Về một số tính chất của đối đồng điệu địa phương hinhg thức (Luận văn thạc sĩ)

Về một số tính chất của đối đồng điệu địa phương hinhg thức (Luận văn thạc sĩ)Về một số tính chất của đối đồng điệu địa phương hinhg thức (Luận văn thạc sĩ)Về một số tính chất của đối đồng điệu địa phương hinhg thức (Luận văn thạc sĩ)Về một số tính chất của đối đồng điệu địa phương hinhg thức (Luận văn thạc sĩ)Về một số tính chất của đối đồng điệu địa phương hinhg thức (Luận văn thạc sĩ)Về một số tính chất của đối đồng điệu địa phương hinhg thức (Luận văn thạc sĩ)Về một số tính chất của đối đồng điệu địa phương hinhg thức (Luận văn thạc sĩ)Về một số tính chất của đối đồng điệu địa phương hinhg thức (Luận văn thạc sĩ)Về một số tính chất của đối đồng điệu địa phương hinhg thức (Luận văn thạc sĩ)Về một số tính chất của đối đồng điệu địa phương hinhg thức (Luận văn thạc sĩ)Về một số tính chất của đối đồng điệu địa phương hinhg thức (Luận văn thạc sĩ)

- 2017

ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG HÌNH THỨC

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Lời nói đầu

Vào giữa thế kỉ 20, có một sự kiện quan trọng trong nền toán học đó là nhà toán học J.P.Serre

đã áp dụng thành công đại số đồng điều vào lĩnh vực hình học đại số trong công trình củamình năm 1955 Khoảng thời gian sau đó là thời gian kỳ hoàng kim của đại số đồng điều, nótràn ngập trong toàn bộ toán học Lấy cảm hứng từ J.P.Serre, đối đồng điều địa phương đượcđưa ra đầu tiên bởi nhà toán học Gothendieck trong bài giảng của mình tại đại học Hardvard.Đến tận năm 1967, lý thuyết này mới được biết đến rộng rãi qua tập bài giảng "đối đồng điềuđịa phương" được xuất bản bởi R.Hartshorne Nó nhanh chóng trở thành một công cụ hiệu qu

ả trong đại số giao hoán và hình học đại số Cụ thể trong hình học, đối đồng điều địa phươnggiúp chúng ta nghiên cứu về tính liên thông, số đa thức tối thiểu để định nghĩa một tập đại số, Còn trong đại số, đối đồng điều địa phương cho ta biết về các thông tin về môđun banđầu Giai đoạn từ năm 1967 đến nay, lý thuyết này đã thật sự thu hút sự quan tâm của nhiềunhà toán học trong và ngoài nước, trong đó có nhiều nhà toán học lớn như G.Falting,R.Hartshorne, Nguyễn Tự Cường,

Vào năm 2006, một loại đối đồng điều địa phương mới, đối đồng điều địa phương hìnhthức, được giới thiệu bởi P Schenzel Trước đó, khái niệm này đã được nghiên cứu bởiPeskine và Szpiro trong trường hợp vành chính quy liên quan đến tính triệu tiêu của môđunđối đồng điều địa phương Nhưng nó không được nhiều người biết đến Phải đến khi bàibáo của P.Schenzel được xuất bản, lý thuyết này mới chính thức được biết đến và thu hút

sự quan của nhiều nhà toán học Hiện nay còn rất nhiều tính chất của đối đồng điều địaphương hình thức vẫn chưa được tìm hiểu Do đó các bài toán về tính chất của đối đồngđiều địa phương hình thức trở thành những đề tài thú vị đối với những nhà toán học hiệnnay Mục đích của luận văn này nhằm trình bày một cách hệ thống các

tính chất cơ bản của đối đồng điều địa phương hình thức từ đó làm nền tảng để đưa ramột số kết quả mới Nội dung luận văn được chia làm ba chương.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Để định nghĩa khái niệm đối đồng điều địa phương hình thức ta cần ba nguyên liệuchính đó là: giới hạn ngược, đối đồng điều địa phương và cuối cùng phức Cech Các cáikhái niệm được tóm tắt sơ lược trong các mục 1.1, 1.2, 1.5 Hơn nữa để nghiên cứu về lýthuyết này, ta cũng phải cần đến một số công cụ cơ bản trong đại số giao hoán trong cácmục 1.3 và 1.4

Chương 2: Đối đồng điều địa phương hình thức

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày về khái niệm đối đồng điều địa phương hìnhthức cũng như các tính chất cơ bản của nó Đặc biệt là định lý đối ngẫu và các tính chấttriệt tiêu và không triệt tiêu

Chương 3: Đối đồng điều địa phương hình thức bậc cao

Luận văn khép lại bởi việc khảo sát những tính chất của môdun đối đồng điềuđịa phương bậc cao Cụ thể, chúng tôi quan tâm đến môđun lim←−Hml(M/InM ) với l =dimM/IM

Luận văn tốt nghiệp này được hoàn thành tại trường đại học sư phạm thành phố HồChí Minh dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Trần Tuấn Nam Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy Tác giả trân trọng cảm ơn quý thầy cô giáo trongkhoa Toán-Tin và phòng sau đại học đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận vănnày Tác giả cũng xin được cảm ơn các bạn học viên cùng khoá và các anh (chị) nghiêncứu sinh đã góp ý và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng khoá luận không tránh khỏi những hạn chế Tác giảmong nhận được ý kiến đóng góp của thầy (cô) và các bạn để hoàn thiện luận văn mộtcách tốt nhất

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2017

Học viên cao học

Mục lục

1.1 Giới hạn ngược 5

1.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương 7

1.3 Iđêan nguyên tố gắn kết 11

1.4 Đối ngẫu Maltis 12

1.5 Phức Cech 14

1.6 Phức đối ngẫu 17

2 Một số tính chất của đối đồng điều địa phương hình thức 19 2.1 Một số tính chất cơ bản 19

2.2 Định lý đối ngẫu 27

2.3 Môđun đối đồng điều địa phương hình thức thứ 0 30

2.4 Các định lý triệt tiêu và không triệt tiêu 33

3 Đối đồng điều địa phương hình thức bậc cao 39 3.1 Tính Artin và hữu hạn sinh 40

3.2 Tính minimax 46

BẢNG CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG

R : Vành Nơte giao hoán không tầm thường

(R, m) : Vành địa phương với iđêan tối đại m

Spec(R) : Tập các iđêan nguyên tố của vành R

V (I) : Tập các iđêan nguyên tố chứa I

Supp(M ) : Giá của môđun M

Ass(M ) : Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M

Att(M ) : Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M

dim(M ) : Chiều Krull của môđun M

depth(M ) : Độ sâu của môđun M

Định nghĩa 1.1.1 Với các kí hiệu như trên, giới hạn ngược của hệ ngược {Mi, ϕji}i∈I làvật lim←−Mi cùng họ các xạ fi : lim←−Mi → Mi thoã mãn

i) ϕjifj = fi

ii) Với vật X và họ các xạ gi : X → Mi thoã mãn tính chất đầu tiên, tồn tại duy nhất

xạ φ : X → lim←−Mi sao cho fiφ = gi.

Dựa theo định nghĩa, giới hạn ngược nếu tồn tại sẽ duy nhất Xét trong phạm trùR−Mod có hệ ngược các môđun {Mi, ϕji}i∈I Gọi X là tập hợp các phần tử (mi)i∈I củatích trực tiếpQ

i∈IMi thoã mãn

ϕji(mj) = mi

Rõ ràng, X là môđun con của Q

i∈IMi Dễ dàng kiểm tra X cùng với họ đồng cấu tựnhiên fi : X → Mi, được cho bởi fi((mi)) = mi với mọi (mi) ∈ X, là giới hạn ngược của

hệ ngược {Mi, ϕji}i∈I

Mệnh đề 1.1.2 Mọi hệ ngược trong phạm trù R−Mod đều có giới hạn ngược.

Mệnh đề trên có thể mở rộng cho nhiều phạm trù như phạm trù các vành giao hoán,phạm trù các nhóm và phạm trù các không gian tôpô Từ phần này trở đi, chỉ quan tâmđến giới hạn ngược trong phạm trù R−Mod

Ví dụ 1.1.3 i) Giả sử quan hệ thứ tự trên I là rời rạc, tức i ≤ j khi và chỉ khi i = j.Khi đó đó giới hạn ngược của hệ ngược {Mi, ϕji}i∈I là tích trực tiếp Q

i∈IMi.ii) Cho I là tập sắp thứ tự từng phần {1; 2; 3} với 3 ≤ 1 và 2 ≤ 1 Hệ ngược tương ứngtrên I là sơ đồ

iv) Với I là iđêan của vành R Kí hiệu ϕji : R/Ij → R/Ii là đồng cấu chiếu tự nhiênvới i, j ∈ N và i ≤ j Giới hạn ngược của hệ {R/Ii, ϕji} thường được gọi là đầy đủ

I − adic của vành R

Cho hai hệ ngược {Mi, ϕji}i∈I và {Ni, ψij}i∈I Với mỗi họ đồng cấu fi : Mi → Ni thoãmãn ψijfj = fiϕji (họ này còn được biết đến với tên gọi là đồng cấu các hệ ngược), theođịnh nghĩa giới hạn ngược của hệ thứ nhất tồn tại duy nhất đồng cấu φ : lim←−Mi → lim←−Ni.Với cấu trúc giới hạn ngược các R−môđun đã được chỉ ra, đồng cấu φ có công thức

φ((mi)) = (fi(mi)) ∈ lim←−Ni

với mọi (mi) ∈ lim

←−Mi và ta gọi φ là giới hạn ngược của họ đồng cấu (fi)i∈I, kí hiệu

φ = lim←−fi

Cho I là tập số tự nhiên N và ba hệ ngược các R−môđun trên N: {Ni}, {Mi}, {Li}.Một dãy khớp ngắn các hệ ngược 0 → {Ni} → {Mi} → {Ni} → 0 là sơ đồ giao hoán

Trong mục này, ta sẽ tóm tắt lại các kết quả cơ bản của đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.2.1 Cho M là R−môđun và I là iđêan của R, khi đó ΓI(M ) được địnhnghĩa là tập các phần tử của M bị linh hoá bởi luỹ thừa nào đó của iđêan I tức

ΓI(M ) = {x ∈ M | ∃n ∈ N : Inx = 0}

Dễ dàng kiểm tra phép toán cộng và phép toán nhân vô hướng ổn định trên M và do đó

ΓI(M ) là môđun con của M Với mỗi đồng cấu R−môđun f : M → N , ta có f (ΓI(M )) ⊆

f (ΓI(N )) Đặt ΓI(f ) : f (ΓI(M )) → f (ΓI(N )) là đồng cấu cho bởi ΓI(f )(x) = f (x) vớimọi x ∈ ΓI(M ) Khi đó với các đồng cấu f, g : M → N , h : N → T và r ∈ R thì

ΓI(hf ) = ΓI(h)ΓI(f ), ΓI(f + g) = Γ(f ) + Γ(g), ΓI(rf ) = rΓI(f ) và ΓI(IdM) = IdΓI(M ).Khi đó ΓI() trở thành hàm tử hiệp biến từ phạm trù R-Mod vào chính nó

Hàm tử ΓI là hàm tử khớp trái

Mệnh đề 1.2.2 Dãy khớp ngắn các môđun và đồng cấu 0 → N → M → L → 0 cảmsinh dãy khớp

0 −→ ΓI(N ) −→ ΓI(M ) −→ ΓI(L)với mọi iđêan I

Hàm tử I-xoắn là duy nhất theo căn của iđêan I

Mệnh đề 1.2.3 Cho J là iđêan của vành R, khi đó ΓI = ΓJ khi và chỉ khi √

−→ 0 −→ I0 d−→I0 1 d−→I1 2 d−→ 2

là một phép giải nội xạ của môđun M Khi đó

HIi(M ) = KerΓ(di)/ImΓI(di−i)

với mọi i ∈ Z Dễ thấy Hi

I(M ) = 0 với mọi i < 0

Sau đây ta trình bày một số tính chất cơ bản nhất của hàm tử đối đồng điều địaphương

Nhận xét 1.2.5 Áp dụng các kết quả của đại số đồng điều ta có

i) Hàm tử ΓI là hiệp biến và R−tuyến tính do đó hàm tử Hi

I cũng là hàm tử hiệp biến

và R−tuyến tính

ii) Do hàm tử ΓI khớp trái nên hai hàm tử HI0 và ΓI là tương đương tự nhiên

iii) Cho r ∈ R và đồng cấu f : M → M thì Hr i

I(f ) : HIi(M )→ Hr i

I(M )

iv) Cho M là R−môđun, khi đó mỗi phần tử Hi

I(M ) đều bị triệt tiêu bởi luỹ thừa củaiđêan I

v) Cho J là iđêan sao cho√

Mệnh đề 1.2.7 Cho M là R−môđun và I là iđêan của vành R khi đó

i) Nếu I chứa phần tử t /∈ ZdvR(M ) thì ΓI(M ) thì M là môđun I−xoắn tự do

ii) Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì M là I−xoắn tự do khi và chỉ khi I chứaphần tử t /∈ ZdvR(M )

iii) Nếu M là R−môđun I− xoắn thì Hi

I(M ) = 0 với mọi i ∈ Z Đặc biệt Hi

M −chính quy hay depthI(M ) > 0

Một trong những kết qủa quan trọng nhất của đối đồng điều địa phương chính là định

lý triệt tiêu và không triệt tiêu Grothendieck

Định lí 1.2.8 Cho M là R−môđun Khi đó HIi(M ) = 0 với i > dimM

Đặt

cd(I, M ) = sup{i ∈ Z | HIi(M ) = 0}

và gọi là chiều đối đồng điều của môđun M Theo định lý triệt tiêu Grothendieck,cd(I, M ) ≤ dimM Trong nội dung chính của luận văn, ta sẽ cải thiện bất đẳng thứcnày

Định lí 1.2.9 Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R−môđun hữu hạn sinh kháckhông với chiều n Khi đó Hn

nói cách khác dim = cd(m, M ) Sau đây là một tính chất về chiều đối đồng điều được đưa

ra bởi K Divaani-Aazar, R Naghipour và M Tousi

Mệnh đề 1.2.10 Cho I là iđêan của vành địa phương (R, m) và M, N là các R−môđunhữu hạn sinh Khi đó nếu Supp(M ) ⊆ Supp(N ) thì cd(I, M ) ≤ cd(I, N ) Hơn nữa

cd(I, M ) = cd(I, R/(0 :RM )) = max{cd(I, R/p) | p ∈ MinM }

Ngoài chiều Krull, một bất biến khác của môđun cũng được biểu diễn thông qua tínhtriệt tiêu của module đối đồng điều địa phương Đó là độ sâu ứng với iđêan I

Định lí 1.2.11 Cho M là môđun hữu hạn sinh sao M/IM 6= 0 Khi đó

depthI(M ) = inf{i ∈ Z | HIi(M ) 6= 0}

Nói chung hầu hết các môđun đối đồng điều địa phương đều không hữu hạn sinh và

do đó ta hình dung chúng rất "lớn" Tuy nhiên, nó có tính chất đối ngẫu là tính Artin

Định lí 1.2.12 Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R−môđun hữu hạn sinh Khi

đó Hmi(M ) là Artin với mọi i ∈ Z

1.3 Iđêan nguyên tố gắn kết

Định nghĩa 1.3.1 Cho S là R−môđun, khi đó S được gọi là thứ cấp nếu S 6= 0 và vớimỗi r ∈ R thì rS = S hoặc tồn tại n ∈ N sao cho rnS = 0 Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra

p=p(0 :RS) là iđêan nguyên tố và ta gọi S là môđun p−thứ cấp

Định nghĩa 1.3.2 Cho M là R−môđun, nếu M phân tích được thành tổng các môđun

pi−thứ cấp (biểu diễn thứ cấp) thì M được gọi là biểu diễn được Cụ thể,

M = S1 + S2+ + Sn

với Si là các môđun pi−thứ cấp Biểu diễn trên là tối tiểu nếu

i) p1, p2, , pn là các iđêan nguyên tố phân biệt

ii) Với mọi j, ta có Sj *P

i6=jSi tức không thể bỏ đi thành phần Sj trong biểu diễn.Mọi biểu diễn thứ cấp luôn được đưa về dạng tối tiểu Hơn nữa các iđêan nguyên tố

pi xuất hiện trong biển diễn tối tiểu là duy nhất không phụ thuộc biểu diễn của M

Mệnh đề 1.3.3 Giả sử

M = S1 + S2+ + Sn

là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với Si là môđun pi−thứ cấp Khi đó p ∈ Spec(R) làmột trong các iđêan nguyên tố p1, p2, , pn khi và chỉ khi tồn tại ảnh đồng cấu p−thứcấp của M Đặc biệt, nếu R là vành Nơte, ta có thể thay ảnh đồng cấu p−thứ cấp bằngảnh đồng cấu với linh hoá tử là p Từ đó, suy ra tập hợp {p1, p2, , pn} không phụ thuộcvào biểu diễn của M và ta gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M , kí hiệu Att(M )

Một trong những kết quả nền tảng của đại số giao hoán, nhà toán vĩ đại Nơte chỉ rarằng mọi môđun hữu hạn sinh đều có phân hoạch nguyên sơ Đối ngẫu, mọi môđun Artinđều có biểu diễn thứ cấp Đây là ví dụ quan trọng nhất về biểu diễn thứ cấp

Mệnh đề 1.3.4 Mọi R−môđun Artin bất khả tổng là thứ cấp Hơn nữa, bằng cách sửdụng điều kiện tối tiểu, mọi R−môđun Artin đều có thể biểu diễn thành tổng của cácmôđun con bất khả tổng và do đó là các môđun thứ cấp

Tập các iđêan nguyên tố gắn kết phản ánh về tính chia được của môđun

Mệnh đề 1.3.5 Cho M là R−môđun Artin và r ∈ R Khi đó

i) rM = M khi và chỉ khi r ∈ R\ ∪p∈Att(M )p

Định lí 1.3.7 Giả sử (R, m) là vành địa phương và cho M là R−môđun hữu hạn sinhkhác không với chiều n Khi đó Hn

m(M ) 6= 0 vàAtt(Hmn(M )) = {p ∈ Ass(M ) | dimR/p = n}

Hệ quả 1.3.8 Giả sử (R, m) là vành địa phương và cho M là môđun hữu hạn sinh vớichiều n > 0 Khi đó Hn

m(M ) không hữu hạn sinh

Cho (R, m) là vành địa phương Kí hiệu E := E(R/ m) là bao nội xạ của trường thặng dưR/ m Khi đó với mỗi R−module M , ta gọi HomR(M, E) là môđun đối ngẫu Maltis của

M Một câu hỏi lập tức đặt ra giữa hai môđun này có mối quan hệ như thế nào? Nhưngtrước hết chúng ta hãy nhắc lại về cấu trúc của môđun nội xạ trên vành Nơte Cụ thể là

sự phân tích một môđun nội xạ thành tổng trực tiếp của các môđun nội xạ bất khả quy

Mệnh đề 1.4.1 Cho R là vành Nơte và p, q là các iđêan nguyên tố

i) E(R/p) là môđun nội xạ bất khả quy

ii) Mỗi môđun nội xạ bất khả quy đều có dạng E(R/p) với p là iđêan nguyên tố

iii) Với mỗi x ∈ R\p, tự đồng cấu nhân bởi x trên E(R/p) là đẳng cấu.

iv) Nếu p 6= q thì E(R/p)  E(R/q)

v) E(R/p) là môđun p−xoắn tức là E(R/p) = ∪(0 :pn E(R/p))

Định lí 1.4.2 Cho R là vành Nơte Mỗi R−môđun nội xạ đều phân tích thành tổng củacác môđun nội xạ bất khả quy Cụ thể, cho I là R−môđun nội xạ khi đó tồn tại họ cáciđêan nguyên tố (pi)i∈Λ sao cho

I ∼= ⊕i∈ΛE(R/pi)

Cho p ∈ Spec(R), "số" phần tử i ∈ Λ sao cho pi = p bằng số chiều của không gianvéctơ

Homk(p)(k(p), Mp)trên trường k(p) = Rp/pRp

Trong trường hợp p là iđêan nguyên tối đại vành địa phương thì môđun nội xạ bấtkhả quy E(R/p) có tính chất rất đẹp

Mệnh đề 1.4.3 Cho (R, m) là vành địa phương Nơte và E := E(R/ m) là bao nội xạcủa trường thặng dư R/ m Khi đó

i) Với mỗi R−môđun M , đồng cấu tự nhiên

ψ : M → Hom(Hom(M, E), E)

,cho bởi ψ(x)(f ) = f (x) với mọi x ∈ M và f ∈ Hom(M, E), là đơn cấu

ii) M = 0 khi và chỉ khi Hom(M, E) = 0 Hơn nữa hai môđun này có cùng linh hoá tử

Với M = R, môđun đối ngẫu Maltis tương ứng chính là E Mặc khác, đối ngẫu Matliscủa chính môđun E chính là tập hợp các tự đồng cấu trên E Như ta đã biết tập hợpcác tự đồng cấu nhóm trên môđun E có cấu trúc vành tự nhiên Hơn nữa, nó đẳng cấu(vành) với đầy đủ m −adic của R Đây là một tính chất vô cùng quan trọng của lý thuyếtđối ngẫu Matlis

Định lí 1.4.4 Giả sử (R, m) là vành địa phương Đồng cấu R−môđun

Mệnh đề 1.4.5 R−môđun M là Artin khi là chỉ khi M có thể nhúng vào tổng trực tiếphữu hạn bản sao của E

Tiếp theo, ta sẽ trình bày nội dung của định lý đối ngẫu Matlis

Định lí 1.4.6 Giả sử (R, m) là vành địa phương đầy đủ (m-adic) Khi đó

i) Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì Hom(M, E) là R−module Artin Hơn nữađồng cấu tự nhiên M → Hom(Hom(M, E), E) là đẳng cấu

ii) Nếu N là R−môđun Artin thì Hom(N, E) là R−module Nơte Hơn nữa đồng cấu

tự nhiên N → Hom(Hom(N, E), E) là đẳng cấu

Với f : C → D là ánh xạ dây chuyền giữa phức các R−môđun, ta định nghĩa nón

M (f ) là phức C ⊕ D[−1] với vi phân cho bởi ma trận đồng cấu

với dC và dD là vi phân của hai phức C và D tương ứng

Với định nghĩa trên ta có dãy khớp ngắn các phức

0 −→ D[−1]−→M (f )i −→C −→ 0p

với i(b) = (0, −b) và p(a, b) = a Vì Hn+1(D[−1]) = Hn(D) nên đồng cấu nối đồng điềutương ứng với dãy khớp ngắn trên là δ· : H·(C) → H·(D) Dễ dàng kiểm tra đồng cấunày chính là H·(f ) Do đó, ta thấy rằng f cảm sinh đẳng cấu đồng điều khi và chỉ khi

Bây giờ, ta sẽ định nghĩa phức Cech theo khái niệm nón

Định nghĩa 1.5.3 Với C là phức các R−môđun và x ∈ R, cho C → C ⊗ Rx là ánh xạdây chuyền cảm sinh bởi địa phương hoá tức đồng cấu trên Cn cho bởi Cn→ Cn⊗ Rx

Xem R là phức hạn chế tại bậc không, phức Cech của phần tử x ứng với phức R lànón

Cx·(A) = M (A → Ax)

Sử dụng quy nạp, với x= x1, x2, , xr là một dãy phần tử trong R, ta định nghĩa

Cx·(A) = M (Cy·(A) → Cy·(A) ⊗ Axr)

với y= x1, x2, , xr−1 Đối với R−môđun M ,

Cx·(M ) = Cx·(A) ⊗ M

được gọi là phức Cech của x ứng với môđun M

Ví dụ 1.5.4 Để dễ dàng hình dung, ta sẽ trình bày cụ thể phức Cech của dãy ba phần

)) = ( x

v 3

2 r3(x2x3)v 3 − x

v 2

3 r2(x2x3)v 2, x

v 3

1 r3(x1x3)v 3 − x

v 1

3 r1(x1x3)v 1, x

v 2

2 r1(x1x2)v 2 − x

v 1

2 r1(x1x2)v 1)và

v 2

2 r2(x1x2x3)v 2 − x

v 3

3 r3(x1x2x3)v 3.Một trong những ý nghĩa quan trọng của phức Cech chính là việc giúp ta tiếp cận đốiđồng điều địa phương theo một hướng khác

Định lí 1.5.5 Cho x = x1, x2, , xr là dãy phần tử của R với I = xR Khi đó

HIi(M ) ∼= Hi(Cx·(M ))

với mọi R−môđun M và i ∈ Z

Dựa theo định lý trên và bổ đề 1.5.2, dễ dàng thu được kết quả sau

Hệ quả 1.5.6 Cho x ∈ R và I là iđêan Khi đó ta có dãy khớp ngắn

và gọi là bậc số học của iđêan I Dễ thấy ara(I) là số phần tử ít nhất của R để sinh ra iđêan

có căn trùng với căn của iđêan I Trong ngữ cảnh hình học đại số, xét k[x1, x2, , xn]vành đa thức trên trường đóng đại số k và V là tập đại số Giả sử IV là iđêan định nghĩacủa V Khi đó ara(IV) chính là số đa thức tối tiểu để định nghĩa tập đại số V Lưu ý, IVluôn là iđêan căn tức√

I = I

Theo định nghĩa của phức Cech và định lý 1.5.5, ta có

Hệ quả 1.5.7 Với mỗi R−môđun M , HIi(M ) = 0 với mọi i > ara(I) Nói cách khácara(I) ≤ cd(I, M )

Bất đẳng thức ở hệ quả trên đã được ứng dụng để giải quyết nhiều bài toán về số đathức tối tiểu để định nghĩa một tập đại số

Định nghĩa 1.6.1 Kí hiệu vành (R, m) là vành địa phương Phức đối ngẫu DR. là phức

bị chặn với mỗi thành phần là môđun nội xạ hơn nữa Hi(D.

R) hữu hạn sinh với mọi i ∈ Z

và ánh xạ dây chuyền

M −→ Hom(Hom(M, D.R), DR. )

là tựa đẳng cấu phức với mọi môđun hữu hạn sinh M

Theo kết quả của T.Kawasaki, vành R có phức đối ngẫu khi và chỉ khi R là vànhthương của vành Gorenstein Cụ thể, giả sử (R, m) là vành thương của vành địa phươngGorenstein (S, n) và ES· là phép giải nội xạ tối tiểu của vành S khi xem là môđun trênchính nó Khi đó phức

D.R= HomS(R, ES·)

là phức bị chặn các R−môđun nội xạ có đối đồng điều hữu hạn sinh (Hi(DR. ) 'ExtiB(A, B)).

Tồn tại số nguyên l ∈ Z sao cho

R p[dimR/p] với p ∈ SpecR

ii Với mọi R−môđun hữu hạn sinh M và i ∈ Z

Hmi(M ) ∼= Hom((H−i(HomR(M, DR. )), E)

Định nghĩa 1.6.3 Giả sử M là R−môđun hữu hạn sinh và d = dimM Với i ∈ Z, tađịnh nghĩa

Ki(M ) := H−i(Hom(M, DR. ))

Đặc biệt K(M ) := Kd(M ) được gọi là môđun chính tắc của M Với i 6= d, Ki(M ) đượcgọi là môđun khuyết của M

Theo định lý đối ngẫu địa phương,

Hmi(M ) ∼= Hom(Ki(M ), E), ∀i ∈ Z

Lưu ý, Ki(M ) = 0 với mọi i < 0 và i > d Hơn nữa,Ki(M ) là môđun hữu hạn sinh vớimọi i ∈ Z

Chương 2

Một số tính chất của đối đồng điều địa phương hình thức

2.1 Một số tính chất cơ bản

Cho (R, m) là vành Nơte địa phương Cho x = x1, x2, , xr là dãy các phần tử trong

R và J = Rad(Rx) Kí hiệu Cx là phức Cech ứng với iđêan J Với R−môđun M vàiđêan I của vành R, hệ ngược các R−môđun {M/InM }n∈N cảm sinh hệ ngược các phức{Cx⊗ M/InM }n∈N

Định nghĩa 2.1.1 Với các kí hiệu như trên, R−môđun Hi(lim←−

n

(Cx⊗ M/InM )) được gọi

là môđun đối đồng điều địa phương I-hình thức thứ i của M ứng với iđêan J Nếu J = m

và không có sự nhầm lẫn về iđêan I thì gọi là đối đồng điều địa phương hình thức

Nhắc lại tiêu chuẩn Mittag-Leffler (ML) về tính khớp của giới hạn ngược: Một hệngược{Mt, φt 0 t} các R−môđun thoã mãn tiêu chuẩn Mittag-Leffler (ML) nếu với mỗi t,dãy giảm các môđun con {φt 0 t(Mt 0) ⊆ Mt | t0 ≥ t} của Mt dừng Nói cách khác, với mỗi

t, tồn tại t0 ≥ t, sao cho với mọi t0, t00 ≥ t0, φt 0 t(Mt 0) = φt 00 t(Mt 00) Ví dụ, nếu {Mt, φt 0 t} là

hệ ngược các môđun Artin thì nó thoã mãn (ML) Cho

0 −→{Nt} −→{Mt} −→{Lt} −→ 0

là dãy khớp ngắn Khi đó

(i) Nếu {Mt} thoã mãn(ML), thì {Lt} cũng thoã (ML)

(ii) If {Nt} thoã mãn (ML), thì dãy

Mệnh đề 2.1.2 Với các kí hiệu như trên, có một dãy khớp ngắn

0 −→ lim←−1HJi−1(M/InM ) −→ Hi(lim←−(Cx⊗ M/InM )) −→ lim←−H

i

J(M/InM ) −→ 0với mọi i ∈ Z Trong trường hợp J = m và M là R−môđun hữu hạn sinh thì

Hi(lim←−(Cx⊗ M/InM )) ∼= lim←−Hmi(M/InM ), ∀i ∈ Z

Chứng minh Do các ánh xạ dây chuyền Cx ⊗ M/In+1M → Cx ⊗ M/InM là toàn cấunên ta có dãy khớp các phức

0 −→ lim←−(Cx⊗ M/InM ) −→YCx⊗ M/InM −→YCx⊗ M/InM −→ 0

Lấy đối đồng điều với lưu ý rằng hàm tử đối đồng điều giao hoán với tích trực tiếp, tathu được dãy khớp dài các R−môđun

−→ Hi(lim←−(Cx⊗ M/InM )) −→YHJi(M/InM ) −→YHJi(M/InM ) −→

Chẻ dãy khớp trên tại module Hi(lim←−(Cx⊗ M/InM ))

0 −→ lim←−1HJi−1(M/InM ) −→ Hi(lim←−(Cx⊗ M/InM )) −→ lim←−HJi(M/InM ) −→ 0

Trong trường hợp J = m và M là R−môđun hữu hạn sinh thì Hi

m(M/InM ) là môđunArtin với mọi i ∈ Z và n ∈ N do đó hệ ngược {Hi

m(M/InM )} thoã tiêu chuẩn ML Khi

đó lim←−1Hmi(M/InM ) = 0 với mọi i; kết hợp với dãy khớp ngắn trên suy ra kết luận cònlại của mệnh đề

Nhận xét trong trường hợp J = m và M là R−môđun hữu hạn sinh thì môđun đốiđồng điều địa phương hình thức chính là lim←−Hmi(M/InM ) và kí hiệu là Fi

I(M ) Và phầncòn lại trong tài liệu tập trung quan tâm đến các môđun này

Mệnh đề 2.1.3 Cho M là R−môđun hữu hạn sinh I-xoắn (Supp(M ) ⊂ V (a)), khi đó

FiI(M ) ∼= Hmi(M )

Chứng minh Do Supp(M ) ⊂ V (I) nên tồn tại n ∈ N sao cho InM = 0 khi đó

Do M là R−môđun Artin nên Supp(Rx) ⊂ V (m) suy ra tồn tại số nguyên t sao cho

rtx = 0 Định nghĩa (ri) ∗ x = rtx Lấy (si) = (ri) trong bR, khi đó tồn tại N > 0 sao cho

ri − si ∈ mt với mọi i >= N suy ra rtx = rt+Nx = st+Nx = stx Do đó phép toán đượcđịnh nghĩa tốt Lưu ý, qua đồng cấu phẳng R → bR cấu trúc bR-môđun của M quay trởlại cấu trúc R−môđun ban đầu suy ra bR-môđun con của M cũng chính là R−môđun concủa M

Bổ đề 2.1.5 Cho R−môđun hữu hạn sinh M , khi đó FiI(M ) có cấu trúc bR-môđun tựnhiên và

FiI(M ) ∼= FiI bR( cM )với bR là m-adic đầy đủ

Chứng minh Giả sử N là R−môđun hữu hạn sinh, khi đó Hmi(N ) là các R−môđun Artinvới mọi i ∈ Z Áp dụng bổ đề trên, Hi

m(N ) có cấu trúc bR-môđun tự nhiên và theo định

lý đổi nền phẳng

Hmi(N ) ∼= Hmi(N ) ⊗RR ∼b= Hm bi R( bN )

Bây giờ, thay N = M/InM và lấy giới hạn ngược các đẳng cấu tương ứng suy ra

FiI(M ) ∼= FiI bR( cM )

Bổ đề trên giúp đưa bài toán đối đồng điều địa phương hình thức về trường hợp R làvành đầy đủ Lưu ý theo định lý cấu trúc Cohen, vành đầy đủ là vành thương của vànhchính quy và do đó vành R có phức đối ngẫu DR.

Cho Mn là dãy giảm các R−môđun con của M (lọc của M ) Dãy cảm sinh hệ ngượccác phức {Cx ⊗ M/Mn} Bổ đề tiếp theo chỉ ra nếu Mn là I−lọc ổn định của M , tức

IMn⊆ Mn+1 và IMn= Mn+1 với mọi n đủ lớn, thì giới hạn ngược của hai hệ ngược cácphức {Cx⊗ M/Mn} và {Cx⊗ M/InM } có cùng đối đồng điều

Bổ đề 2.1.6 Cho {Mn} là I-lọc ổn định của M , khi đó

lim

←−Hmi(M/InM ) ∼= lim←−Hmi(M/Mn)với mọi i ∈ Z

Chứng minh Với F là R−môđun phẳng, F ⊗ {Mn} là I-lọc ổn định của F ⊗ M Khi đó

và đẳng cấu cuối cùng được chỉ ra tương tự như trong chứng minh mệnh đề 2.1.2

Tiếp theo là một tính chất vô cùng quan trọng của đối đồng điều địa phương hìnhthức

Định lí 2.1.7 Mỗi dãy khớp các R−môđun hữu hạn sinh

0 −→ L −→ M −→ N −→ 0

cảm sinh dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương hình thức

−→ FiI(L) −→ FiI(M ) −→ FiI(N ) −→

Chứng minh Với mỗi n ∈ N, dãy khớp ngắn các R−môđun 0 → L → M → N → 0 cảmsinh các dãy khớp ngắn

Mặc khác, vì L là R−môđun hữu hạn sinh nên theo bổ đề Artin-Rees dãy giảm L ∩ InM

là I-lọc ổn định của L Cuối cùng áp dụng 2.1.6 suy ra Hi(lim←−Cx⊗ L/L ∩ InM ) ∼= FiI(L)với mọi i ∈ Z

Hệ quả 2.1.8 Cho M là R−môđun hữu hạn sinh và N là R−môđun con của M sao choSupp(N ) ∩ V (I) ⊂ V (m) khi đó ta có dãy khớp ngắn

Chứng minh Áp dụng định lý 2.1.7 cho dãy khớp ngắn chính tắc 0 → H0

I(M ) → M →M/HI0(M ) → 0

Với r ∈ R và M là R−môđun Ta có thể xem tự đồng cấu nhân M → M là phức hạnrchế tại bậc 0 và 1 tức

−→ 0 −→ M−→M −→ 0 −→ rKhi đó kí hiệu H0(x; M ) và H1(x; M ) lần lượt là đồng điều điều thứ không và thứ nhấtcủa phức trên Dễ thấy, nó là đối hạt nhân và hạt nhân của M → M r

Định lí 2.1.10 Cho M là R−môđun hữu hạn sinh Chọn r ∈ m sao cho r /∈ p với mọi

p∈ Ass(M )\{m} Khi đó ta có dãy khớp ngắn

Fi

I(M ) ∼= FiI(M ) với mọi i > 0 và dãy khớp

0 −→ N −→ F0I(M ) −→ F0I(M ) −→ 0 (1)Dãy khớp thứ hai cảm sinh dãy khớp dài

−→ FiI(M )−→Fr i

I(M ) −→ FiI(M0) −→ Thay các môđun Fi

I(M0), ta chứng minh được định lý trong trườnghợp i = 0