  , thì C là không gian con của C'nên(U  C')  C là tập đóng

trong C với mỗi 

Nh-ng từ đẳng thức

(U  C')  C=U  C'  C=U  C

ta suy ra U  C là tập đóng trong C với mỗi C Do C là phủ xác định X nên U là tập đóng trong X do đó C ' là phủ xác định X.

1.1.8 Định nghĩa.([2]) Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian

Linđơlốp nếu X là không gian chính quy và mọi phủ mở của X đều có phủ con

đếm đ-ợc

Tập con A của không gian chính quy X đ-ợc gọi là tập Linđơlốp nếu A

cùng với tôpô cảm sinh là không gian Lin đơ lốp

Không gian tôpô X đ-ợc gọi là - compact nếu mọi tập con lực l-ợng 

của X đều có điểm tụ trong X

Không gian tôpô X đ-ợc gọi là paracompact nếu mọi phủ mở của X

đều có cái mịn mở hữu hạn địa ph-ơng

Do ánh xạ đóng bảo tồn tập compact, compact đếm đ-ợc, paracompact,

- compact và Linđơlốp nên từ định lý 1.1.7 ta có hệ quả sau

1.1.9 Hệ quả Nếu không X gian đ-ợc xác định bởi phủ C={ C:   } gồm các tập con compact (paracompact, - compact và Linđơlốp) và f : X Y là

ánh xạ đóng thì Y đ-ợc xác định bởi phủ f (C)={ f(C):   } gồm các tập con compact (t-ơng ứng, paracompact, - compact và Linđơlốp) 

1.1.10 Nhận xét Nếu thay giả thiết không gian X chính quy bằng giả thiết

Hausdorff và  1

f (y) là tập compact với mỗi y  Y thì định lý 1.1.7 vẫn đúng

Thật vậy, chứng minh hoàn toàn t-ơng tự nh- 1.1.7 nh-ng xây dựng tập

V thoả mãn V ( f -1 f(x 0 ) U)= nh- sau

Với mỗi x  f -1 f(x 0 ) U thì x  x0 từ giả thiết X là không gian Hausdorff suy ra tồn tại các lân cận mở Vx của và x

f f(x 0 ) nên f -1 f(x 0 )

U là không gian con compact do đó tồn tại phủ mở V i n 

i

x : 1   Đặt V= V i n 

i W

i W

Phần này chúng tôi sẽ giới thiệu ánh xạ th-ơng, ánh xạ song th-ơng,

th-ơng di truyền, ánh xạ hoàn chỉnh mà chúng cần thiết cho việc nghiên cứu

tôpô yếu sau này

1.2.1 Định nghĩa.([3]) Cho X, Y là các không gian tôpô, ánh xạ liên tục

f:X Y đ-ợc gọi là ánh xạ hoàn chỉnh (tựa hoàn chỉnh) nếu f là ánh xạ đóng

và f -1 (y) là tập compact (compact đếm đ-ợc) trong X với mọi y  Y

1.2.2 Mệnh đề.([2]) Cho ánh xạ hoàn chỉnh f:X Y Khi đó các khẳng

định sau đây là đúng

(a)  1

f (Z) là tập compact trong X với mỗi Z là tập compact trong Y

(b) Tích của hai ánh xạ hoàn chỉnh là ánh xạ hoàn chỉnh

(c) Với mọi tập A  X và mọi tập B  Y thì fB :  1

f (B)B là ánh xạ hoàn chỉnh

1.2.3 Định nghĩa ([2]) Cho X là không gian tôpô, E là một quan hệ

t-ơng đ-ơng trên X Ký hiệu X/E là tập tất cả các lớp t-ơng đ-ơng theo quan

hệ E Tôpô mịn nhất trên X/E đ-ợc gọi là tôpô th-ơng trên X theo quan hệ

t-ơng đ-ơng E và ánh xạ q:X X/E biến mỗi điểm x  X thành một lớp

t-ơng đ-ơng [x]  X/E đ-ợc gọi là phép chiếu tự nhiên trên X

1.2.4 Mệnh đề.([2]) Cho X/E là không gian tôpô th-ơng của X trên

quan hệ t-ơng đ-ơng E Khi đó

(i) Tập F  X /E là tập đóng khi và chỉ khi q -1 (F) là tập đóng trong X

(ii) Tập A  X /E là tập mở khi và chỉ khi q -1 (A) là tập mở trong X.

1.2.5 Nhận xét Cho ánh xạ liên tục f:X Y và quan hệ t-ơng đ-ơng E(f) xác định bởi x quan hệ E(f) với y khi và chỉ khi tồn tại z  Y sao cho x và

y đều thuộc f -1 (z) Ký hiệu ánh xạ f :X/E(f) Y là ánh xạ xác định bởi

f (f -1 (y))=y với mọi y  Y Khi đó f = f q Vì thế f là ánh xạ liên tục 

1.2.6 Định nghĩa.([2]) ánh xạ liên tục f :X Y đ-ợc gọi là ánh xạ th-ơng (quotient map) nếu tồn tại một quan hệ t-ơng đ-ơng E trên X và một

đẳng cấu f ':X /EY thoả mãn f '=f.q trong đó q là phép chiếu tự nhiên từ X

lên X/E

1.2.7 Mệnh đề.([2]) Cho X, Y là không gian tôpô và ánh xạ f :X Y Khi đó các khẳng định sau là t-ơng đ-ơng

và với mọi phủ mở U của f 1(y), tồn tại hữu hạn tập {f(U):U U } phủ một

lân cận nào đó của y

1.2.9 Mệnh đề.([4]) (i) Mọi ánh xạ hoàn chỉnh đều là ánh xạ song

th-ơng

(ii) Mọi ánh xạ song th-ơng đều là ánh xạ th-ơng

(iii) Tích của hai ánh xạ song th-ơng là ánh xạ song th-ơng

Chứng minh (i) Giả sử f là ánh xạ hoàn chỉnh y là điểm bất kỳ thuộc Y

và U là phủ mở bất kỳ của  1

f (y) Vì f là ánh xạ hoàn chỉnh nên  1

f (y) là tập compact trong X Do đó tồn tại hữu hạn tập ViU, i=1,…,k sao cho

1



f (y)  k

i i

1

) (

f (U), nên f 1 (U) chính là một phủ mở của f 1(y) theo định

nghĩa ánh xạ song th-ơng thì f ( f 1 (U))=U phủ một lân cận nào đó của y

do đó mọi điểm y  U đều là điểm trong của U Do đó U là một tập mở trong

Y Theo 1.2.7, f là ánh xạ song th-ơng

(iii) Giả sử các ánh xạ f :X Y và g :Y Z là các ánh xạ song th-ơng

Ta chứng minh ánh xạ tích g.f :X  Z là ánh xạ song th-ơng Thật vậy,với mọi

z  Z và với mọi phủ mở U của (gf)1(z)  f1(g1(z)), khi đó với mỗi y

xạ song th-ơng

Nhận xét Có thể thay giả thiết của (iii) bằng “tích của hữu hạn ánh xạ”

thì mệnh đề vẫn đúng

1.2.10 Định nghĩa.([11]) Cho X , Y là các không gian tôpô, ánh xạ liên

tục f:X Y đ-ợc gọi là ánh xạ giả mở ( pseu-open map) nếu với mọi y  Y và với mọi lân cận mở V của  1

Chứng minh (a b) Giả sử S là tập con bất kỳ của y và U là tập con của S sao cho

Hơn nữa với mỗi y  U  S thì  1

f (y)  1

f (U)   1

f (S) V nên V là lân cận mở của  1

f (y) Từ giả thiết f là ánh xạ giả mở suy ra f(V) là lân cận của y trong Y Do đó U =f(V)  S là lân cận của y trong S Từ đó suy ra U là

mãn

(a c) Nếu y  A trong Y và giả sử ng-ợc lại không tồn tại phần tử

x   1

f (y) nào thoả mãn x  f1(A) nghĩa là  1

f (y)  f 1(A)= Theo (a) thì

f(X \ f1(A)) là lân cận của y trong Y và y  A do đó f(X \ f 1(A))) A  

Điều này suy ra tồn tại x  X\ f 1(A) thoả mãn f(x) =y  f( f1(A)) Mâu

thuẫn này suy ra khẳng định (c) là đúng

(c a) Giả sử y là điểm bất kỳ  Y và U là lân cận mở tuỳ ý của

f (y)  1 ( ) \ 1 ( ( ))

U f f Y

=  1

f (y)  X \ f 1(f(U))

Chúng ta đã biết một số họ các tập con có tính chất đặc biệt trên không

gian tôpô nh- phủ mở, phủ đóng, phủ hữu hạn địa ph-ơng, họ rời rạc, họ 

-rời rạc, cái mịn Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu thêm một số khái

niệm có liên quan đến tôpô yếu nh- lọc, cở sở lọc, phủ đếm đ-ợc điểm, HCP

(l3) Nếu A  F thì A1 F với mọi A1 A

(b) Lọc F đ-ợc gọi là lọc cực đại (maximal filter) hay siêu lọc

(ultrafiter) nếu mọi lọc F ’  F thì F ’= F

(c) Lọc F ’ được gọi là mạnh hơn lọc F (hay F yếu hơn F ’) nếu

FF ’ với mọi F F

(d) Điểm x đ-ợc gọi là điểm tụ của lọc F nếu x  Fvới mọi F F

Khi đó lọc F đ-ợc gọi là tụ về x

(e) Điểm x đ-ợc gọi là điểm giới hạn của lọc nếu với mọi lân cận U của

x thì U F Khi đó lọc F đ-ợc gọi là hội tụ về x

1.3.2 Định nghĩa ([2]) (a) Họ khác rỗng F các tập con của không

gian tôpô đ-ợc gọi là một cơ sở lọc nếu  F và với mọi F1, F2 F thì tồn

tại F3F thoả mãn F3 F1 F2

(b) Điểm x đ-ợc gọi là điểm tụ của cơ sở lọc F nếu x  F với mọi F

F Khi đó cơ sở lọc F đ-ợc gọi là tụ về x

(c) Điểm x đ-ợc gọi là điểm giới hạn của cơ sở lọc nếu với mọi lân cận U

của x tồn tại F F thoả mãn F  U Khi đó lọc F đ-ợc gọi là hội tụ về x

(d) Cơ sở lọc F đ-ợc gọi là hội tụ về tập A  X nếu với mọi lân cận U của A thì tồn tại F  F sao cho F  U

1.3.3 Nhận xét.([2]) (i) Nếu G là cơ sở lọc trong X thì FG

={ A  X: tồn tại B  G sao cho B  A} là một lọc trong X

(ii) Nếu x là điểm tụ của siêu lọc F thì nó là điểm giới hạn của F

(iii) Nếu x là điểm tụ của lọc F và F ’ yếu hơn F thì x cũng là

điểm tụ của F ’

(iv) Nếu x là giới hạn của lọc F và F ’ mạnh hơn F thì x cũng là giới hạn của F ’

(v) Nếu x là điểm tụ của lọc F thì tồn tại lọc F ’ mạnh hơn F nhận x

làm điểm giới hạn 

1.3.4 Mệnh đề Điểm x A khi và chỉ khi tồn tại một cơ sơ lọc F gồm

các tập con của A hội tụ về x

Chứng minh.Cần Giả sử x  Avà B x ={B: } là họ tất cả các lân cận

mở của x Ký hiệu họ V x ={V:V=B  A, } thì V x là họ khác rỗng các tập con của A và   A Hơn nữa với mọi V1= B1 A, V2= B2 A Vx thì

V 1  V 2= (B 1  A) (B 2  A)= (B 1  B 2) A  Vx Vì B 1  B 2 Bx nên

Vx là cơ sở lọc trong A

Mặt khác với mọi lân cận W của x, tồn tại lân cận mở Wx Bx của x thoả mãn Wx  W Khi đó V=Wx A  Vx và hiển nhiên V  W, do đó

W  Vx Vì vậy Vx là cơ sở lọc hội tụ về x trong A

Đủ Giả sử F ={F:   } là cơ sở lọc hội tụ về x trong A Khi đó mọi lân cận V của x thì tồn tại F  F để F  V Vì thế ta có (V  A) F 

tụ tại bất cứ điểm x nào thuộc  1

f (y) Khi đó mỗi x   1

nên tồn tại tập hữu hạn {xi : 1 in} X sao cho V=n

i

x i

U f

1

) (



là một lân cận

của y Do y là điểm tụ của lọc F suy ra V  F khác rỗng, với mọi F  F

Mặt khác với mỗi i thoả mãn 1 in thì Uxi=X\ 1( )

x i F j U

f

1

) (

) (

1 1

) ( )) ( (

1

) (

(b a) Giả sử y là điểm bất kỳ thuộc Y và U={U :    } là một phủ mở bất kỳ của  1

f (y) Đặt V ={f(U) :    } Giả sử không có họ hữu

hạn nào của V phủ một lân cận của y trong Y Khi đó họ F ={F : F là phần bù trong Y của hợp hữu hạn các phần tử của họ V } là một cơ sở lọc trong Y và y

 F với mọi F F Theo (b) thì tồn tại x0   1

f (y) và 0   sao cho x0

U 0 và x0  f 1(F)với mọi F  F Chọn F0 F với F0 là hợp hữu hạn các phần

tử của V và chứa f(U

1.3.6 Định nghĩa.([4]) Dãy giảm {An: n  IN } các tập con của T1- không gian tôpô X (nghĩa là An+1 Anvới mọi n  IN ) đ-ợc gọi là k-dãy

(q-dãy) nếu K =

 1

n n

A là tập compact (t-ơng ứng, compact đếm đ-ợc ) trong X

và dãy{An:n  IN } hội tụ về K

Rõ ràng k-dãy và q-dãy là các cơ sở lọc trong X nên các khái niệm có liên quan đ-ợc cho bởi (1.3.2)

Từ định nghĩa dễ dàng suy ra mệnh đề sau

1.3.7 Mệnh đề Nếu (An), (Bn) là các k-dãy (t-ơng ứng q-dãy) thì

(A n  B n) là k-dãy (t-ơng ứng q-dãy) Đặc biệt, nếu y  Y và (An) là k-dãy (t-ơng ứng, q-dãy) thì An {y} là k-dãy (t-ơng ứng q-dãy)

1.3.8.Định lý Cho dãy giảm {An:n  IN } các tập con của X thoả mãn

A (nghĩa là với mọi lân cận U của y thì U chứa vô hạn các ynvới n  IN )

(c) Nếu dãy {yn:n  IN } thoả mãn yn An với mọi n  IN thì nó có điểm

Nếu bỏ giả thiết 

 1

n n

 1

n n

A thì ta có (a) (b) (c)  (d)

Chứng minh.(a b) Tr-ớc hết ta chứng minh dãy (yn) có điểm tụ Thật

vậy, nếu tồn tại dãy con {y

Nếu tồn tại số n0 IN sao cho {yn : nn0} X\ K Đặt A= { yn : nn0}

ta có A K = Giả sử ng-ợc lại dãy {yn : nn0} không có điểm tụ trong Y

Khi đó A là tâp đóng Do đó Y\A là lân cận của K, và Y\A không chứa bất

kỳ An nào cả Điều này mâu thuẫn với giả thiết An hội tụ về K=

 1

n n

A Vậy {yn : nn0} có điểm tụ y trong Y

Bây giờ ta chứng minh rằng dãy {yn : nn0} có điểm tụ thuộc K

Nếu không có điểm tụ nào của dãy {yn : nn0} thuộc K thì tập V gồm

các phần tử của dãy {yn : nn0} và tất cả các điểm tụ của nó là tập đóng trong

Y và không có giao với K khi đó Y\V là lân cận của K nh-ng không chứa bất

kỳ An nào với mọi n N Mâu thuẫn này suy ra (a b) là đúng

(b a) Giả sử An là dãy giảm các tập con của X thoả mãn mọi dãy (yn)

với yn  An với mọi n  N đều có điểm tụ y trong K=

 1

n n

A Khi đó rõ ràng K

là tập compact đếm đ-ợc Giả sử U là lân cận mở tuỳ ý của K ta chứng minh

tồn tại n0  IN sao cho

yn An với mọi n nh-ng yn U Theo (b) thì yn có điểm tụ y trong K

Mặt khác do yn  Y\U với mọi n và Y\U là tập đóng nên suy ra

y  Y\U Do U  K nên suy ra y  K Mâu thuẫn này suy ra (b a) là đúng

(b c) Hiển nhiên

(c b) Gọi y là điểm tụ của dãy (yn) với yn  An với mọi n  N Với mỗi n0  N do An là dãy giảm nên yn An0 với mọi n>n0 suy ra y 

 1

n n

A =K Vạy (yn) có điểm tụ trong K=

 1

n n

(d  c) Giả sử (yn) là một dãy thoả mãn yn  An với mọi n  IN Chọn

Kn={ym: mn}, khi đó rõ ràng Kn An với mọi n  IN và Kn là dãy giảm theo

K ta chứng minh y là điểm tụ của dãy yn Giả

sử ng-ợc lại y không là điểm tụ của dãy An Khi đó với lân cận U bất kỳ của y thì U chỉ có giao với hữu hạn các phần tử {y j m

j

n : 1   }của dãy yn Vì vậy

U  K n =  với mọi n > n k =max{n i : i=1,…,m} suy ra y  K n vớ mọi n>nk

Mâu thuẫn với giả thiết yn  

 1

n n

1.3.9 Định nghĩa.([2]) Cho X là không gian tôpô P ={P :    }là

một phủ của X Khi đó phủ P đ-ợc gọi là phủ điểm hữu hạn (phủ điểm đếm

đ-ợc) nếu mỗi x  X thuộc không quá hữu hạn (t-ơng ứng, đếm đ-ợc ) phần

tử của P

1.3.10 Nhận xét Từ định nghĩa suy ra mọi phủ con, hoặc cái mịn của

phủ điểm hữu hạn (phủ điểm đếm đ-ợc) đều là phủ điểm hữu hạn ( t-ơng ứng,

1.3.11 Mệnh đề Cho ánh xạ f:X Y Khi đó nếu P là phủ điểm đếm

đ-ợc trong Y nên tồn tại họ con đếm đ-ợc {Pn: n  IN } của P thoả mãn y  Pn

vớimọi n  IN và y  P với mọi   n  IN Khi đó x   1

f (y)   1

f (Pn) với mọi n  IN và do y  P nên  1

1.3.12 Định nghĩa.([9]) Cho X là không gian tôpô Họ

A ={A:  } các tập con của X đ-ợc gọi là bảo tồn bao đóng di truyền

(hereditarily closure preserving) viết tắt là họ HCP nếu với mọi ’  và với

mọi B A thì {B :'}{B :'}

Họ B ={B : } các tập con của X đ-ợc gọi là bảo tồn bao đóng

(closure preserving) nếu với mọi ’ thì  {B:    ' }   {B:    ' }

1.3.13 Nhận xét (i) Mọi họ HCP đều là họ bảo tồn bao đóng

(ii) Họ rời rạc, họ hữu hạn địa ph-ơng đều là họ HCP và do đó là họ bảo

tồn bao đóng

(iii) Mọi cái mịn của một họ HCP là một họ HCP

1.3.14 Mệnh đề Cho X là không gian tôpô Họ C={C:   } là một

phủ đóng của không gian X Khi đó

(a) Nếu C là phủ HCP thì C làm trội X

Chứng minh.(a) Giả sử C ’={C:  ’  } là họ con tuỳ ý của C Do

C là một phủ HCP và C là tập đóng trong X với mọi  nên

Vậy U là tập đóng trong X’ Do đó C ’ xác định X’ hay C là phủ làm trội X

(a) Giả sử C ={C: } là một phủ làm trội X, khi đó mọi họ con

1.3.15 Mệnh đề Cho F={F:  } là họ HCP các tập con đóng của

X Khi đó với mọi n>0 đặt

Y n = {F 1 F 2 F 3  F n : F 1 , F 2 , F 3 , , F n F và n

n i

F

1



thì F n là tập đóng trong X Và F là họ HCP nênYn= {F n} là tập đóng trong X Mặt khác với mọi En  Yn thì

n

A = En F n là họ hữu hạn nên A n đóng suy ra En= {A n } là tập đóng trong Yn hay Yn là tập đóng rời rạc trong X với mỗi n  IN

Ch-ơng 2 các Không gian với tôpô yếu

2.1 M-không gian và M-không gian paracompact

2.1.1 Định nghĩa.([4]) Không gian tôpô X đ-ợc gọi là M-không gian

(M-không gian paracompact) nếu tồn tại một ánh xạ tựa hoàn chỉnh ( t-ơng

ứng, hoàn chỉnh) từ X lên một không gian khả mêtric

Không gian này đ-ợc nghiên cứu bởi Morita Trong luận văn này chúng tôi chỉ sử dụng khái niệm này để xây dựng một số loại không gian với tôpô yếu và nghiên cứu các tính chất đặc tr-ng của chúng

2.2 Không gian dãy

2.2.1 Định nghĩa.([4]) Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian dãy

nếu nó đ-ợc xác định bởi phủ gồm các tập con compact metric

2.2.2 Bổ đề Cho ánh xạ th-ơng f:X Y nếu X đ-ợc xác định bởi phủ

C={C:  } thì Y đ-ợc xác định bởi phủ f(C)={f(C):  }

Chứng minh Giả sử U là tập con bất kỳ trong Y thoả mãn U f(C)

đóng trong f(C) với mọi  Khi đó ta có

f(C)là phủ xác định Y

2.2.3 Bổ đề.([2]) Không gian compact là khả metric khi và chỉ khi nó là

không gian thoả mãn tiên đề đếm đ-ợc thứ hai 

2.2.4 Định lý Với Y là không gian tôpô thì các khẳng định sau đây là

t-ơng đ-ơng

(a) Y là không gian dãy

(b) Y là ảnh th-ơng của không gian khả metric

Chứng minh (a b) Giả sử X đ-ợc xác định bởi phủ C ={C:   }

gồm các tập con compact khả metric Ký hiệu C ’ ={C’:  } là họ các

không gian tôpô đồng phôi với C với mỗi    qua ánh xạ đồng cấu

f: C’C thoả mãn C  C=  với mọi    Đặt X là tôpô tổng của họ

C ’ nghĩa là X=  {C:   } và A là tập mở trong X khi và chỉ khi

A  C’ là tập mở trong C’ với mỗi C’ C ’ Do C’ là các không gian

compact khả metric nên theo [2, Định lý 4.2.1] thì X là không gian metric hoá

đ-ợc Xét ánh xạ f : X Y xác định bởi f(x) =f(x) với mọi x  C’ ta chứng minh

f là ánh xạ th-ơng Thật vậy, dễ thấy f là ánh xạ liên tục Giả sử U là tập con của Y

C với mỗi  Từ giả thiết C xác định Y suy ra U là tập mở trong Y

(b a) Giả sử X là không gian khả metric, suy ra X là không gian

compact địa ph-ơng, theo ví dụ 1.1.3 (a) thì X là không gian đ-ợc xác định

bởi họ các tập con compact metric hoá đ-ợc C ={C:   } theo bổ đề

(2.2.2) thì Y đ-ợc xác định bởi phủ f(C)={f(C):  } Hơn nữa do f là ánh

xạ liên tục nên f(C) là tập con compact với mỗi  Vì C là compact metric

nên theo bổ đề 2.2.3 thì C không gian thoả mãn tiên đề đếm đ-ợc thứ 2 với

Do fClà ánh xạ th-ơng nên An là tập mở trong f(C) Mặt khác với mọi tập

Vì vậy Bf(C) là cơ sở đếm đ-ợc của f(C), do đó với mỗi    thì f(C) là

không gian compact và thoả mãn tiên đề đếm đ-ợc thứ hai theo theo bổ đề

2.2.3 thì f(C) là khả metric Vì vậy Y là không gian dãy 

2.2.5 Định lý Mọi không gian thoả mãn tiên đề đềm đ-ợc thứ nhất đều

là không gian dãy

Chứng minh Với mỗi x  X từ giả thiết X thoả mãn tiên đề đếm đ-ợc thứ

nhất suy ra tồn tại dãy {xn :n  IN }  X hội tụ về x Đặt C ={xx n :n  IN }  {x}

thì Cx là tập con compact của X và rõ ràng là metric hoá đ-ợc (chẳng hạn với metric

xác định bởi d(xm, xn) =

m n

1 1

 với mọi m, n  IN và d(xk, x)=

k

1, d(x,x) =0) Với mỗi x  X đặt Bx={ C : x  x} là họ tất cả các tập con dạng C tại x, cho x x

chạy khắp X ta có họ C={Cx: Cx Bx, x  X ,  =

X x

x



 } là một phủ của

X Ta chứng minh C xác định X Thật vậy, với U là tâp con đóng bất kỳ của X

thỏa mãn U  C là tập đóng trong C với mỗi  , giả sử ng-ợc lại U là

tập không đóng trong X Khi đó tồn tại x0 U \ U Gọi họ { Vn: n  IN } là cơ

sở lân cận tại x0 Vì x  U nên với mỗi n  IN thì (n

i i

2.3.1 Định nghĩa.([4]) Không gian tôpô X đ-ợc gọi là k -không gian

nếu nó đ-ợc xác định bởi phủ gồm các tập con compact

2.3.2 Nhận xét Từ định nghĩa suy ra mọi không gian dãy đều là

k- không gian và theo ví dụ 1.1.3 thì các không gian compact địa ph-ơng,

không gian thoả mãn tiên đề đếm đ-ợc thứ nhất đều là k- không gian

2.3.3 Định lý Cho không gian tôpô X các khẳng định sau là đúng

(a) Mọi không gian con đóng của k-không gian là k- không gian

(b) Mọi ảnh th-ơng của k-không gian là k- không gian

(c) Nếu X là không gian Hausdoff và nó là tạo ảnh hoàn chỉnh của một k-không gian thì X là k- không gian

Chứng minh (a) Giả sử X là k-không gian đ-ợc xác định bởi phủ

C ={C:  } gồm các tập con compact và X0 là không gian con đóng bất

kỳ của X Đặt B={B: B=C  X0; } thì B là một phủ gồm các tập con

compact của X0 Với U là tập con bất kỳ của X thoả mãn U  B là tập đóng

trong B với mỗi    Sử dụng giả thiết B là tập đóng trong C với mỗi 

suy ra U  B là tập đóng trong C Từ đẳng thức

U  B=U  (C X0)=U  CSuy ra U  C là tập đóng trong C với mỗi  Do C là phủ xác định X nên U

là tập đóng trong X và do đó U là tập đóng trong X0 Điều này chứng tỏ X0 là

k-không gian